【数学】2020届一轮复习苏教版 矩阵与变换 课 时作业

【数学】2020届一轮复习苏教版 矩阵与变换 课 时作业

‎ 2020届一轮复习苏教版 矩阵与变换 课 时作业 ‎1、定义矩阵，若，则 ‎（ ）‎ A. 图象关于中心对称 B. 图象关于直线对称 C. 在区间上的最大值为1 D. 周期为的奇函数 2、已知矩阵，，若矩阵，求矩阵的逆矩阵．‎ ‎3、已知，，若点在矩阵对应的变换作用下得到点，求矩阵的逆矩阵.‎ ‎4、已知矩阵的两个特征向量，，若，求.‎ ‎5、已知矩阵，，求的值.‎ ‎6、已知变换把直角坐标平面上的点，分别变换成点，‎ ‎，求变换对应的矩阵．‎ ‎7、已知矩阵向量，若求实数的值.‎ ‎8、已知二阶矩阵的特征值所对应的一个特征向量.‎ ‎（1）求矩阵；‎ ‎（2）设曲线在变换矩阵作用下得到的曲线的方程为，求曲线的方程．‎ ‎9、设矩阵A＝的逆矩阵为，矩阵B满足AB＝，求，B．‎ ‎10、若矩阵属于特征值3的一个特征向量为，求矩阵 的逆矩阵．‎ ‎11、二阶矩阵A有特征值，其对应的一个特征向量为，并且矩阵对应的变换将点变换成点，求.‎ ‎12、已知矩阵，若直线在矩阵对应的变换作用下得到的直线过点，求实数的值.‎ ‎13、在平面直角坐标系中，设点在矩阵对应的变换下得到点，求.‎ ‎14、设二阶矩阵A＝．‎ ‎（Ⅰ）求A－1；‎ ‎（Ⅱ）若曲线C在矩阵A对应的变换作用下得到曲线C？：6x2－y2＝1，求曲线C的方程．‎ ‎15、设是矩阵的一个特征向量.‎ ‎（Ⅰ）求实数的值；‎ ‎（Ⅱ）求矩阵的特征值.‎ ‎16、已知矩阵属于特征值的一个特征向量为.‎ ‎(1)求实数的值；‎ ‎(2)若曲线在矩阵对应的变换作用下,得到的曲线为求曲线的方程.‎ ‎17、已知矩阵，若矩阵对应的变换把直线变为直线，求直线的方程．‎ ‎18、已知矩阵，A的逆矩阵，求A的特征值．‎ ‎19、已知矩阵，点在对应的变换作用下得到点，求矩阵的特征值.‎ ‎20、‎ 如图，设A是由n×n个实数组成的n行n列的数表，其中au（i，j=1，2，3，…，n）表示位于第i行第j列的实数，且au∈{1，﹣1}．记S（n，n）为所有这样的数表构成的集合．‎ 对于A∈S（n，n），记ri（A）为A的第i行各数之积，cj（A）为A的第j列各数之积．令l（A=（A）+（A））．‎ ‎（Ⅰ）请写出一个A∈s（4，4），使得l（A）=0；‎ ‎（Ⅱ）是否存在A∈S（9，9），使得l（A）=0？说明理由；‎ ‎（Ⅲ）给定正整数n，对于所有的A∈S（n，n），求l（A）的取值集合．‎ a11‎ a12‎ ‎…‎ a1n a21‎ a22‎ ‎…‎ a2n ‎…‎ ‎…‎ ‎…‎ ‎…‎ an1‎ an2‎ ‎…‎ ann 参考答案 ‎1、答案：C 当时，‎ 故函数在区间上的最大值为1.故选C.‎ ‎2、答案：．‎ 试题分析：，所以．‎ 试题 B．因为，‎ 所以． 3、答案：.‎ 试题分析：‎ 由题意可得，利用待定系数法或者逆矩阵公式可得.‎ 试题 因为，即，即，解得，‎ 所以，‎ 法1：设，则，即，‎ 解得，所以.‎ 法2：因为，且，‎ 所以. 4、答案：‎ 试题分析：‎ 设矩阵的特征向量对应的特征值为，特征向量对应的特征值为，可求得则由，，，进而可求得.‎ 试题 设矩阵的特征向量对应的特征值为，特征向量对应的特征值为，‎ 则由可解得：，，‎ 又，‎ 所以 5、答案：‎ 试题分析：矩阵的特征多项式为，令，解得矩阵的特征值，，进而求得：的值.‎ 试题 矩阵的特征多项式为，‎ 令，解得矩阵的特征值，，‎ 当时特征向量为，当时特征向量为，‎ 又∵，‎ ‎∴. 6、答案：．‎ 试题分析：先设出所求矩阵，利用待定系数法建立一个四元一次方程组且解方程组即可．‎ 试题设矩阵，则，且．‎ 所以且 解得所以矩阵． 7、答案：‎ 试题分析：先根据矩阵运算法则运算，再根据向量相等得方程组，解方程组得实数的值.‎ 试题，，‎ 由得解得． 8、答案：（1）见解析；（2）‎ 试题分析：（1）可以利用矩阵的特征值和特征向量的意义列出相应的方程，解方程得到本题结论；（2）根据矩阵变换下相关点的坐标关系，利用代入法求出曲线的方程，得到本题结论.‎ 试题（1）依题意,得 即，解得，；‎ ‎（2）设曲线上一点在矩阵的作用下得到曲线上一点，则，即，‎ ‎，整理得，曲线的方程为 9、答案：A－1＝，B=‎ 试题分析：由的逆矩阵公式可得，再根据矩阵运算得B＝A－1AB 试题因为A＝，所以|A|＝＝－7＋6＝-1.‎ 由逆矩阵公式得，A－1＝．5分 因为AB＝，所以B＝A－1AB＝＝．‎ 考点：矩阵逆矩阵 ‎ ‎10、答案：‎ 试题分析：由题意，得，解得，所以，由，继而求得矩阵的逆矩阵．‎ 试题由题意，得，解得，所以．‎ 设，则，‎ 解得，即．‎ 考点：1.逆变换与逆矩阵；2.特征值与特征向量的计算． 11、答案：.‎ 试题分析：利用矩阵的特征值与特征向量的关系及矩阵的运算即可求出；‎ 试题设所求二阶矩阵A=，则 ‎∴∴5分 解方程组得A=‎ ‎ 12、答案：。‎ 试题分析：先求矩阵的逆矩阵，再根据矩阵运算得直线对应点，代入可得实数的值.‎ 试题矩阵，得，‎ 所以，‎ 将点代入直线得. 13、答案：.‎ 试题分析：由题意得到，再由逆矩阵公式,求出矩阵M的逆矩阵由此能求出M.？1‎ 试题依题意，，即，解得，‎ 由逆矩阵公式知，矩阵的逆矩阵，‎ 所以. 14、答案：（1）（2）8y2－3x2＝1.‎ 试题分析：曲线上任意一点在矩阵对应的变换作用下得到点，，代入，即可得结果 试题解：（1）根据逆矩阵公式，可得A－1＝．‎ ‎（2）设曲线C上任意一点P(x，y)在矩阵A对应的变换作用下得到点P，‎ 则，所以 因为在曲线上，所以，代入6(x＋2y)2－(3x＋4y)2＝1，化简得8y2－3x2＝1，‎ 所以曲线C的方程为8y2－3x2＝1. 15、答案：(Ⅰ)1；(Ⅱ)和．‎ 试题分析：‎ ‎(Ⅰ)结合特征向量的定义得到关于实数的方程组，求解方程组可得；‎ ‎(Ⅱ)结合(Ⅰ)中求得的矩阵得到矩阵的特征值方程，解方程可得矩阵的特征值为和．‎ 试题 ‎（Ⅰ）设是矩阵属于特征值的一个特征向量，则，即 ‎，解得，故实数的值为；‎ ‎（Ⅱ）矩阵的特征多项式为，所以，，故矩阵的特征值为和． 16、答案：（1）；（2）.‎ 试题分析：（1）由题意可得，并由此得到关于的方程组，解方程组可得结果。（2）设曲线上的一点，在矩阵的作用下得到点，利用矩阵变换得到，然后代入方程可得曲线C的方程。‎ 试题 ‎（1）由题意得 即，‎ 解得 ‎（2）设曲线上的一点，在矩阵的作用下得到点.‎ ‎，‎ 所以 将上式代入方程 得，‎ 整理得.‎ 所以曲线C的方程为。 17、答案：.‎ 试题分析：先计算矩阵的对应变换，再求出变换下点的坐标之间的对应关系，从而可得直线的方程.‎ 试题∵，∴.‎ 在直线上任取一点，它是由上的点经矩阵所对应的变换所得，‎ 则一方面，∵点在直线上，∴.①‎ ‎，即，∴，‎ ‎∴②‎ 将②代入①得，即，‎ ‎∴直线的方程为. 18、答案：的特征值为3和1‎ 试题分析：‎ 利用题意得到特征多项式，据此即可求得相应的特征值为3和1‎ 试题 则解之得 的特征多项式 令，解之得 的特征值为3和1 19、答案：的特征值为和.‎ 试题分析：借助题设条件及特征方程，建立方程组求解：‎ B.解：由题意，，即，解得，所以矩阵.所以矩阵的特征多项式为，令，得，所以的特征值为和. 20、答案：‎ ‎（Ⅰ）解：答案不唯一，如图所示数表符合要求．‎ ‎﹣1‎ ‎﹣1‎ ‎﹣1‎ ‎﹣1‎ ‎1‎ ‎1‎ ‎1‎ ‎1‎ ‎1‎ ‎1‎ ‎1‎ ‎1‎ ‎1‎ ‎1‎ ‎1‎ ‎1‎ ‎（Ⅱ）解：不存在A∈S（9，9），使得l（A）=0． ‎ 证明如下：‎ 假设存在A∈S（9，9），使得l（A）=0．‎ 因为ri（A）∈{1，﹣1}，cj（A）∈{1，﹣1}，（i，j=1，2，3，…，9），‎ 所以r1（A），…，r9（A）；c1（A），…，c9（A），这18个数中有9个1，9个﹣1．‎ 令M=r1（A）？…r9（A）c1（A）…c9（A）．‎ 一方面，由于这18个数中有9个1，9个﹣1，从而M=﹣1． ①‎ 另一方面，r1（A）？…r9（A）表示数表中所有元素之积（记这81个实数之积为m）；c1‎ ‎（A）？…c9（A）也表示m，从而M=m2=1． ②‎ ‎①、②相矛盾，从而不存在A∈S（9，9），使得l（A）=0． ‎ ‎（Ⅲ）解：记这n2个实数之积为P．‎ 一方面，从“行”的角度看，有P=r1（A）？r2（A）…rn（A）；‎ 另一方面，从“列”的角度看，有P=c1（A）c2（A）…cn（A）．‎ 从而有r1（A）？r2（A）…rn（A）=c1（A）c2（A）…cn（A）． ③‎ 注意到ri（A）∈{1，﹣1}，cj（A）∈{1，﹣1}，（i，j=1，2，3，…，n），‎ 下面考虑r1（A），…，rn（A）；c1（A），…，cn（A），这些数中﹣1的个数：‎ 由③知，上述2n个实数中，﹣1的个数一定为偶数，该偶数记为2k（0≤k≤n）；则1的个数为2n﹣2k，‎ 所以l（A）=（﹣1）×2k+1×（2n﹣2k）=2（n﹣2k）． ‎ ‎ 对数表A0：aij=1，（i，j=1，2，3，…，n），显然l（A0）=2n．‎ 将数表A0中的a11由1变为﹣1，得到数表A1，显然l（A1）=2n﹣4．‎ 将数表A1中的a22由1变为﹣1，得到数表A2，显然l（A2）=2n﹣8．‎ 依此类推，将数表Ak﹣1中的akk由1变为﹣1，得到数表Ak．‎ 即数表Ak满足：a11=a22=…=akk=﹣1（1≤k≤n），其余aij=1．‎ 所以 r1（A）=r2（A）=…=rk（A）=﹣1，c1（A）=c2（A）=…=ck（A）=﹣1．‎ 所以l（Ak）=2[（﹣1）×k+（n﹣k）]=2n﹣4k．‎ 由k的任意性知，l（A）的取值集合为{2（n﹣2k）|k=0，1，2，…n}． ‎