- 2021-05-19 发布 |
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文档介绍
高考数学命题角度6_3利用导数研究函数的零点、方程的根大题狂练理
命题角度 3:利用导数研究函数的零点、方程的根 1.已知函数 11 lnxf x a e x a a ( 0a 且 1a ), e 为自然对数的底数. (Ⅰ)当 a e 时,求函数 y f x 在区间 0,2x 上的最大值; (Ⅱ)若函数 f x 只有一个零点,求 a 的值. 【答案】(Ⅰ) 2 max 12 3f x f e e e ;(Ⅱ) 1a e . 【解析】试题分析: (1)由导函数的解析式可得 2 max 1max 0 , 2 3f x f f e e e . (2)由 ' 0f x ,得 logax e ,分类讨论 1a 和 0 1a 两种情况可得 1a e . (Ⅱ) 11 lnxf x a e x a a , ' ln ln lnx xf x a a e a a a e , 令 ' 0f x ,得 logax e ,则 ①当 1a 时, ln 0a , x ,logae logae log ,ae 'f x 0 f x 极小值 所以当 logax e 时, f x 有最小值 min 1log lnaf x f e e a a , 因 为 函 数 f x 只 有 一 个 零 点 , 且 当 x 和 x 时 , 都 有 f x , 则 min 1ln 0f x e a a ,即 1ln 0e a a , 因为当 1a 时, ln 0a ,所以此方程无解. ②当 0 1a 时, ln 0a , x ,logae logae log ,ae 'f x 0 f x 极小值 所以当 logax e 时, f x 有最小值 min 1log lnaf x f e e a a , 因为函数 f x 只有一个零点,且当 x 和 x 时,都有 f x , 所以 min 1ln 0f x e a a ,即 1ln 0e a a ( 0 1a )(*) 设 1ln (0 1)g a e a aa ,则 2 2 1 1' e aeg a a a a , 令 ' 0g a ,得 1a e , 当 10 a e 时, ' 0g a ;当 1a e 时, ' 0g a ; 所以当 1a e 时, min 1 1ln 0g a g e ee e ,所以方程(*)有且只有一解 1a e . 综上, 1a e 时函数 f x 只有一个零点. 点睛:导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具,而函数是高中数学中重要的知 识点,所以在历届高考中,对导数的应用的考查都非常突出 ,本专题在高考中的命题方向及 命题角度 从高考来看,对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行: (1)考查导数的几 何意义,往往与解析几何、微积分相联系. (2)利用导数求函数的单调区间,判断单调性; 已知单调性,求参数. (3)利用导数求函数的最值(极值),解决生活中的优化问题. (4)考 查数形结合思想的应用. 2.设函数 21 ln2f x x m x , 2 1g x x m x . (Ⅰ)求函数 f x 的单调区间; (Ⅱ)当 0m 时,讨论函数 f x 与 g x 图像的交点个数. 【答案】(Ⅰ)见解析;(Ⅱ)见解析. 【解析】试题分析:(1)先求出函数的导数,解关于导函数的不等式,从而求出函数的单调 区间; (2)问题转化为求函数 21 1 ln , 02F x f x g x x m x m x x ,的零点个数 问题,通过求导,得到函数 F(x)的单调区间,求出 F(x)的极小值,从而求出函数 h(x) 的零点个数即 f(x)和 g(x)的交点个数. (Ⅱ) 解:令 21 1 ln , 02F x f x g x x m x m x x ,问题等价于求函数 F x 的零点个数, 当 0m 时 , 21 , 02F x x x x , 有 唯 一 零 点 ; 当 0m 时 , 1x x mF x x , 当 1m 时, 0F x ,函数 F x 为减函数,注意到 31 02F , 4 ln4 0F , 所以 F x 有唯一零点; 当 1m 时, 0 1x 或 x m 时 0F x , 1 x m 时 0F x , 所以函数 F x 在 0,1 和 ,m 单调递减,在 1,m 单调递增,注意到 11 02F m , 2 2 ln 2 2 0F m m m ,所以 F x 有唯一零点; 当 0 1m 时, 0 x m 或 1x 时 0F x , 1m x 时 0F x , 所以函数 F x 在 0,m 和 1, 单调递减,在 ,1m 单调递增,意到 ln 0m , 所以 2 2ln 02 mF m m m ,而 2 2 ln 2 2 0F m m m , 所以 F x 有唯一零点. 综上,函数 F x 有唯一零点,即两函数图象总有一个交点. 3.已知函数 21ln 2f x x ax ( a R ). (1)若 f x 在点 2, 2f 处的切线与直线 2 2 0x y 垂直,求实数 a 的值; (2)求函数 f x 的单调区间; (3)讨论函数 f x 在区间 21,e 上零点的个数. 【答案】(1) 0a (2)见解析(3)见解析 【解析】试题分析:由 1f x axx 21 ax x ,直线 2 2 0x y 的斜率为 2 , 所以 1 42 12 a 得出 a 值,(2)确定函数的单调区间 1f x axx 21 ax x 大于 零或小于零解不等式即可注意当当 0a , 0a 时(3)由(2)可知, 当 0a 时, f x 在 21,e 上单调递增,而 11 02f a ,故 f x 在 21,e 上没有零 点; 当 0a 时, f x 在 21,e 上单调递增,而 11 02f a ,故 f x 在 21,e 上有一个 零点;只需讨论当 0a 时结合草图根据零点所在的区间逐一讨论即可 试题解析: (1)由题可知 f x 的定义域为 0, , 因为 21ln 2f x x ax ,所以 1f x axx 21 ax x 又因为直线 2 2 0x y 的斜率为 2 , 1 42 12 a ,解得 0a (2)由(1)知: 1f x axx 21 ax x , 当 0a 时, 0f x ,所以 f x 在 0, 上单调递增; 当 0a 时,由 0f x 得 1x a ,由 0f x 得 1x a ,所以 f x 在 10, a 上单 调递增,在 1 ,a 上单调递减. 综上所述:当 0a 时, f x 在 0, 上单调递增;当 0a 时, f x 在 10, a 上单 调递增,在 1 ,a 上单调递减. ②若 211 ea ,即 4 1 1ae 时, f x 在 11, a 上单调递增,在 21 ,ea 上单调递减, 而 11 02f a , 1 1 1ln2 2f aa , 2 412 2f e ae , 若 1 1 ln2f aa 1 02 ,即 1a e 时, f x 在 21,e 上没有零点; 若 1 1 ln2f aa 1 02 ,即 1a e 时, f x 在 21,e 上有一个零点; 若 1 1 ln2f aa 1 02 ,即 1a e 时,由 2 412 02f e ae 得 4 4a e ,此时, f x 在 21,e 上有一个零点; 由 2 412 02f e ae 得 4 4a e ,此时, f x 在 21,e 上有两个零点; ③若 21 ea ,即 4 10 a e 时, f x 在 21,e 上单调递增, 11 02f a , 2 412 02f e ae , f x 在 21,e 上有一个零点. 综上所述:当 4 40 a e 或 1a e 时, f x 在 21,e 上有一个零点;当 0a 或 1a e 时, f x 在 21,e 上没有零点;当 4 4 1ae e 时, f x 在 21,e 上有两个零点. 4.已知函数 2 12 x mf x e x mx . (1)当 1m 时,求证:对 0,x 时, 0f x ; (2)当 1m 时,讨论函数 f x 零点的个数. 【答案】(1)见解析;(2)见解析. 【解析】试题分析:(1)函数求导 ' 1xf x e x ,再求导得 ' 0f x 恒成立,又因为 0 0 0f f x 恒成立; (2)由(1)可知,当 x≤0 时,f″(x)≤0,可得 对∀x∈R,f′(x)≥0,即 ex≥x+1,分类 讨论当 x≥-1 时,当 x<-1 时,函数 y=f(x)的零点个数即可得解; 当 x<-1 时,再分 0≤m≤1 和 m<0 两种情况进行讨论,由函数零点定理进行判断即可得到答 案. 试题解析:,所以 (1)当 1m 时, 2 12 x xf x e x ,则 ' 1xf x e x ,令 1xg x e x ,则 ' 1xg x e ,当 0x 时, 1 0xe ,即 ' 0g x ,所以函数 ' 1xf x e x 在 0, 上为增函数,即当 0x 时, ' ' 0f x f ,所以当 0x 时, ' 0f x 恒成立,所以函 数 2 12 x xf x e x 在 0, 上为增函数,又因为 0 0f ,所以当 1m 时,对 0, , 0x f x 恒成立. (2)由(1)知,当 0x 时, 1 0xe ,所以 ' 0g x ,所以函数 ' 1xf x e x 的减 区 间 为 ,0 , 增 函 数 为 0, . 所 以 min' ' 0 0f x f , 所 以 对 x R , ' 0f x ,即 1xe x . ①当 1x 时, 1 0x ,又 1, 1 1m m x x , 1 1 0x xe m x e x , 即 ' 0f x ,所以当 1x 时,函数 f x 为增函数,又 0 0f ,所以当 0x 时, 0f x ,当 1 0x 时, 0f x ,所以函数 f x 在区间 1, 上有且仅有一个 零点,且为0 . ② 当 1x 时 ,( ⅰ ) 当 0 1m 时 , 1 0, 0xm x e , 所 以 ' 1 0xf x e m x ,所以函数 f x 在 , 1 上递增,所以 1f x f ,且 1 1 11 1, 1 02 2 2 m m mf e e , 故 0 1m 时 , 函 数 y f x 在 区 间 , 1 上无零点. (ⅱ)当 0m 时, ' xf x e mx m ,令 xh x e mx m ,则 ' 0xh x e m , 所以函数 ' xf x e mx m 在 , 1 上单调递增, 1' 1 0f e ,当 1 1ex m 时, 1 1 1 1' 1 1 1 0e e ef x m m em m m ,又曲线 'f x 在区间 1 1, 1e m 上 不 间 断 , 所 以 1 * 1, 1ex m , 使 *' 0f x , 故 当 *, 1x x 时 , * 10 ' ' ' 1f x f x f e ,当 *,x x 时, *' ' 0f x f x ,所以函数 2 12 x mf x e x mx 的 减 区 间 为 *, x , 增 区 间 为 *, 1x , 又 11 1 02 mf e , 所 以 对 * 1 , 0x x f x , 又 当 21 1x m 时 , 2 1 0, 02 m x mx f x , 又 * 0f x , 曲线 2 12 x mf x e x mx 在 区间 *21 , xm 上不间断.所以 * 0 ,x x ,且唯一实数 0x ,使得 0 0f x ,综上,当 0 1m 时,函数 y f x 有且仅有一个零点;当 0m 时,函数 y f x 有个两零点. 点睛:已知函数有零点求参数常用的方法和思路: (1)直接法:直接根据题设条件构建关于参数的不等式,再通过解不等式确定参数范围; (2)分离参数法:先将参数分离,转化成函数的值域问题解决; (3)数形结合法:先对解析式变形,在同一个平面直角坐标系中,画出函数的图像,然后数 形结合求解. 5.已知函数 . (1)若在 处, 和 图象的切线平行,求 的值; (2)设函数 ,讨论函数 零点的个数. 【答案】(1) (2)见解析 试题解析:(1) , 由 ,得 ,所以 ,即 (2)(1)当 时, 在 单增, ,故 时, 没有零点. (2)当 时,显然 有唯一的零点 (3)当 时,设 , 令 有 ,故 在 上单调递增,在 上单调递减, 所以, ,即 在 上单调 递减,在 上单调递增, (当且仅当 等号成立) 有两个根(当 时只有一个根 ) 在 单增,令 为 减函数, 故 只有一个根. 时 有 个零点; 时 有 个零点; 时 有 个零点; 时 有 个零点; 时, 有 个零点. 6.已知函数 . (Ⅰ)求函数 在 上的最小值; (Ⅱ)对一切 恒成立,求实数 的取值范围; (Ⅲ)探讨函数 是否存在零点?若存在,求出函数 的零点,若不存在, 请说明理由. 【答案】(Ⅰ) ; (Ⅱ) ; (Ⅲ)函数 无零点. 【解析】试题分析:(1)求导 ,由导数确定函数的单调性,从而求得最小值; (2)将原问题转化为 ,再记 ,从而转化为函数的最 值问题; (3)原问题可转化为 )是否有解,只需不等号左边的最小值与右边函数的 最大值进行比较即可。 试题解析: (Ⅰ) , 由 得 ,由 得 , ∴函数 在 上单调递减,在 上单调递增. 当 时, , ∴ . 当 时, 在上 单调递增, , ∴ (Ⅲ)令 ,得 ,即 , 由(Ⅰ)知当且仅当 时, 的最小值是 , 设 ,则 , 易知 在(0,1)上单调递增,在 上单调递减, ∴当且仅当 时, 取最大值,且 , ∴对 都有, ,即 恒成立. ∴函数 无零点. 点睛:函数的零点问题常用的方法和思路: 直接法:直接根据题设条件构建关于参数的不等式,再通过解不等式确定参数范围; 分离参数法:先将参数分离,转化成函数的值域问题解决; 数形结合法:先对解析式变形,在同一个平面直角坐标系中,画出函数的图像,然后数形结 合求解. 7.已知 2e 4 x xf x ,其中 e 为自然对数的底数. (Ⅰ)设 1g x x f x (其中 f x 为 f x 的导函数),判断 g x 在 1 , 上 的单调性; (Ⅱ)若 ln 1 4F x x af x 无零点,试确定正数 a 的取值范围. 【答案】(Ⅰ)单调递增;(Ⅱ) 4a , . 【解析】试题分析: (1) 'g x 在定义域内恒正,则 g x 在 1 , 上单调递增. (2)结合(1)的结论分类讨论: ①当 0 4a 时,不符合题意; ②当 4a 时,不符合题意; ③当 4a 时, F x 没有零点. 综上所述,正数 a 的取值范围是 4a , . 试题解析: (Ⅰ)因为 x 2 xf x e 4 ,则 x 21 1f x e2 4 , x 21g x x 1 f x x 1 2e 14 , 所以 x x 1 2 2 21 1 1g x e x 3 1 2e 1 2e 1 04 4 4 ,所以 g x 在 1 , 上 单调递增. (Ⅱ)由 F x ln x 1 af x 4 知 1 a 1F x af x g xx 1 x 1 a , 由(Ⅰ)知 g x 在 1 , 上单调递增,且 g 1 0 ,可知当 x 1 , 时, g x 0 , , 则 a 1F x g xx 1 a 有唯一零点,设此零点为 x t . 易知 x 1 t , 时, F x 0 , F x 单调递增; x t , 时, F x 0 , F x 单调递减, 故 maxF x F t ln t 1 af t 4 ,其中 1a g t . 令 f xG x ln x 1 4g x ,则 2 2 f x g x f x g x f x g x1G x x 1 g x g x , 易知 f x 0 在 1 , 上恒成立,所以 G x 0 , G x 在 1 , 上单调递增, 且 G 0 0 . ①当 0 a 4 时, 1 1g t g 0a 4 ,由 g x 在 1 , 上单调递增知 t 0 , 则 maxF x F t G t G 0 0 , 由 F x 在 1 t , 上 单 调 递 增 , 4 4F e 1 af(e 1) 0 ,所以 4F t F e 1 0 ,故 F x 在 1 t , 上有零点,不符 合题意; 8.已知函数 lnf x b x , 2g x ax x a R . (1)若曲线 f x 与 g x 在公共点 1,0A 处有相同的切线,求实数 ,a b 的值; (2)当 1b 时,若曲线 f x 与 g x 在公共点 P 处有相同的切线,求证:点 P 唯一; (3)若 0a , 1b ,且曲线 f x 与 g x 总存在公切线,求:正实数 a 的最小值. 【答案】(1) 1{ 1 a b ;(2)证明见解析;(3)1. 【 解 析】 试 题 分析 :( 1 ) 曲 线 f x 与 g x 在 公 共点 1,0A 处 有 相同 的 切 线 , 1 0 { 1 0 ' 1 ' 1 f g f g ,解出即可;(2)设 0 0,P x y ,由题设得 0 0 0 0, 'f x g x f x g x , 转化为关于 0x 的方程只有一解,进而构造函数转化为函数只有一个零点,利用导数即可证明; (3)设曲线 f x 在点 ,lnt t 处的切线方程为 1lny t x tt ,则只需使该切线与 g x 相 切即可,也即方程组 2 1 { y lnt x tt y ax x ,只有一解即可,所以消去 y 后 0 ,问题转化关 于t 方程总有解,分情况借助导数进行讨论即可求得 a 值. 试题解析:(1) , .∵曲线 与 在公共点 处有相同 的切线∴ , 解得, . (2)设 ,则由题设有 … ①又在点 有共同的切线 ∴ 代入①得 设 ,则 , ∴ 在 上单调递增,所以 =0 最多只有1个实根, 从而,结合(Ⅰ)可知,满足题设的点 只能是 (3)当 , 时, , , 曲线 在点 处的切线方程为 ,即 . 由 ,得 . ∵ 曲线 与 总存在公切线,∴ 关于 的方程 , 即 总有解. 若 ,则 ,而 ,显然 不成立,所以 . 从而,方程 可化为 . 令 ,则 . ∴ 当 时, ;当 时, ,即 在 上单调递减,在 上单调递增.∴ 在 的最小值为 , 所以,要使方程 有解,只须 ,即 . 【方法点睛】本题主要考查导数的几何意义、利用导数研究函数的单调性,属于难题. 应用 导数的几何意义求切点处切线的斜率,主要体现在以下几个方面:(1) 已知切点 0 0,A x f x 求斜率 k ,即求该点处的导数 0k f x ;(2) 己知斜率 k 求切点 1 1, ,A x f x 即解方程 1f x k ; (3) 巳 知 切 线 过 某 点 1 1,M x f x ( 不 是 切 点 ) 求 切 点 , 设 出 切 点 0 0, ,A x f x 利用 1 0 0 1 0 f x f xk f xx x 求解. 9.已知函数 f x 满足:① 2 2 ,f x f x x R ;② ln , 0,2f x x ax x ;③ f x 在 4, 2 内能取到最大值 4 . (1)求实数 a 的值; (2)设函数 21 3g x bx bx ,若对 1 21,2 , 1,2x x ,使得 1 2f x g x ,求实 数b 的取值范围. 【答案】(1) 1a ;(2) 3 3, ln2 3 3 ln2,2 2 . 【解析】试题分析:(1)求出 f x 的表达式,得到 f x 的导数,得到 4 4 04 ax 在 4, 2 内必有解,求出 f x 的最大值,从而求出 a 的值即可;(2)设出 f x 和 g x 的 值域,求出 f x 的值域,通过讨论b 的范围,求出 g x 的值域,根据集合的包含关系,解 关于b 的不等式,求出b 的范围即可. 试 题 解 析 :( 1 ) 当 4, 2x 时 , 有 4 0,2x , 由 条 件 ② 得 4 ln 4 4f x x a x , 再 由 条 件 ① 得 2 2 4 4 4ln 4 4 4f x f x f x x a x . 故 4' 44f x ax , 4, 2x . 由条件③得 f x 在在 4, 2 内有最大值,方程 ' 0f x ,即 4 4 04 ax 在 4, 2 内 必 有 解 , 故 0a , 且 解 为 1 4x a . 又 最 大 值 为 4 , 所 以 max 1 1 14 4ln 4 4f x f aa a a ,即 1ln 0a ,所以 1a . 若 0b , 则 当 1,2x 时 , ' 0g x , g x 为 减 函 数 , 所 以 2 22 , 1 ,3 3B g g b b . 由 A B ,得 2 2ln2 2, 13 3b b ,故必有 3 ln2 32b . 若 0b , 则 当 1,2x 时 , ' 0g x , g x 为 增 函 数 , 所 以 2 21 , 2 ,3 3B g g b b . 由 A B , 得 2 2ln2 2, 13 3b b , 故 必 有 33 ln22b . 若 0b ,则 0B ,此时 A B 不成立. 综上可知, b 的取值范围是 3 3, ln2 3 3 ln2,2 2 . 10.已知函数 2 14f x x ax , g x f x b ,其中 a , b 为常数. (1)若 1x 是函数 y xf x 的一个极值点,求曲线 y f x 在点 1, 1f 处的切线方程; (2)若函数 f x 有 2 个零点, f g x 有 6 个零点,求 a b 的取值范围. 【答案】(1) 7 14y x (2) 2a b 【解析】试题分析:结合极值点导数为零及导数的几何意义求出切线方程;函数零点问题是 导数的一个应用方面 ,首先搞清函数 y f x g x 零点个数的三种判断方法,其一: y f x g x 的图象与 x 轴交点的横坐标 ;其二:方程 f x g x 的根;其三:函 数 y f x 与 y g x 的图象的交点的横坐标 ;本题根据函数 f x 存在 2 个零点,转 化为方程 2 14a x x 有 2 个不同的实根,解出 3a ,再根据 f g x 有 6 个零点,求出 a b 范围. ∵ 11 32h h ,∴令 0f g x ,得 1 2g x 或 1g x ,即 1 2f x b 或 1f x b , 而 f g x 有 6 个零点,故方程 1 2f x b 与 1f x b 都有三个不同的解, ∴ 1 02 b 且 1 0b ,∴ 1b ,∴ 2a b . 【点睛】函数 y f x g x 零点个数的三种判断方法,其一: y f x g x 的图象 与 x 轴交点的横坐标 ;其二:方程 f x g x 的根;其三:函数 y f x 与 y g x 的图象的交点的横坐标 ;涉及 y f g x 零点问题,一般设 t g x ,则 y f t , 先考虑 f t 的零点,找出对应的t 值(或范围),再根据 g x t 找出对应的 x 值(或个 数),需要借助函数图象数形结合去完成.查看更多