【数学】2018届一轮复习苏教版I2-7函数的图象教案（江苏专用）
2.7 函数的图象
1.描点法作图
方法步骤：(1)确定函数的定义域；(2)化简函数的解析式；(3)讨论函数的性质即奇偶性、周期性、单调性、最值(甚至变化趋势)；(4)描点连线，画出函数的图象.
2.图象变换
(1)平移变换
(2)对称变换
①y＝f(x)y＝－f(x)；
②y＝f(x)y＝f(－x)；
③y＝f(x)y＝－f(－x)；
④y＝ax (a>0且a≠1)y＝logax(a>0且a≠1).
(3)伸缩变换
①y＝f(x)y＝f(ax).
②y＝f(x)y＝af(x).
(4)翻折变换
①y＝f(x)y＝|f(x)|.
②y＝f(x)y＝f(|x|).
【知识拓展】
1.函数对称的重要结论
(1)函数y＝f(x)与y＝f(2a－x)的图象关于直线x＝a对称.
(2)函数y＝f(x)与y＝2b－f(2a－x)的图象关于点(a，b)中心对称.
(3)若函数y＝f(x)对定义域内任意自变量x满足：f(a＋x)＝f(a－x)，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称.
2.函数图象平移变换八字方针
(1)“左加右减”，要注意加减指的是自变量.
(2)“上加下减”，要注意加减指的是函数值.
【思考辨析】
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)当x∈(0，＋∞)时，函数y＝|f(x)|与y＝f(|x|)的图象相同.( × )
(2)函数y＝af(x)与y＝f(ax)(a>0且a≠1)的图象相同.( × )
(3)函数y＝f(x)与y＝－f(x)的图象关于原点对称.( × )
(4)若函数y＝f(x)满足f(1＋x)＝f(1－x)，则函数f(x)的图象关于直线x＝1对称.( √ )
(5)将函数y＝f(－x)的图象向右平移1个单位得到函数y＝f(－x－1)的图象.( × )
1.(教材改编)设M＝{x|0≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}，给出如图四个图形：
其中，能表示从集合M到集合N的函数关系的有______.(填序号)
答案 ②
解析 ①中，因为在集合M中，当1
8－2.82>0，排除①；f(2)＝8－e2<8－2.72<1，排除②；在x>0时，f(x)＝2x2－ex，f′(x)＝4x－ex，当x∈时，f′(x)<×4－e0＝0，因此f(x)在上单调递减，排除③.
3.(教材改编)若函数y＝f(x)的图象经过点(1,1)，则函数y＝f(4－x)的图象经过点的坐标为________.
答案 (3,1)
解析 令4－x＝1，得x＝3，
则函数y＝f(4－x)的图象过点(3,1).
4.(2016·苏州中学月考)使log2(－x)＜x＋1成立的x的取值范围是__________.
答案 (－1,0)
解析 在同一坐标系内作出y＝log2(－x)，y＝x＋1的图象，知满足条件的x∈(－1,0).
5.已知函数f(x)＝且关于x的方程f(x)－a＝0有两个实根，则实数a的取值范围是________.
答案 (0,1]
解析 当x≤0时，0＜2x≤1，要使方程f(x)－a＝0有两个实根，即函数y＝f(x)与y＝a的图象有两个交点，由图象可知0＜a≤1.
题型一 作函数的图象
例1 作出下列函数的图象.
(1)y＝()|x|；
(2)y＝|log2(x＋1)|；
(3)y＝；
(4)y＝x2－2|x|－1.
解 (1)作出y＝()x的图象，保留y＝()x的图象中x≥0的部分，加上y＝()x的图象中x>0部分关于y轴的对称部分，即得y＝()|x|的图象，如图①实线部分.
(2)将函数y＝log2x的图象向左平移1个单位，再将x轴下方的部分沿x轴翻折上去，即可得到函数y＝|log2(x＋1)|的图象，如图②.
(3)∵y＝＝2＋，故函数图象可由y＝的图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位而得，如图③.
(4)∵y＝且函数为偶函数，先用描点法作出[0，＋∞)上的图象，再根据对称性作出(－∞，0)上的图象，如图④.
思维升华 图象变换法作函数的图象
(1)熟练掌握几种基本函数的图象，如二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、形如y＝x＋的函数.
(2)若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称和伸缩得到，可利用图象变换作出，但要注意变换顺序.
作出下列函数的图象.
(1)y＝|x－2|·(x＋1)；
(2)y＝.
解 (1)当x≥2，即x－2≥0时，
y＝(x－2)(x＋1)＝x2－x－2＝(x－)2－；
当x<2，即x－2<0时，
y＝－(x－2)(x＋1)＝－x2＋x＋2
＝－(x－)2＋.
∴y＝
这是分段函数，每段函数的图象可根据二次函数图象作出(如图).
(2)y＝＝1－，该函数图象可由函数y＝－向左平移3个单位，再向上平移1个单位得到，如图所示.
题型二 识图与辨图
例2 (1)下面所给出的四个图象和三个事件：
①我离开家不久，发现自己把作业本忘在家里了，于是立刻返回家里取了作业本再上学；
②我骑着车一路以匀速行驶离开家，只是在途中遇到一次交通堵塞，耽搁了一些时间；
③我从家里出发后，心情轻松，缓缓行进，后来为了赶时间开始加速.
图象与这三个事件发生的顺序相吻合的分别为______.
(2)已知定义在区间[0,2]上的函数y＝f(x)的图象如图所示，则y＝－f(2－x)的图象为________.
答案 (1)①d，②a，③b (2)②
解析 (1)离家不久发现自己作业本忘在家里，回到家里，这时离家的距离为0，故①与图象d相吻合；途中有一段时间交通堵塞，则这段时间与家的距离必为一定值，故②与图象a相吻合；加速赶向学校，图象上升地就越来越快，故③与图象b相吻合.
(2)方法一 由y＝f(x)的图象知，
f(x)＝
当x∈[0,2]时，2－x∈[0,2]，
所以f(2－x)＝
故y＝－f(2－x)＝图象应为②.
方法二 当x＝0时，－f(2－x)＝－f(2)＝－1；
当x＝1时，－f(2－x)＝－f(1)＝－1.
观察各图象，可知应填②.
思维升华 函数图象的识辨可从以下方面入手
(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；
(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；
(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；
(4)从函数的周期性，判断图象的循环往复；
(5)从函数的特征点，排除不合要求的图象.
(1)如图，函数f(x)的图象是折线段ABC，其中点A，B，C的坐标分别为(0,4)，(2,0)，(6,4)，则f{f[f(2)]}＝____________.
(2)已知f(x)＝则下列函数的图象错误的是________.
答案 (1)2 (2)④
解析 (1)由题意可知f(2)＝0，f(0)＝4，f(4)＝2.
因此，有f{f[f(2)]}＝f[f(0)]＝f(4)＝2.
(2)④中，当00，若存在实数b，使得关于x的方程f(x)＝b有三个不同的根，则m的取值范围是________.
答案 (3，＋∞)
解析 如图，当x≤m时，f(x)＝|x|；当x>m时，f(x)＝x2－2mx＋4m，在(m，＋∞)为增函数，若存在实数b，使方程f(x)＝b有三个不同的根，则m2－2m·m＋4m<|m|.∵m>0，∴m2－3m>0，解得m>3.
思维升华 (1)利用函数的图象研究函数的性质对于已知或易画出其在给定区间上图象的函数，其性质(单调性、奇偶性、周期性、最值(值域)、零点)常借助于图象研究，但一定要注意性质与图象特征的对应法则.
(2)利用函数的图象可解决某些方程和不等式的求解问题，方程f(x)＝g(x)的根就是函数f(x)与g(x)图象交点的横坐标；不等式f(x)0，
在(，4)上y＝cos x<0.
由f(x)的图象知在(1，)上<0，
因为f(x)为偶函数，y＝cos x也为偶函数，
所以y＝为偶函数，
所以<0的解集为{x|－0时，f(x)>0，∴2－m>0，
即m<2，函数f(x)在[－1,1]上是单调递增的，
∴f′(x)>0在[－1,1]上恒成立，
f′(x)＝
＝>0，
∵m－2<0，∴只需要x2－m<0在[－1,1]上恒成立，
∴(x2－m)max<0，∴m>1，
综上所述，10且a≠1，b∈R)的图象如图所示，则a＋b＝________.
答案
解析 由图象可知，函数过点(－3,0)，(0，－2)，
所以得 解得
故a＋b＝.
4.(2016·扬州模拟)设奇函数f(x)在(0，＋∞)上为增函数，且f(1)＝0，则不等式<0的解集为____________.
答案 (－1,0)∪(0,1)
解析 f(x)为奇函数，所以不等式<0化为<0，即xf(x)<0，f(x)的大致图象如图所示.所以xf(x)<0的解集为(－1,0)∪(0,1).
5.已知函数f(x)＝e|ln x|，则函数y＝f(x＋1)的大致图象为________.
答案 ④
解析 当x≥1时，f(x)＝eln x＝x，其图象为一条直线；当02(由于a4.
9.如图，定义在[－1，＋∞)上的函数f(x)的图象由一条线段及抛物线的一部分组成，则f(x)的解析式为________________.
答案 f(x)＝
解析 当－1≤x≤0时，设函数f(x)的解析式为y＝kx＋b，则得
∴y＝x＋1.
当x>0时，设函数f(x)的解析式为y＝a(x－2)2－1，
∵图象过点(4,0)，∴0＝a(4－2)2－1，解得a＝.
∴y＝(x－2)2－1.
综上，f(x)＝
10.定义在R上的函数f(x)＝关于x的方程f(x)＝c(c为常数)恰有三个不同的实数根x1，x2，x3，则x1＋x2＋x3＝________.
答案 0
解析 函数f(x)的图象如图，方程f(x)＝c有三个根，即y＝f(x)与y＝c的图象有三个交点，易知c＝1，且一根为0，由lg|x|＝1知另两根为－10和10，所以x1＋x2＋x3＝0.
11.(2016·徐州模拟)设函数f(x)＝|x＋a|，g(x)＝x－1，对于任意的x∈R，不等式f(x)≥g(x)恒成立，则实数a的取值范围是________.
答案 [－1，＋∞)
解析 如图，要使f(x)≥g(x)恒成立，则－a≤1，∴a≥－1.
12.(2016·泰州调研)已知f(x)是定义在R上的偶函数，且对于任意的x∈[0，＋∞)，满足f(x＋2)＝f(x).若当x∈[0,2)时，f(x)＝|x2－x－1|，则函数y＝f(x)－1在区间[－2,4]上的零点个数为________.
答案 7
解析 作出函数f(x)的图象(如图)，则它与直线y＝1在[－2,4]上的交点的个数，即为函数y＝f(x)－1在[－2,4]的零点的个数，由图象观察知共有7个交点，从而函数y＝f(x)－1在[－2,4]上的零点有7个.
