【数学】2020届一轮复习人教B版(理)第九章50曲线与方程作业

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【数学】2020届一轮复习人教B版(理)第九章50曲线与方程作业

第50节 曲线与方程 一、选择题 ‎1.(2018南昌模拟)方程(x2+y2-2x)=0表示的曲线是(  )‎ A.一个圆和一条直线 B.一个圆和一条射线 C.一个圆 D.一条直线 ‎【答案】D ‎【解析】题中的方程等价于①x+y-3=0或② 注意到圆x2+y2-2x=0上的点均位于直线x+y-3=0的左下方区域,即圆x2+y2-2x=0上的点均不满足x+y-3≥0,故②不表示任何图形,因此题中的方程表示的曲线是直线x+y-3=0.‎ ‎2.(2018呼和浩特调研)已知椭圆+=1(a>b>0),M为椭圆上一动点,F1为椭圆的左焦点,则线段MF1的中点P的轨迹是(  )‎ A.圆 B.椭圆 C.双曲线 D.抛物线 ‎【答案】B ‎【解析】设椭圆的右焦点是F2,由椭圆定义可得|MF1|+|MF2|=2a>2c,所以|PF1|+|PO|=(|MF1|+|MF2|)=a>c,所以点P的轨迹是以F1和O为焦点的椭圆.‎ ‎3.(2018银川模拟)设点A为圆(x-1)2+y2=1上的动点,PA是圆的切线,且|PA|=1,则点P的轨迹方程为(  )‎ A.y2=2x B.(x-1)2+y2=4‎ C.y2=-2x D.(x-1)2+y2=2‎ ‎【答案】D ‎【解析】如图,设P(x,y),圆心为M(1,0),连接MA,则MA⊥PA,且|MA|=1.‎ 又∵|PA|=1,∴|PM|==,即|PM|2=2.∴(x-1)2+y2=2.‎ ‎4.(2018津南模拟)平面直角坐标系中,已知两点A(3,1),B(-1,3).若点C满足=λ1+λ2(O为原点),其中λ1,λ2∈R,且λ1+λ2=1,则点C的轨迹是(  )‎ A.直线 B.椭圆 C.圆 D.双曲线 ‎【答案】A ‎【解析】设C(x,y),因为=λ1+λ2,‎ 所以(x,y)=λ1(3,1)+λ2(-1,3),‎ 即解得 又λ1+λ2=1,所以+=1,即x+2y=5.‎ 所以点C的轨迹为直线.故选A.‎ ‎5.(2018河北沧州模拟)有一动圆P恒过定点F(a,0)(a>0)且与y轴相交于点A,B.若△ABP为正三角形,则点P的轨迹为(  )‎ A.直线 B.圆 C.椭圆 D.双曲线 ‎【答案】D ‎【解析】设P(x,y),动圆P的半径为R,‎ ‎∵△ABP为正三角形,‎ ‎∴P到y轴的距离d=R,即|x|=R.‎ 而R=|PF|=,‎ ‎∴|x|=·,‎ 整理得(x+3a)2-3y2=12a2,即-=1,‎ ‎∴点P的轨迹为双曲线.故选D.‎ ‎6.(2018深圳调研)已知点F(0,1),直线l:y=-1,P为平面上的动点,过点P作直线l的垂线,垂足为点Q,且·=·,则动点P的轨迹C的方程为(  )‎ A.x2=4y B.y2=3x C.x2=2y D.y2=4x ‎【答案】A ‎【解析】设点P(x,y),则Q(x,-1).‎ ‎∵·=·,∴(0,y+1)·(-x,2)=(x,y-1)·(x,-2),‎ 即2(y+1)=x2-2(y-1),整理得x2=4y,‎ ‎∴动点P的轨迹C的方程为x2=4y.‎ ‎7.(2018江苏淮安模拟)已知两定点A(-2,0),B(1,0),如果动点P满足|PA|=2|PB|,则动点P的轨迹是(  )‎ A.直线 B.圆 C.椭圆 D.双曲线 ‎【答案】B ‎【解析】设P(x,y),则=2,‎ 整理得x2+y2-4x=0,‎ 又D2+E2-4F=16>0,所以动点P的轨迹是圆.‎ 二、填空题 ‎8.(2018厦门模拟)已知动点P(x,y)与两定点M(-1,0),N(1,0)连线的斜率之积等于常数λ(λ≠0),则动点P的轨迹C的方程为__________.‎ ‎【答案】x2-=1(λ≠0,x≠±1)‎ ‎【解析】由题意知直线PM与PN的斜率存在且均不为零,所以kPM·kPN=·=λ,‎ 整理得x2-=1(λ≠0,x≠±1),‎ 即动点P的轨迹C的方程为x2-=1(λ≠0,x≠±1).‎ ‎9. (2018四川达州一诊)已知圆的方程为x2+y2=4,若抛物线过点A(-1,0),B(1,0)且以圆的切线为准线,则抛物线的焦点的轨迹方程是__________.‎ ‎【答案】+=1(y≠0)‎ ‎【解析】设抛物线焦点为F,过A,B,O作准线的垂线AA1,BB1,OO1,则|AA1|+|BB1|=2|OO1|=4.由抛物线定义,得|AA1|+|BB1|=|FA|+|FB|,∴|FA|+|FB|=4.故点F的轨迹是以A,B为焦点,长轴长为4的椭圆(去掉长轴两端点),所以抛物线的焦点的轨迹方程为+=1(y≠0).‎ ‎10.(2018河南洛阳统考)在△ABC中,A为动点,B,C为定点,B,C(a>0),且满足条件sin C-sin B=sin A,则动点A的轨迹方程是________.‎ ‎【答案】-=1(x>0且y≠0)‎ ‎【解析】由正弦定理得-=×,‎ 即|AB|-|AC|=|BC|,‎ 故动点A是以B,C为焦点,为实轴长的双曲线的右支,‎ 即动点A的轨迹方程为-=1(x>0且y≠0).‎ 三、解答题 ‎11.(2018山西孝义九校联考)在△ABC中,||=4,△ABC的内切圆切BC于点D且||-||=2 ,求顶点A的轨迹方程.‎ ‎【解】以BC的中点为原点,中垂线为y轴建立如图所示的坐标系,E,F分别为两个切点,则|BE|=|BD|,|CD|=|CF|,|AE|=|AF|.‎ ‎∵|AB|-|AC|=2<|BC|=4,‎ ‎∴点A的轨迹是以B,C为焦点的双曲线的右支(y≠0),且a=,c=2.∴b=.‎ ‎∴顶点A的轨迹方程为-=1(x>).‎ ‎12.(2018唐山统考)已知动点P到直线l:x=-1的距离等于它到圆C:x2+y2-4x+1=0的切线长(P到切点的距离),记动点P的轨迹为曲线E.‎ ‎(1)求曲线E的方程;‎ ‎(2)点Q是直线l上的动点,过圆心C作QC的垂线交曲线E于A,B两点,设AB的中点为D,求的取值范围.‎ ‎【解】(1)由已知得圆心为C(2,0),半径r=.‎ 设P(x,y),依题意可得|x+1|=,整理得y2=6x.‎ 故曲线E的方程为y2=6x.‎ ‎(2)设直线AB的方程为my=x-2,‎ 则直线CQ的方程为y=-m(x-2),可得Q(-1,3m).‎ 将my=x-2代入y2=6x并整理可得y2-6my-12=0,‎ 设A(x1,y1),B(x2,y2),‎ 则y1+y2=6m,y1y2=-12,D(3m2+2,3m),|QD|=3m2+3,|AB|=2,‎ 所以2= ‎=∈,‎ 故∈.‎
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