河北省正定中学2020届高三下学期第四次阶段质量检测数学（文）试题 Word版含解析

河北省正定中学2020届高三下学期第四次阶段质量检测数学（文）试题 Word版含解析

‎2020届高三下学期第四次阶段质量检测 数学（文）试卷 ‎（时间120分钟，满分150分）‎ 注意事项：‎ ‎1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.‎ ‎2.回答选择题时，选出每小题的答案后，用2B铅笔把答题卡上的对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.‎ ‎3.在答题卡上与题号相对应的答题区域内答题，写在试卷、草稿纸上或答题卡非题号对应的答题区域的答案一律无效.不得用规定以外的笔和纸答题，不得在答题卡上做任何标记.‎ 第Ⅰ卷选择题 一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.已知集合，，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求得集合A和集合B中表示的具体的数，再求出，根据集合的补集和交集运算可得选项.‎ ‎【详解】A集合表示的是被3整除余2的自然数，所以表示的是被3整除或被3整除余1的自然数，B集合中的自然数有2,3,4,5,6，其中被3整除或被3整除余1的自然数是3、4、6，‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查集合的意义和集合的运算，属于基础题.‎ ‎2.在复平面内，若复数所对应的点位于（ ）‎ A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第四象限 D. 虚轴 - 25 -‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先化简复数z，再得出复数所表示的点，可得选项.‎ ‎【详解】因为,所以在复平面上，复数表示的点是,在第四象限，‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查复数的运算和复数的几何意义，属于基础题.‎ ‎3.在锐角中，、为其内角，则“”是“”的（ ）‎ A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 既非充分也非必要条件 D. 充分必要条件 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据正弦定理可得边角的关系，再由不等式的性质和充分必要条件的判定可得选项.‎ ‎【详解】由正弦定理，得，‎ 由得，即，由大边对大角得，又由于是锐角，所以由得；‎ 当时，又由于是锐角，所以，得，即，又由正弦定理得，‎ 因此“”是“”的充要条件，‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】本题考查正弦定理的应用以及充分必要条件的判断，属于基础题.‎ ‎4.把100个面包分给5个人，使每个人的所得成等差数列，且使较大的三份之和的是较小的两份之和，则最小一份的量为（ ）‎ A. 5 B. C. D. 10‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ - 25 -‎ ‎【分析】‎ 利用等差数列的通项公式或前n项和公式，结合已知条件列出方程组，通过解方程组,即可求得数列，可得出选项.‎ ‎【详解】设最小的一份为,公差为d, 由题意可得,且， 解得, 故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查等差数列的通项公式的计算以及等差数列前n项和公式的应用，属于基础题. 基本元的思想是在等差数列中有5个基本量，列出方程组，可求得数列中的量.‎ ‎5.随着人民生活水平的提高，对城市空气质量的关注度也逐步增大，下图是某城市1月至8月的空气质量检测情况，图中一、二、三、四级是空气质量等级，一级空气质量最好，一级和二级都是质量合格天气，下面四种说法正确的是（ ）‎ ‎①1月至8月空气合格天数超过24天的月份有3个 ‎②第二季度与第一季度相比，空气合格天数的比重下降了 ‎③8月是空气质量最好的一个月 ‎④6月的空气质量最差 A. ②③ B. ①②③ C. ①③④ D. ②③④‎ ‎【答案】A - 25 -‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 在①中,1月至8月空气合格天数超过24天的月份有:2月,6月,7月,8月,共4个;在②中,分别求出第一季度合格天数的比重和第二季度合格天气的比重,能求出结果;在③中,8月空气质量合格的天气达到30天;在④中,5月空气质量合格天气只有13天.‎ ‎【详解】在①中，1月至8月空气合格天数超过24天的月份有： 2月，6月，7月，8月，共4个，故①不正确；‎ ‎ 在②中，第一季度合格天数的比重为； 第二季度合格天气的比重为，所以第二季度与第一季度相比，空气达标天数的比重下降了，所以②是正确的；‎ ‎ 在③中，8月空气质量合格天气达到30天，是空气质量最好一个月，所以③是正确的；‎ ‎ 在④中，5月空气质量合格天气只有13天，5月份的空气质量最差，所以④是错误的，‎ 综上可知，正确说法是②③，‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】本题考查统计图的理解，能在统计图中得出所需的信息是解决此类问题的关键能力，属于基础题.‎ ‎6.圆关于直线对称，则的最小值是（ ）‎ A. B. ‎3 ‎C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据圆的标准方程得出圆的圆心，由圆的对称性可得直线过圆心，得到关于a,b的关系式，运用基本不等式可得选项.‎ ‎【详解】根据圆的方程可知，圆心坐标为，而直线经过圆心，所以，‎ 得，因为，‎ - 25 -‎ ‎，‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查圆的对称性，基本不等式的应用，关键在于巧妙地运用“‎1”‎，构造基本不等式，属于中档题.‎ ‎7.若函数是上的单调递增函数，则实数的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由函数是在R上的单调递增函数,则,解得实数a的取值范围.‎ ‎【详解】因为函数是R上的单调递增函数, ,  解得:,  故选：D.‎ ‎【点睛】本题考查分段函数的单调性，关键在于得出分段单调后，还需满足端点值的大小关系，属于中档题.‎ ‎8.我国古代数学名著《九章算术》中提及鳖臑，鳖臑是一个四面体，每个面都是三角形，已知一个鳖臑的三视图如图粗线所示，其中小正方形网格的边长为1，则该鳖臑的最长的棱长为（ ）‎ - 25 -‎ A. B. C. 5 D. 6‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据三视图画出图形,结合勾股定理求得出最长的棱.‎ ‎【详解】由三视图，画出图形，如下图所示：‎ 小正方形网格边长为1，所以，‎ 所以 ‎ 所以该鳖臑的最长的棱长为 故选：A.‎ ‎【点睛】本题考查由三视图求三棱锥的棱长,属于基础题.‎ ‎9.已知双曲线的左焦点为，是双曲线右支上的一点，点关于原点的对称点为，若在以为直径的圆上，且，则该双曲线的离心率的取值范围是（ ）‎ - 25 -‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设，利用，先求出,再根据,即可求出双曲线离心率的取值范围.‎ ‎【详解】设右焦点为,，令，,则,, 因为点M关于原点O的对称点为N,,, ═,， ,═,═， ，,,, ，. 故选：D.‎ ‎【点睛】本题考查双曲线的离心率的取值范围的求法,是中档题,解题时注意三角函数性质的灵活运用.‎ ‎10.若，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ - 25 -‎ 利用两角和与差的三角的正弦，将，转化为，其中，，则有，然后求解即可.‎ ‎【详解】因为，所以，即，‎ ‎，即，其中，，‎ ‎，，，，‎ ‎，，‎ ‎， .‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】本题主要考查两角和与差的三角函数的正用和逆用，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于中档题.‎ ‎11.已知函数，，其中，若，，使得成立，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ - 25 -‎ 由得，令，，所以，对函数求导，判断其导函数的正负，得出函数在上的单调性，从而得出函数在上的值域，再由题意得出函数的值域的包含关系，得出关于的不等式，解之可得选项.‎ ‎【详解】由得，令，，所以，‎ 而，令得，所以，，所以在上单调递减，在上单调递增，而，，且，所以在上的值域为， ‎ 又，令得，所以，，所以在上单调递增，在上单调递减，而，，且，所以在上的值域为，‎ 因为，，所以的值域为的值域的子集，所以 ，解得，‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查函数的存在和任意的问题，关键在于构造函数，并对其求导，得出导函数的正负，从而得出原函数的单调性，继而得出其值域的包含关系，属于难度题.‎ ‎12.已知正方体的棱长为2，点，，分别为棱，，‎ - 25 -‎ 的中点，下列结论中，其中正确的个数是（ ）‎ ‎①过，，三点作正方体的截面，所得截面为正六边形；‎ ‎②平面；‎ ‎③平面；‎ ‎④异面直线与所成角的正切值为；‎ ‎⑤四面体的体积等于 A. 1 B. ‎2 ‎C. 3 D. 4‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据公理3，作截面可知①正确；根据直线与平面的位置关系可知②不正确；根据线面垂直的判定定理可知③正确；由条件有,所以为异面直线与的夹角可知④正确；用正方体体积减去四个正三棱锥的体积可知⑤不正确．‎ ‎【详解】对于①.延长分别与的延长线交于，连接交于，设与的延长线交于，连接交于，交于，连，则截面六边形为正六边形，故①正确； 对于②.与相交，故与平面相交，所以②不正确； 对于③.∵，且与相交，所以平面，故③正确； 对于④.连接,由条件有,所以（或其补角）为异面直线与的夹角,在直角三角形中， .故④不正确； ‎ - 25 -‎ 对于⑤.四面体的体积等于正方体的体积减去四个正三棱锥的体积，即为，故⑤不正确．‎ 所以正确的命题有2个. 故选：B ‎【点睛】本题考查了空间中的线线关系，线面关系，以及锥体的体积和命题的真假判断与应用，属中档题．‎ 第Ⅱ卷非选择题 二、填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分.‎ ‎13.已知向量，的夹角为120°，，，则__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎，代入数据计算即得.‎ ‎【详解】向量的夹角为，，，‎ ‎.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查向量的数量积运算和向量的模的计算，求向量的模时，常常先求向量的平方，属于基础题.‎ - 25 -‎ ‎14.已知函数（e为自然对数的底数），那么曲线在点（0，1）处的切线方程为___________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用导数求得切线的斜率，再利用点斜式求得切线方程.‎ ‎【详解】由于，所以，故切线方程为，即.‎ ‎【点睛】本小题主要考查导数的运算，考查切线方程的求法，属于基础题.‎ ‎15.若函数满足：①是偶函数；②的图象关于点对称；③在上有两个零点.则同时满足①②③的值是__________.‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用正弦型函数的对称性、奇偶性、零点进行求解即可.‎ ‎【详解】因为是偶函数，故或；因此有或；‎ 当时，因为的图象关于点对称，因此有，解得，因为，所以有；因为在上有两个零点，因此有，解得，又，所以；‎ 当时，因为的图象关于点对称，因此有，解得，因为，所以有；因为在上有两个零点，因此有，解得，又 - 25 -‎ ‎，所以；‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查了根据正弦型函数的性质求参数问题，考查了数学运算能力，属于中档题.‎ ‎16.已知，，，：，：.给出以下四个命题：‎ ‎①分别过点，，作的不同于轴的切线，两切线相交于点，则点的轨迹为椭圆的一部分；‎ ‎②若，相切于点，则点的轨迹恒在定圆上；‎ ‎③若，相离，且，则与，都外切的圆的圆心在定椭圆上；‎ ‎④若，相交，且，则与，一个内切一个外切的圆的圆心的轨迹为椭圆的一部分.‎ 则以上命题正确的是__________.‎ ‎【答案】①②④‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由圆与圆位置关系和椭圆、双曲线的定义，逐一判断可得答案.‎ ‎【详解】对于①，如图所示，‎ ‎，‎ 故点M恒在以E，F为焦点，AB为长轴的椭圆上，①正确；‎ 对于②，若与x轴相切于点A，与x轴相切于点B，由题意知相外切，且，相切于点H，过点H作两圆公切线，交x轴于点Q，如图所示，‎ - 25 -‎ 则，故Q与O点重合，所以，故点H的轨迹恒在定圆上，②正确；‎ 对于③设与，都相切的圆的圆心为T，半径为r，则T满足，，得到，故圆心T的轨迹是双曲线的一部分，③不正确，‎ 对于④设与，一个内切一个外切的圆的圆心为P，半径为r，则点P满足，，所以，所以点P的轨迹为椭圆的一部分. ④正确.‎ 故答案为：①②④‎ ‎【点睛】本题考查圆与圆的位置关系，椭圆、双曲线的定义，关键在于由圆与圆的位置关系得出动圆圆心的关系式，属于难度题.‎ 三、解答题：共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.‎ ‎17.已知点是函数的图象上一点，数列的前项和是.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）若，求数列的前项和.‎ ‎【答案】（1），（2）.‎ ‎【解析】‎ 分析】‎ - 25 -‎ ‎（1）由点在图像上求出，再利用求出．‎ ‎（2）利用错位相减法求和，注意相减时项的符号，求和时项数的确定．‎ ‎【详解】(1)把点代入函数得，所以，‎ 所以数列的前项和是.‎ 当时，；‎ 当时，，‎ 所以；‎ ‎(2)由，得，所以 ‎，①‎ ‎.②‎ 由①－②得：，‎ 所以.‎ ‎【点睛】本题主要考查了法求通项公式，即，运用错位相减法求和，求和时应注意的问题(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；(2)在写出“”与“”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“”的表达式；(3)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解，属于中档题.‎ - 25 -‎ ‎18.垃圾种类可分为可回收垃圾，干垃圾，湿垃圾，有害垃圾，为调查中学生对垃圾分类的了解程度某调查小组随机抽取了某市的100名高中生，请他们指出生活中若干项常见垃圾的种类，把能准确分类不少于3项的称为“比较了解”少于三项的称为“不太了解”调查结果如下：‎ ‎0项 ‎1项 ‎2项 ‎3项 ‎4项 ‎5项 ‎5项以上 男生（人）‎ ‎1‎ ‎10‎ ‎17‎ ‎14‎ ‎14‎ ‎10‎ ‎4‎ 女生（人）‎ ‎0‎ ‎8‎ ‎10‎ ‎6‎ ‎3‎ ‎2‎ ‎1‎ ‎（1）完成如下列联表并判断是否有95%的把握认为了解垃圾分类与性别有关？‎ 比较了解 不太了解 合计 男生 ‎__________‎ ‎__________‎ ‎__________‎ 女生 ‎__________‎ ‎__________‎ ‎__________‎ 合计 ‎__________‎ ‎__________‎ ‎__________‎ ‎（2）从能准确分类不少于3项的高中生中，按照男、女生采用分层抽样的方法抽取9人的样本.‎ ‎（i）求抽取的女生和男生的人数；‎ ‎（ii）从9人的样本中随机抽取两人，求男生女生都有被抽到的概率.‎ 参考数据：‎ ‎0.100‎ ‎0.050‎ ‎0.010‎ ‎0.001‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎6.635‎ ‎10.828‎ ‎，.‎ - 25 -‎ ‎【答案】（1）列联表见解析，没有的把握认为了解垃圾分类与性别有关；（2）（i）女生2人，男生7人，（ii）；‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据题中数据完善题中的列联表，并计算出的观测值，利用临界值表得出犯错误的概率，即可对题中结论的正误进行判断；‎ ‎（2）利用分层抽样思想得出所抽取的男生人数为，女生人数为，将样本中的名女生为、，名男生为、、、、、、，列出所有的基本事件，然后利用古典概型的概率公式可求出所求事件的概率.‎ ‎【详解】（1）根据题意填得列联表如下，‎ 比较了解 不太了解 合计 男生 女生 合计 所以，‎ 所以没有的把握认为了解垃圾分类与性别有关；‎ ‎（2）（i）抽取的女生人数是（人），男生人数是（人）；‎ ‎（ii）记抽取的两人男女都有为事件，记样本中的名女生为、，名男生为、、、、、、.‎ 从这9人中随机抽取两人，基本事件分别为：‎ ‎、、、、、、、、‎ ‎、、、、、、、‎ ‎、、、、、、‎ - 25 -‎ ‎、、、、、‎ ‎、、、、‎ ‎、、、、、共种；‎ 男生女生都有被抽到的基本事件为、、、、、、、、、、、、、，共种，‎ 故所求的概率为.‎ ‎【点睛】本题考查独立性检验基本思想的应用，同时也考查了利用古典概型的概率公式计算事件的概率，一般利用列举法列举出基本事件，考查计算能力，属于中档题.‎ ‎19.如图，三棱柱的所有棱长都是3，面，，分别是，的中点.‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）求三棱锥的体积.‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）推导出，从而平面平面，进而平面，，再求出，由此能证明平面，由此结论可得证． （2）本问方法较多，可用割补法，转换顶点法等，其中割补法较为方便，将转化为，即可求解.‎ ‎【详解】（1）∵，是的中点，‎ - 25 -‎ ‎∴，‎ ‎∵三棱柱中平面，‎ ‎∴平面平面，且平面平面，‎ ‎∴平面，‎ ‎∵平面，‎ ‎∴.‎ 又∵在正方形中，，分别是，的中点，‎ ‎∴，‎ 又，‎ ‎∴平面.‎ 又∵平面，‎ ‎∴.‎ ‎（2）解法一（割补法）：‎ ‎.‎ - 25 -‎ 解法二（利用平行顶点轮换）：‎ ‎∵，‎ ‎∴，‎ ‎∴.‎ 解法三（利用对称顶点轮换）：‎ 连结，交于点，‎ ‎∵为的中点，‎ ‎∴点到平面的距离等于点到平面的距离.‎ ‎∴.‎ ‎【点睛】本题考查线面垂直的证明，考查三棱锥的体积，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系，考查运算求解能力，是中档题．‎ ‎20.已知.‎ ‎（1）若，讨论函数的单调性；‎ ‎（2）当时，若不等式在上恒成立，求的取值范围.‎ - 25 -‎ ‎【答案】（1）在上单调递减；在上单调递增.；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）的定义域为，且，据此确定函数的单调性即可；‎ ‎（2）由题意可知在上恒成立，分类讨论和两种情况确定实数b的取值范围即可.‎ ‎【详解】（1）的定义域为，∵，，∴当时，；时，，‎ ‎∴函数在上单调递减；在上单调递增.‎ ‎（2）当时， ，由题意，在上恒成立，‎ ‎①若，当时，显然有恒成立；不符题意.‎ ‎②若，记，则,所以在单调递增，‎ ‎（i）当时，当时，，∴时，‎ ‎（ii）当，，，‎ ‎∴存在，使.‎ 当时，，时，，‎ ‎∴在上单调递减；在上单调递增，‎ ‎∴当时，，不符合题意，‎ 综上所述，所求的取值范围是 - 25 -‎ ‎【点睛】本题主要考查导数研究函数的单调性，导数研究恒成立问题，分类讨论的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力，属于难度题.‎ ‎21.已知椭圆的两个焦点分别为，，，过点的直线与椭圆相交于点，两点（两点均在轴的上方），且，‎ ‎（1）若，求椭圆的方程；‎ ‎（2）直线的斜率；‎ ‎（3）求的大小.‎ ‎【答案】（1）；（2）直线的斜率为；（3）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)由，,得,从而,故可求椭圆的方程;‎ ‎(2)先设直线的方程为即,再与椭圆的方程联立,又由题设知,从而可求直线的斜率.‎ ‎（3）由（2）求得点A的坐标，从而由三角函数可求得的大小.‎ ‎【详解】(1)由，,得,从而得,又，所以，解得，‎ 所以椭圆的方程为：； (2)由(1)知,,所以椭圆的方程可以写为， ‎ - 25 -‎ 由已知设，，且,直线的方程为，‎ 即， 则它们的坐标满足方程组，消去整理,得， 根据题意,,且, 由题设知, ，所以，联立三式,计算得出,‎ 将结果代入韦达定理中计算得出满足，所以直线的斜率为.‎ ‎（3）由（2）得，，所以，所以，所以 所以.‎ ‎【点睛】本题考查直线与椭圆的位置关系，关键在于将条件转化到直线与椭圆的交点的坐标上去，运用韦达定理求解，属于中档题.‎ ‎（二）选考题：共10分，请考生从第22、23题中任选一题作答，并用2B铅笔将答题卡上所选题目对应的题号右侧方框涂黑，按所涂题号进行评分；多涂、多答，按所涂的首题进行评分；不涂，按本选考题的首题进行评分.‎ ‎22.在直角坐标系中，曲线的参数方程是（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为.‎ ‎（1）曲线的普通方程和直线的直角坐标方程；‎ - 25 -‎ ‎（2）求曲线上的点到直线的距离的取值范围.‎ ‎【答案】（1）的普通方程为，直线的方程；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）联想二倍角公式化弦为切的结构特征，即，结合，所以将参数方程化为，即可化为普通方程；‎ 展开，，代入，即可化为直角坐标方程；‎ ‎（2）将椭圆方程化为参数方程，利用辅助角公式，结合余弦函数的有界性，即可得出结论.‎ ‎【详解】（1），平方后得，又，‎ 所以的普通方程为.‎ ‎，即，将，代入，‎ 所以直线的方程.‎ ‎（2）将曲线C化成参数方程形式为（为参数且，），‎ 则，其中，‎ - 25 -‎ ‎，，即，‎ 所以曲线上的点到直线的距离的取值范围是.‎ ‎【点睛】本题考查参数方程与普通方程互化，注意此题中消参方法的运用，考查极坐标方程化直角坐标方程，应用参数方程求点到直线距离的范围，属于中档题.‎ ‎23.已知函数，，且的解集为.‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）若，，是正实数，且，求证：.‎ ‎【答案】(1) ;(2)证明见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)根据的解集为,结合绝对值不等式的解法,即可求m的值; ‎ ‎(2)利用柯西不等式,即可证明结论.‎ ‎【详解】(1)依题意,即，； (2)证明: , 所以由柯西不等式得, 所以,当且仅当,即时取等号.‎ ‎【点睛】本题考查含绝对值不等式的解法和柯西不等式的运用，属于中档题.‎ - 25 -‎