高中数学高考总复习函数的奇偶性习题及详解

高中数学高考总复习函数的奇偶性习题及详解

高中数学高考总复习函数的奇偶性习题及详解 一、选择题 ‎1．(文)下列函数，在其定义域内既是奇函数又是增函数的是(　　)‎ A．y＝x＋x3(x∈R)‎ B．y＝3x(x∈R)‎ C．y＝－log2x(x>0，x∈R)‎ D．y＝－(x∈R，x≠0)‎ ‎[答案]　A ‎[解析]　首先函数为奇函数、定义域应关于原点对称，排除C，若x＝0在定义域内，则应有f(0)＝0，排除B；又函数在定义域内单调递增，排除D，故选A.‎ ‎(理)下列函数中既是奇函数，又在区间[－1,1]上单调递减的是(　　)‎ A．f(x)＝sinx B．f(x)＝－|x＋1|‎ C．f(x)＝(ax＋a－x) D．f(x)＝ln ‎[答案]　D ‎[解析]　y＝sinx与y＝ln为奇函数，而y＝(ax＋a－x)为偶函数，y＝－|x＋1|是非奇非偶函数．y＝sinx在[－1,1]上为增函数．故选D.‎ ‎2．(2010·安徽理，4)若f(x)是R上周期为5的奇函数，且满足f(1)＝1，f(2)＝2，则f(3)－f(4)＝(　　)‎ A．－1 B．1‎ C．－2 D．2‎ ‎[答案]　A ‎[解析]　f(3)－f(4)＝f(－2)－f(－1)＝－f(2)＋f(1)＝－2＋1＝－1，故选A.‎ ‎3．(2010·河北唐山)已知f(x)与g(x)分别是定义在R上奇函数与偶函数，若f(x)＋g(x)＝log2(x2＋x＋2)，则f(1)等于(　　)‎ A．－ B. C．1 D. ‎[答案]　B ‎[解析]　由条件知，，‎ ‎∵f(x)为奇函数，g(x)为偶函数．‎ ‎∴，∴f(1)＝.‎ ‎4．(文)(2010·北京崇文区)已知f(x)是定义在R上的偶函数，并满足f(x＋2)＝－，当1≤x≤2时，f(x)＝x－2，则f(6.5)＝(　　)‎ A．4.5 B．－4.5‎ C．0.5 D．－0.5‎ ‎[答案]　D ‎[解析]　∵f(x＋2)＝－，∴f(x＋4)＝f[(x＋2)＋2]＝－＝f(x)，∴f(x)周期为4，∴f(6.5)＝f(6.5－8)＝f(－1.5)＝f(1.5)＝1.5－2＝－0.5.‎ ‎(理)(2010·山东日照)已知函数f(x)是定义域为R的偶函数，且f(x＋2)＝f(x)，若f(x)在[－1,0]上是减函数，则f(x)在[2,3]上是(　　)‎ A．增函数 B．减函数 C．先增后减的函数 D．先减后增的函数 ‎[答案]　A ‎[解析]　由f(x＋2)＝f(x)得出周期T＝2，‎ ‎∵f(x)在[－1,0]上为减函数，‎ 又f(x)为偶函数，∴f(x)在[0,1]上为增函数，从而f(x)在[2,3]上为增函数．‎ ‎5．(2010·辽宁锦州)已知函数f(x)是定义在区间[－a，a](a>0)上的奇函数，且存在最大值与最小值．若g(x)＝f(x)＋2，则g(x)的最大值与最小值之和为(　　)‎ A．0 B．2‎ C．4 D．不能确定 ‎[答案]　C ‎[解析]　∵f(x)是定义在[－a，a]上的奇函数，∴f(x)的最大值与最小值之和为0，又g(x)＝f(x)＋2是将f(x)的图象向上平移2个单位得到的，故g(x)的最大值与最小值比f(x)的最大值与最小值都大2，故其和为4.‎ ‎6．定义两种运算：a⊗b＝，a⊕b＝|a－b|，则函数f(x)＝(　　)‎ A．是偶函数 B．是奇函数 C．既是奇函数又是偶函数 D．既不是奇函数又不是偶函数 ‎[答案]　B ‎[解析]　f(x)＝，‎ ‎∵x2≤4，∴－2≤x≤2，‎ 又∵x≠0，∴x∈[－2,0)∪(0,2]．‎ 则f(x)＝，‎ f(x)＋f(－x)＝0，故选B.‎ ‎7．已知f(x)是定义在(－∞，＋∞)上的偶函数，且在(－∞，0]上是增函数，设a＝f(log47)，b＝f(log3)，c＝f(0.20.6)，则a、b、c的大小关系是(　　)‎ A．c1，|log3|＝log23>log2，0<0.20.6<1，‎ ‎∴|log3|>|log47|>|0.20.6|.‎ 又∵f(x)在(－∞，0]上是增函数，且f(x)为偶函数，‎ ‎∴f(x)在[0，＋∞)上是减函数．‎ ‎∴b0得，－22，排除D，‎ 当x＝时，y＝＝>1，排除B，故选C.‎ 二、填空题 ‎11．(文)已知f(x)＝，则f＋f的值为________．‎ ‎[答案]　－2‎ ‎[解析]　f＝f－1＝f－2‎ ‎＝sin－2＝－，‎ f＝sin＝sin＝，∴原式＝－2.‎ ‎(理)设f(x)是定义在R上的奇函数，且y＝f(x)的图象关于直线x＝对称，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)＝________.‎ ‎[答案]　0‎ ‎[解析]　∵f(x)的图象关于直线x＝对称，‎ ‎∴f＝f，对任意x∈R都成立，‎ ‎∴f(x)＝f(1－x)，又f(x)为奇函数，‎ ‎∴f(x)＝－f(－x)＝－f(1＋x)‎ ‎＝f(－1－x)＝f(2＋x)，‎ ‎∴周期T＝2　∴f(0)＝f(2)＝f(4)＝0‎ 又f(1)与f(0)关于x＝对称 ‎∴f(1)＝0　∴f(3)＝f(5)＝0　填0.‎ ‎12．(2010·深圳中学)已知函数y＝f(x)是偶函数，y＝g(x)是奇函数，它们的定义域都是[－π，π]，且它们在x∈[0，π]上的图象如图所示，则不等式<0的解集是________．‎ ‎[答案]　∪ ‎[解析]　依据偶函数的图象关于y轴对称，奇函数的图象关于原点对称，先补全f(x)、g(x)的图象，‎ ‎∵<0，∴，或，观察两函数的图象，其中一个在x轴上方，一个在x轴下方的，即满足要求，∴－0得，－2，∴0，当x∈(－1，－)时，g′(x)<0，当x∈(－，＋∞)时，g′(x)>0，‎ ‎∴g(x)在x＝－1处取得极大值，在x＝－处取得极小值．‎ 又∵g(－1)＝2，g(－)＝，且方程g(x)＋b＝0即g(x)＝－b有三个不同的实数解，∴<－b<2，‎ 解得－20且a≠1)是定义在(－∞，＋∞)上的奇函数．‎ ‎(1)求a的值；‎ ‎(2)求函数f(x)的值域；‎ ‎(3)当x∈(0,1]时，tf(x)≥2x－2恒成立，求实数t的取值范围．‎ ‎[解析]　(1)∵f(x)是定义在(－∞，＋∞)上的奇函数，即f(－x)＝－f(x)恒成立，∴f(0)＝0.‎ 即1－＝0，‎ 解得a＝2.‎ ‎(2)∵y＝，∴2x＝，‎ 由2x>0知>0，‎ ‎∴－10，a>0，且f(x)为偶函数，证明F(m)＋F(n)>0.‎ ‎[解析]　(1)因为f(x)＝ax2＋bx＋c，所以f ′(x)＝2ax＋b.‎ 又曲线y＝f(x)在点(－1，f(－1))处的切线垂直于y轴，故f ′(－1)＝0，‎ 即－2a＋b＝0，因此b＝2a.①‎ 因为f(－1)＝0，所以b＝a＋c.②‎ 又因为曲线y＝f(x)通过点(0,2a＋3)，‎ 所以c＝2a＋3.③‎ 解由①，②，③组成的方程组得，a＝－3，b＝－6，c＝－3.‎ 从而f(x)＝－3x2－6x－3.‎ 所以F(x)＝.‎ ‎(2)由(1)知f(x)＝－3x2－6x－3，‎ 所以g(x)＝kx－f(x)＝3x2＋(k＋6)x＋3.‎ 由g(x)在[－1,1]上是单调函数知：‎ ‎－≤－1或－≥1，得k≤－12或k≥0.‎ ‎(3)因为f(x)是偶函数，可知b＝0.‎ 因此f(x)＝ax2＋c.‎ 又因为mn<0，m＋n>0，‎ 可知m，n异号．‎ 若m>0，则n<0.‎ 则F(m)＋F(n)＝f(m)－f(n)＝am2＋c－an2－c ‎＝a(m＋n)(m－n)>0.‎ 若m<0，则n>0.‎ 同理可得F(m)＋F(n)>0.‎ 综上可知F(m)＋F(n)>0.‎