【数学】2020届一轮复习苏教版矩阵与变换课时作业(1)

【数学】2020届一轮复习苏教版矩阵与变换课时作业(1)

‎1、若某线性方程组对应的增广矩阵是，且此方程组有唯一一组解，则实数m的取值范围是________ ．‎ ‎2、圆：在矩阵对应的变换作用下得到了曲线，曲线的矩阵对应的变换作用下得到了曲线，则曲线的方程为__________．‎ ‎3、已知矩阵，则矩阵的逆矩阵为__________．‎ ‎4、将阶数阵记作（其中，当且仅当时，）.如果对于任意的，当时，都有，那么称数阵具有性质.‎ ‎（Ⅰ）写出一个具有性质的数阵，满足以下三个条件：①，②数列是公差为2的等差数列，③数列是公比为的等比数列；‎ ‎（Ⅱ）将一个具有性质A的数阵的每一列原有的各数按照从上到下递增的顺序排列，形成一个新的阶数阵，记作数阵.试判断数阵是否具有性质A，并说明理由.‎ ‎5、已知矩阵，向量.‎ ‎（1）求的特征值、和特征向量、；‎ ‎（2）求的值.‎ ‎6、已知点P(3，1)在矩阵变换下得到点P′(5，－1)．试求矩阵A和它的逆矩阵．‎ ‎7、已知矩阵，A的逆矩阵.‎ ‎（1）求a，b的值；（2）求A的特征值.‎ ‎8、直角坐标平面内，每个点绕原点按逆时针方向旋转的变换所对应的矩阵为，每个点横、纵坐标分别变为原来的倍的变换所对应的矩阵为.‎ ‎(I)求矩阵的逆矩阵；‎ ‎(Ⅱ)求曲线先在变换作用下，然后在变换作用下得到的曲线方程.‎ ‎9、已知矩阵满足：，其中是互不相等的实常数，是非零的平面列向量，，，求矩阵．‎ ‎10、已知矩阵的一个特征值为3，求的另一个特征值．‎ 参考答案 ‎1、答案：m ≠ ？2‎ 解析：因为方程组有唯一解，所以，即，所以填.‎ ‎2、答案：‎ 解析：分析：‎ 详解：，‎ 设为曲线上任意一点，是圆：上与P对应的点，，得，，‎ 是圆上的点，‎ ‎ 的方程为，即.‎ 故答案为：.‎ ‎3、答案：‎ 解析：分析：直接计算即可.‎ 详解：矩阵，‎ 矩阵的逆矩阵.‎ 故答案为：.‎ ‎4、答案：（Ⅰ）（答案不唯一）；（Ⅱ）见解析.‎ 试题分析：（Ⅰ）利用等差数列、等比数列的定义以及“性质”的定义写出即可；（Ⅱ）数阵具有性质A，只需证明，对于任意的，都有，其中用反证明法证明，假设存在，则都大于，第列中至少有个数，这与第列中只有个数矛盾，假设不成立，从而可得结果.‎ ‎【详解】‎ ‎（Ⅰ）（答案不唯一）.‎ ‎（Ⅱ）数阵具有性质A.‎ 只需证明，对于任意的，都有，其中.‎ 下面用反证明法证明：‎ 假设存在，则都大于，‎ 即在第列中，至少有个数大于，且.‎ 根据题意，对于每一个，都至少存在一个，‎ 使得，即在第列中，至少有个数小于.‎ 所以，第列中至少有个数，这与第列中只有个数矛盾.‎ 所以假设不成立.‎ 所以数阵具有性质A.‎ ‎5、答案：(1)当时，解得,当时，解得;(2)见解析.‎ 试题分析：分析：（1）先根据特征值的定义列出特征多项式，令解方程可得特征值，再由特征值列出方程组即可解得相应的特征向量；‎ ‎（2）根据矩阵A的特征多项式求出矩阵A的所有特征值为3和-1，然后根据特征向量线性表示出向量，利用矩阵的乘法法则求出，从而即可求出答案.‎ 详解（1）矩阵的特征多项式为，‎ 令，解得，，‎ 当时，解得；‎ 当时，解得.‎ ‎(2)令，得，求得.‎ 所以 ‎6、答案：．‎ 试题分析：由列方程求出a和b的值，求得矩阵A,|A|及,由即可求得.‎ 详解：依题意得 所以 所以A＝．‎ 因为|A|＝＝1×(－1)－0×2＝－1，‎ 所以＝．‎ ‎7、答案：（1）a＝1，b＝－；（2）λ1＝1，λ2＝3；‎ 试题分析：‎ 利用题意得到特征多项式，据此即可求得相应的特征值为3和1‎ 试题解析：‎ 则解之得 的特征多项式 令，解之得 的特征值为3和1‎ ‎8、答案：(Ⅰ)；(Ⅱ).‎ 试题分析：（I）求出，，即可求矩阵的逆矩阵；‎ ‎（Ⅱ）求出，可得坐标之间的关系，代入方程整理，即可求曲线的方程.‎ 解析：（Ⅰ），，.‎ ‎（Ⅱ），，‎ 代入中得：.‎ 故所求的曲线方程为:.‎ ‎9、答案：.‎ 试题分析：先写出方程f（λ）=0得到ab=1，再根据题意令i=2得到λ2的值，从而求得矩阵M.‎ 详解：由题意，是方程的两根 因为，所以 又因为，所以，从而 所以 因为，所以，从而，‎ 故矩阵 ‎10、答案：‎ 试题分析：分析：矩阵的特征多项式为,由是方程的一个根可得结果.‎ 详解：矩阵的特征多项式为 因为是方程的一个根，‎ 所以，解得，‎ 由，得或3，所以.‎