【数学】2019届一轮复习北师大版（文科数学）第七章第4讲 基本不等式学案
第4讲 基本不等式
[学生用书P114]
1．基本不等式≤
(1)基本不等式成立的条件：a≥0，b≥0．
(2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号．
2．几个重要的不等式
(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)．
(2)＋≥2(a，b同号)．
(3)ab≤(a，b∈R)．
(4)≥(a，b∈R)．
以上不等式等号成立的条件均为a＝b.
3．算术平均数与几何平均数
设a>0，b>0，则a，b的算术平均数为，几何平均数为，基本不等式可叙述为：两个正实数的算术平均数不小于它们的几何平均数．
4．利用基本不等式求最值问题
已知x>0，y>0，则
(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值是2．(简记：积定和最小)
(2)如果和x＋y是定值p，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值是．(简记：和定积最大)
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)函数y＝x＋的最小值是2.( )
(2)函数f(x)＝cos x＋，x∈的最小值等于4. ( )
(3)“x>0且y>0”是“＋≥2”的充要条件．( )
(4)若a>0，则a3＋的最小值为2.( )
(5)不等式a2＋b2≥2ab与≥有相同的成立条件．( )
(6)两个正数的等差中项不小于它们的等比中项．( )
答案：(1)× (2)× (3)× (4)× (5)× (6)√
(教材习题改编)函数f(x)＝x＋的值域为( )
A．[－2，2] B.[2，＋∞)
C．(－∞，－2]∪[2，＋∞) D．R
解析：选C.当x>0时，x＋≥2＝2.
当x<0时，－x>0.
－x＋≥2＝2.
所以x＋≤－2.
所以f(x)＝x＋的值域为(－∞，－2]∪[2，＋∞)．故选C.
(教材习题改编)设x>0，y>0，且x＋y＝18，则xy的最大值为( )
A．80 B.77
C．81 D．82
解析：选C.18＝x＋y≥2，所以≤9，即xy≤81.
若x>1，则x＋的最小值为________．
解析：x＋＝x－1＋＋1≥4＋1＝5.
当且仅当x－1＝，即x＝3时等号成立．
答案：5
若实数x，y满足xy＝1，则x2＋2y2的最小值为______．
解析：因为xy＝1，所以y＝，
所以x2＋2y2＝x2＋≥2 ＝2.
即x2＋2y2的最小值为2.
答案：2
若f(x)＝x＋(x>2)在x＝a处取得最小值，则a＝________．
解析：f(x)＝x＋＝(x－2)＋＋2
≥2＋2＝4，当且仅当x－2＝，
即x＝3时，“＝”成立，所以a＝3.
答案：3
利用基本不等式求最值(高频考点)
[学生用书P114]
利用基本不等式求最值是高考考查的重点，很少单独命题，常与函数的最值、导数、解析几何等综合考查，主要命题角度有：
(1)通过配凑法利用基本不等式求最值；
(2)通过常数代换法利用基本不等式求最值；
(3)通过消元法利用基本不等式求最值．
[典例引领]
角度一 通过配凑法利用基本不等式求最值
(1)已知0
1)的最小值为________．
【解析】 (1)x(4－3x)＝·(3x)(4－3x)≤·＝，
当且仅当3x＝4－3x，
即x＝时，取等号．
(2)因为x<，所以5－4x>0，
则f(x)＝4x－2＋＝－(5－4x＋)＋3≤－2＋3＝1.
当且仅当5－4x＝，
即x＝1时，等号成立．
故f(x)＝4x－2＋的最大值为1.
(3)y＝
＝
＝
＝(x－1)＋＋2≥2＋2.
当且仅当(x－1)＝，
即x＝＋1时，等号成立．
【答案】 (1) (2)1 (3)2＋2
角度二 通过常数代换法利用基本不等式求最值
已知a>0，b>0，a＋b＝1，则＋的最小值为________．
【解析】 因为a＋b＝1，
所以＋＝(a＋b)＝2＋≥2＋2＝2＋2＝4.
当且仅当a＝b时，“＝”成立．
【答案】 4
1.若本例条件不变，求的最小值．
解：
＝
＝·
＝5＋2≥5＋4＝9.
当且仅当a＝b＝时，取等号．
2．若将本例条件改为a＋2b＝3，如何求解＋的最小值．
解：因为a＋2b＝3，
所以a＋b＝1.
所以＋＝＝＋＋＋≥1＋2＝1＋.
当且仅当a＝b时，取等号．
角度三 通过消元法利用基本不等式求最值
已知x>0，y>0，x＋3y＋xy＝9，则x＋3y的最小值为________．
【解析】 法一：由已知得x＋3y＝9－xy，
又因为x>0，y>0，
所以x＋3y≥2，
所以3xy≤，
当且仅当x＝3y时，
即x＝3，y＝1时取等号，
(x＋3y)2＋12(x＋3y)－108≥0.
令x＋3y＝t，
则t>0且t2＋12t－108≥0，
得t≥6即x＋3y≥6.
法二：由x＋3y＋xy＝9，
得x＝，
所以x＋3y＝＋3y＝
＝＝
＝3(1＋y)＋－6≥2－6
＝12－6＝6.
即x＋3y的最小值为6.
【答案】 6
(1)利用基本不等式求最值的两种思路
利用基本不等式解决条件最值的关键是构造和为定值或积为定值，主要有两种思路：
①对条件使用基本不等式，建立所求目标函数的不等式求解．常用的方法有：拆项法、变系数法、凑因子法、换元法、整体代换法等．
②条件变形，进行“1”的代换求目标函数最值．
(2)条件最值的求法
条件最值的求解通常有三种方法：一是消元法，即根据条件建立两个量之间的函数关系，然后代入代数式转化为函数的最值求解；二是将条件灵活变形，利用常数代换的方法构造和或积为常数的式子，然后利用基本不等式求解最值；三是对条件使用基本不等式，建立所求目标函数的不等式求解．
[注意] (1)应用基本不等式解题一定要注意应用的前提：“一正”“二定”“三相等”．所谓“一正”是指正数，“二定”是指应用基本不等式求最值时，和或积为定值，“三相等”是指满足等号成立的条件．
(2)尽量避免多次使用基本不等式，若必须多次使用，一定要保证等号成立的条件一致．
[通关练习]
1．已知x>0，y>0且x＋y＝1，则＋的最小值为________．
解析：因为x>0，y>0，
且x＋y＝1，
所以＋＝(x＋y)
＝10＋＋≥10＋2＝18，
当且仅当＝，
即x＝2y时等号成立，
所以当x＝，y＝时，＋有最小值18.
答案：18
2．若对∀x≥1，不等式x＋－1≥a恒成立，则实数a的取值范围是________．
解析：因为函数g(x)＝x＋－1在[1，＋∞)上单调递增，所以函数g(x)＝x＋1＋－2在[1，＋∞)上单调递增，所以函数g(x)在[1，＋∞)上的最小值为g(1)＝，因此对∀x≥1不等式x＋－1≥a恒成立，所以a≤g(x)最小值＝，故实数a的取值范围是.
答案：
3．若正数x，y满足x＋3y＝5xy，则3x＋4y的最小值为________．
解析：由x＋3y＝5xy可得＋＝1，
所以3x＋4y＝(3x＋4y)
＝＋＋＋≥＋＝5(当且仅当＝，即x＝1，y＝时，等号成立)，
所以3x＋4y的最小值是5.
答案：5
利用基本不等式解决实际问题
[学生用书P115]
[典例引领]
某厂家拟定在2018年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销量(即该厂的年产量)x万件与年促销费用m(m≥0)万元满足x＝3－(k为常数)．如果不搞促销活动，那么该产品的年销量只能是1万件．已知2018年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金)．
(1)将2018年该产品的利润y万元表示为年促销费用m万元的函数；
(2)该厂家2018年的促销费用投入多少万元时，厂家利润最大？
【解】 (1)由题意知，
当m＝0时，x＝1(万件)，
所以1＝3－k⇒k＝2，所以x＝3－，
每件产品的销售价格为1.5×(元)，
所以2018年的利润y＝1.5x×－8－16x－m
＝－＋29(m≥0)．
(2)因为m≥0时，＋(m＋1)≥2＝8，
所以y≤－8＋29＝21，
当且仅当＝m＋1⇒m＝3(万元)时，ymax＝21(万元)．
故该厂家2018年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大为21万元．
利用基本不等式解决实际问题的3个注意点
(1)设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数．
(2)根据实际问题抽象出函数的解析式后，只需利用基本不等式求得函数的最值．
(3)在求函数的最值时，一定要在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围)内求解．
[通关练习]
经市场调查，某旅游城市在过去的一个月内(以30天计)，第t天(1≤t≤30，t∈N*)的旅游人数f(t)(万人)近似地满足f(t)＝4＋，而人均消费g(t)(元)近似地满足g(t)＝120－|t－20|.
(1)求该城市的旅游日收益W(t)(万元)与时间t(1≤t≤30，t∈N*)的函数关系式；
(2)求该城市旅游日收益的最小值．
解：(1)W(t)＝f(t)g(t)
＝(120－|t－20|)
＝
(2)当t∈[1，20]时，401＋4t＋≥401＋2＝441(t＝5时取最小值)．
当t∈(20，30]时，
因为W(t)＝559＋－4t递减，
所以t＝30时，W(t)有最小值W(30)＝443，
所以t∈[1，30]时，W(t)的最小值为441万元．
基本不等式的综合应用(高频考点)[学生用书P116]
基本不等式的综合应用也是高考考查的重点，多为选择题或填空题，难度适中，主要命题角度有：
(1)与其他知识交汇的最值问题；
(2)求参数值或最值范围．
[典例引领]
角度一 与其他知识交汇的最值问题
(1)已知直线ax＋by＋c－1＝0(b，c>0)经过圆x2＋y2－2y－5＝0的圆心，则＋的最小值是( )
A．9 B.8
C．4 D．2
(2)设等差数列{an}的公差是d，其前n项和是Sn，若a1＝d＝1，则的最小值是________．
【解析】 (1)圆x2＋y2－2y－5＝0化成标准方程，
得x2＋(y－1)2＝6，
所以圆心为C(0，1)．
因为直线ax＋by＋c－1＝0经过圆心C，
所以a×0＋b×1＋c－1＝0，
即b＋c＝1.
因此＋＝(b＋c)
＝＋＋5.
因为b，c>0，
所以＋≥2＝4.
当且仅当b＝2c，
且b＋c＝1，
即b＝，c＝时，＋取得最小值9.
(2)an＝a1＋(n－1)d＝n，Sn＝，
所以＝＝(n＋＋1)
≥＝，
当且仅当n＝4时取等号．
所以的最小值是.
【答案】 (1)A (2)
角度二 求参数值或最值范围
(1)已知函数f(x)＝4x＋(x>0，a>0)在x＝3时取得最小值，则a＝________．
(2)不等式x2＋x<＋对任意a，b∈(0，＋∞)恒成立，则实数x的取值范围是________．
【解析】 (1)因为x>0，a>0，
所以f(x)＝4x＋≥2＝4，
当且仅当4x＝，即4x2＝a时，f(x)取得最小值．又因为f(x)在x＝3时取得最小值，
所以a＝4×32＝36.
(2)根据题意，由于不等式x2＋x<＋对任意a，b∈(0，＋∞)恒成立，
则x2＋x<，
因为＋≥2＝2，
当且仅当a＝b时等号成立，
所以x2＋x<2，求解此一元二次不等式可知－20)，
当且仅当y＝x时取等号，
所以(x＋y)·的最小值为(＋1)2，
于是(＋1)2≥9恒成立．
所以a≥4.
2．已知正数x，y满足x＋2≤λ(x＋y)恒成立，则实数λ的最小值为________．
解析：依题意得x＋2≤x＋(x＋2y)＝2(x＋y)，即≤2(当且仅当x＝2y时取等号)，即的最大值为2.又λ≥，因此有λ≥2，即λ的最小值为2.
答案：2
基本不等式转化的功能
基本不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能，常常用于比较数(式)的大小或证明不等式，解决问题的关键是分析不等式两边的结构特点，选择好利用基本不等式的切入点．
基本不等式的应用技巧
(1)若直接满足基本不等式条件，则直接应用基本不等式．
(2)有些题目虽然不具备直接用基本不等式求最值的条件，但可以通过添项、构造“1”的代换、分离常数、平方等手段使之能运用基本不等式．常用的方法还有：拆项法、变系数法、凑因子法、分离常数法、换元法、整体代换法等．
(3)对于基本不等式还要掌握公式的逆用和变形，例如a2＋b2≥2ab逆用就是ab≤；≥(a>0，b>
0)逆用就是ab≤(a>0，b>0)．变形有ab≤≤，≤≤ (a>0，b>0)等，同时还要注意“添”“拆”项技巧和公式等号成立的条件等．
应用基本不等式解题时应注意3点
(1)利用基本不等式求最值的三个条件为“一正、二定、三相等”，忽视哪一个都可能致误．
(2)连续使用基本不等式求最值要求每次等号成立的条件一致．
(3)对使用基本不等式时等号取不到的情况，应考虑使用函数y＝x＋(m>0)的单调性．
[学生用书P295(单独成册)]
1．当x>0时，函数f(x)＝有( )
A．最小值1 B.最大值1
C．最小值2 D．最大值2
解析：选B.f(x)＝≤＝1.
当且仅当x＝，x>0即x＝1时取等号．所以f(x)有最大值1.
2．下列不等式一定成立的是( )
A．lg>lg x(x>0)
B．sin x＋≥2(x≠kπ，k∈Z)
C．x2＋1≥2|x|(x∈R)
D.>1(x∈R)
解析：选C.对选项A，当x>0时，x2＋－x＝≥0，所以lg≥lg x；
对选项B，当sin x<0时显然不成立；
对选项C，x2＋1＝|x|2＋1≥2|x|，一定成立；
对选项D，因为x2＋1≥1，
所以0<≤1.故选C.
3．若a>b>1，P＝，Q＝(lg a＋lg b)，R＝lg ，则( )
A．Rb>1，所以lg a>lg b>0，(lg a＋lg b)>，即Q>P.因为>，所以lg>lg＝(lg a＋lg b)＝Q，
所以R>Q，所以P0，b>0，a＋2b＝3，则＋的最小值为________．
解析：由a＋2b＝3得a＋b＝1，
所以＋＝
＝＋＋≥＋2＝.
当且仅当a＝2b＝时取等号．
答案：
7．已知函数y＝x－4＋(x>－1)，当x＝a时，y取得最小值b，则a＋b＝________．
解析：y＝x－4＋＝x＋1＋－5，
因为x>－1，所以x＋1>0，>0.
所以由基本不等式，
得y＝x＋1＋－5≥2－5＝1，
当且仅当x＋1＝，
即(x＋1)2＝9，即x＋1＝3，x＝2时取等号，
所以a＝2，b＝1，a＋b＝3.
答案：3
8．若2x＋2y＝1，则x＋y的取值范围是________．
解析：因为2x＋2y≥2＝2(当且仅当2x＝2y时等号成立)，所以≤，所以2x＋y≤，得x＋y≤－2.
答案：(－∞，－2]
9．(1)当x<时，求函数y＝x＋的最大值；
(2)设00，
所以＋≥2＝4，
当且仅当＝，即x＝－时取等号．
于是y≤－4＋＝－，
故函数的最大值为－.
(2)因为00，
所以y＝＝·≤·＝，当且仅当x＝2－x，即x＝1时取等号，所以当x＝1时，函数y＝的最大值为.
10．已知x>0，y>0，且2x＋8y－xy＝0，求
(1)xy的最小值；
(2)x＋y的最小值．
解：(1)由2x＋8y－xy＝0，
得＋＝1，
又x>0，y>0，
则1＝＋≥2 ＝.
得xy≥64，
当且仅当x＝16，y＝4时，等号成立．
所以xy的最小值为64.
(2)由2x＋8y－xy＝0，得＋＝1，
则x＋y＝·(x＋y)
＝10＋＋≥10＋2 ＝18.
当且仅当x＝12且y＝6时等号成立，
所以x＋y的最小值为18.
1．已知直线ax＋by－6＝0(a>0，b>0)被圆x2＋y2－2x－4y＝0截得的弦长为2，则ab的最大值是( )
A．9 B.
C．4 D．
解析：选B.将圆的一般方程化为标准方程为(x－1)2＋(y－2)2＝5，圆心坐标为(1，2)，半径r＝，故直线过圆心，即a＋2b＝6，所以a＋2b＝6≥2，可得ab≤，当且仅当a＝2b＝3时等号成立，即ab的最大值是，故选B.
2．若正数a，b满足a＋b＝2，则＋的最小值是( )
A．1 B.
C．9 D．16
解析：选B.＋
＝·
＝
≥
＝，
当且仅当＝，即a＝，b＝时取等号，故选B.
3．设a，b>0，a＋b＝5，则＋的最大值为________．
解析：设＝m，＝n，则m，n均大于零，
因为m2＋n2≥2mn，
所以2(m2＋n2)≥(m＋n)2，
所以m＋n≤·，
所以＋
≤·
＝3，
当且仅当＝，
即a＝，b＝时“＝”成立，
所以所求最大值为3.
答案：3
4．设x，y满足约束条件，若目标函数z＝ax＋by(a>1，b>2)的最大值为5，则＋的最小值为________．
解析：由约束条件，作出可行域如图，联立，解得A(1，1)．
由z＝ax＋by(a>1，b>2)，得y＝－x＋，
由图可知，zmax＝a＋b＝5.
可得a－1＋b－2＝2.
所以＋＝(a－1＋b－2)＝
≥＝.
当且仅当b＝2a时等号成立，并且a＋b＝5，a>1，b>2即a＝，b＝时上式等号成立．
所以＋的最小值为.
答案：
5．已知x>0，y>0，且2x＋5y＝20.
求：(1)u＝lg x＋lg y的最大值；
(2)＋的最小值．
解：(1)因为x>0，y>0，
所以由基本不等式，得2x＋5y≥2.
因为2x＋5y＝20，
所以2≤20，xy≤10，
当且仅当2x＝5y时，等号成立．
因此有解得
此时xy有最大值10.
所以u＝lg x＋lg y＝lg(xy)≤lg 10＝1.
所以当x＝5，y＝2时，u＝lg x＋lg y有最大值1.
(2)因为x>0，y>0，
所以＋＝·
＝≥
＝.
当且仅当＝时，等号成立．
由解得
所以＋的最小值为.
6．某商人投资81万元建一间工作室，第一年装修费为1万元，以后每年增加2万元，把工作室出租，每年收入租金30万元．
(1)若扣除投资和各种装修费，则从第几年开始获取纯利润？
(2)若干年后该商人为了投资其他项目，对该工作室有两种处理方案：①年平均利润最大时，以46万元出售该工作室；②纯利润总和最大时，以10万元出售该工作室．问该商人会选择哪种方案？
解：(1)设第n年获取利润为y万元．
n年付出的装修费构成一个首项为1，公差为2的等差数列，n年付出的装修费之和为n×1＋×2＝n2，又投资81万元，n年共收入租金30n万元，
所以利润y＝30n－n2－81(n∈N*)．
令y＞0，即30n－n2－81＞0，
所以n2－30n＋81＜0，
解得3＜n＜27(n∈N*)，所以从第4年开始获取纯利润．
(2)方案①：年平均利润t＝＝30－－n＝30－≤30－2＝12(当且仅当＝n，即n＝9时取等号)，
所以年平均利润最大时，以46万元出售该工作室共获利润12×9＋46＝154(万元)．
方案②：纯利润总和y＝30n－n2－81＝－(n－15)2＋144(n∈N*)，
当n＝15时，纯利润总和最大，为144万元，
所以纯利润总和最大时，以10万元出售该工作室共获利润144＋10＝154(万元)，
两种方案盈利相同，但方案①时间比较短，所以选择方案①.
