中考数学复习专题特殊平行四边形

中考数学复习专题特殊平行四边形

‎2017---2018学年中考数学复习专题--《特殊平行四边形》‎ ‎　‎ ‎ 评卷人 ‎ ‎ 得 分 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 一．选择题（共12小题）‎ ‎1．下列性质中，菱形具有而平行四边形不具有的性质是（　　）‎ A．对边平行且相等 B．对角线互相平分 C．对角线互相垂直 D．对角互补 ‎2．能判定一个四边形是菱形的条件是（　　）‎ A．对角线互相平分且相等 B．对角线互相垂直且相等 C．对角线互相垂直且对角相等 D．对角线互相垂直，且一条对角线平分一组对角 ‎3．矩形具有而菱形不一定具有的性质是（　　）‎ A．对边分别相等 B．对角分别相等 C．对角线互相平分 D．对角线相等 ‎4．以下条件不能判别四边形ABCD是矩形的是（　　）‎ A．AB=CD，AD=BC，∠A=90° B．OA=OB=OC=OD C．AB=CD，AB∥CD，AC=BD D．AB=CD，AB∥CD，OA=OC，OB=OD ‎5．顺次连接四边形ABCD各边中点所成的四边形为菱形，那么四边形ABCD的对角线AC和BD只需满足的条件是 ‎（　　）‎ A．相等 B．互相垂直 C．相等且互相垂直 D．相等且互相平分 ‎6．已知菱形的两条对角线长分别是6cm和8cm，则菱形的边长是（　　）‎ A．12cm B．10cm C．7cm D．5cm ‎7．如图，在平行四边形ABCD中，用直尺和圆规作∠BAD的平分线AG交BC于点E，以A为圆心，AB长为半径画弧交AD于F，若BF=12，AB=10，则AE的长为（　　）‎ A．16 B．15 C．14 D．13‎ ‎8．如图，E，G，F，H分别是矩形ABCD四条边上的点，EF⊥GH，若AB=2，BC=3，则EF：GH=（　　）‎ A．2：3 B．3：2 C．4：9 D．无法确定 ‎9．如图：点P是Rt△ABC斜边AB上的一点，PE⊥AC于E，PF⊥BC于F，BC=15，AC=20，则线段EF的最小值为（　　）‎ A．12 B．6 C．12.5 D．25‎ ‎10．如图，在菱形ABCD中，∠BAD=80°，AB的垂直平分线交对角线AC于点F，点E为垂足，连接DF，则∠CDF为（　　）‎ A．80° B．70° C．65° D．60°‎ ‎11．如图，在菱形ABCD中，∠A=110°，E，F分别是边AB和BC的中点，EP⊥CD于点P，则∠FPC的度数为（　　）‎ A．55° B．50° C．45° D．35°‎ ‎12．如图，矩形ABCD中，O为AC中点，过点O的直线分别与AB，CD交于点E，F，连接BF交AC于点M，连接DE，BO．若∠COB=60°，FO=FC，则下列结论：‎ ‎①FB⊥OC，OM=CM；‎ ‎②△EOB≌△CMB；‎ ‎③四边形EBFD是菱形；‎ ‎④MB：OE=3：2．‎ 其中正确结论的个数是（　　）‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎　‎ ‎ 评卷人 ‎ ‎ 得 分 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 二．填空题（共6小题）‎ ‎13．如图，菱形纸片ABCD，∠A=60°，P为AB中点，折叠菱形纸片ABCD，使点C落在DP所在的直线上，得到经过点D的折痕DE，则∠DEC等于　 　度．‎ ‎14．如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD在第一象限内，边BC与x轴平行，A，B两点的纵坐标分别为3，1，反比例函数y=‎ 的图象经过A，B两点，则菱形ABCD的面积为　 　．‎ ‎15．如图：在矩形ABCD中，AB=4，BC=8，对角线AC、BD相交于点O，过点O作OE垂直AC交AD于点E，则DE的长是　 　．‎ ‎16．平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，BD=2AD，E、F、G分别是OC、OD，AB的中点．下列结论：①EG=EF； ②△EFG≌△GBE； ③FB平分∠EFG；④EA平分∠GEF；⑤四边形BEFG是菱形．其中正确的是　 　．‎ ‎17．如图，矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，点E是BC上一点，且AB=BE，∠1=15°，则∠2=　 　．‎ ‎18．如图所示，在矩形ABCD中，AB=6，AD=8，P是AD上的动点，PE⊥AC，PF⊥BD于F，则PE+PF的值为　 　．‎ ‎　‎ ‎ 评卷人 ‎ ‎ 得 分 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 三．解答题（共6小题）‎ ‎19．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D为AB的中点，AE∥CD，CE∥AB，连接DE交AC于点O．‎ ‎（1）证明：四边形ADCE为菱形．‎ ‎（2）BC=6，AB=10，求菱形ADCE的面积．‎ ‎20．已知，如图，BD为平行四边形ABCD的对角线，O为BD的中点，EF⊥BD于点O，与AD、BC分别交于点E、F．试判断四边形BFDE的形状，并证明你的结论．‎ ‎21．如图，在△ABC中，AB=AC，点D是BC的中点，DE⊥AC于点E，DG⊥AB于点G，EK⊥AB于点K，GH⊥AC于点H、EK和GH相交于点F．‎ 求证：GE与FD互相垂直平分．‎ ‎22．如图：在△ABC中，CE、CF分别平分∠ACB与它的邻补角∠ACD，AE⊥CE于E，AF⊥CF于F，直线EF分别交AB、AC于M、N．‎ ‎（1）求证：四边形AECF为矩形；‎ ‎（2）试猜想MN与BC的关系，并证明你的猜想；‎ ‎（3）如果四边形AECF是菱形，试判断△ABC的形状，直接写出结果，不用说明理由．‎ ‎23．如图：矩形ABCD中，AB=2，BC=5，E、P分别在AD、BC上，且DE=BP=1．‎ ‎（1）判断△BEC的形状，并说明理由？‎ ‎（2）判断四边形EFPH是什么特殊四边形？并证明你的判断；‎ ‎（3）求四边形EFPH的面积．‎ ‎24．如图，在△ABC中，∠ABC=90°，BD为AC的中线，过点C作CE⊥BD于点E，过点A作BD的平行线，交CE的延长线于点F，在AF的延长线上截取FG=BD，连接BG、DF．‎ ‎（1）求证：BD=DF；‎ ‎（2）求证：四边形BDFG为菱形；‎ ‎（3）若AG=13，CF=6，求四边形BDFG的周长．‎ ‎　‎ ‎2017---2018学年中考数学复习专题--《特殊平行四边形》‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一．选择题（共12小题）‎ ‎1．下列性质中，菱形具有而平行四边形不具有的性质是（　　）‎ A．对边平行且相等 B．对角线互相平分 C．对角线互相垂直 D．对角互补 ‎【解答】解：A、平行四边形的对边平行且相等，所以A选项错误；‎ B、平行四边形的对角线互相平分，所以B选项错误；‎ C、菱形的对角线互相垂直，平行四边形的对角线互相平分，所以C选项正确；‎ D、平行四边形的对角相等，所以D选项错误．‎ 故选C．‎ ‎　‎ ‎2．能判定一个四边形是菱形的条件是（　　）‎ A．对角线互相平分且相等 B．对角线互相垂直且相等 C．对角线互相垂直且对角相等 D．对角线互相垂直，且一条对角线平分一组对角 ‎【解答】解：∵对角线互相垂直平分的四边形是菱形．‎ ‎∴A、B、D都不正确．‎ ‎∵对角相等的四边形是平行四边形，而对角线互相垂直的平行四边形是菱形．‎ 故C正确．‎ 故选C．‎ ‎　‎ ‎3．矩形具有而菱形不一定具有的性质是（　　）‎ A．对边分别相等 B．对角分别相等 C．对角线互相平分 D．对角线相等 ‎【解答】解：矩形的性质有：①矩形的对边相等且平行，②‎ 矩形的对角相等，且都是直角，③矩形的对角线互相平分、相等；‎ 菱形的性质有：①菱形的四条边都相等，且对边平行，②菱形的对角相等，③菱形的对角线互相平分、垂直，且每一条对角线平分一组对角；‎ ‎∴矩形具有而菱形不一定具有的性质是对角线相等，‎ 故选D．‎ ‎　‎ ‎4．以下条件不能判别四边形ABCD是矩形的是（　　）‎ A．AB=CD，AD=BC，∠A=90° B．OA=OB=OC=OD C．AB=CD，AB∥CD，AC=BD D．AB=CD，AB∥CD，OA=OC，OB=OD ‎【解答】解：如图：‎ A、∵AB=CD，AD=BC，‎ ‎∴四边形ABCD是平行四边形，‎ ‎∵∠BAD=90°，‎ ‎∴四边形ABCD是矩形，故本选项错误；‎ B、∵OA=OB=OC=OD，‎ ‎∴AC=BD，‎ ‎∴四边形ABCD是平行四边形，‎ ‎∴四边形ABCD是矩形，故本选项错误；‎ C、∵AB=CD，AB∥CD，‎ ‎∴四边形ABCD是平行四边形，‎ ‎∵AC=BD，‎ ‎∴四边形ABCD是矩形，故本选项错误；‎ D、∵AB∥CD，AB=CD，‎ ‎∴四边形ABCD是平行四边形，‎ 根据OA=OC，OB=OD不能推出平行四边形ABCD是矩形，故本选项正确；‎ 故选D．‎ ‎　‎ ‎5．顺次连接四边形ABCD各边中点所成的四边形为菱形，那么四边形ABCD的对角线AC和BD只需满足的条件是 ‎（　　）‎ A．相等 B．互相垂直 C．相等且互相垂直 D．相等且互相平分 ‎【解答】解：因为原四边形的对角线与连接各边中点得到的四边形的关系：‎ ‎①原四边形对角线相等，所得的四边形是菱形；‎ ‎②原四边形对角线互相垂直，所得的四边形是矩形；‎ ‎③原四边形对角线既相等又垂直，所得的四边形是正方形；‎ ‎④原四边形对角线既不相等又不垂直，所得的四边形是平行四边形．‎ 因为顺次连接四边形ABCD各边中点所成的四边形为菱形，所以四边形ABCD的对角线AC和BD相等．‎ 故选A．‎ ‎　‎ ‎6．已知菱形的两条对角线长分别是6cm和8cm，则菱形的边长是（　　）‎ A．12cm B．10cm C．7cm D．5cm ‎【解答】解：如图：∵菱形ABCD中BD=8cm，AC=6cm，‎ ‎∴OD=BD=4cm，OA=AC=3cm，‎ 在直角三角形AOD中AD===5cm．‎ 故选D．‎ ‎　‎ ‎7．如图，在平行四边形ABCD中，用直尺和圆规作∠BAD的平分线AG交BC于点E，以A为圆心，AB长为半径画弧交AD于F，若BF=12，AB=10，则AE的长为（　　）‎ A．16 B．15 C．14 D．13‎ ‎【解答】解：连结EF，AE与BF交于点O，如图，‎ ‎∵AO平分∠BAD，‎ ‎∴∠1=∠2，‎ ‎∵四边形ABCD为平行四边形，‎ ‎∴AF∥BE，‎ ‎∴∠1=∠3，‎ ‎∴∠2=∠3，‎ ‎∴AB=EB，‎ 同理：AF=BE，‎ 又∵AF∥BE，‎ ‎∴四边形ABEF是平行四边形，‎ ‎∴四边形ABEF是菱形，‎ ‎∴AE⊥BF，OB=OF=6，OA=OE，‎ 在Rt△AOB中，由勾股定理得：OA===8，‎ ‎∴AE=2OA=16．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎8．如图，E，G，F，H分别是矩形ABCD四条边上的点，EF⊥GH，若AB=2，BC=3，则EF：GH=（　　）‎ A．2：3 B．3：2 C．4：9 D．无法确定 ‎【解答】解：‎ 过F作FM⊥AB于M，过H作HN⊥BC于N，‎ 则∠4=∠5=90°=∠AMF ‎∵四边形ABCD是矩形，‎ ‎∴AD∥BC，AB∥CD，∠A=∠D=90°=∠AMF，‎ ‎∴四边形AMFD是矩形，‎ ‎∴FM∥AD，FM=AD=BC=3，‎ 同理HN=AB=2，HN∥AB，‎ ‎∴∠1=∠2，‎ ‎∵HG⊥EF，‎ ‎∴∠HOE=90°，‎ ‎∴∠1+∠GHN=90°，‎ ‎∵∠3+∠GHN=90°，‎ ‎∴∠1=∠3=∠2，‎ 即∠2=∠3，∠4=∠5，‎ ‎∴△FME∽△HNG，‎ ‎∴==‎ ‎∴EF：GH=AD：CD=3：2．‎ 故选B．‎ ‎　‎ ‎9．如图：点P是Rt△ABC斜边AB上的一点，PE⊥AC于E，PF⊥‎ BC于F，BC=15，AC=20，则线段EF的最小值为（　　）‎ A．12 B．6 C．12.5 D．25‎ ‎【解答】解：如图，连接CP．‎ ‎∵∠C=90°，AC=3，BC=4，‎ ‎∴AB===25，‎ ‎∵PE⊥AC，PF⊥BC，∠C=90°，‎ ‎∴四边形CFPE是矩形，‎ ‎∴EF=CP，‎ 由垂线段最短可得CP⊥AB时，线段EF的值最小，‎ 此时，S△ABC=BC•AC=AB•CP，‎ 即 ×20×15=×25•CP，‎ 解得CP=12．‎ 故选A．‎ ‎　‎ ‎10．如图，在菱形ABCD中，∠BAD=80°，AB的垂直平分线交对角线AC于点F，点E为垂足，连接DF，则∠CDF为（　　）‎ A．80° B．70° C．65° D．60°‎ ‎【解答】解：如图，连接BF，‎ 在△BCF和△DCF中，‎ ‎∵CD=CB，∠DCF=∠BCF，CF=CF ‎∴△BCF≌△DCF ‎∴∠CBF=∠CDF ‎∵FE垂直平分AB，∠BAF=×80°=40°‎ ‎∴∠ABF=∠BAF=40°‎ ‎∵∠ABC=180°﹣80°=100°，∠CBF=100°﹣40°=60°‎ ‎∴∠CDF=60°．‎ 故选D．‎ ‎　‎ ‎11．如图，在菱形ABCD中，∠A=110°，E，F分别是边AB和BC的中点，EP⊥CD于点P，则∠FPC的度数为（　　）‎ A．55° B．50° C．45° D．35°‎ ‎【解答】解：延长PF交AB的延长线于点G．如图所示：‎ 在△BGF与△CPF中，，‎ ‎∴△BGF≌△CPF（ASA），‎ ‎∴GF=PF，‎ ‎∴F为PG中点．‎ 又∵由题可知，∠BEP=90°，‎ ‎∴EF=PG，‎ ‎∵PF=PG，‎ ‎∴EF=PF，‎ ‎∴∠FEP=∠EPF，‎ ‎∵∠BEP=∠EPC=90°，‎ ‎∴∠BEP﹣∠FEP=∠EPC﹣∠EPF，即∠BEF=∠FPC，‎ ‎∵四边形ABCD为菱形，‎ ‎∴AB=BC，∠ABC=180°﹣∠A=70°，‎ ‎∵E，F分别为AB，BC的中点，‎ ‎∴BE=BF，∠BEF=∠BFE=（180°﹣70°）=55°，‎ ‎∴∠FPC=55°；‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎12．如图，矩形ABCD中，O为AC中点，过点O的直线分别与AB，CD交于点E，F，连接BF交AC于点M，连接DE，BO．若∠COB=60°，FO=FC，则下列结论：‎ ‎①FB⊥OC，OM=CM；‎ ‎②△EOB≌△CMB；‎ ‎③四边形EBFD是菱形；‎ ‎④MB：OE=3：2．‎ 其中正确结论的个数是（　　）‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎【解答】解：连接BD，‎ ‎∵四边形ABCD是矩形，‎ ‎∴AC=BD，AC、BD互相平分，‎ ‎∵O为AC中点，‎ ‎∴BD也过O点，‎ ‎∴OB=OC，‎ ‎∵∠COB=60°，OB=OC，‎ ‎∴△OBC是等边三角形，‎ ‎∴OB=BC=OC，∠OBC=60°，‎ 在△OBF与△CBF中 ‎∴△OBF≌△CBF（SSS），‎ ‎∴△OBF与△CBF关于直线BF对称，‎ ‎∴FB⊥OC，OM=CM；‎ ‎∴①正确，‎ ‎∵∠OBC=60°，‎ ‎∴∠ABO=30°，‎ ‎∵△OBF≌△CBF，‎ ‎∴∠OBM=∠CBM=30°，‎ ‎∴∠ABO=∠OBF，‎ ‎∵AB∥CD，‎ ‎∴∠OCF=∠OAE，‎ ‎∵OA=OC，‎ 易证△AOE≌△COF，‎ ‎∴OE=OF，‎ ‎∴OB⊥EF，‎ ‎∴四边形EBFD是菱形，‎ ‎∴③正确，‎ ‎∵△EOB≌△FOB≌△FCB，‎ ‎∴△EOB≌△CMB错误．‎ ‎∴②错误，‎ ‎∵∠OMB=∠BOF=90°，∠OBF=30°，‎ ‎∴MB=，OF=，‎ ‎∵OE=OF，‎ ‎∴MB：OE=3：2，‎ ‎∴④正确；‎ 故选：C．‎ ‎　‎ 二．填空题（共6小题）‎ ‎13．如图，菱形纸片ABCD，∠A=60°，P为AB中点，折叠菱形纸片ABCD，使点C落在DP所在的直线上，得到经过点D的折痕DE，则∠DEC等于　75　度．‎ ‎【解答】解：连接BD，‎ ‎∵四边形ABCD为菱形，∠A=60°，‎ ‎∴△ABD为等边三角形，∠ADC=120°，∠C=60°，‎ ‎∵P为AB的中点，‎ ‎∴DP为∠ADB的平分线，即∠ADP=∠BDP=30°，‎ ‎∴∠PDC=90°，‎ ‎∴由折叠的性质得到∠CDE=∠PDE=45°，‎ 在△DEC中，∠DEC=180°﹣（∠CDE+∠C）=75°．‎ 故答案为：75．‎ ‎　‎ ‎14．如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD在第一象限内，边BC与x轴平行，A，B两点的纵坐标分别为3，1，反比例函数y=的图象经过A，B两点，则菱形ABCD的面积为　4　．‎ ‎【解答】解：过点A作x轴的垂线，与CB的延长线交于点E，‎ ‎∵A，B两点在反比例函数y=的图象上且纵坐标分别为3，1，‎ ‎∴A，B横坐标分别为1，3，‎ ‎∴AE=2，BE=2，‎ ‎∴AB=2，‎ S菱形ABCD=底×高=2×2=4，‎ 故答案为4．‎ ‎　‎ ‎15．如图：在矩形ABCD中，AB=4，BC=8，对角线AC、BD相交于点O，过点O作OE垂直AC交AD于点E，则DE的长是　3　．‎ ‎【解答】解：如图，连接CE，‎ ‎，‎ 设DE=x，则AE=8﹣x，‎ ‎∵OE⊥AC，且点O是AC的中点，‎ ‎∴OE是AC的垂直平分线，‎ ‎∴CE=AE=8﹣x，‎ 在Rt△CDE中，‎ x2+42=（8﹣x）2‎ 解得x=3，‎ ‎∴DE的长是3．‎ 故答案为：3．‎ ‎　‎ ‎16．平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，BD=2AD，E、F、G分别是OC、OD，AB的中点．下列结论：①EG=EF； ②△EFG≌△GBE； ③FB平分∠‎ EFG；④EA平分∠GEF；⑤四边形BEFG是菱形．其中正确的是　①②④　．‎ ‎【解答】解：令GF和AC的交点为点P，如图所示：‎ ‎∵E、F分别是OC、OD的中点，‎ ‎∴EF∥CD，且EF=CD，‎ ‎∵四边形ABCD为平行四边形，‎ ‎∴AB∥CD，且AB=CD，‎ ‎∴∠FEG=∠BGE（两直线平行，内错角相等），‎ ‎∵点G为AB的中点，‎ ‎∴BG=AB=CD=FE，‎ 在△EFG和△GBE中，，‎ ‎∴△EFG≌△GBE（SAS），即②成立，‎ ‎∴∠EGF=∠GEB，‎ ‎∴GF∥BE（内错角相等，两直线平行），‎ ‎∵BD=2BC，点O为平行四边形对角线交点，‎ ‎∴BO=BD=BC，‎ ‎∵E为OC中点，‎ ‎∴BE⊥OC，‎ ‎∴GP⊥AC，‎ ‎∴∠APG=∠EPG=90°‎ ‎∵GP∥BE，G为AB中点，‎ ‎∴P为AE中点，即AP=PE，且GP=BE，‎ 在△APG和△EGP中，，‎ ‎∴△APG≌△EPG（SAS），‎ ‎∴AG=EG=AB，‎ ‎∴EG=EF，即①成立，‎ ‎∵EF∥BG，GF∥BE，‎ ‎∴四边形BGFE为平行四边形，‎ ‎∴GF=BE，‎ ‎∵GP=BE=GF，‎ ‎∴GP=FP，‎ ‎∵GF⊥AC，‎ ‎∴∠GPE=∠FPE=90°‎ 在△GPE和△FPE中，，‎ ‎∴△GPE≌△FPE（SAS），‎ ‎∴∠GEP=∠FEP，‎ ‎∴EA平分∠GEF，即④成立．‎ 故答案为：①②④．‎ ‎　‎ ‎17．如图，矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，点E是BC上一点，且AB=BE，∠1=15°，则∠2=　30°　．‎ ‎【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，‎ ‎∴∠ABC=∠BAD=90°，OB=OD，OA=OC，AC=BD，‎ ‎∴OB=OC，OB=OA，‎ ‎∴∠OCB=∠OBC，‎ ‎∵AB=BE，∠ABE=90°，‎ ‎∴∠BAE=∠AEB=45°，‎ ‎∵∠1=15°，‎ ‎∴∠OCB=∠AEB﹣∠EAC=45°﹣15°=30°，‎ ‎∴∠OBC=∠OCB=30°，‎ ‎∴∠AOB=30°+30°=60°，‎ ‎∵OA=OB，‎ ‎∴△AOB是等边三角形，‎ ‎∴AB=OB，‎ ‎∵∠BAE=∠AEB=45°，‎ ‎∴AB=BE，‎ ‎∴OB=BE，‎ ‎∴∠OEB=∠EOB，‎ ‎∵∠OBE=30°，∠OBE+∠OEB+∠BEO=180°，‎ ‎∴∠OEB=75°，‎ ‎∵∠AEB=45°，‎ ‎∴∠2=∠OEB﹣∠AEB=30°，‎ 故答案为：30°．‎ ‎　‎ ‎18．如图所示，在矩形ABCD中，AB=6，AD=8，P是AD上的动点，PE⊥AC，PF⊥BD于F，则PE+PF的值为　　．‎ ‎【解答】解：连接OP，‎ ‎∵四边形ABCD是矩形，‎ ‎∴∠DAB=90°，AC=2AO=2OC，BD=2BO=2DO，AC=BD，‎ ‎∴OA=OD=OC=OB，‎ ‎∴S△AOD=S△DOC=S△AOB=S△BOC=S矩形ABCD=×6×8=12，‎ 在Rt△BAD中，由勾股定理得：BD===10，‎ ‎∴AO=OD=5，‎ ‎∵S△APO+S△DPO=S△AOD，‎ ‎∴×AO×PE+×DO×PF=12，‎ ‎∴5PE+5PF=24，‎ PE+PF=，‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ 三．解答题（共6小题）‎ ‎19．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D为AB的中点，AE∥CD，CE∥AB，连接DE交AC于点O．‎ ‎（1）证明：四边形ADCE为菱形．‎ ‎（2）BC=6，AB=10，求菱形ADCE的面积．‎ ‎【解答】证明：（1）∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D为AB中点，‎ ‎∴CD=AB=AD，‎ 又∵AE∥CD，CE∥AB ‎∴四边形ADCE是平行四边形，‎ ‎∴平行四边形ADCE是菱形；‎ ‎（2）在Rt△ABC中，AC===8．‎ ‎∵平行四边形ADCE是菱形，‎ ‎∴CO=OA，‎ 又∵BD=DA，‎ ‎∴DO是△ABC的中位线，‎ ‎∴BC=2DO．‎ 又∵DE=2DO，‎ ‎∴BC=DE=6，‎ ‎∴S菱形ADCE===24．‎ ‎　‎ ‎20．已知，如图，BD为平行四边形ABCD的对角线，O为BD的中点，EF⊥BD于点O，与AD、BC分别交于点E、F．试判断四边形BFDE的形状，并证明你的结论．‎ ‎【解答】答：四边形BFDE的形状是菱形，‎ 理由如下：‎ ‎∵四边形ABCD是平行四边形，‎ ‎∴AD∥BC，OB=OD，‎ ‎∵∠EDO=∠FBO，∠OED=∠OFB，‎ ‎∴△OED≌△OFB，‎ ‎∴DE=BF，‎ 又∵ED∥BF，‎ ‎∴四边形BEDF是平行四边形，‎ ‎∵EF⊥BD，‎ ‎∴▱BEDF是菱形．‎ ‎　‎ ‎21．如图，在△ABC中，AB=AC，点D是BC的中点，DE⊥AC于点E，DG⊥AB于点G，EK⊥AB于点K，GH⊥AC于点H、EK和GH相交于点F．‎ 求证：GE与FD互相垂直平分．‎ ‎【解答】证明：∵DE⊥AC，DG⊥AB，EK⊥AB，GH⊥AC，‎ ‎∴∠DGB=∠DEC=90°，EK∥DG，DE∥GH，‎ ‎∴四边形DEFG是平行四边形，‎ ‎∵AB=AC，‎ ‎∴∠B=∠C，‎ 在△DGB和△DEC中，‎ ‎，‎ ‎∴△DGB≌△DEC（AAS），‎ ‎∴DG=DE，‎ ‎∵四边形DEFG是平行四边形，‎ ‎∴四边形DEFG是菱形，‎ ‎∴GE与FD互相垂直平分．‎ ‎　‎ ‎22．如图：在△ABC中，CE、CF分别平分∠ACB与它的邻补角∠ACD，AE⊥CE于E，AF⊥CF于F，直线EF分别交AB、AC于M、N．‎ ‎（1）求证：四边形AECF为矩形；‎ ‎（2）试猜想MN与BC的关系，并证明你的猜想；‎ ‎（3）如果四边形AECF是菱形，试判断△ABC的形状，直接写出结果，不用说明理由．‎ ‎【解答】（1）证明：∵AE⊥CE于E，AF⊥CF于F，‎ ‎∴∠AEC=∠AFC=90°，‎ 又∵CE、CF分别平分∠ACB与它的邻补角∠ACD，‎ ‎∴∠BCE=∠ACE，∠ACF=∠DCF，‎ ‎∴∠ACE+∠ACF=（∠BCE+∠ACE+∠ACF+∠DCF）=×180°=90°，‎ ‎∴三个角为直角的四边形AECF为矩形．‎ ‎（2）结论：MN∥BC且MN=BC．‎ 证明：∵四边形AECF为矩形，‎ ‎∴对角线相等且互相平分，‎ ‎∴NE=NC，‎ ‎∴∠NEC=∠ACE=∠BCE，‎ ‎∴MN∥BC，‎ 又∵AN=CN（矩形的对角线相等且互相平分），‎ ‎∴N是AC的中点，‎ 若M不是AB的中点，则可在AB取中点M1，连接M1N，‎ 则M1N是△ABC的中位线，MN∥BC，‎ 而MN∥BC，M1即为点M，‎ 所以MN是△ABC的中位线（也可以用平行线等分线段定理，证明AM=BM）‎ ‎∴MN=BC；‎ 法二：延长MN至K，使NK=MN，‎ 因为对角线互相平分，‎ 所以AMCK是平行四边形，KC∥MA，KC=AM因为MN∥BC，‎ 所以MBCK是平行四边形，MK=BC，‎ 所以MN=BC ‎（3）解：△ABC是直角三角形（∠ACB=90°）．‎ 理由：∵四边形AECF是菱形，‎ ‎∴AC⊥EF，‎ ‎∵EF∥AC，‎ ‎∴AC⊥CB，‎ ‎∴∠ACB=90°．即△ABC是直角三角形．‎ ‎　‎ ‎23．如图：矩形ABCD中，AB=2，BC=5，E、P分别在AD、BC上，且DE=BP=1．‎ ‎（1）判断△BEC的形状，并说明理由？‎ ‎（2）判断四边形EFPH是什么特殊四边形？并证明你的判断；‎ ‎（3）求四边形EFPH的面积．‎ ‎【解答】（1）△BEC是直角三角形：‎ 理由是：‎ ‎∵矩形ABCD，‎ ‎∴∠ADC=∠ABP=90°，AD=BC=5，AB=CD=2，‎ 由勾股定理得：CE===，‎ 同理BE=2，‎ ‎∴CE2+BE2=5+20=25，‎ ‎∵BC2=52=25，‎ ‎∴BE2+CE2=BC2，‎ ‎∴∠BEC=90°，‎ ‎∴△BEC是直角三角形．‎ ‎（2）解：四边形EFPH为矩形，‎ 证明：∵矩形ABCD，‎ ‎∴AD=BC，AD∥BC，‎ ‎∵DE=BP，‎ ‎∴四边形DEBP是平行四边形，‎ ‎∴BE∥DP，‎ ‎∵AD=BC，AD∥BC，DE=BP，‎ ‎∴AE=CP，‎ ‎∴四边形AECP是平行四边形，‎ ‎∴AP∥CE，‎ ‎∴四边形EFPH是平行四边形，‎ ‎∵∠BEC=90°，‎ ‎∴平行四边形EFPH是矩形．‎ ‎（3）解：在Rt△PCD中FC⊥PD，‎ 由三角形的面积公式得：PD•CF=PC•CD，‎ ‎∴CF==，‎ ‎∴EF=CE﹣CF=﹣=，‎ ‎∵PF==，‎ ‎∴S矩形EFPH=EF•PF=，‎ 答：四边形EFPH的面积是．‎ ‎　‎ ‎24．如图，在△ABC中，∠ABC=90°，BD为AC的中线，过点C作CE⊥BD于点E，过点A作BD的平行线，交CE的延长线于点F，在AF的延长线上截取FG=BD，连接BG、DF．‎ ‎（1）求证：BD=DF；‎ ‎（2）求证：四边形BDFG为菱形；‎ ‎（3）若AG=13，CF=6，求四边形BDFG的周长．‎ ‎【解答】（1）证明：∵∠ABC=90°，BD为AC的中线，‎ ‎∴BD=AC，‎ ‎∵AG∥BD，BD=FG，‎ ‎∴四边形BGFD是平行四边形，‎ ‎∵CF⊥BD，‎ ‎∴CF⊥AG，‎ 又∵点D是AC中点，‎ ‎∴DF=AC，‎ ‎∴BD=DF；‎ ‎（2）证明：∵BD=DF，‎ ‎∴四边形BGFD是菱形，‎ ‎（3）解：设GF=x，则AF=13﹣x，AC=2x，‎ ‎∵在Rt△ACF中，∠CFA=90°，‎ ‎∴AF2+CF2=AC2，即（13﹣x）2+62=（2x）2，‎ 解得：x=5，‎ ‎∴四边形BDFG的周长=4GF=20．‎ ‎　‎