【数学】2021届一轮复习人教版（文理通用）第4章第4讲平面向量的综合应用作业
对应学生用书[练案31理][练案30文]
第四讲 平面向量的综合应用
A组基础巩固
一、选择题
1．设a，b是非零向量，若函数f(x)＝(xa＋b)·(a－xb)的图象是一条直线，则必有( A )
A．a⊥b B．a∥b
C．|a|＝|b| D．|a|≠|b|
[解析] f(x)＝－(a·b)x2＋(a2－b2)x＋a·b.
依题意知f(x)的图象是一条直线，
所以a·b＝0，即a⊥b.故选A．
2．若O为△ABC内一点，||＝||＝||，则O是△ABC的( B )
A．内心 B．外心
C．垂心 D．重心
[解析] 由向量模的定义知O到△ABC的三顶点距离相等，故O是△ABC的外心，故选B．
3．(2019·河北省深州中学期中)已知不共线向量，夹角为α，||＝1，||＝2，＝(1－t)，＝t，(0≤t≤1)，||在t＝t0处取最小值，当0
0)的部分图象如图所示，A，B分别是这部分图象上的最高点、最低点，O为坐标原点，若·＝0，则函数f(x＋1)是( B )
A．周期为4的奇函数
B．周期为4的偶函数
C．周期为2π的奇函数
D．周期为2π的偶函数
[解析] 由题图可得A(，)，B(，－)，
由·＝0得－3＝0，又ω>0，
所以ω＝，所以f(x)＝sin x，
所以f(x＋1)＝sin [(x＋1)]＝cos x，它是周期4的偶函数．故选B．
8．(2020·安徽省黄山市高三第一次质量检测)如图，在△ABC中，∠BAC＝，＝2，P为CD上一点，且满足＝m＋，若△ABC的面积为2，则||的最小值为( B )
A． B．
C．3 D．
[解析] ＝m＋＝m＋，由于P、C、D共线，所以m＝，设AC＝b，AB＝c，S△ABC＝bcsin A＝bc＝2，∴bc＝8，||2＝2＝(＋)2＝(b2＋9×c2＋2×b×2c×)＝(b2＋4c2＋2bc)≥×6bc＝3，∴||≥，故选B．
二、填空题
9．在△ABC中，若·＝·＝2，则边AB的长等于2 .
[解析] 由题意知·＋·＝4，即·(＋)＝4，即·＝4，所以||＝2.
10．已知|a|＝2|b|，|b|≠0，且关于x的方程x2＋|a|x－a·b＝0有两相等实根，则向量a与b的夹角是 .
[解析] 由已知可得Δ＝|a|2＋4a·b＝0，即4|b|2＋4×2|b|2cos θ＝0，所以cos θ＝－，又因为0≤θ≤π，所以θ＝.
11．已知向量m＝(sin ，1)，n＝(cos ，cos2)．若m·n＝1，则cos (－x)＝－ .
[解析] m·n＝sin cos ＋cos2
＝sin ＋＝sin (＋)＋，
因为m·n＝1，所以sin (＋)＝.
因为cos (x＋)＝1－2sin2(＋)＝，
所以cos (－x)＝－cos (x＋)＝－.故填－.
12．(2020·蚌埠模拟)已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点.·的最大值为1 .
[解析] (1)解法一：如图所示，以AB，AD所在的直线分别为x，y轴建立直角坐标系，设E(t,0)，0≤t≤1，则D(0,1)，C(1,1)，＝(t，－1)，＝(1,0)，∴·＝t≤1.
解法二：选取{，}作为基底，设＝t，0≤t≤1，则·＝(t－)·＝t≤1.
解法三：设＝t，
则·＝·＝||·1·cos ∠AED＝||＝|t|||＝|t|≤1.
三、解答题
13．(2019·河南洛阳期中)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知向量m＝(c－2b，a)，n＝(cos A，cos C)，且m⊥n.
(1)求角A的大小；
(2)若a＝，b＋c＝3，求△ABC的面积．
[解析] (1)由m⊥n，得m·n＝0，
即(c－2b)cos A＋acos C＝0.
由正弦定理，得(sin C－2sin B)cos A＋sin Acos C＝0，
所以2sin Bcos A＝sin Acos C＋sin Ccos A，
2sin B·cos A＝sin (A＋C)，
2sin B·cos A＝sin B．
因为0
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