【数学】2020届一轮复习人教A版 柯西不等式与排序不等式 课时作业

【数学】2020届一轮复习人教A版 柯西不等式与排序不等式 课时作业

‎2020届一轮复习人教A版 柯西不等式与排序不等式 课时作业 ‎ 1、已知，且，则的最小值是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2、若a,b,c为正数,且a+b+c=1,则++的最小值为　(　　)‎ A． 9 B． 8 C． 3 D． 3、已知实数满足条件，求的最小值是_________ 4、已知x，y，z∈(0，＋∞)，x＋y＋z＝3.‎ ‎(1)求的最小值；‎ ‎(2)证明：‎ ‎5、已知，均为正实数，且．‎ ‎（1）求的最大值；‎ ‎（2）求的最大值．‎ ‎6、已知都是不为零的实数，求证：＋＋．‎ ‎7、已知正数满足，求的最小值．‎ ‎8、函数，其最小值为.‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）正实数满足，求证：.‎ ‎9、已知关于的不等式的解集为．‎ ‎（1）求实数的取值范围；‎ ‎（2）已知且，当最大时，求的最小值及此时实数的值．‎ ‎10、已知为正数，且满足，求证：‎ ‎．‎ ‎11、已知，.‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）若不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围.‎ ‎12、已知函数，且.‎ 若，求的最小值；‎ 若，求证：.‎ ‎13、已知函数，且的解集为 ‎（Ⅰ）求的值；‎ ‎（Ⅱ）若，，都是正实数，且，求证：.‎ ‎14、已知函数，且的解集为 ‎（Ⅰ）求的值；‎ ‎（Ⅱ）若，，都是正实数，且，求证：.‎ ‎15、若x，y，z为实数，且x+2y+2z=6，求的最小值．‎ ‎16、已知函数且的解集为.‎ ‎(1)求的值；‎ ‎(2)若是正实数,且,求证：.‎ ‎17、已知a、b、c均为正数，函数的最小值为1.‎ ‎（Ⅰ）求的最小值；‎ ‎（Ⅱ）求证：．‎ ‎18、已知函数f（x）=|2x-1|+|x-1|．‎ ‎（Ⅰ）求不等式f（x）≤4的解集；‎ ‎（Ⅱ）设函数f（x）的最小值为m，当a，b，c∈R+，且a+b+c=m时，求++的最大值．‎ ‎19、已知函数，且的解集为．‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）若都是正实数，且，求证：．‎ ‎20、已知函数，且的解集为．‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）若都是正实数，且，求证：．‎ 参考答案 ‎1、答案：B 根据柯西不等式得到不等式关系，进而求解.‎ ‎【详解】‎ 根据柯西不等式得到 进而得到最小值是：‎ 故答案为：B.‎ 名师点评：‎ 这个题目考查了柯西不等式的应用，比较基础.‎ ‎2、答案：A 利用柯西不等式可得最小值．‎ ‎【详解】‎ 因为 当且仅当时等号成立，故所求最小值为，故选A．‎ 名师点评：‎ 一般地，如果，是实数，那么 ‎，进一步地，‎ ‎（1）如果，那么有最小值，当且仅当时取最小值；‎ ‎（1）如果，那么有最大值，当且仅当时取最大值．‎ ‎3、答案：-24‎ 设z=，由柯西不等式 ‎，可求得，z的最小值为。‎ ‎【详解】‎ 设z=,所以，‎ 由柯西不等式，即，‎ 化简得，而，所以，此时 ‎，填-24.‎ 名师点评：‎ 柯西不等式 ‎（1）设，，，为实数，则，当且仅当时等号成立．‎ ‎（2）若，()为实数，则，当且仅当()或存在一个数，使得()时，等号成立．‎ ‎4、答案：（1）3；（2）‎ 试题分析：(1)根据基本不等式：x+y+z≥3﹣﹣﹣﹣﹣①；++≥3﹣﹣﹣﹣﹣②；再两式同向相乘即可．‎ ‎（2）构造柯西不等式：（12+12+12）（x2+y2+z2）=3（x2+y2+z2）≥（x+y+z）2这个条件进行计算即可．‎ ‎【详解】‎ ‎(1)因为x＞0，y＞0，z＞0，根据基本不等式：‎ x+y+z≥3﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣①‎ ‎++≥3﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣②‎ ‎①②两式同向相乘得，‎ ‎（x+y+z）？（++）≥（3）？（3）=9，‎ 所以，++≥=3，‎ 当且仅当：x=y=z=1时，原式取得最小值，‎ 即++的最小值为3.‎ ‎(2)由柯西不等式可得（12+12+12）（x2+y2+z2）≥（x+y+z）2=9，‎ 可得：x2+y2+z2≥3，‎ 即x2+y2+z2的最小值为3.‎ 名师点评：‎ 本题主要考查了基本不等式和柯西不等式在求最值问题中的应用，以及不等式同向相乘的性质，属于基础题． 5、答案：(1)12;(2).‎ 试题分析：（1）利用柯西不等式可得 ‎，结合即可得的最大值；（2）原式，因为 ‎，从而可得结果.‎ 试题（1）‎ ‎，‎ 当且仅当，即时，取等号，‎ 故原式的最大值为12.‎ ‎（2）原式 因为 ‎，‎ 当且仅当，即时，取等号 所以原式，‎ 故原式的最大值为. 6、答案：证明：‎ 试题分析： 7、答案：27‎ 试题分析：由得，待求式可化为，根据柯西不等式即可求解.‎ ‎【详解】‎ 由于，所以 当且仅当，即时，等号成立.‎ 所以的最小值为27.‎ 名师点评：‎ 本题主要考查了柯西不等式，属于中档题. 8、答案：（1）3；（2）‎ 试题分析：（1）由题意，利用绝对值三角不等式求得的最小值，即可求解的值；‎ ‎（2）根据柯西不等式，即可作出证明.‎ 试题 ‎（1），当且仅当取等，所以的最小值 ‎（2）根据柯西不等式，‎ ‎. 9、答案：（1）,（2）．‎ 试题分析：(1)先利用绝对值三角不等式得到，再解不等式即得m的取值范围.(2)由柯西不等式得，即得的最小值及此时实数的值．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）因为，‎ 当或时取等号，令，两边同时平方可得，‎ 即，解得，所以实数的取值范围为．‎ ‎（2）由（1）知，‎ 由柯西不等式，可得，‎ 所以，当且仅当且时等号成立，‎ 易得时，取得最小值为．‎ 名师点评：‎ ‎（1）本题主要考查绝对值三角不等式和柯西不等式，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)一般形式的柯西不等式：设n为大于1的自然数，为任意实数，则：‎ ‎，,其中等号当且仅当时成立. 10、答案：见解析 试题分析：利用柯西不等式，即可，即可作出证明.‎ ‎【详解】‎ 由柯西不等式，可得 ‎．‎ 名师点评：‎ 本题主要考查了柯西不等式的证明方法，其中解答中熟记柯西不等式，合理证明是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，属于基础题. 11、答案：（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）．‎ 试题分析：‎ ‎(1)由题意结合柯西不等式的结论即可证得题中的结论；‎ ‎(2)结合(1)的结论可得绝对值不等式，零点分段求解绝对值不等式可得实数的取值范围为.‎ 试题 ‎(Ⅰ)证明:由柯西不等式得,‎ ‎,的取值范围是.‎ ‎(Ⅱ)由柯西不等式得.‎ 若不等式对一切实数恒成立,‎ 则,其解集为,‎ 即实数的取值范围为. 12、答案：见解析 试题分析：由柯西不等式将中的变为，‎ 求得的最小值.‎ 因为，又，故再结合绝对值三角不等式证得结论成立.‎ ‎【详解】‎ 由柯西不等式得，（当且仅当时取等号），所以，即的最小值为；‎ 因为，所以 ‎，故结论成立.‎ 名师点评：‎ 本题考查了利用柯西不等式求最值，考查了利用绝对值三角不等式证明的问题，属于中等题. 13、答案：(Ⅰ)(Ⅱ)见解析 试题分析：（I）考查绝对值不等式的解法（II）采用配“1”法应用基本不等式证明或者采用柯西不等式证明.‎ 试题 ‎（I）依题意,即,‎ ‎∴‎ ‎（II）方法1:∵‎ ‎∴‎ 当且仅当,即时取等号 方法2:∵‎ ‎∴由柯西不等式得 整理得 当且仅当,即时取等号. 14、答案：(Ⅰ)(Ⅱ)见解析 试题分析：（I）考查绝对值不等式的解法（II）采用配“1”法应用基本不等式证明或者采用柯西不等式证明.‎ 试题 ‎（I）依题意,即,‎ ‎∴‎ ‎（II）方法1:∵‎ ‎∴‎ 当且仅当,即时取等号 方法2:∵‎ ‎∴由柯西不等式得 整理得 当且仅当,即时取等号. 15、答案：4.‎ 试题分析：根据柯西不等式可得结果.‎ 详解：证明：由柯西不等式，得．‎ 因为，所以，‎ 当且仅当时，不等式取等号，此时，‎ 所以的最小值为4.‎ 名师点评：本题考查柯西不等式等基础知识，考查推理论证能力.柯西不等式的一般形式：设a1，a2，…，an，b1，b2，…，bn为实数，则(a＋a＋＋a)(b＋b＋＋b)≥(a1b1＋a2b2＋＋anbn)2，当且仅当bi＝0或存在一个数k，使ai＝kbi(i＝1，2，…，n)时，等号成立． 16、答案：（1）（2）详见解析 试题分析：（1）由题意可得|x|≤k的解集为[-1，1]，（k＞0），由绝对值不等式的解法，即可求得k=1；‎ ‎（2）将k=1代入，再由乘1法，可得a+2b+3c=（a+2b+3c），展开运用基本不等式即可得证 试题（1）因为，所以等价于 由有解，得，且其解集为 又的解集为，故 ‎（2）由（Ⅰ）知，又是正实数，‎ 由均值不等式得：‎ 当且仅当时取等号。‎ 也即 考点：绝对值不等式的解法；二维形式的柯西不等式 17、答案：（Ⅰ）的最小值为；（Ⅱ）见解析．‎ 试题分析：(1)根据绝对值三角不等式得a、b、c，再根据柯西不等式求最小值，(2)根据均值不等式放缩即得结论.‎ ‎【详解】‎ ‎(1)‎ ‎=1‎ 因此，即的最小值为；‎ ‎（2）,‎ 所以，‎ 因此 名师点评：‎ 本题考查绝对值三角不等式、柯西不等式以及均值不等式，考查综合分析求解论证能力，属难题. 18、答案：（Ⅰ）；（Ⅱ）‎ 试题分析：（Ⅰ）通过和两个点进行分段，分别在三段范围内进行讨论，得到解析式后建立不等关系，求解得到范围；（Ⅱ）由（Ⅰ）可知：；法一：设，利用，可得，从而推得，求得最大值；‎ 法二：构造出，利用可得，从而求得最大值；‎ 法三：构造出柯西不等式的形式，从而得到，从而求得最大值.‎ ‎【详解】‎ ‎（Ⅰ）①当时，‎ ‎②当时，‎ ‎③当时，‎ 综上：的解集为 ‎（Ⅱ）法一：由（Ⅰ）可知 即 又且 则，设 同理：，‎ ‎，即 当且仅当时取得最大值 法二：由（Ⅰ）可知 即 又且 当且仅当时取得最大值 法三：由（Ⅰ）可知 即 由柯西不等式可知：‎ 即：‎ 当且仅当即时，取得最大值 名师点评：‎ 本题考查绝对值不等式的解法、利用基本不等式、柯西不等式求最值问题.解决不等式部分最值问题的关键是配凑出符合基本不等式或柯西不等式的形式，从而求得结果. 19、答案：（I）m=1;（II）见解析.‎ 试题分析：（I）考查绝对值不等式的解法（II）采用配“1”法应用基本不等式证明或者采用柯西不等式证明.‎ 试题 ‎（I）依题意,即,‎ ‎∴‎ ‎（II）方法1:∵‎ ‎∴‎ 当且仅当,即时取等号 方法2:∵‎ ‎∴由柯西不等式得 整理得 当且仅当,即时取等号. 20、答案：（I）m=1;（II）见解析.‎ 试题分析：（I）考查绝对值不等式的解法（II）采用配“1”法应用基本不等式证明或者采用柯西不等式证明.‎ 试题 ‎（I）依题意,即,‎ ‎∴‎ ‎（II）方法1:∵‎ ‎∴‎ 当且仅当,即时取等号 方法2:∵‎ ‎∴由柯西不等式得 整理得 当且仅当,即时取等号. ‎