浙江省2021届高考数学一轮复习第二章不等式第2节二元一次不等式组与简单的线性规划问题含解析

浙江省2021届高考数学一轮复习第二章不等式第2节二元一次不等式组与简单的线性规划问题含解析

第2节　二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题 考试要求　1.会从实际情境中抽象出二元一次不等式组；2.了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组；3.会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决.‎ 知 识 梳 理 ‎1.二元一次不等式(组)表示的平面区域 ‎(1)一般地，二元一次不等式Ax＋By＋C>0在平面直角坐标系中表示直线Ax＋By＋C＝0某一侧的所有点组成的平面区域(半平面)不含边界直线.不等式Ax＋By＋C≥0所表示的平面区域(半平面)包括边界直线.‎ ‎(2)对于直线Ax＋By＋C＝0同一侧的所有点(x，y)，使得Ax＋By＋C的值符号相同，也就是位于同一半平面内的点，其坐标适合同一个不等式Ax＋By＋C>0；而位于另一个半平面内的点，其坐标适合另一个不等式Ax＋By＋C<0.‎ ‎(3)由几个不等式组成的不等式组所表示的平面区域，是各个不等式所表示的平面区域的公共部分.‎ ‎2.线性规划的有关概念 名称 意义 线性约束条件 由x，y的一次不等式(或方程)组成的不等式组，是对x，y的约束条件 目标函数 关于x，y的解析式 线性目标函数 关于x，y的一次解析式 可行解 满足线性约束条件的解(x，y)‎ 可行域 所有可行解组成的集合 最优解 使目标函数达到最大值或最小值的可行解 线性规划问题 求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题 ‎[常用结论与易错提醒]‎ ‎1.画出平面区域.避免失误的重要方法就是首先使二元一次不等式标准化.‎ ‎2.在通过求直线的截距的最值间接求出z的最值时，要注意：当b>0时，截距取最大值时，z也取最大值；截距取最小值时，z也取最小值；当b<0时，截距取最大值时，z取最小值；截距取最小值时，z取最大值.‎ 诊 断 自 测 ‎1.判断下列说法的正误.‎ ‎(1)不等式Ax＋By＋C＞0表示的平面区域一定在直线Ax＋By＋C＝0的上方.(　　)‎ ‎(2)线性目标函数的最优解可能是不唯一的.(　　)‎ ‎(3)线性目标函数取得最值的点一定在可行域的顶点或边界上.(　　)‎ ‎(4)在目标函数z＝ax＋by(b≠0)中，z的几何意义是直线ax＋by－z＝0在y轴上的截距.(　　)‎ 解析　(1)不等式x－y＋1>0表示的平面区域在直线x－y＋1＝0的下方.‎ ‎(4)直线ax＋by－z＝0在y轴上的截距是.‎ 答案　(1)×　(2)√　(3)√　(4)×‎ ‎2.下列各点中，不在x＋y－1≤0表示的平面区域内的是(　　)‎ A.(0，0) B.(－1，1)‎ C.(－1，3) D.(2，－3)‎ 解析　把各点的坐标代入可得(－1，3)不适合，故选C.‎ 答案　C ‎3.(必修5P86T3改编)不等式组表示的平面区域是(　　)‎ 解析　x－3y＋6≥0表示直线x－3y＋6＝0及其右下方部分，x－y＋2＜0表示直线x－y＋2＝0左上方部分，故选B.‎ 答案　B ‎4.(2019·北京卷)若x，y满足则y－x的最小值为________，最大值为________.‎ 解析　作出可行域，如图阴影部分所示.‎ 设z＝y－x，则y＝x＋z.‎ z的几何意义是直线y＝x＋z的纵截距，通过图象可知，当直线y＝x＋z经过点A(2，3)时，z取得最大值，此时zmax＝3－2＝1.当经过点B(2，－1)时，z取得最小值，此时zmin＝－1－2＝－3.‎ 答案　－3　1‎ ‎5.实数x，y满足若z＝3x＋y的最小值为1，则正实数k＝________.‎ 解析　因为k>0，则题中的不等式组表示的平面区域为以(1，0)，，为顶点的三角形区域(包含边界)，易得当目标函数z＝3x＋y经过平面区域内点 时，z＝3x＋y取得最小值zmin＝＋＝1，解得k＝.‎ 答案　 ‎6.(2020·嘉兴测试)在平面直角坐标系中，不等式组所表示的平面区域的面积等于________，z＝2x＋y的取值范围是________.‎ 解析　不等式组 表示的可行域如图中阴影部分(含边界)所示，由 可得C(1，0)，‎ 由可得B(1，4)，由可得A(0，1)，则平面区域的面积为×4×1＝2.当目标函数z＝2x＋y经过可行域中的点B时取得最大值6，经过点A时取得最小值1，所以z的取值范围是[1，6].‎ 答案　2　[1，6]‎ 考点一　二元一次不等式(组)表示的平面区域 ‎【例1】 (1)设不等式组所表示的区域面积为S(m∈R).若S≤1，则(　　)‎ A.m≤－2 B.－2≤m≤0‎ C.00)的最大值为1，则m的值是(　　)‎ A.－ B.1 ‎ C.2 D.5‎ 解析　作出可行域，如图所示的阴影部分.‎ 化目标函数z＝y－mx(m＞0)为y＝mx＋z，由图可知，当直线y＝mx＋z过A点时，直线在y轴的截距最大，由解得即A(1，2)，∴2－m＝1，解得m＝1.故选B.‎ 答案　B ‎8.若函数y＝2x图象上存在点(x，y)满足约束条件则实数m的最大值为(　　)‎ A. B.1 ‎ C. D.2‎ 解析　在同一直角坐标系中作出函数y＝2x的图象及所表示的平面区域，如图阴影部分所示.‎ 由图可知，当m≤1时，‎ 函数y＝2x的图象上存在点(x，y)满足约束条件，‎ 故m的最大值为1.‎ 答案　B 二、填空题 ‎9.(2020·杭州质检)若实数x，y满足不等式组则2x＋3y的最小值为________.‎ 解析　在平面直角坐标系内画出题中的不等式组表示的平面区域，其是以(1，1)，(4，4)，(2，0)为顶点的三角形区域(包含边界)，由图易得当目标函数z＝2x＋3y经过平面区域内的点(2，0)时，z＝2x＋3y取得最小值，zmin＝2×2＋3×0＝4.‎ 答案　4‎ ‎10.已知O是坐标原点，点M的坐标为(2，1)，若点N(x，y)为平面区域上的一个动点，则·的最大值是________.‎ 解析　依题意得不等式组对应的平面区域如图中阴影部分所示，‎ 其中A，B，C(1，1).‎ 设z＝·＝2x＋y，当目标函数z＝2x＋y过点C(1，1)时，z＝2x＋y取得最大值3.‎ 答案　3‎ ‎11.已知实数x，y满足不等式组则|x－y|的最大值为________.‎ 解析　在平面直角坐标系内画出题中的不等式组表示的平面区域为以A(4，0)，B(8，8)，C(0，2)为顶点的三角形区域(包含边界)，设z＝x－y，则由图易得当z＝x－y经过平面区域内的点A(4，0)时，z＝x－y取得最大值zmax＝4－0＝4，当z＝x－y经过平面区域内的点C(0，2)时，z＝x－y取得最小值zmin＝0－2＝－2，所以|x－y|的取值范围为[0，4]，最大值为4.‎ 答案　4‎ ‎12.已知实数x，y满足设b＝x－2y，若b的最小值为－2，则b的最大值为________.‎ 解析　作出不等式组满足的可行域如图阴影部分所示.作出直线l0：x－2y＝0，‎ ‎∵y＝－，‎ ‎∴当l0平移至A点处时b有最小值，bmin＝－a，又bmin＝－2，‎ ‎∴a＝2，当l0平移至B(a，－2a)时，b有最大值bmax＝a－2×(－2a)＝5a＝10.‎ 答案　10‎ ‎13.(2019·浙江名师预测卷四)实数x，y满足不等式组动点(x，y)对应的区域面积是________，z＝的最小值是________.‎ 解析　画出不等式组表示的平面区域易计算得区域面积等于；z＝＝2＋，其中 表示点(－1，3)与区域内的任意点(x，y)连线的斜率，当x＝1，y＝2时，斜率取得最小值－，则zmin＝.‎ 答案　　 ‎14.(2020·台州期末评估)已知x，y满足条件则2x＋y的最大值是________，原点到点P(x，y)的距离的最小值是________.‎ 解析　作出x，y满足条件的可行域，如图中阴影部分所示(包含边界)，目标函数z＝2x＋y在的交点A(2，2)处取最大值，zmax＝2×2＋2＝6，原点到点P(x，y)的距离的最小值是|OB|＝.‎ 答案　6　 能力提升题组 ‎15.若实数x，y满足不等式组则2|x＋1|＋y的最大值是(　　)‎ A. B. ‎ C.4 D.1‎ 解析　设z＝2|x＋1|＋y＝在平面直角坐标系中画出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，是以A(－2，0)，B(0，－1)，C为顶点的三角形区域(含边界)，z＝－2x＋y－2(x＜－1)在点A(－2，0)处取得最大值2；z＝2x＋y＋2(x≥－1)在点C处取得最大值，故z＝2|x＋1|＋y的最大值是 ‎.‎ 答案　B ‎16.已知实数x，y满足则xy的最大值是(　　)‎ A. B. ‎ C.4 D. 解析　画出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分(含边界)所示，设直线x＋2y－6＝0与曲线y＝相切于第一象限(z＞0)，切点为(x0，y0).由y＝，得y′＝－，所以解得所以xy的最大值为，故选A.‎ 答案　A ‎17.已知不等式组表示的平面区域为D，若函数y＝|x－1|＋m的图象上存在区域D上的点，则实数m的取值范围是(　　)‎ A.[－2，1] B. ‎ C. D. 解析　不等式组表示的平面区域为如图所示的△ABC及其内部，而函数y＝|x－1|＋m的图象可看作是由函数y＝|x－1|的图象上下平移而得到的，显然当平移至图中折线a和折线b及其之间的位置时均符合题意.当在折线a位置时，将点(2，－1)代入即可求出m＝－2；当在折线b位置时，将点(1，1)代入即可求出m＝1，所以实数m的取值范围为[－2，1]，故选A.‎ 答案　A ‎18.(2019·浙江名师预测卷三)记不等式组表示的区域为Ω，(x，y)为Ω内(含边界)上一点，若以原点为圆心，半径为r的圆与区域Ω无公共点，则r的取值范围是________.‎ 解析　不等式组所表示的平面区域Ω为如图中阴影部分(包含边界)所示，以原点为圆心，半径为r的圆与区域Ω无公共点，即如图所示，所以临界状态下的圆与直线x＋y－3＝0相切，此时r＝，或者该圆过直线x＋y－3＝0与直线x－y－3＝0的交点(4，1)，此时r＝，所以满足题意的r的取值范围为0＜r＜或r＞.‎ 答案　∪(，＋∞)‎ ‎19.若x，y满足约束条件则|x＋y|－|x－y|的取值范围为________.‎ 解析　根据约束条件画出可行域如图中△ABC区域(含边界)，A(1，3)，B(－1，1)，C(3，1)，且△ABC区域在直线lOB：x＋y＝0的右侧，所以|x＋y|－|x－y|＝x＋y－|x－y|＝取BC的中点为M，AC的中点为N，由图可 知直线lMN：x－y＝0将可行域分割为两部分，其中M(1，1)，N(2，2)，当x≥y时，对应区域为△MNC区域(含边界)，2≤2y≤4，当x

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