【数学】2019届一轮复习北师大版函数、数列、三角函数中大小比较问题学案

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【数学】2019届一轮复习北师大版函数、数列、三角函数中大小比较问题学案

热点三 函数、数列、三角函数中大小比较问题 ‎ 纵观近几年高考对于大小比较问题的考查,重点放在与函数、数列、三角函数的大小比较问题上,要求学生有较强的推理能力和准确的计算能力,才能顺利解答,从实际教学 看,这部分知识是学生掌握最为模糊,看到就头疼的题目.分析原因,除了这类题目的入手确实不易之外,主要是学生没有形成解题的模式和套路,以至于遇到类似的题目便产生畏惧心理.本文就高中阶段出现这类问题加以类型的总结和方法的探讨.学 ! ‎ ‎1 函数中的大小比较问题 函数是高中数学必修教材中重要的部分,应用广泛,教材中重点介绍了利用判断单调性、最值、单调性、奇偶性、周期性等基础知识,但是高考数学是以能力立意,所以往往以数列、方程、不等式为背景,综合考察学生转化和化归、分类讨论、数形结合等数学思想的应用能力,面对这种类型的题目,考生会有茫然,无所适从的感觉,究其原因是没有认真分析总结这种题目的特点和解题思路.‎ 1.1 ‎ 指数函数中的大小比较问题 ‎ 比较指数幂值的大小时,要注意区分底数相同还是指数相等,是用指数函数的单调性,还是用幂函数的单调性,要注意指数函数图象和幂函数的图象的应用,指数函数的图象在第一象限内“底大图高(逆时针方向底数依次变大)”,还应注意中间量0,1等的运用.‎ 例1设,则 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】∵‎ ‎∴, ‎ ‎∴‎ 故选A .‎ 1.2 对数函数中的大小比较问题 ‎ 比较对数值的大小时,要注意区分对数底数是否相等,是用对数函数的单调性,还是用对数函数的单调性,要注意对数函数图象的应用,还应注意中间量0,1等的运用.‎ 例2设,且,则的大小关系为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B 1.1 幂函数、指数函数、对数函数值的综合比较 基本初等函数是高中数学必修教材中重要内容,应用广泛,从近几年高考命题看,涉及函数性质的应用比较大小问题,往往将幂函数、指数函数、对数函数等综合在一起,考查考生的综合应用知识解决问题的能力.‎ 例3【2018届安徽省淮南市第二中学、宿城第一中学高三第四次考】设, , ,则(  )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】由幂函数的性质可得, ,由对数函数的性质可得, ,所以,故选C.‎ ‎1.4 通过求函数的最值证明不等式 ‎ 在对不等式的证明过程中,可以依此不等式的特点构造函数,进而求函数的最值,当该函数的最大值或最小值对不等式成立时,则不等式是永远是成立的,从而可将不等式的证明转化到求函数的最值上 .[ ‎ 例4.已知函数(其中,是自然对数的底数 (1) 若,判断函数在区间上的单调性;‎ (1) 若函数有两个极值点,,求的取值范围;‎ (2) 在(2)的条件下,试证明 .‎ ‎【答案】(1)在上单调递减;(2)实数的取值范围是;(3)见解析. ‎ ‎【解析】(1)若,,则,当时,,‎ ‎ 故函数在区间上是单调递减函数;‎ ‎(2)函数有两个极值点,,则,是[ 学 ]‎ 的两个根,即方程有两个根, 设,则,∴‎ ‎ 在上单调递增,在上单调递减,∴,又∵当时,‎ ‎ ,,当时,,∴实数的取值范围是;‎ ‎(3)由(2)可知,函数的两个极值点,满足,由,‎ ‎ 得,∴,又∵,∴‎ ‎ ,即.学 = ‎ ‎2 数列与不等式相结合 数列与不等式交汇主要以压轴题的形式出现,试题还可能涉及到与导数、函数等知识综合一起考查.主要考查知识重点和热点是数列的通项公式、前项和公式以及二者之间的关系、等差数列和等比数列、归纳与猜想、数学归纳法、比较大小、不等式证明、参数取值范围的探求,在不等式的证明中要注意放缩法的应用.此类题型主要考查学生对知识的灵活变通、融合与迁移,考查学生数学视野的广度和进一步学习数学的潜能.近年 加强了对递推数列考查的力度,这点应当引起我们高度的重视.预计在高考中,比较新颖的数列与不等式选择题或填空题一定会出现.数列解答题的命题热点是与不等式交汇,呈现递推关系的综合性试题.其中,以函数与数列、不等式为命题载体,有着高等数学背景的数列与不等式的交汇试题是未 ‎ 高考命题的一个新的亮点,而命题的冷门则是数列与不等式综合的应用性解答题.‎ ‎2.1 数列中的不等问题 ‎ 例5【2018届河南省南阳市第一中学高三第六次考】已知单调递增的等差数列,其前项和为,则的取值范围是__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】设等差数列的公差为,‎ 由题意可得,即,且.‎ 令,则①,.‎ 画出不等式组①表示的可行域(如图所示),‎ 由得,平移直线.‎ 设直线经过可行域内的点A时, 的值为;经过可行域内的点B时, 的值为,则.‎ 由条件可得,所以.‎ ‎∴.‎ ‎∴的取值范围是.‎ 答案 ‎ ‎2.2 数列参与的不等式证明 ‎ 此类不等式的证明常用的方法 (1)比较法;(2)分析法与综合法,一般是利用分析法分析,再利用综合法分析;(3)放缩法,主要是通过分母分子的扩大或缩小、项数的增加与减少等手段达到证明的目的.‎ 例6【2018届吉林省长春市普通高中高三一模】已知数列的前项和.‎ ‎(Ⅰ)求数列的通项公式;‎ ‎(Ⅱ)设,求证 .‎ ‎【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)证明见解析.‎ ‎【解析】试题分析 (Ⅰ)利用已知条件,推出新数列是等比数列,然后求数列的通项公式 ;(Ⅱ)化简 ,则,利用裂项相消法和,再根据放缩法即可证明结果.[ 学+ + ]‎ ‎3 三角函数的最值与综合运用 ‎1. 掌握求三角函数最值的常用方法 ‎ ‎①配方法(主要利用二次函数理论及三角函数的有界性);②化为一个角的三角函数(主要利用和差角公式及三角函数的有界性);③数形结合法(常用到直线的斜率关系);④换元法(如万能公式,将三角问题转化为代数问题);⑤基本不等式法等.‎ ‎2. 三角函数最值都是在给定区间上取得的,因而特别要注意题设中所给出的区间.‎ ‎(1)求三角函数最值时,一般要进行一些代数变换和三角变换,要注意函数有意义的条件及弦函数的有界性;‎ ‎(2)含参数函数的最值问题,要注意参数的作用和影响.‎ ‎3.1 解三角形中的最值问题 例7在中,角、、的对边分别为、、,且满足.‎ ‎(1)求角的大小;‎ ‎(2)若,求面积的最大值.‎ ‎【答案】(1)(2)‎ ‎【解析】试题分析 (1)利用二倍角公式对原等式化简可求得 的值,进而求得 . (2)对原等式平方,利用向量的数量积的运算公式求得关于 和 的关系式,进而利用基本不等式求得 的范围,进而求得三角形面积的最大值.‎ 试题解析 ‎ ‎(1)由得 解得, ‎ 由,所以 ‎ ‎3.2 与三角函数有关的最值问题 ‎ 例8【2018届江苏省泰州中学高三10月】已知函数.‎ ‎(1)将化简为的形式,并求最小正周期;‎ ‎(2)求在区间上的最大值和最小值及取得最值时的值.‎ ‎【答案】(1) , ;(2)时, , 时, .‎ ‎【解析】试题分析 (1)由三角函数的公式化简可得,由周期公式可得答案;(2)由x的范围可得的范围,可得f(x)的范围,结合三角函数在该区间的单调性,可得最值及对应的x值.‎ 试题解析 ‎ ‎(1)‎ 所以.‎ ‎【反思提升】综合上面的三种类型,解决函数、数列、三角函数中的大小比较问题,解答时首先要找准模型,通过转化 解决,一般情况下,此类问题是几个知识点的交汇,需综合不等式、函数等性质解题.大小比较问题是函数、数列、三角函数的综合应用,在近几年的高考试题中经常出现,成为高考中的一个命题热点,同时也是高中数学必修课中的几大内容之一,解决大小问题不仅会用到函数的基本定义、单调性、奇偶性、周期性、有界性和图象,同时,常常涉及到初等函数、不等式、方程、几何等方面问题;而且在解决一些不等式、数列等问题中也会用最值 求解.学- ‎
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