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文档介绍
2013年高考山东卷(理)数学试题
2013年山东高考数学试题 一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,满分60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。 (1)复数z满足(z-3)(2-i)=5(i为虚数单位),则z的共轭复数为( D ) A. 2+i B.2-i C. 5+i D.5-i (2)设集合A={0,1,2},则集合B={x-y |x∈A, y∈A }中元素的个数是( C ) A. 1 B. 3 C. 5 D.9 (3)已知函数f(x)为奇函数,且当x>0时, f(x) =x2+ ,则f(-1)= ( A ) (A)-2 (B)0 (C)1 (D)2 (4)已知三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱与底面垂直,体积为 ,底面积是边长为 的正 三角形,若P为底面A1B1C1的中心,则PA与平面ABC所成角的大小为 ( B ) (A) (B) (C) (D) (5)将函数y=sin(2x +)的图像沿x轴向左平移 个单位后,得到一个偶函数的图像,则的一个可能取值为 B (A) (B) (C)0 (D) (6)在平面直角坐标系xOy中,M为不等式组:,所表示的区域上一动点,则直线OM斜率的最小值为 C (A)2 (B)1 (C) (D) (7)给定两个命题p、q,若﹁p是q的必要而不充分条件,则p是﹁q的 B (A)充分而不必条件 (B)必要而不充分条件 (C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件 (8)函数y=xcosx + sinx 的图象大致为 D (A) (B) (C) (D) (9)过点(3,1)作圆(x-1)2+y2 =1的两条切线,切点分别为A,B,则直线AB的方程为 A (A)2x+y-3=0 (B)2x-y-3=0 (C)4x-y-3=0 (D)4x+y-3=0 (10)用0,1,…,9十个数字,可以组成有重复数字的三位数的个数为 B (A)243 (B)252 (C)261 (D)279 (11)抛物线C1:y= x2(p>0)的焦点与双曲线C2: 的右焦点的连线交C1于第一象限的点M.若C1在点M处的切线平行于C2的一条渐近线,则p= D (12)设正实数x,y,z满足x2-3xy+4y2-z=0.则当取得最大值时,的最大值 为 B (A)0 (B)1 (C) (D)3 二、填空题:本大题共4小题,每小题4分,共16分 (13)执行右面的程序框图,若输入的的值为0.25,则输入的n的值为 3 (14)在区间[-3,3]上随机取一个数x,使得 |x+1 |- |x-2 |≥1成立的概率为 (15)已知向量与的夹角为,且若 且,则实数的值为 (16)定义“正对数”:,现有四个命题: ①若,则 ②若,则 ③若,则 ④若,则 其中的真命题有: ①③④ (写出所有真命题的编号) 三、解答题:本大题共6小题,共74分. (17)设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且a+c=6,b=2,cosB= . (Ⅰ)求a,c的值; (Ⅱ)求sin(A-B)的值. 解答:(1)由cosB= 与余弦定理得,,又a+c=6,解得 (2)又a=3,b=2,与正弦定理可得,,, 所以sin(A-B)=sinAcosB-cosAsinB= (18)(本小题满分12分) 如图所示,在三棱锥P-ABQ中,PB⊥ 平面ABQ,BA=BP=BQ,D,C,E,F分别是AQ,BQ,AP,BP的中点,AQ=2BD,PD与EQ交于点G,PC与FQ交于点H,连接GH。 (Ⅰ)求证:AB//GH; (Ⅱ)求二面角D-GH-E的余弦值 . 解答:(1)因为C、D为中点,所以CD//AB 同理:EF//AB,所以EF//CD,EF平面EFQ, 所以CD//平面EFQ,又CD平面PCD,所以 CD//GH,又AB//CD,所以AB//GH. (2)由AQ=2BD,D为AQ的中点可得,△ABQ为直角三角形,以B为坐标原点,以BA、BC、BP为x、y、z轴建立空间直角坐标系,设AB=BP=BQ=2,可得平面GCD的一个法向量为,平面EFG的一个法向量为,可得,所以二面角D-GH-E的余弦值为 (19)本小题满分12分 甲、乙两支排球队进行比赛,约定先胜3局者获得比赛的胜利,比赛随即结束.除第五局甲队获胜的概率是外,其余每局比赛甲队获胜的概率是 .假设每局比赛结果互相独立. (1)分别求甲队以3:0,3:1,3:2胜利的概率 (2)若比赛结果为3:0或3:1,则胜利方得3分,对方得0分;若比赛结果为 3:2,则胜利方得2分、对方得1分,求乙队得分x的分布列及数学期望. 解答:(1),, (2)由题意可知X的可能取值为:3,2,1,0 相应的概率依次为:,所以EX= (20)(本小题满分12分) 设等差数列{an}的前n项和为Sn,且S4=4S2,a2n=2an+1 (1) 求数列{an}的通项公式; (2) 设数列{bn}的前n项和Tn,且Tn+ = λ(λ为常数),令cn=b2n,(n∈N•).求数列{cn}的前n项和Rn. 解答:(1)由S4=4S2,a2n=2an+1,{an}为等差数列,可得, 所以 (2)由Tn+ = λ可得,,Tn-1+ = λ两式相减可得,当时,,所以当时,cn=b2n=,错位相减法可得,Rn= 当时,cn=b2n=,可得Rn= (21)(本小题满分13分) 设函数是自然对数的底数,. (1)求的单调区间,最大值; (2)讨论关于x的方程根的个数. 解答:(1),令得,, 当 所以当时,函数取得最的最大值 (2)由(1)知,f(x)先增后减,即从负无穷增大到,然后递减到c,而函数|lnx|是(0,1)时由正无穷递减到0,然后又逐渐增大。 故令f(1)=0得,, 所以当时,方程有两个根; 当时,方程有一两个根; 当时,方程有无两个根. (22)(本小题满分13分) 椭圆C:(a>b>0)的左、右焦点分别是F1、F2,离心率为 ,过F1且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为l. (Ⅰ)求椭圆C的方程; (Ⅱ)点P是椭圆C上除长轴端点外的任一点,连接PF1、PF2,设∠F1PF2的角平分线 PM交C的长轴于点M(m,0),求m的取值范围; (Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,过点p作斜率为k的直线l,使得l与椭圆C有且只有一个公共点, 设直线PF1,PF2的斜率分别为k1,k2,若k≠0,试证明 为定值,并求出这个定值. 解答:(1)由已知得,,,解得 所以椭圆方程为: (2)由题意可知:=,=,设其中,将向量坐标代入并化简得:m(,因为, 所以,而,所以 (3)由题意可知,l为椭圆的在p点处的切线,由导数法可求得,切线方程为: ,所以,而,代入中得: 为定值. www.ks5u.com查看更多