【数学】2019届一轮复习北师大版（文科数学）第七章第2讲　一元二次不等式的解法学案

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【数学】2019届一轮复习北师大版（文科数学）第七章第2讲　一元二次不等式的解法学案

第2讲　一元二次不等式的解法 ‎ [学生用书P107]‎ ‎1．三个“二次”间的关系 判别式 Δ＝b2－4ac Δ>0‎ Δ＝0‎ Δ<0‎ 二次函数 y＝ax2＋bx ‎＋c(a>0)的 图象 一元二次方 程ax2＋bx ‎＋c＝0(a>0)‎ 的根 有两个相异 实根x1，x2‎ ‎(x10(a>0)‎ 的解集 ‎{x|x>x2‎ 或x0)‎ 的解集 ‎{x|x10或(x－a)(x－b)<0型不等式的解法 不等式 解集 ab ‎(x－a)·‎ ‎(x－b)>0‎ ‎{x|xb}‎ ‎{x|x≠a}‎ ‎{x|x>a 或x0.(　　)‎ ‎(2)若不等式ax2＋bx＋c>0的解集是(－∞，x1)∪(x2，＋∞)，则方程ax2＋bx＋c ‎＝0的两个根是x1和x2.(　　)‎ ‎(3)若方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)没有实数根，则不等式ax2＋bx＋c>0的解集为R.(　　)‎ ‎(4)不等式ax2＋bx＋c≤0在R上恒成立的条件是a<0且Δ＝b2－4ac≤0.(　　)‎ ‎(5)若二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象开口向下，则不等式ax2＋bx＋c<0的解集一定不是空集．(　　)‎ 答案：(1)√　(2)√　(3)×　(4)×　(5)√‎ ‎ (教材习题改编)不等式(x＋1)(x＋2)<0的解集为(　　)‎ A．{x|－21} D．{x|x<－1或x>2}‎ 答案：A ‎ (教材习题改编)不等式－2x2＋x<－3的解集为(　　)‎ A. B. C. D. 解析：选D.－2x2＋x<－3，‎ 即为2x2－x－3>0，Δ＝25>0，‎ 方程2x2－x－3＝0的两实根为x1＝－1，x2＝，‎ 所以2x2－x－3>0的解集为 .‎ ‎ (教材习题改编)关于x的不等式－x2＋mx＋n>0的解集为{x|－10，‎ 即为x2－2mx－2n<0.‎ 由题意知，x2－2mx－2n<0的解集为{x|－10⇒x>1或x<－1.‎ 答案：{x|x>1或x<－1}‎ ‎　　　　　　一元二次不等式的解法(高频考点)‎ ‎[学生用书P108]‎ 一元二次不等式的解法是每年高考的重点，虽然考查的机会较少，但常与集合、分段函数、导数等内容综合考查，主要命题角度有：‎ ‎(1)不含参数的一元二次不等式；‎ ‎(2)含参数的一元二次不等式．‎ ‎[典例引领]‎ ‎ 角度一　不含参数的一元二次不等式 ‎ 求不等式－x2＋8x－3>0的解集．‎ ‎【解】　因为Δ＝82－4×(－1)×(－3)＝52>0，所以方程－x2＋8x－3＝0有两个不相等的实根x1＝4－，x2＝4＋.又二次函数y＝－x2＋8x－3的图象开口向下，所以原不等式的解集为{x|4－1时，x2－(a＋1)x＋a<0的解集为{x|11.‎ 若a<0，原不等式等价于(x－1)>0，‎ 解得x<或x>1.‎ 若a>0，原不等式等价于(x－1)<0.‎ ‎①当a＝1时，＝1，(x－1)<0无解；‎ ‎②当a>1时，<1，解(x－1)<0，‎ 得1，解(x－1)<0，‎ 得11}；‎ 当01时，解集为.‎ 一元二次不等式的解法 ‎(1)对于常系数一元二次不等式，可以用分解因式法或判别式法求解，题目简单，情况单一．‎ ‎(2)含有参数的不等式的求解，往往需要对参数进行分类讨论．‎ ‎①若二次项系数为常数，需先将二次项系数化为正数，再考虑分解因式，对参数进行分类讨论，若不易分解因式，则可依据判别式符号进行分类讨论．‎ ‎②若二次项系数为参数，则应先考虑二次项系数是否为零，以确定不 等式是一次不等式还是二次不等式，再讨论二次项系数不为零的情形，以便确定解集的形式．‎ ‎③对方程的根进行讨论，比较大小，以便写出解集．‎ ‎(3)若一元二次不等式的解集为区间的形式，则区间的端点值恰对应相应的一元二次方程的根，要注意解集的形式与二次项系数的联系．‎ ‎[注意]　当不等式中二次项的系数含有参数时，不要忘记讨论其等于0的情况．　 ‎ ‎[通关练习]‎ ‎1．设实数a∈(1，2)，关于x的一元二次不等式x2－(a2＋3a＋2)x＋3a(a2＋2)＜0的解集为(　　)‎ A．(3a，a2＋2) B.(a2＋2，3a)‎ C．(3，4) D．(3，6)‎ 解析：选B.由x2－(a2＋3a＋2)x＋3a(a2＋2)＜0，得(x－3a)·(x－a2－2)＜0，因为a∈(1，2)，所以3a＞a2＋2，所以关于x的一元二次不等式x2－(a2＋3a＋2)x＋3a(a2＋2)＜0的解集为(a2＋2，3a)．故选B.‎ ‎2．求不等式12x2－ax>a2(a∈R)的解集．‎ 解：因为12x2－ax>a2，‎ 所以12x2－ax－a2>0，‎ 即(4x＋a)(3x－a)>0，‎ 令(4x＋a)(3x－a)＝0，‎ 得x1＝－，x2＝.‎ 当a>0时，－<，‎ 解集为；‎ 当a＝0时，x2>0，解集为{x|x∈R且x≠0}；‎ 当a<0时，－>，‎ 解集为.‎ 综上所述，当a>0时，不等式的解集为 ；‎ 当a＝0时，不等式的解集为{x|x∈R且x≠0}；‎ 当a<0时，不等式的解集为.‎ ‎　　　　　　一元二次不等式恒成立问题(高频考点)[学生用书P109]‎ 一元二次不等式与其对应的函数与方程之间存在着密切的联系．在解决具体的数学问题时，要注意三者之间的相互联系，并在一定条件下相互转换．对于一元二次不等式恒成立问题，常根据二次函数图象与x轴的交点情况确定判别式的符号，进而求出参数的取值范围．主要命题角度有：‎ ‎(1)在R上的恒成立问题；‎ ‎(2)在给定区间上的恒成立问题；‎ ‎(3)给定参数范围的恒成立问题．‎ ‎[典例引领]‎ ‎ 角度一　在R上的恒成立问题 ‎ (1)若不等式2kx2＋kx－<0对一切实数x都成立，则k的取值范围为(　　)‎ A．(－3，0) B.[－3，0)‎ C．[－3，0] D．(－3，0]‎ ‎(2)设a为常数，对于∀x∈R，ax2＋ax＋1>0，则a的取值范围是(　　)‎ A．(0，4) B.[0，4)‎ C．(0，＋∞) D．(－∞，4)‎ ‎【解析】　(1)当k＝0时，显然成立；当k≠0时，即一元二次不等式2kx2＋kx－<0对一切实数x都成立，则解得－30，则必有或a＝0，所以0≤a<4.‎ ‎【答案】　(1)D　(2)B ‎ 角度二　在给定区间上的恒成立问题 ‎ 设函数f(x)＝mx2－mx－1.若对于x∈[1，3]，f(x)<－m＋5恒成立，求m的取值范围．‎ ‎【解】　要使f(x)<－m＋5在x∈[1，3]上恒成立，‎ 即m＋m－6<0在x∈[1，3]上恒成立．‎ 有以下两种方法：‎ 法一：令g(x)＝m＋m－6，x∈[1，3]．‎ 当m>0时，g(x)在[1，3]上是增函数，‎ 所以g(x)max＝g(3)⇒7m－6<0，‎ 所以m<，‎ 所以00，‎ 又因为m(x2－x＋1)－6<0，‎ 所以m<.‎ 因为函数y＝ ‎＝在[1，3]上的最小值为，‎ 所以只需m<即可．‎ 所以，m的取值范围是.‎ ‎ 角度三　给定参数范围的恒成立问题 ‎ 对任意m∈[－1，1]，函数f(x)＝x2＋(m－4)x＋4－2m的值恒大于零，求x的取值范围．‎ ‎【解】　由f(x)＝x2＋(m－4)x＋4－2m＝(x－2)m＋x2－4x＋4，‎ 令g(m)＝(x－2)m＋x2－4x＋4.‎ 由题意知在m∈[－1，1]上，g(m)的值恒大于零，‎ 所以 解得x<1或x>3.‎ 故当x的取值范围为(－∞，1)∪(3，＋∞)时，对任意的m∈[－1，1]，函数f(x)的值恒大于零．‎ 形如f(x)≥0(f(x)≤0)恒成立问题的求解思路 ‎(1)x∈R的不等式确定参数的范围时，结合二次函数的图象，利用判别式来求解．‎ ‎(2)x∈[a，b]的不等式确定参数范围时，①根据函数的单调性，求其最值，让最值大于等于或小于等于0，从而求出参数的范围；②数形结合，利用二次函数在端点a，b处的取值特点确定不等式求参数的取值范围．‎ ‎(3)已知参数m∈[a，b]的不等式确定x的范围，要注意变换主元，一般地，知道谁的范围，就选谁当主元，求谁的范围，谁就是参数．‎ ‎[注意]　解决恒成立问题一定要搞清楚谁是主元，谁是参数．　 ‎ ‎[通关练习]‎ ‎1．已知函数f(x)＝x2＋mx－1，若对于任意x∈[m，m＋1]，都有f(x)<0成立，则实数m的取值范围是________．‎ 解析：‎ 作出二次函数f(x)的图象，对于任意x∈[m，m＋1]，都有f(x)<0，‎ 则有 即 解得－，不满足题意；‎ 当m≠0时，函数f(x)＝mx2－2x－m＋1为二次函数．‎ 需满足开口向下且方程mx2－2x－m＋1＝0无解，即 不等式组的解集为空集，即m无解．‎ 综上可知，不存在这样的m.‎ ‎　　　　　　一元二次不等式的应用[学生用书P110]‎ ‎[典例引领]‎ ‎ 某商品每件成本价为80元，售价为100元，每天售出100件．若售价降低x成(1成＝10%)，售出商品数量就增加x成．要求售价不能低于成本价．‎ ‎(1)设该商店一天的营业额为y，试求y与x之间的函数关系式y＝f(x)，并写出定义域．‎ ‎(2)若要求该商品一天营业额至少为10 260元，求x的取值范围．‎ ‎【解】　(1)由题意得y＝100·100.‎ 因为售价不能低于成本价，所以100－80≥0，得x≤2.所以y＝f(x)＝20(10－x)(50＋8x)，定义域为[0，2]．‎ ‎(2)由题意得20(10－x)(50＋8x)≥10 260，化简得8x2－30x＋13≤0.解得≤x≤.‎ 所以x的取值范围是.‎ 求解不等式应用题的四个步骤 ‎(1)阅读理解，认真审题，把握问题中的关键量，找准不等关系．‎ ‎(2)引进数学符号，将文字信息转化为符号语言，用不等式表示不等关系，建立相应的数学模型．‎ ‎(3)解不等式，得出数学结论，要注意数学模型中自变量的实际意义．‎ ‎(4)回归实际问题，将数学结论还原为实际问题的结果．　 ‎ ‎[通关练习]‎ 汽车在行驶中，由于惯性的作用，刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停住，我们称这段距离为“刹车距离”．刹车距离是分析事故的一个重要因素．‎ 在一个限速为40 km/h的弯道上，甲、乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相碰了．事后现场勘查测得甲车的刹车距离略超过12 m，乙车的刹车距离略超过10 m，又知甲、乙两种车型的刹车距离s(m)与车速x(km/h)之间分别有如下关系：s甲＝0.1x＋0.01x2，s乙＝0.05x＋0.005x2，问：甲、乙两车有无超速现象？‎ 解：由题意知，对于甲车，有0.1x＋0.01x2>12，‎ 即x2＋10x－1 200>0，‎ 解得x>30或x<－40(不合实际意义，舍去)，‎ 这表明甲车的车速超过30 km/h.‎ 但根据题意刹车距离略超过12 m.‎ 由此估计甲车车速不会超过限速40 km/h.‎ 对于乙车，有0.05x＋0.005x2>10，‎ 即x2＋10x－2 000>0，‎ 解得x>40或x<－50(不合实际意义，舍去)，‎ 这表明乙车的车速超过40 km/h，超过规定限速.‎ ‎ 一元二次不等式的求解策略 ‎(1)化：把不等式化为二次项系数大于零的标准形式．‎ ‎(2)判：计算对应方程的判别式．‎ ‎(3)求：求出对应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程有没有实根．‎ ‎(4)写：利用“大于取两边，小于取中间”写出不等式的解集．‎ ‎ 一元二次型不等式恒成立问题的3大破解方法 方法 解读 适合题型 判别式法 ‎(1)ax2＋bx＋c≥0对任意实数x恒成立的条件是 ‎(2)ax2＋bx＋c≤0对任意实数x恒成立的条件是 二次不等式在R上恒成立 分离参数法 如果不等式中的参数比较“孤单”，分离后其系数与0能比较大小，便可将参数分离出来，利用下面的结论求解：a≥f(x)恒成立等价于a≥f(x)max；a≤f(x)恒成立等价于a≤f(x)min 适合参数与变量能分离且f(x)的最值易求 主参换位法 把变元与参数交换位置，构造以参数为变量的函数，根据原变量的取值范围列式求解．常见的是转化为一次函数f(x)＝ax＋b(a≠0)在[m，n]上恒成立问题，若f(x)>0恒成立⇒ 若f(x)<0恒成立⇒ 若在分离参数时会遇到讨论参数与变量，使求函数的最值比较麻烦，或者即使能容易分离出却难以求出时 ‎[学生用书P291(单独成册)]‎ ‎1．不等式(x－2)(2x－3)<0的解集是(　　)‎ A.∪(2，＋∞)　 B.R C. D．∅‎ 解析：选C.因为不等式(x－2)(2x－3)<0，‎ 解得0的解集为{x|－30的解集是(　　)‎ A. ‎ B. C. ‎ D. 解析：选C.由题意得方程ax2－5x＋b＝0的两根分别为－3，2，于是 ⇒ 则不等式bx2－5x＋a>0，‎ 即为30x2－5x－5>0，‎ 即(3x＋1)(2x－1)>0，‎ ‎⇒x<－或x>.故选C.‎ ‎4．规定符号“⊙”表示一种运算，定义a⊙b＝＋a＋b(a，b为非负实数)，若1⊙k2<3，则k的取值范围是(　　)‎ A．(－1，1) B.(0，1)‎ C．(－1，0) D．(0，2)‎ 解析：选A.因为定义a⊙b＝＋a＋b(a，b为非负实数)，1⊙k2<3，所以＋1＋k2<3，‎ 化为(|k|＋2)(|k|－1)<0，所以|k|<1，‎ 所以－11时，不等式的解集为[1，a]，此时只要a≤3即可，即1b的解集为，则关于x的不等式ax2＋bx－a>0的解集为________．‎ 解析：由已知ax>b的解集为，可知a<0，且＝，将不等式ax2＋bx－a>0两边同除以a，得x2＋x－<0，即x2＋x－<0，即5x2＋x－4<0，解得－10恒成立，‎ 所以原不等式等价于2－ax＋x2<3(1－x＋x2)，‎ 即2x2＋(a－3)x＋1>0恒成立．‎ 所以Δ＝(a－3)2－8<0，3－20.‎ ‎(1)求f(x)在[0，1]内的值域；‎ ‎(2)若ax2＋bx＋c≤0的解集为R，求实数c的取值范围．‎ 解：(1)因为当x∈(－∞，－3)∪(2，＋∞)时，f(x)<0，‎ 当x∈(－3，2)时，f(x)>0.‎ 所以－3，2是方程ax2＋(b－8)x－a－ab＝0的两根，‎ 所以 所以a＝－3，b＝5.‎ 所以f(x)＝－3x2－3x＋18‎ ‎＝－3＋.‎ 因为函数图象关于x＝－对称且抛物线开口向下，‎ 所以f(x)在[0，1]上为减函数，‎ 所以f(x)max＝f(0)＝18，‎ f(x)min＝f(1)＝12，故f(x)在[0，1]内的值域为[12，18]．‎ ‎(2)由(1)知不等式ax2＋bx＋c≤0可化为－3x2＋5x＋c≤0，要使－3x2＋5x＋c≤0的解集为R，只需 即25＋12c≤0，所以c≤－，‎ 所以实数c的取值范围为.‎ ‎10．解关于x的不等式ax2－(2a＋1)x＋2<0(a∈R)．‎ 解：原不等式可化为(ax－1)(x－2)<0.‎ ‎(1)当a>0时，原不等式可以化为a(x－2)<0，根据不等式的性质，这个不等式等价于(x－2)·<0.‎ 因为方程(x－2)＝0的两个根分别是2，，所以当0时，<2，则原不等式的解集是.‎ ‎(2)当a＝0时，原不等式为－(x－2)<0，‎ 解得x>2，‎ 即原不等式的解集是{x|x>2}．‎ ‎(3)当a<0时，原不等式可以化为 a(x－2)<0，‎ 根据不等式的性质，这个不等式等价于(x－2)·>0，‎ 由于<2，‎ 故原不等式的解集是.‎ 综上所述，当a<0时，不等式的解集为；‎ 当a＝0时，不等式的解集为{x|x>2}；‎ 当0时，不等式的解集为.‎ ‎1．若关于x的不等式x2－4x－2－a>0在区间(1，4)内有解，则实数a的取值范围是(　　)‎ A．(－∞，－2) B.(－2，＋∞)‎ C．(－6，＋∞) D．(－∞，－6)‎ 解析：选A.不等式x2－4x－2－a>0在区间(1，4)‎ 内有解等价于a<(x2－4x－2)max.‎ 令g(x)＝x2－4x－2，x∈(1，4)，‎ 所以g(x)1时，解得10恒成立，则实数a的取值范围为________．‎ 解析：因为x∈[1，＋∞)时，f(x)＝>0恒成立，即x2＋2x＋a>0恒成立．‎ 即当x≥1时，a>－(x2＋2x)恒成立．‎ 设g(x)＝－(x2＋2x)，‎ 而g(x)＝－(x2＋2x)＝－(x＋1)2＋1在[1，＋∞)上单调递减，所以g(x)max＝g(1)＝－3，故a>－3.‎ 所以，实数a的取值范围是(－3，＋∞)．‎ 答案：(－3，＋∞)‎ ‎5．求使不等式x2＋(a－6)x＋9－3a>0，|a|≤1恒成立的x的取值范围．‎ 解：将原不等式整理为形式上是关于a的不等式(x－3)a＋x2－6x＋9>0.‎ 令f(a)＝(x－3)a＋x2－6x＋9.‎ 因为f(a)>0在|a|≤1时恒成立，所以 ‎(1)若x＝3，‎ 则f(a)＝0，不符合题意，应舍去．‎ ‎(2)若x≠3，则由一次函数的单调性，可得 即 解得x<2或x>4.‎ 所以x的取值范围是{x|x<2或x>4}．‎ ‎6．设二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c，函数F(x)＝f(x)－x的两个零点为m，n(m0的解集；‎ ‎(2)若a>0，且00，‎ 即a(x＋1)(x－2)>0.‎ 当a>0时，不等式F(x)>0的解集为{x|x<－1或x>2}；‎ 当a<0时，不等式F(x)>0的解集为{x|－10，且00.‎ 所以f(x)－m<0，即f(x)
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