陕西省宝鸡市宝鸡中学2019-2020学年高二上学期期中考试数学（文）试题

陕西省宝鸡市宝鸡中学2019-2020学年高二上学期期中考试数学（文）试题

‎2019-2020宝鸡中学高二第一学期期中考试试题 数学（文）‎ 一、选择题（本大题共12小题，每题5分，共60分。在每个小题给出的四个选项中只有一个是符合题意的）‎ ‎1.下列语句不是命题的是（ ）.‎ A. B. 是整数 C. D. 4是3的约数 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 命题是表示判断一件事情的语句，根据定义分别判断即可．‎ ‎【详解】解：，，都是表示判断一件事情，无法判断，‎ 故选．‎ ‎【点睛】本题考查了命题的定义，属于基础题．‎ ‎2.下图是一个正方体的表面展开图，则图中2的对面是（ ）.‎ A. 1 B. ‎9 ‎C. 快 D. 乐 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将展开图还原为正方体后，即可得出结论．‎ ‎【详解】解：将展开图还原成正方体，如图所示；‎ 则图中2（上底）的对面是9（下底）．‎ 故选．‎ ‎【点睛】本题考查了棱柱的结构特征与展开图问题，是基础题．‎ ‎3.下列求导运算正确的是　　‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 试题分析：A.， 错误.‎ B.. 错误.‎ C.错误.‎ D.正确.‎ 考点：导数的运算.‎ ‎4.从装有两个红球和三个黑球的口袋里任取两个球，那么互斥而不对立的两个事件是（　　）‎ A. “至少有一个黑球”与“都是黑球” B. “至少有一个黑球”与“至少有一个红球”‎ C. “恰好有一个黑球”与“恰好有两个黑球” D. “至少有一个黑球”与“都是红球”‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 分析：利用对立事件、互斥事件的定义求解．‎ 详解：从装有两个红球和三个黑球的口袋里任取两个球，‎ 在A中，“至少有一个黑球”与“都是黑球”能同时发生，不是互斥事件，故A错误；‎ 在B中，“至少有一个黑球”与“至少有一个红球”能同时发生，不是互斥事件，故B错误；‎ 在C中，“恰好有一个黑球”与“恰好有两个黑球”不能同时发生，‎ 但能同时不发生，是互斥而不对立两个事件，故C正确；‎ 在D中，“至少有一个黑球”与“都红球”是对立事件，故D错误．‎ 故答案为：C 点睛：（1）本题主要考查互斥事件和对立事件的定义，意在考查学生对这些基础知识的掌握水平.(2)互斥事件指的是在一次试验中，不可能同时发生的两个事件，对立事件指的是在一次试验中，不可能同时发生的两个事件，且在一次试验中，必有一个发生的两个事件.注意理解它们的区别和联系.‎ ‎5.已知命题,命题若是真命题，则a的取值范围是（ ）.‎ A. B. C. (0,] D. [0,]‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 假设命题是真命题：利用一元二次不等式与判别式的关系及其的情况即可得出；假设命题是真命题：利用一元二次方程与判别式的关系即可得出；再利用复合命题的真假判定方法即可得出．‎ ‎【详解】解：假设命题是真命题：，，则或，解得；‎ 假设命题是真命题：，，则，解得．‎ 若是真命题，则，都是真命题，‎ 则，解得．‎ 则的取值范围是．‎ 故选．‎ ‎【点睛】本题考查了一元二次不等式及其方程与判别式的关系、复合命题真假的判定方法，考查了计算能力，属于基础题．‎ ‎6.方程表示双曲线的一个充分不必要条件是（ ）‎ A. －3＜m＜0 B. －3＜m＜2‎ C. －3＜m＜4 D. －1＜m＜3‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 由题意知，，则C，D均不正确，而B为充要条件，不合题意，故选A.‎ ‎7.下列结论错误的是（ ）‎ A. 若“”为假命题，则均为假命题 B. “”是“”的充分不必要条件 C. 命题：“”的否定是“”‎ D. 命题：“若，则”的逆否命题为“若，则”‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 逐个分析各命题的真假后可得正确的选项.‎ ‎【详解】对于A， “”为假命题当且仅当均为假命题，故A正确；‎ 对于B，当时，若，则，故不成立，故B错误；‎ 对于C，D，分别根据存在性命题的否定和原命题的逆否命题的形式可得C，D都是正确的，‎ 故选B.‎ ‎【点睛】本题考查复合命题的真假判断、充分不必要条件、存在性命题的否定及逆否命题，此类问题属于基础题.‎ ‎8.椭圆中以点M(1，2)为中点的弦所在直线斜率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先设出弦的两端点的坐标，分别代入椭圆方程，两式相减后整理即可求得弦所在的直线的斜率．‎ ‎【详解】设弦的两端点为，，代入椭圆得，‎ 两式相减得，‎ 即，‎ 即，即，‎ 即，∴弦所在的直线的斜率为，故选A.‎ ‎【点睛】本题主要考查了椭圆的性质以及直线与椭圆的关系．在解决弦长的中点问题，涉及到“中点与斜率”时常用“点差法”设而不求，将弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来，相互转化，达到解决问题的目的，属于中档题.‎ ‎9.若函数满足.则的值为（ ）.‎ A. 0 B. ‎2 ‎C. 1 D. -1‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先对函数求导，再把代入，求的值，求导时注意是一个常数．‎ ‎【详解】解：求函数的导数，得，，‎ ‎ 把代入，得，解得 故选．‎ ‎【点睛】本题考查了函数的求导公式，属于基础题，做题时不要被中的所迷惑，属于基础题.‎ ‎10.过抛物线焦点，且斜率为的直线交于点（在轴上方），为的准线，点在上且，则点到直线的距离为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 分析】‎ 由直线的斜率得到直线的倾斜角，利用直角三角形角对边等于斜边的一半，求得焦半径，进而求出点的坐标，再利用几何法求出点到直线的距离.‎ ‎【详解】设直线与轴相交于点，与直线相交于点，，‎ ‎ ‎ 设，因为，所以，‎ 所以，解得：，设，由焦半径公式得：，‎ 所以，，‎ 所以，‎ 所以点到直线的距离为.‎ ‎【点睛】解析几何问题中，如果能充分挖掘条件中的几何性质，能使运算量大大减少，节省运算时间.‎ ‎11.设点P是曲线上的任意一点，点P处切线的倾斜角为,则角的取值范围是（ ）.‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求函数的导数的范围，即曲线斜率的取值范围，从而求出切线的倾斜角的范围．‎ ‎【详解】解：，，‎ ‎，‎ 故选．‎ ‎【点睛】本题考查导数的几何意义，直线的倾斜角与斜率，属于基础题．‎ ‎12.直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l的距离为其短轴长的，则该椭圆的离心率为 (　　)‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析：不妨设直线，即椭圆中心到的距离 ‎，故选B.‎ 考点：1、直线与椭圆；2、椭圆的几何性质.‎ ‎【方法点晴】本题考查直线与椭圆、椭圆的几何性质，涉及方程思想、数形结合思想和转化化归思想，考查逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力，综合性较强，属于较难题型. 不妨设直线，即椭圆中心到的距离，利用方程思想和数形结合思想建立方程是本题的关键节点.‎ 此处有视频，请去附件查看】‎ 二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分)‎ ‎13.从1，2, 3, 4这四个数中一次随机抽取两个数，则取出的数中一个是奇数一个是偶数的概率为________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 从1，2，3，4这四个数中一次随机抽取两个数，先将所有可能结果一一列举出来，从中计算出一个是奇数一个是偶数的个数，由此能求出取出的数中一个是奇数一个是偶数的概率．‎ ‎【详解】解：从1，2，3，4这四个数中一次随机抽取两个数，则可能的结果有，，，，，共有个基本事件，‎ 取出的数中一个是奇数一个包含的基本事件有：，，，，共个， ‎ 取出的数中一个是奇数一个是偶数的概率．‎ 故答案为．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率计算公式的合理运用．‎ ‎14.函数的图象在处的切线方程为，则 ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：函数的图象在处的切线方程为，‎ ‎，解得：，‎ ‎.‎ 故答案应填：-3．‎ 考点：导数的几何意义．‎ ‎15.设m，n是两条不同的直线，，，是三个不同的平面在下列命题中，正确的是______写出所有正确命题的序号 ‎ 若，，则或；‎ 若，，，，则；‎ 若，，则；‎ 若，，，则 ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用线面、面面平行、垂直的判定与性质，进行判断，即可得出结论．‎ ‎【详解】解：①若m∥α，且m∥n，分两种情况：n在α内或不在，则m∥α或m⊂α故正确；‎ ‎②若m∥α，n∥α，m⊂β，n⊂β，m，n相交，则α∥β，故不正确；‎ ‎③若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β，此命题不正确，因为垂直于同一平面的两个平面可能平行、相交，不能确定两平面之间是平行关系，故不正确；‎ ‎④由平行的传递性知若α∥β，β∥γ，则γ∥α，因为m⊥α，所以m⊥γ，故正确．‎ 故答案为①④．‎ ‎【点睛】本题考查线面、面面平行、垂直的判定与性质，解题的关键是有着较强的空间感知能力及对空间中线面，面面，线线位置关系的理解与掌握，此类题是训练空间想像能力的题，属于中档题．‎ ‎16.双曲线（，）的渐近线与圆相切，则此双曲线的离心率为________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 因为双曲线的渐近线是，所以圆心到渐近线的距离，即，解之得，应填答案 ．‎ 点睛：解答本题的关键是建立参数的方程，求解时先求出圆心坐标，与双曲线的渐近线方程，然后运用直线与圆相切建立方程，进而求得离心率为．‎ ‎17.魏晋时期数学家刘徽在他的著作《九章算术注》中，称一个正方体内两个互相垂直的内切圆柱所围成的几何体“牟合方盖”.刘徽通过计算得知正方体的内切球的体积与“牟合方盖”的体积之比应为π：4.若正方体的棱长为2.则“牟合方盖”的体积为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意先求出正方体内切球的体积，再由已知体积比求得“牟合方盖”的体积即可．‎ ‎【详解】正方体的棱长为2，则其内切球的半径r＝1，∴正方体的内切球的体积，‎ 又由已知 ，∴ ．‎ 故答案为．‎ ‎【点睛】本题考查正方体内切球的体积，理解题意是关键，属于基础题．‎ 三、解答题(本大题共5题，共65分) ‎ ‎18.袋中装有除颜色外形状大小完全相同的6个小球，其中有4个编号为1,2, 3, 4的红球,2个编号为A、B的黑球，现从中任取2个小球.; ‎ ‎(1)求所取2个小球都是红球的概率;‎ ‎(2)求所取的2个小球颜色不相同的概率.‎ ‎【答案】(1) (2)‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用列举法求出任取2个小球的基本事件总数，用表示“所取取2个小球都是红球”，利用列举法求出包含的基本事件个数，由此能求出所取取2个小球都是红球的概率．‎ ‎（2）用表示“所取的2个小球颜色不相同”，利用列举法求出包含的基本事件个数，由此能求出所取的2个小球颜色不相同的概率．‎ ‎【详解】(1)由题意知，任取2个小球的基本事件有：‎ ‎{1，2}，{1，3}，{1，4}，{1，A}，{1，B}，{2，3}，{2，4}，{2，A}，‎ ‎{2，B}，{3，4}，{3，A}，{3，B}，{4，A}，{4，B}，{A，B}，共15个，‎ 用M表示“所取取2个小球都是红球”，‎ 则M包含的基本事件有：‎ ‎{1，2}，{1，4}，{2，3}，{2，4}，{3，4}，共6个，‎ ‎∴所取取2个小球都是红球的概率：P（M）．‎ ‎(2)用N表示“所取的2个小球颜色不相同”，‎ 则N包含的基本事件有：‎ ‎{1，A}，{1，B}，{2，A}，{2，B}，{3，A}，{3，B}，{4，A}，{4，B}，共8个，‎ ‎∴所取的2个小球颜色不相同的概率：P（N）．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查古典概型等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、数据处理能力，考查化归与转化思想，是基础题．‎ ‎19.已知a∈R，命题p：∀x∈[－2，－1]，x2－a≥0，命题q：．‎ ‎（1）若命题p为真命题，求实数a的取值范围；‎ ‎（2）若命题“p∨q”为真命题，命题“p∧q”为假命题，求实数a的取值范围．‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）令f(x)＝x2－a，可将问题转化为“当时，”，故求出即可．（2）根据“p∨q”为真命题，命题“p∧q”为假命题可得p与q一真一假，然后分类讨论可得所求的结果．‎ ‎【详解】(1)令，‎ 根据题意，“命题p为真命题”等价于“当时，”．‎ ‎∵，‎ ‎∴，‎ 解得.‎ ‎∴实数的取值范围为．‎ ‎ (2)由(1)可知，当命题p为真命题时，实数满足．‎ 当命题q为真命题，即方程有实数根时，则有Δ＝‎4a2－4(2－a)≥0，‎ 解得或．‎ ‎∵命题“p∨q”为真命题，命题“p∧q”为假命题，‎ ‎∴命题p与q一真一假 ‎①当命题p为真，命题q为假时，‎ 得，解得；‎ ‎②当命题p为假，命题q为真时，‎ 得，解得．‎ 综上可得或．‎ ‎∴实数的取值范围为．‎ ‎【点睛】根据命题的真假求参数的取值范围的方法 ‎(1)求出当命题p，q为真命题时所含参数的取值范围；‎ ‎(2)判断命题p，q的真假性；‎ ‎(3)根据命题的真假情况，利用集合的交集和补集的运算，求解参数的取值范围．‎ ‎20.已知椭圆过点,且离心率.‎ ‎(1)求椭圆的方程；‎ ‎(2)直线:，直线与椭圆交于两点，求面积的最大值.‎ ‎【答案】（1）；（2）最大值为2‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由题意知，，且过点，，构造关于、、的方程组，由此能求出椭圆的标准方程．‎ ‎（2）设直线的方程与椭圆联立，，利用弦长公式求出，到的距离，然后求解三角形的面积，求出最大值即可．‎ ‎【详解】(1)已知椭圆过点,且离心率.‎ 可得：,解得，‎ 椭圆方程为：.‎ ‎(2)设直线方程为 联立方程得，消元整理得：‎ 直线与椭圆要有两个交点，所以解得，‎ 由韦达定理得：‎ 利用弦长公式得：‎ 由点到直线的距离公式得到到的距离 当且仅当，即时取到最大值，最大值为2‎ ‎【点睛】本题考查椭圆的方程和运用，考查直线方程和椭圆方程联立，消去未知数，运用韦达定理和弦长公式，考查点到直线的距离公式和基本不等式的运用，属于中档题．‎ ‎21.如图，已知面，四边形为矩形，四边形为直角梯形，，，，．‎ ‎（1）求证：面；‎ ‎（2）求证：面；‎ ‎（3）求三棱锥的体积．‎ ‎【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由四边形为矩形，得．由此能证明面．‎ ‎（2）推导出平面，，，由此能证明面．‎ ‎（3）利用等体积法，三棱锥的体积，由此能求出结果．‎ ‎【详解】证明：（1）四边形为矩形，‎ ‎．‎ 面，面，‎ 面．‎ ‎（2）面，四边形为矩形，‎ 平面，平面，，‎ 四边形为直角梯形，，，，，‎ ‎，‎ ‎，，‎ ‎，面．‎ ‎（3）面，四边形为矩形，四边形为直角梯形，‎ ‎，，，，‎ 平面，点到平面的距离为，‎ ‎，‎ 三棱锥的体积：‎ ‎．‎ ‎【点睛】本题考查线面平行、线面垂直的证明，考查三棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．‎ ‎22.已知函数.‎ ‎(1)当a=1时，求函数在（2，）处的切线方程:‎ ‎(2)当a=2时，求函数的单调区间和极值;‎ ‎(3)若在上是单调增函数，求实数a的取值范围.‎ ‎【答案】（2）； （2）在上单调递增，f（x ‎）无极值． （3）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）当时，求导函数，则函数在处的切线的斜率即为导数值，根据点斜式方程即可求出切线方程；‎ ‎（2）先求出函数的定义域，把代入到函数中并求出时的值，在定义域内讨论导函数的正负得到函数的单调区间及极值；‎ ‎（3）把代入到中得到的解析式，求出其导函数大于0即函数单调，可设，求出其导函数在上单调递减，求出的最大值，列出不等数求出解集即为的取值范围．‎ ‎【详解】解：（1）当时，函数，‎ 则，‎ 函数在处的切线斜率为，切点为；‎ 函数在处的切线方程为：；‎ 即；‎ ‎（2）函数的定义域为，‎ 当时，，，‎ 则；‎ 在上单调递增，无极值．‎ ‎（3）由，得；‎ 又函数在上单调增函数，‎ 则在上恒成立，‎ 即不等式在上恒成立；‎ 也即在上恒成立，‎ 又在为减函数，‎ 所以（1）．‎ 所以．‎ 故的取值范围为．‎ ‎【点睛】考查学生利用导数研究函数的单调性，利用导数研究函数的极值．以及理解函数恒成立所取的条件．属于中档题．‎