◇中考数学中等难度题训练2√

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中等难度题训练2‎ ‎1、（1）操作发现：如图1，在矩形ABCD中，E是BC的中点，将△ABE沿AE折叠后得到△AFE，点F在矩形ABCD内部，延长AF交CD于点G．猜想线段GF与GC有何数量关系？并证明你的结论．‎ ‎（2）类比探究：‎ 如图2，将（1）中的矩形ABCD改为平行四边形，其它条件不变，（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由． ‎ A B E F G C D C E D F B A G ‎2、已知抛物线的对称轴为直线，且与x轴交于A、B两点．与y轴交于点C．其中AI(1，0)，C(0，)．‎ ‎（1）（3分）求抛物线的解析式；‎ ‎（2）若点P在抛物线上运动（点P异于点A）．‎ ‎ ①（4分）如图l．当△PBC面积与△ABC面积相等时．求点P的坐标；‎ ‎②（5分）如图2．当∠PCB=∠BCA时，求直线CP的解析式。‎ ‎3、如图，抛物线y＝ax2－4ax＋c（a≠0）经过A（0，－1），B（5，0）两点，点P是抛物线上的一个动点，且位于直线AB的下方（不与A，B重合），过点P作直线PQ⊥x轴，交AB于点Q，设点P的横坐标为m．‎ ‎（1）求a，c的值；（4分）‎ ‎（2）设PQ的长为S，求S与m的函数关系式，写出m的取值范围；（4分）‎ ‎（3）以PQ为直径的圆 与抛物线的对称轴l有哪些位置关系？并写出对应的m取值范围．（不必写过程）（4分）‎ ‎4、如图，直线y＝－2x＋2与x轴、y轴分别交于A、B两点，将△OAB绕点O逆时针方向旋转90°后得到△OCD．‎ ‎（1）填空：点C的坐标是(_ ，_ )，‎ 点D的坐标是(_ ，_ )；‎ ‎（2）设直线CD与AB交于点M，求线段BM的长；‎ ‎（3）在y轴上是否存在点P，使得△BMP是等腰三角形？若存在，‎ 请求出所有满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．‎ A O D C M B y x ‎5、已知：如图所示的一张矩形纸片ABCD（AD＞AB），将纸片折叠一次，使点A与点C重合，再展开，折痕EF交AD边于点E，交BC边于点F，分别连接AF和CE．‎ ‎（1）求证：四边形AFCE是菱形；‎ ‎（2）若AE=‎10cm，△ABF的面积为‎24cm2，求△ABF的周长；‎ ‎（3）在线段AC上是否存在一点P，使得2AE2=AC•AP？若存在，请说明点P的位置，并予以证明；若不存在，请说明理由．‎ ‎6、在△ABC中，AB=AC，点O是△ABC的外心，连接AO并延长交BC于D，交△ABC的外接圆于E，过点B作⊙O的切线交AO的延长线于Q，设OQ=，BQ=3．‎ ‎（1）求⊙O的半径；‎ ‎（2）若DE=，求四边形ACEB的周长．‎ 中等难度题训练2‎ ‎1、（1）操作发现：如图1，在矩形ABCD中，E是BC的中点，将△ABE沿AE折叠后得到△AFE，点F在矩形ABCD内部，延长AF交CD于点G．猜想线段GF与GC有何数量关系？并证明你的结论．‎ ‎（2）类比探究：‎ 如图2，将（1）中的矩形ABCD改为平行四边形，其它条件不变，（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由．‎ A B E F G C D C E D F B A G ‎【答案】（1）连接FC，‎ A B E F G C D ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ 由折叠知：BE＝EF ∠AFE＝∠B＝90°‎ ‎∴∠EFG＝∠C＝90°‎ ‎∵E是BC的中点，∴BE＝CE ∴CE＝EF ‎∴∠1＝∠2 ∵∠EFG＝∠C ‎∴∠3＝∠4 ∴FG＝CG C E D F B A G ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎（2）连接CF，‎ 由折叠知：BE＝EF ∠AFE＝∠B ‎∵E是BC的中点，∴BE＝CE ∴CE＝EF ‎∴∠1＝∠2‎ 又∵∠AFE＋∠EFG＝180° ∠B＋∠ECG＝180°‎ ‎∴∠EFG＝∠ECG ∴∠3＝∠4 ∴FG＝CG ‎2、已知抛物线的对称轴为直线，且与x轴交于A、B两点．与y轴交于点C．其中AI(1，0)，C(0，)．‎ ‎（1）（3分）求抛物线的解析式；‎ ‎（2）若点P在抛物线上运动（点P异于点A）．‎ ‎ ①（4分）如图l．当△PBC面积与△ABC面积相等时．求点P的坐标；‎ ‎②（5分）如图2．当∠PCB=∠BCA时，求直线CP的解析式。‎ ‎ 解：（1）由题意，得，解得 ‎∴抛物线的解析式为。‎ ‎（2）①令，解得 ∴B（3, 0）‎ 当点P在x轴上方时，如图1，‎ 过点A作直线BC的平行线交抛物线于点P，‎ 易求直线BC的解析式为，‎ ‎∴设直线AP的解析式为，‎ ‎∵直线AP过点A（1,0），代入求得。‎ ‎∴直线AP的解析式为 解方程组，得 ‎∴点 当点P在x轴下方时，如图1‎ 设直线交y轴于点，‎ 把直线BC向下平移2个单位，交抛物线于点，‎ 得直线的解析式为，‎ 解方程组，得 ‎∴‎ 综上所述，点P的坐标为：，‎ ‎②∵‎ ‎∴OB=OC，∴∠OCB=∠OBC=45°设直线CP的解析式为 如图2，延长CP交x轴于点Q，设∠OCA=α，则∠ACB=45°α ‎∵∠PCB=∠BCA ∴∠PCB=45°α ‎∴∠OQC=∠OBC-∠PCB=45°-（45°α）=α ∴∠OCA=∠OQC 又∵∠AOC=∠COQ=90° ∴Rt△AOC∽Rt△COQ ‎∴，∴，∴OQ=9，∴‎ ‎∵直线CP过点，∴ ∴ ∴直线CP的解析式为。‎ ‎3、如图，抛物线y＝ax2－4ax＋c（a≠0）经过A（0，－1），B（5，0）两点，点P是抛物线上的一个动点，且位于直线AB的下方（不与A，B重合），过点P作直线PQ⊥x轴，交AB于点Q，设点P的横坐标为m．‎ ‎（1）求a，c的值；（4分）‎ ‎（2）设PQ的长为S，求S与m的函数关系式，写出m的取值范围；（4分）‎ ‎（3）以PQ为直径的圆 与抛物线的对称轴l有哪些位置关系？并写出对应的m取值范围．（不必写过程）（4分）‎ 解：∵抛物线y＝ax2－4ax＋c过A（0，－1），B（5，0）‎ ‎∴ 解得： ‎（2）∵直线AB经过A（0，－1），B（5，0）∴直线AB的解析式为y＝x －1‎ 由（1）知抛物线的解析式为：y＝x2－x－1‎ ‎∵点P的横坐标为m，点P在抛物线上，点Q在直线AB上，PQ⊥x轴 ‎∴P（m，m 2－m－1），Q（m，m －1）∴S＝PQ＝（m －1）－（m 2－m－1）‎ 即S＝－m 2＋m （0＜m＜5）‎ ‎（3）抛物线的对称轴l为：x＝2‎ 以PQ为直径的圆与抛物线的对称轴l的位置关系有：‎ 相离、相切、相交三种关系 相离时：0＜m＜或 ＜m＜5；‎ 相切时：m＝ m＝；‎ 相交时：＜m＜ ‎4、如图，直线y＝－2x＋2与x轴、y轴分别交于A、B两点，将△OAB绕点O逆时针方向旋转90°后得到△OCD．‎ ‎（1）填空：点C的坐标是(_ ，_ )，‎ 点D的坐标是(_ ，_ )；‎ ‎（2）设直线CD与AB交于点M，求线段BM的长；‎ A O D C M B y x ‎（3）在y轴上是否存在点P，使得△BMP是等腰三角形？若存在，‎ 请求出所有满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．‎ 解：（1）点C的坐标是(0，1)，点D的坐标是(－2，0) ‎ ‎（2）方法一：由（1）可知CD＝ ＝，BC＝1‎ 又∠1＝∠5，∠4＝∠3 ∴△BMC∽△DOC ‎ ‎∴＝ 即＝∴B M＝ ‎ 方法二：设直线CD的解析式为y＝kx＋b A O D C M B y x P1‎ ‎·‎ ‎·‎ P2‎ ‎1‎ ‎5‎ 由（1）得 解得 ∴直线CD的解析式为y＝ x＋1‎ 又∠1＝∠5，∠BCM＝∠DCO ∴△BMC∽△DOC ‎ ‎∴＝ 即＝ ∴BM＝ ‎ ‎∵ ∴ ∴M的坐标为(，) ‎ A O D C M B y x P3‎ ‎·‎ E 过点M作ME⊥y轴于点E，则ME＝，BE＝ ‎∴BM＝ ＝ ‎ ‎（3）存在 ‎ 分两种情况讨论：‎ ‎① 以BM为腰时 ‎∵BM＝，又点P在y轴上，且BP＝BM 此时满足条件的点P有两个，它们是P1 (0，2＋)、P2 (0，2－)‎ A O D C M B y x P4‎ ‎·‎ F 过点M作ME⊥y轴于点E，∵∠BMC＝90°，‎ 则△BME∽△BCM ‎∴＝ ∴BE＝＝ 又∵BM＝BP ∴PE＝BE＝ ‎∴BP＝ ∴OP＝2－＝ 此时满足条件的点P有一个，它是P3 (0，) ‎ ‎② 以BM为底时，作BM的垂直平分线，分别交y轴、BM于点P、F，‎ 由（2）得∠BMC＝90°，∴PF∥CM ‎∵F是BM的中点，∴BP＝BC＝∴OP＝ 此时满足条件的点P有一个，它是P4 (0，) ‎ 综上，符合条件的点P有四个：P1 (0，2＋)、P2 (0，2－)、P3 (0，)、P4 (0，)‎ ‎5、已知：如图所示的一张矩形纸片ABCD（AD＞AB），将纸片折叠一次，使点A与点C重合，再展开，折痕EF交AD边于点E，交BC边于点F，分别连接AF和CE．‎ ‎（1）求证：四边形AFCE是菱形；‎ ‎（2）若AE=‎10cm，△ABF的面积为‎24cm2，求△ABF的周长；‎ ‎（3）在线段AC上是否存在一点P，使得2AE2=AC•AP？若存在，请说明点P的位置，并予以证明；若不存在，请说明理由．‎ 解答：（1）证明：由题意可知OA=OC，EF⊥AO，‎ ‎∵AD∥BC，‎ ‎∴∠AEO=∠CFO，∠EAO=∠FCO，∴△AOE≌△COF，∴AE=CF，又AE∥CF，∴四边形AECF是平行四边形，‎ ‎∵AC⊥EF，∴四边形AECF是菱形；‎ ‎（2）∵四边形AECF是菱形，∴AF=AE=‎10cm，‎ 设AB=a，BF=b，‎ ‎∵△ABF的面积为‎24cm2，∴a2+b2=100，ab=48，∴（a+b）2=196，‎ ‎∴a+b=14或a+b=﹣14（不合题意，舍去），∴△ABF的周长为14+10=‎24cm；‎ ‎（3）存在，过点E作AD的垂线，交AC于点P，点P就是符合条件的点；‎ 证明：∵∠AEP=∠AOE=90°，∠EAO=∠EAP，‎ ‎∴△AOE∽△AEP，∴=，∴AE2=AO•AP，‎ ‎∵四边形AECF是菱形，‎ ‎∴AO=AC， ∴AE2=AC•AP，‎ ‎∴2AE2=AC•AP．‎ ‎6、在△ABC中，AB=AC，点O是△ABC的外心，连接AO并延长交BC于D，交△ABC的外接圆于E，过点B作⊙O的切线交AO的延长线于Q，设OQ=，BQ=3．‎ ‎（1）求⊙O的半径；‎ ‎（2）若DE=，求四边形ACEB的周长．‎ 解：（1）连接OB．‎ ‎∵BQ与⊙O相切， ∴∠OBQ=90°‎ ‎∴OB===．故半径是：；‎ ‎（2）∵AB=AC，O是△ABC的内心．‎ ‎∴=，=∴AB=AC，BE=CE∴BC⊥AE ‎∵OE=OB=，∴OD=OE﹣DE=﹣= ‎∴在直角△ODB中，BD2=OB2﹣OD2=（）2﹣（）2== 在直角△BDE中，BE=== ∴CE=BE= ‎∵AE是直径．∴∠ABE=90° ‎∴在直角△ABE中，AE=2OB=2×=3，AB===．∴AC=AB=．‎ ‎∴四边形ACEB的周长是：AB+AC+CE+BE=+++=．‎