极点与极线背景下的高考试题

极点与极线背景下的高考试题

极点与极线背景下的高考试题 王文彬 ‎(江西省抚州市第一中学 344000)‎ 极点与极线是高等几何中的重要概念，当然不是《高中数学课程标准》规定的学习内容，也不属于高考考查的范围，但由于极点与极线是圆锥曲线的一种基本特征，因此在高考试题中必然会有所反映，自然也会成为高考试题的命题背景.‎ 作为一名中学数学教师，应当了解极点与极线的概念，掌握有关极点与极线的基本性质，只有这样，才能“识破”试题中蕴含的有关极点与极线的知识背景，进而把握命题规律.‎ P E F G H M A N B 图1‎ ‎1.从几何角度看极点与极线 定义1 如图1，设是不在圆锥曲线上的一点，过点引 两条割线依次交圆锥曲线于四点，连接 交于，连接交于，则直线为点对应的极线.‎ 若为圆锥曲线上的点，则过点的切线即为极线.‎ 由图1同理可知， 为点对应的极线，为点所 对应的极线.因而将称为自极三点形.设直线交圆锥曲线 于点两点，则恰为圆锥曲线的两条切线.‎ 定理1 (1)当在圆锥曲线上时，则点的极线是曲线 在点处的切线；‎ ‎(2)当在外时，过点作的两条切线，设其切点分别为，则点的极线是直线(即切点弦所在的直线)；‎ ‎(3) 当在内时，过点任作一割线交于，设在处的切线交于点，则点的极线是动点的轨迹.‎ P Q A 图2‎ B l 定理2 如图2，设点关于圆锥曲线的极线为，过点任作一割线交于，交于，则 ①；反之，若有①成立，则称点调和分割线段，或称点与关于调和共轭，或称点(或点)关于圆锥曲线 的调和共轭点为点(或点).点关于圆锥曲线的调 和共轭点是一条直线，这条直线就是点的极线.‎ 推论1 如图2，设点关于圆锥曲线的调和共轭 点为点，则有 ②；反之，若有②成立，‎ 则点与关于调和共轭.‎ 可以证明①与②是等价的.事实上，由①有 ‎.‎ 特别地，我们还有 推论2 如图3，设点关于有心圆锥曲线(设其中心为)的调和共轭点为点，连线经过圆锥曲线的中心，则有 ，反之若有此式成立，则点与关于调和共轭.‎ 证明：设直线与的另一交点为，则 P Q R 图3‎ R O ‎，化简 即可得.反之由此式可推出 ‎，即点与关于调和共轭.‎ 推论3 如图4，圆锥曲线的一条 对称轴上的两点(不在上)，若关于调 和共轭，过任作的一条割线，交于 P l A 图4‎ R B Q R 两点，则.‎ 证明：因关于直线对称，故在上存在 的对称点.若与重合，则与 也重合，此时关于对称，有；‎ 若与不重合，则与也不重合，由于 关于调和共轭，故为上完全四点形 的对边交点，即在上，故关于直线 对称，也有.‎ 定理3 (配极原则)点关于圆锥曲线 的极线经过点点关于的极线经过点；直线关于的极点在直线上直线关于的极点在直线上.‎ 由此可知，共线点的极线必共点；共点线的极点必共线.‎ 以上未加证明的定理，可参阅有关高等几何教材，如【1】，其中定理1的初等证法可参阅文【2】.‎ ‎2.从代数角度看极点与极线 定义2 已知圆锥曲线，则称点和直线是圆锥曲线的一对极点和极线.‎ 事实上，在圆锥曲线方程中，以替换，以替换，以替换 ，以替换即可得到点的极线方程.‎ 特别地：‎ ‎(1)对于椭圆，与点对应的极线方程为；‎ ‎(2)对于双曲线，与点对应的极线方程为；‎ ‎(3)对于抛物线，与点对应的极线方程为.‎ ‎(4)如果圆锥曲线是椭圆，当为其焦点时，极线恰为椭圆的准线；如果圆锥曲线是双曲线，当为其焦点时，极线恰为双曲线的准线；如果圆锥曲线是抛物线，当为其焦点 时，极线恰为抛物线的准线. ‎ ‎3.从极点与极线角度看圆锥曲线试题 ‎【例1】(2010江苏卷文理18)在平面直角坐标系中，如图，已知椭圆的左右顶点为，右焦点为．设过点的直线与此椭圆分别交于点，其中，．‎ ‎ (1)设动点P满足，求点的轨迹；‎ ‎ (2)设，求点的坐标；‎ ‎ (3)设，求证：直线必过轴上的一定点（其坐标与无关）．‎ x O B A 图5‎ K M N ‎ 分析与解：前面两问比较简单，这里从略.‎ ‎ 对于(3)，当时，点坐标为，‎ 连，设直线与的交点为，根据 极点与极线的定义可知，点对应的极线经过，‎ 又点对应的极线方程为，即 ‎，此直线恒过轴上的定点，‎ 从而直线也恒过定点.‎ ‎ 【例2】 (2008安徽卷理22)设椭圆过点，且左焦点为.‎ ‎(1)求椭圆的方程；‎ B Q x y O P A ‎.‎ 图6‎ ‎(2)当过点的动直线与椭圆交于两个不同的点时，在线段上取点，满足，证明点总在某定直线上.‎ 分析与解：(1)易求得答案.‎ ‎(2)由条件可有，说明点关于 圆锥曲线调和共轭.根据定理2，点的轨迹就是点 对应的极线，即，化简得.‎ ‎ 故点总在定直线上.‎ ‎【例3】( 1995全国卷理26)已知椭圆，直线，是上一点，射线交椭圆于点，又点在上且满足，当点在上移动时，求点的轨迹方程.,并说明轨迹是什么曲线.‎ 分析与解：由条件知可知点关于圆锥曲线调和共轭，而点可看作是点的极线与直线的交点.‎ ‎ 设，则与对应的极线方程为 R Q x y O P ‎.‎ 图7‎ ‎，化简得 ‎ ③‎ 又直线的方程为，化简得 ‎ ④‎ 解由③④联立方程组得 A B P O x y 图8‎ F ‎，消去得，可化为(不同时为)，故点的轨迹是以为中心，长短轴分别为和，且长轴平行于轴的椭圆，但需去掉坐标原点.‎ ‎【例4】(2006年全国卷II理21)已知抛物线 的焦点为，是抛物线上的两动点，且 ‎，过两点分别作抛物线的切线，并设其交点 为.‎ ‎(1)证明为定值；‎ ‎(2)设的面积为，写出的表达式，‎ 并求的最小值.‎ 分析与解：(1)显然，点的极线为，故可设点 ‎，再设，三点对应的极线方程分别为，，，由于三点共线，故相应的三极线共点于，将代入后面两个极线方程得，两式相减得.‎ 又，故.‎ A B P O x y 图9‎ F l ‎(2)设的方程为，与抛物线的极线方程对比可知直线对应的极点为，把代入并由弦长公式得，所以.‎ 显然，当时，取最小值.‎ ‎【例5】(2005江西卷理22)设抛物线 的焦点为，动点在直线上运动，‎ 过作抛物线的两条切线，且与抛物线分别 相切于两点.‎ ‎(1)求的重心的轨迹方程；‎ ‎(2)证明.‎ 分析与解：(1)设点，‎ 与对比可知直线对应的极点为，为直线上的动点，则点对应的极线必恒过点.‎ 设，可化为，故直线对应的极点为，将直线的方程代入抛物线方程得，由此得，的重心的轨迹方程为 ‎，消去即得 ‎.‎ ‎(2)设，由(1)知，又，由(1)知，即，所以，，.‎ ‎.同理.‎ 所以有.‎ 参考文献 【1】 周兴和.高等几何.科学出版社，2003.9‎ 【2】 李凤华.圆锥曲线的极点与极线及其应用.数学通讯［J］，2012(4)下半月