九年级数学上册第一章特殊平行四边形3正方形的性质与判定第2课时正方形的判定教学课件新版北师大版

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1.3 正方形的性质与判定 第一章 特殊平行四边形 第 2 课时 正方形的判定 导入新课 讲授新课 当堂练习 课堂小结 1 ．掌握正方形的判定方法．（重点） 2 ． 会运用正方形的判定条件进行有关的论证和计算 . ( 难点 ) 学习目标 问题 1 ： 什么是正方形？正方形有哪些性质？ A B C D 正方形：有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形 . 正方形性质： ① 四个角都是直角 ; ②四条边都相等 ; ③ 对角线相等且互相垂直平分 . O 导入新课 问题 2 ： 你是 如何判断是矩形、菱形？ 平行四边形 矩形 菱形 四边形 三个角是直角 四条边相等 定义 三个判定定理 定义 对角线相等 定义 对角线垂直 正方形判定的定理 一 动一动： 过点 A 作射线 AM 的垂线 AN , 分别在 AM , AN 上取点 B , D , 使 AB = AD , 作 DC ∥ AB , BC ∥ AD , 得四边形 ABCD . A M N B D C 问题 1 ： 上面所画四边形 ABCD 是正方形吗？为什么？ 讲授新课 想一想： 将矩形纸片对折两次，怎样裁剪才能使剪下的三角形 展开后是个正方形？ （ 1 ） （ 2 ） （ 3 ） （ 4 ） 菱形 问题 2 ： 满足怎样条件的矩形是正方形？ 矩形 正方形 一组邻边相等 对角线互相垂直 问题 3 ： 满足怎样条件的菱形是正方形？ 正方形 一个角是直角 对角线相等 1. 对角线相等的菱形是正方形 . 2. 对角线垂直的矩形是正方形 . 3. 有一个角是直角的菱形是正方形 . 定理 正方形判定的两条途径： 正方形 正方形 + + 先判定菱形 先判定矩形 矩形条件 菱形条件 (1) (2) 一个直角 对角线相等 一组邻边相等 对角线垂直 例 1 ： 如图 , 在矩形 ABCD 中 , BE 平分 ∠ ABC , CE 平分 ∠ DCB , BF ∥ CE , CF ∥ BE . 求证：四边形 BECF 是正方形 . 正方形判定定理的应用 二 典例精析 F A B E C D 解析： 先由两组平行线得出四边形 BECF 平行四边形；再由一个直角，得出是矩形；最后由一组邻边相等可得正方形； 45° 45° F A B E C D 证明 : ∵ BF ∥ CE , CF ∥ BE ， ∴四边形 BECF 是平行四边形 . ∵四边形 ABCD 是矩形 , ∴ ∠ ABC = 90° , ∠ DCB = 90° , ∵ BE 平分∠ ABC , CE 平分∠ DCB , ∴∠ EBC = 45° , ∠ ECB = 45° , ∴ ∠ EBC = ∠ ECB . ∴ EB = EC , ∴ □ BECF 是菱形 . 在 △ EBC 中 ∵ ∠ EBC = 45 ° , ∠ ECB = 45° , ∴∠ BEC = 90° , ∴菱形 BECF 是正方形 . 例 2 ： 已知：如图所示 , 在 Rt△ ABC 中 , ∠ C =90° , ∠ BAC , ∠ ABC 的平分线于点 D , DE ⊥ BC 于点 E , DF ⊥ AC 于点 F . 求证：四边形 CEDF 是正方形 . 证明 : 如图所示 , 过点 D 作 DG ⊥ AB 于点 G . ∵ DF ⊥ AC , DE ⊥ BC , ∴∠ DFC = ∠ DEC =90°. 又∠ C =90° , ∴四边形 CEDF 是矩形 （有三个角是直角的四边形是矩形） . ∴ AD 平分∠ BAC , DF ⊥ AC , DG ⊥ AB . ∴ DF = DG . 同理可得 DE = DG , ∴ DE = DF . ∴ 四边形 CEDF 是正方形（有一组邻边相等的矩形是正方形） . C E B A F D G 例 3 ： 如图， EG , FH 过正方形 ABCD 的对角线的交点 O , 且 EG ⊥ FH . 求证：四边形 EFGH 是正方形 . 证明：∵四边形 ABCD 为正方形 , ∴ OB = OC , ∠ ABO = ∠ BCO =45° , ∠ BOC =90° = ∠ COH + ∠ BOH . ∵ EG ⊥ FH , ∴∠ BOE +∠ BOH =90° , ∴∠ COH = ∠ BOE , ∴ △ CHO ≌△ BEO , ∴ OE = OH . 同理可证： OE = OF = OG , B A C B O E H G F ∴ OE = OF = OG = OH . 又∵ EG ⊥ FH , ∴四边形 EFGH 为菱形 . ∵ EO + GO = FO + HO , 即 EG = HF , ∴四边形 EFGH 为正方形 . B A C B O E H G F 做一做： 顺次连接任意四边形各边中点所得的四边形是平行四边形 . 顺次连接矩形、正方形各边中点能得到怎样的特殊平行四边形？ A B C D A B C D A B C D 矩形 正方形 任意四边形 平行四边形 菱形 正方形 E F G H E F G H E F G H 中点四边形 三 总结归纳 常见中点四边形比较 1. 下列命题正确的是（ ） A. 四个角都相等的四边形是正方形 B. 四条边都相等的四边形是正方形 C. 对角线相等的平行四边形是正方形 D. 对角线互相垂直的矩形是正方形 2 ．四个内角都相等的四边形一定是（ ） A. 正方形 B. 菱形 C. 矩形 D. 平行四边形 D C 当堂练习 3. 如图，在四边形 ABCD 中 , AB = BC , 对角线 BD 平分  ABC , P 是 BD 上一点 , 过点 P 作 PM  AD , PN  CD , 垂足分别为 M 、 N . (1) 求证：  ADB =  CDB ; (2) 若  ADC =90  , 求证：四边形 MPND 是正方形 . C A B D P M N 证明：（ 1 ）∵ AB = BC , BD 平分∠ ABC . ∴∠ 1 =∠ 2 . ∴ △ ABD ≌ △ CBD ( AAS ). ∴∠ ADB = ∠ CDB . 1 2 C A B D P M N （ 2 ）∵∠ ADC =90°; 又∵ PM ⊥ AD , PN ⊥ CD ; ∴∠ PMD =∠ PND =90°. ∴四边形 NPMD 是矩形 . ∵∠ ADB =∠ CDB ; ∴∠ ADB =∠ CDB =45°. ∴∠ MPD =∠ NPD =45°. ∴ DM = PM,DN = PN . ∴ 四边形 NPMD 是矩形（有一组邻边相等的矩形是正方形） . 有一个角是 90° （或对角线互相垂直） 有一对邻边相等 （或对角线相等） 平行四边形 矩形 菱形 正方形 一组邻边相等且一个内角为直角 （或对角线互相垂直平分且相等） 有一个角是 90° （或对角线互相垂直） 有一对邻边相等 （或对角线相等） 课堂小结