2018届二轮复习直线与圆学案
第1讲 直线与圆
考查重点是直线间的平行和垂直的条件、与距离有关的问题.直线与圆的位置关系(特别是弦长问题)，此类问题难度属于中低档，一般以选择题、填空题的形式出现.
热点一 直线的方程及应用
1．两条直线平行与垂直的判定
若两条不重合的直线l1，l2的斜率k1，k2存在，则l1∥l2⇔k1＝k2，l1⊥l2⇔k1k2＝－1.若给出的直线方程中存在字母系数，则要考虑斜率是否存在．
2．求直线方程
要注意几种直线方程的局限性．点斜式、两点式、斜截式要求直线不能与x轴垂直，而截距式方程不能表示过原点的直线，也不能表示垂直于坐标轴的直线．
3．两个距离公式
(1)两平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0，
l2：Ax＋By＋C2＝0间的距离d＝(A2＋B2≠0)．
(2)点(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离公式d＝(A2＋B2≠0)．
例1 (1)(2017届湖南省长郡中学、衡阳八中等十三校重点中学联考)“a＝2”是“直线ax＋y－2＝0与直线2x＋y＋4＝0平行”的( )
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
答案 A
解析 由ax＋y－2＝0与直线2x＋y＋4＝0平行，得a＝2，∴a＝－1，a＝2.经检验当a＝－1时，两直线重合(舍去)．∴“a＝2”是“直线ax＋y－2＝0与直线2x＋y＋4
＝0平行”的充要条件．
(2)(2017届南京、盐城模拟)在平面直角坐标系xOy中，直线l1：kx－y＋2＝0与直线l2：x＋ky－2＝0相交于点P，则当实数k变化时，点P到直线x－y－4＝0的距离的最大值为________．
答案 3
解析 由题意，得直线l1：kx－y＋2＝0的斜率为k，且经过点A，直线l2：x＋ky－2＝0的斜率为－，且经过点B，且直线l1⊥l2，所以点P落在以AB为直径的圆C上，其中圆心坐标为C，半径为r＝，
则圆心到直线x－y－4＝0的距离为d＝＝2，
所以点P到直线x－y－4＝0的最大距离为
d＋r＝2＋＝3.
思维升华 (1)求解两条直线的平行或垂直问题时要考虑斜率不存在的情况．
(2)对解题中可能出现的特殊情况，可用数形结合的方法分析研究．
跟踪演练1 (1)已知直线l1：ax＋y＋1＝0，l2：x＋ay＋2＝0，其中a∈R，则“a＝－3”是“l1⊥l2”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
答案 A
解析 直线l1⊥l2的充要条件是a＋a＝0，
∴a＝0，∴a＝0或a＝－3.故选A.
(2)已知两点A(3,2)和B(－1,4)到直线mx＋y＋3＝0的距离相等，则m的值为( )
A．0或－ B.或－6
C．－或 D．0或
答案 B
解析 依题意，得＝，
所以|3m＋5|＝|m－7|.
所以(3m＋5)2＝(m－7)2，
整理得2m2＋11m－6＝0.
所以m＝或m＝－6.
热点二 圆的方程及应用
1．圆的标准方程
当圆心为(a，b)，半径为r时，其标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，特别地，当圆心在原点时，方程为x2＋y2＝r2.
2．圆的一般方程
x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，其中D2＋E2－4F>0，表示以为圆心，为半径的圆．
例2 (1)(2017·海口调研)已知圆M与直线3x－4y＝0及3x－4y＋10＝0都相切，圆心在直线y＝－x－4上，则圆M的方程为( )
A.2＋2＝1
B.2＋2＝1
C.2＋2＝1
D.2＋2＝1
答案 C
解析 到两直线3x－4y＝0及3x－4y＋10＝0的距离都相等的直线方程为3x－4y＋5＝0，联立方程组解得两平行线之间的距离为2，所以半径为1，从而圆M的方程为2＋2＝1.故选C.
(2)(2017·百校联盟质检)若圆C过点，，且圆心到直线x－y－2＝0的距离为2，则圆C的标准方程为______________．
答案 x2＋2＝9或2＋2＝73
解析 由题意可设圆心C，则＝2⇒a＝0或a＝8，所以半径等于或 ，即圆C的标准方程为x2＋2＝9或2＋2＝73.
思维升华 解决与圆有关的问题一般有两种方法
(1)几何法，通过研究圆的性质、直线与圆、圆与圆的位置关系，进而求得圆的基本量和方程．
(2)代数法，即用待定系数法先设出圆的方程，再由条件求得各系数．
跟踪演练2 (1)圆心为且与直线x－y＝0相切的圆的方程为( )
A.2＋y2＝1 B.2＋y2＝12
C.2＋y2＝6 D.2＋y2＝9
答案 B
解析 由题意可知，圆的半径为点到直线的距离，
即r＝d＝＝2 ，
结合圆心坐标可知，圆的方程为2＋y2＝12 .
(2)(2016·浙江)已知a∈R，方程a2x2＋(a＋2)y2＋4x＋8y＋5a＝0表示圆，则圆心坐标是____________，半径是________．
答案 (－2，－4) 5
解析 由已知方程表示圆，则a2＝a＋2，
解得a＝2或a＝－1.
当a＝2时，方程不满足表示圆的条件，故舍去．
当a＝－1时，原方程为x2＋y2＋4x＋8y－5＝0，
化为标准方程为(x＋2)2＋(y＋4)2＝25，
表示以(－2，－4)为圆心，5为半径的圆．
热点三 直线与圆、圆与圆的位置关系
1．直线与圆的位置关系：相交、相切和相离，判断的方法主要有点线距离法和判别式法．
(1)点线距离法：设圆心到直线的距离为d，圆的半径为r，则d
r⇔直线与圆相离．
(2)判别式法：设圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2，直线l：Ax＋By＋C＝0，方程组消去y，得到关于x的一元二次方程，其根的判别式为Δ，则直线与圆相离⇔Δ<0，直线与圆相切⇔Δ＝0，直线与圆相交⇔Δ>0.
2．圆与圆的位置关系有五种，即内含、内切、相交、外切、外离．
设圆C1：(x－a1)2＋(y－b1)2＝r，圆C2：(x－a2)2＋(y－b2)2＝r，两圆心之间的距离为d，则圆与圆的五种位置关系的判断方法如下：
(1)d>r1＋r2⇔两圆外离．
(2)d＝r1＋r2⇔两圆外切．
(3)|r1－r2|0，所以t≥1＋，所以mn≥3＋2.故mn有最小值3＋2，无最大值．故选B.
3．若圆x2＋y2＝4与圆x2＋y2＋ax＋2ay－9＝0(a>0)相交，公共弦的长为2，则a＝________.
押题依据 本题已知公共弦长，求参数的范围，情境新颖，符合高考命题的思路．
答案
解析 联立两圆方程
可得公共弦所在直线方程为ax＋2ay－5＝0，
故圆心(0,0)到直线ax＋2ay－5＝0的距离为
＝(a>0)．
故2＝2，
解得a2＝，
因为a>0，所以a＝.
A组 专题通关
1．(2017·河南省郑州市第一中学调研)点在直线l：ax－y＋1＝0上，则直线l的倾斜角为( )
A．30° B．45°
C．60° D．120°
答案 C
解析 将点代入直线方程，求得a＝ ，所以直线l：x－y＋1＝0 ，斜率k＝ ，所以倾斜角为60°，故选C.
2．(2017届吉林大学附属中学模拟)若<α<2π，则直线＋＝1必不经过( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
答案 B
解析 令x＝0，得y＝sin α<0，令y＝0，得x＝cos α>0，直线过(0，sin α)，(cos α，0)两点，因而直线不过第二象限．故选B.
3．直线l与两条直线y＝1，x－y－7＝0分别交于P，Q两点，线段PQ的中点坐标为(1，－1)，那么直线l的斜率是( )
A. B.
C．－ D．－
答案 C
解析 设P(a,1) ，Q(b，b－7) ，
所以
解得所以P(－2,1)，Q(4，－3)，
所以直线l的斜率k＝＝－，故选C.
4．(2017·湖北省六校联合体联考)过点P的直线与圆x2＋y2＝1相切，且与直线ax＋y－1＝0垂直，则实数a的值为( )
A．0 B．－
C．0或 D.
答案 C
解析 当a＝0时，直线ax＋y－1＝0，即直线y＝1，此时过点P且与直线y＝1垂直的直线为x＝1，而x＝1与圆相切，满足题意，所以a＝0成立；当a≠0时，过点P且与直线ax＋y－1＝0垂直的直线斜率为，可设该直线方程为y－2＝，即x－ay＋2a－1＝0，再根据直线与圆相切，即圆心到直线距离为1，可得＝1，解得a＝.所以a＝0或.故选C.
5．(2017·广西陆川县中学知识竞赛)已知圆C1：x2＋y2－2x－4y－4＝0与圆C2：x2＋y2＋4x－10y＋25＝0相交于A，B两点，则线段AB的垂直平分线的方程为( )
A．x＋y－3＝0 B．x－y＋3＝0
C．x＋3y－1＝0 D．3x－y＋1＝0
答案 A
解析 由题设可知，线段AB的垂直平分线过两圆的圆心C1(1,2)，C2(－2,5)，由此可得kC1C2＝＝－1，故由点斜式方程可得y－2＝－(x－1)，即x＋y－3＝0，故选A.
6．(2017届唐山模拟)在平面直角坐标系xOy中，圆O的方程为x2＋y2＝4，直线l的方程为y＝k，若在圆O上至少存在三点到直线l的距离为1，则实数k的取值范围是( )
A. B.
C. D.
答案 B
解析 根据直线与圆的位置关系可知，若圆O: x2＋y2＝4上至少存在三点到直线l: y＝k的距离为1，则圆心到直线kx－y＋2k＝0的距离d应满足d≤1，即≤1，解得k2≤，即－≤k≤，故选B.
7．(2017·武汉调研)已知圆C：(x－1)2＋(y－4)2＝10和点M(5，t)，若圆C上存在两点A，B
，使得MA⊥MB，则实数t的取值范围为( )
A．[－2,6] B．[－3,5]
C．[2,6] D．[3,5]
答案 C
解析 过点M作圆的两条切线，切点分别为A，B，连接AC，BC，MC，若圆C上存在两点A，B，使得MA⊥MB，只需∠AMC≥45°，sin∠AMC＝≥，解得2≤t≤6，故选C.
8．(2017届上海市黄浦区模拟)若关于x，y的方程组有无数多组解，则实数a＝________.
答案 2
解析 当a＝0时， 不合题意；
当a≠0时，由＝＝，解得a＝2.
综上可知， a＝2.
9．(2017届安徽省马鞍山市质检)已知A， B，C，线段AD是△ABC外接圆的直径，则点D的坐标是__________．
答案
解析 设D ，因为B， C在圆周上且AD是△ABC外接圆的直径，所以kBA·kBD＝－1＝×，kCA·kCD＝－1＝×， 解得x＝6，y＝－2，所以点D的坐标是.
10．以坐标原点O为圆心，且与直线x＋y＋2＝0相切的圆的方程是________________，圆O与圆x2＋y2－2y－3＝0的位置关系是________．
答案 x2＋y2＝2 相交
解析 由题意所求圆的半径等于原点O到直线x＋y＋2＝0的距离，即r＝＝，则所求圆的方程是x2＋y2＝2.因为圆O与圆x2＋y2－2y－3＝0的圆心和半径分别为O(0,0)，r1＝，C2(0,1)，r2＝2，r1＋r2＝2＋，r2－r1＝2－，所以r2－r1<|OC2|＝10，解得a≥6，故选D.
15．(2017届广西南宁模拟)过动点M作圆2＋2＝1的切线MN，其中N为切点，若＝(O为坐标原点)，则的最小值是____________．
答案
解析 由圆的方程可得圆心C的坐标为(2,2)，半径为1.
由M(a，b)，可得|MN|2＝(a－2)2＋(b－2)2－12
＝a2＋b2－4a－4b＋7，
|MO|2＝a2＋b2.
由|MN|＝|MO|，得a2＋b2－4a－4b＋7＝a2＋b2，
整理得4a＋4b－7＝0.
∴a，b满足的关系式为4a＋4b－7＝0.
求|MN|的最小值，就是求|MO|的最小值．
在直线4a＋4b－7＝0上取一点到原点距离最小，
由“垂线段最短”得直线OM垂直于直线4a＋4b－7＝0，
由点到直线的距离公式，得MN的最小值为
＝.
16．在平面直角坐标系xOy中，圆C：(x＋2)2＋(y－m)2＝3.若圆C存在以G为中点的弦AB，且AB＝2GO，则实数m的取值范围是______________．
答案 [－，]
解析 由于圆C存在以G为中点的弦AB，且AB＝2GO，所以OA⊥OB，如图，过点O作圆C的两条切线，切点分别为B，D，圆上要存在满足题意的点A，只需∠BOD≥90°，即
∠COB≥45°，连接CB，∵CB⊥OB，由于C(－2，m)，|CO|＝，|CB|＝，由sin∠COB＝＝≥sin 45°＝，解得－≤m≤.
