2015高考数学人教A版本（10-1随机抽样）一轮复习学案

2015高考数学人教A版本（10-1随机抽样）一轮复习学案

【走向高考】2015 届高考数学一轮总复习 10-1 随机抽样课后强化作 业 新人教 A 版 基础巩固强化 一、选择题 1．(文)在简单随机抽样中，某一个个体被抽到的可能性是(　　) A．与第几次抽样有关，第一次抽到的可能性最大 B．与第几次抽样有关，第一次抽到的可能性最小 C．与第几次抽样无关，每一次抽到的可能性相等 D．与第几次抽样无关，与抽取几个样本有关 [答案]　C [解析]　简单随机抽样过程中，每个个体被抽到的机会均等． (理)(2013·潍坊模拟)为调查参加运动会的 1000 名运动员的年龄情况，从中抽查了 100 名运动员的年龄，就这个问题来说，下列说法正确的是(　　) A．1000 名运动员是总体 B．每个运动员是个体 C．抽取的 100 名运动是样本 D．样本容量是 100 [答案]　D [解析]　本题主要考察对基本概念的理解，考察对象是运动员的年龄，故总体、个体、 样本都应是运动员的年龄，因此 A、B、C 都不对，选 D. 2．为了了解参加一次知识竞赛的 3204 名学生的成绩，决定采用系统抽样的方法抽取一 个容量为 80 的样本，那么总体中应随机剔除的个体数目是(　　) A．2　　　　 B．3　　　　 C．4　　　　 D．5 [答案]　C [解析]　因为 3204＝80×40＋4，所以应随机剔除 4 个个体，故选 C. 3．(文)某工厂生产 A、B、C 三种不同型号的产品，产品的数量之比依次为 3:4:7，现在 用分层抽样的方法抽出容量为 n 的样本，样本中 A 型产品有 15 件，那么样本容量 n 为(　　) A．50 B．60 C．70 D．80 [答案]　C [解析]　n× 3 3＋4＋7＝15，解得 n＝70. (理)一工厂生产了某种产品 24000 件，它们来自甲、乙、丙 3 条生产线，现采用分层抽 样的方法对这批产品进行抽样检查．已知从甲、乙、丙 3 条生产线依次抽取的个体数恰好组 成一个等差数列，则这批产品中乙生产线生产的产品数量是(　　) A．12000 B．6000 C．4000 D．8000 [答案]　D [解析]　由分层抽样的性质知，这批产品中甲、乙、丙 3 条生产线生产的新产品数量也 成等差数列，再由等差数列性质知，乙生产线生产的产品数量为24000 3 ＝8000. 4．(2013·哈尔滨模拟)一个样本容量为 10 的样本数据，它们组成一个公差不为 0 的等差 数列{an}，若 a3＝8，且 a1、a3、a7 成等比数列，则此样本的平均数和中位数分别是(　　) A．13,12 B．13,13 C．12,13 D．13,14 [答案]　B [解析]　设等差数列{an}的公差为 d(d≠0)，a3＝8，a1a7＝a23＝64，(8－2d)(8＋4d)＝64， (4－d)(2＋d)＝8,2d－d2＝0，又 d≠0，∴d＝2，故样本数据为 4,6,8,10,12,14,16,18,20,22，样 本的平均数为 1 2 (4＋22) × 10 10 ＝13，中位数为12＋14 2 ＝13，故选 B. 5．(2013·安徽理，5)某班有 50 名学生，其中有 30 名男生和 20 名女生，随机咨询了该 班五名男生和五名女生在某次数学测验中的成绩，五名男生的成绩分别为 86,94,88,92,90， 五名女生的成绩分别为 88,93,93,88,93.下列说法一定正确的是(　　) A．这种抽样方法是一种分层抽样 B．这种抽样方法是一种系统抽样 C．这五名男生成绩的方差大于这五名女生成绩的方差 D．该班男生成绩的平均数小于该班女生成绩的平均数 [答案]　C [解析]　五名男生成绩的平均数为1 5(86＋94＋88＋92＋90)＝90， 五名女生成绩的平均数为1 5(88＋93＋93＋88＋93)＝91， 五名男生成绩的方差为 s21＝ (86－90)2＋(94－90)2＋(88－90)2＋(92－90)2＋(90－90)2 5 ＝8， 五名女生成绩的方差为 s22＝2(88－91)2＋3(93－91)2 5 ＝6， 所以 s21>s22，故选 C. 6．(文)(1)某学校为了了解 2013 年高考数学科的考试成绩，在高考后对 1200 名学生进 行抽样调查，其中文科 400 名考生，理科 600 名考生，艺术和体育类考生共 200 名，从中抽 取 120 名考生作为样本． (2)从 10 名家长中抽取 3 名参加座谈会． Ⅰ.简单随机抽样法　Ⅱ.系统抽样法　Ⅲ.分层抽样法． 问题与方法配对正确的是(　　) A．(1)Ⅲ，(2)Ⅰ B．(1)Ⅰ，(2)Ⅱ C．(1)Ⅱ，(2)Ⅲ D．(1)Ⅲ，(2)Ⅱ [答案]　A [解析]　(1)总体是有明显差异的三个构成部分，故应采用分层抽样法． (2)总体容量与样本容量都比较小，宜采用简单随机抽样法． (理)问题：①三种不同的容器中分别装有同一型号的零件 400 个、200 个、150 个，现 在要从这 750 个零件中抽取一个容量为 50 的样本；②从 20 名学生中选出 3 名参加座谈 会． 方法：Ⅰ.随机抽样法　Ⅱ.系统抽样法　Ⅲ.分层抽样法． 其中问题与方法能配对的是(　　) A．①Ⅰ，②Ⅱ B．①Ⅲ，②Ⅰ C．①Ⅱ，②Ⅰ D．①Ⅲ，②Ⅱ [答案]　C [解析]　①容器与抽取的样本无关，且总体数比较大，故可用系统抽样来抽取样本，② 总体与样本都较少，可用随机抽样法．故选 C. 二、填空题 7．(2013·武汉模拟)用系统抽样法要从 160 名学生中抽取容量为 20 的样本，将 160 名学 生随机地从 1～160 编号，按编号顺序平均分成 20 组(1～8 号，9～16 号，…，153～160 号)，若第 16 组抽出的号码为 126，则第 1 组中用抽签方法确定的号码是________． [答案]　6 [解析]　按系统抽样的定义，设第一组抽取号码为 x，则第 16 组抽取的号码为 x＋(16－ 1)×160 20 ＝126，∴x＝6. 8．(2013·沈阳质检)沈阳市某高中有高一学生 600 人，高二学生 500 人，高三学生 550 人，现对学生关于消防安全知识了解情况进行分层抽样调查，若抽取了一个容量为 n 的样本， 其中高三学生有 11 人，则 n 的值等于________． [答案]　33 [解析]　由于分层抽样各层抽样比相等． ∴ n 600＋500＋550＝ 11 550，∴n＝33. 9．(文)(2012·浙江文，11)某个年级有男生 560 人，女生 420 人，用分层抽样的方法从 该年级全体学生中抽取一个容量为 280 的样本，则此样本中男生人数为________． [答案]　160 [解析]　本题考查了分层抽样的特点，因抽样比为 280 560＋420＝2 7，所以样本中男生数应 为 560×2 7＝160. (理)(2013·福建漳州模拟)某校高三年级的学生共 1000 人，一次测验成绩的频率分布直 方图如图所示，现要按如图所示的 4 个分数段进行分层抽样，抽取 50 人了解情况，则 80～ 90 分数段应抽取________人． [答案]　20 [解析]　各分数段人数的比例为 0.01:0.02:0.03:0.04＝1:2:3:4，故抽取 50 人，80～90 分 数段应抽取 4 1＋2＋3＋4×50＝20(人)． 三、解答题 10．(文)有关部门要了解地震预防知识在学校的普及情况，命制了一份有 10 道题的问 卷到各学校做问卷调查．某中学 A、B 两个班各被随机抽取 5 名学生接受问卷调查，A 班 5 名学生得分为 5、8、9、9、9；B 班 5 名学生得分为 6、7、8、9、10. (1)请你估计 A、B 两个班中哪个班的问卷得分要稳定一些； (2)如果把 B 班 5 名学生的得分看成一个总体，并用简单随机抽样方法从中抽取样本容 量为 2 的样本，求样本平均数与总体平均数之差的绝对值不小于 1 的概率． [解析]　(1)∵A 班的 5 名学生的平均得分为(5＋8＋9＋9＋9)÷5＝8，方差 s 21＝1 5[(5－8)2 ＋(8－8)2＋(9－8)2＋(9－8)2＋(9－8)2]＝2.4； B 班的 5 名学生的平均得分为(6＋7＋8＋9＋10)÷5＝8，方差 s22＝1 5[(6－8)2＋(7－8)2＋(8 －8)2＋(9－8)2＋(10－8)2]＝2. ∴s21>s22. ∴B 班的预防知识的问卷得分要稳定一些． (2)从 B 班 5 名同学中用简单随机抽样方法抽取容量为 2 的样本共有不同抽法有 10 种， ∵总体平均数为 x － ＝1 5×(6＋7＋8＋9＋10)＝8，∴其中样本 6 和 7,6 和 8,8 和 10,9 和 10 的平 均数满足条件，故所求的概率为 4 10＝2 5. (理)为预防禽流感病毒暴发，某生物技术公司研制出一种新流感疫苗，为测试该疫苗的 有效性(若疫苗有效的概率小于 90%，则认为测试没有通过)，公司选定 2000 个流感样本分 成三组，测试结果如下表： A 组 B 组 C 组 疫苗有效 673 x y 疫苗无效 77 90 z 已知在全体样本中随机抽取 1 个，抽到 B 组疫苗有效的概率是 0.33. (1)求 x 的值； (2)现用分层抽样的方法在全体样本中抽取 360 个测试结果，问应在 C 组抽取多少个？ (3)已知 y≥465，z≥30，求不能通过测试的概率． [解析]　(1)∵在全体样本中随机抽取 1 个，抽取 B 组疫苗有效的概率约为其频率，即 x 2000＝0.33， ∴x＝660. (2)C 组样本个数为 y＋z＝2000－(673＋77＋660＋90)＝500， 现用分层抽样的方法在全体样本中抽取 360 个测试结果，则应在 C 组抽取个数为 360 2000 ×500＝90. (3)设测试不能通过的事件为 A，C 组疫苗有效与无效的可能的情况记为(y，z)，由(2)知 y＋z＝500，且 y，z∈N，所有基本事件有：(465,35)，(466,34)，(467,33)，(468,32)， (469,31)，(470,30)共 6 个， 若测试不能通过，则 77＋90＋z>2000×(1－0.9)，即 z>33， 事件 A 包含的基本事件有：(465,35)，(466,34)共 2 个，∴P(A)＝2 6＝1 3，故不能通过测试 的概率为1 3. 能力拓展提升 一、选择题 11．(2012·大连部分中学联考)某公司有普通职员 150 人、中级管理人员 40 人、高级管 理人员 10 人，现采用分层抽样的方法从这 200 人中抽取 40 人进行问卷调查，若在已抽取的 40 人的问卷中随机抽取一张，则所抽取的恰好是一名高级管理人员的答卷的概率为(　　) A.1 4 B.1 5 C. 1 20 D. 1 100 [答案]　C [解析]　由分层抽样知，在普通职员中抽 30 人，中级管理人员抽 8 人，高级管理人员 中抽 2 人．由古典概型知，所抽取的恰好是一名高级管理人员的答卷的概率为 1 20，选 C. 12．学校为了调查学生在课外读物方面的支出情况，抽取了一个容量为 n 的样本，其频 率分布直方图如图所示，其中支出在[50,60)的同学有 30 人，若想在这 n 个人中抽取 50 个人， 则在[50,60)之间应抽取的人数为(　　) A．10 B．15 C．25 D．30 [答案]　B [解析]　根据频率分布直方图得总人数 n＝ 30 1－(0.01＋0.024＋0.036) × 10 ＝100，依题意知，应采取分层抽样，再根据分层抽 样的特点，则在[50,60)之间应抽取的人数为 50× 30 100＝15. 13．(2013·新课标Ⅰ理，3)为了解某地区的中小学生视力情况，拟从该地区的中小学生 中抽取部分学生进行调查，事先已了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况 有较大差异，而男女生视力情况差异不大，在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是(　　) A．简单随机抽样 B．按性别分层抽样 C．按学段分层抽样 D．系统抽样 [答案]　C [解析]　因为学段层次差异较大，所以在不同学段中抽取宜用分层抽样． 二、填空题 14．(2013·皖南八校第二次联考)某班有 50 名学生，现要采取系统抽样的方法在这 50 名 学生中抽出 10 名学生，将这 50 名学生随机编号 1～50 号，并分组，第一组 1～5 号，第二 组 6～10 号，…，第十组 46～50 号，若在第三组中抽得号码为 12 的学生，则在第八组中抽 得号码为________的学生． [答案]　37 [解析]　组距为50 10＝5，第八组抽得号码为(8－3)×5＋12＝37. 15．(2014·锦州期中)某公路设计院有工程师 6 人，技术员 12 人，技工 18 人，要从这些 人中抽取 n 个人参加市里召开的科学技术大会．如果采用系统抽样和分层抽样的方法抽取， 不用剔除个体；如果参会人数增加 1 个，则在采用系统抽样时，需要在总体中先剔除 1 个个 体，则 n＝________. [答案]　6 [解析]　总体容量为 6＋12＋18＝36. 当样本容量是 n 时，由题意知，系统抽样的间隔为36 n ，分层抽样的比例是 n 36，抽取的工 程师人数为 n 36×6＝n 6，技术员人数为 n 36×12＝n 3，技工人数为 n 36×18＝n 2，所以 n 应是 6 的倍 数，36 的约数，即 n＝6,12,18. 当样本容量为(n＋1)时，总体需剔除 1 人，系统抽样的间隔为 35 n＋1，因为 35 n＋1必须是整 数，所以 n 只能取 6.即样本容量 n＝6. 三、解答题 16．(文)郑州市某学校为了促进教师业务能力的提升，决定组织部分学科教师参加市达 标课活动，规定用分层抽样的方法，先从语文、英语、政治、历史、地理学科中抽取部分教 师参加，各学科教师人数分布表如下： 学科 语文 英语 政治 历史 地理 人数 24 24 15 12 9 抽取人数 8 8 a b c (1)求 a、b、c 的值； (2)若要在历史和地理学科已抽取的教师中，随机选取两名教师参加市教学技能竞赛， 求抽取的两位教师全是历史教师的概率． [解析]　(1)因为语文、英语、政治、历史、地理这 5 个学科的总人数之比为 8:8:5:4:3， 所以按照分层抽样各学科抽取的教师人数分别为 8 人、8 人、5 人、4 人、3 人． 故 a＝5，b＝4，c＝3. (2)将历史教师分别记为 x1、x2、x3、x4，地理教师分别记为 y1、y2、y3， 则抽取两位教师可以是(x1，y1)，(x1，y2)，(x1，y3)，(x2，y1)，(x2，y2)，(x2，y3)，(x3， y1)，(x3，y2)，(x3，y3)，(x4，y1)，(x4，y2)，(x4，y3)，(x1，x2)，(x1，x3)，(x1，x4)，(x2，x3)， (x2，x4)，(x3，x4)，(y1，y2)，(y1，y3)，(y2，y3)，共 21 种情况； 抽取的两位教师全是历史教师有(x1，x2)，(x1，x3)，(x1，x4)，(x2，x3)，(x2，x4)，(x3， x4)，共 6 种情况． 所以抽取的两位教师全是历史教师的概率为 6 21＝2 7. (理)(2013·长安一中模拟)某高校在 2013 年的自主招生考试成绩中随机抽取 100 名学生 的笔试成绩，按成绩分组，得到的频率分布表如下表所示. 编号 分组 频数 频率 第一组 [160,165) 5 0.050 第二组 [165,170) x 0.350 第三组 [170,175) 30 y 第四组 [175,180) 20 0.200 第五组 [180,185] 10 0.100 合计 100 1 (1)求出频率分布表中 x、y 的值，再在答题纸上完成下列频率分布直方图； (2)为了能选拔出最优秀的学生，高校决定在笔试成绩高的第 3、4、5 组中用分层抽样 抽取 6 名学生进入第二轮面试，求第 3、4、5 组每组各抽取多少名学生进入第二轮面试； (3)在(2)的前提下，学校决定在 6 名学生中随机抽取 2 名学生接受 A 考官进行面试，求 第 4 组至少有一名学生被 A 考官面试的概率． [解析]　(1)由题可知，第 2 组的频数 x＝0.35×100＝35 人， 第 3 组的频率为 y＝ 30 100＝0.300， 频率分布直方图如下： (2)因为第 3、4、5 组共有 60 名学生，所以利用分层抽样在 60 名学生中抽取 6 名学生， 每组分别为： 第 3 组：30 60×6＝3 人， 第 4 组：20 60×6＝2 人， 第 5 组：10 60×6＝1 人， 所以第 3、4、5 组分别抽取 3 人，2 人，1 人． (3)设第 3 组的 3 位同学为 A1、A2、A3，第 4 组的 2 位同学为 B1、B2，第 5 组的 1 位同 学为 C1，则从这六位同学中抽取两位同学有 15 种可能如下：(A1，A2)，(A1，A3)，(A1，B1)， (A1，B2)，(A1，C1)，(A2，A3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，C1)，(A3，B1)，(A3，B2)，(A3， C1)，(B1，B2)，(B1，C1)，(B2，C1)． 第 4 组至少有一位同学入选的有： (A1，B1)，(A1，B2)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A3，B1)，(B1，B2)，(A3，B2)，(B1，C1)， (B2，C1)，9 种可能，所以其中第 4 组的 2 名同学中至少有一名学生被 A 考官面试的概率为9 15 ＝3 5. 考纲要求 1．理解随机抽样的必要性和重要性． 2．会用简单随机抽样方法从总体中抽取样本． 3．了解分层抽样和系统抽样方法． 补充说明 1．总体、个体、样本 把所考察对象的某一数值指标的全体构成的集合看成总体，构成总体的每一个元素为个 体．从总体中随机抽取若干个个体构成的集合叫做总体的一个样本． 2．随机抽样 抽样时保持每一个个体都可能被抽到，每一个个体被抽到的机会是均等的，满足这样条 件的抽样是随机抽样． 3．简单随机抽样需满足：(1)抽取的个体数有限；(2)逐个抽取；(3)是不放回抽取；(4) 是等可能抽取． 4．随机数法 a．随机数表． 随机数表是由 0,1,2，…，9 这 10 个数字组成的数表，并且表中的每一位置出现各个数 字的可能性相同． b．用随机数表抽样的步骤． 第一步：将总体中的个体编号．为了保证抽取样本有很好的代表性，编号时位数要相 同． 第二步：选定开始的数字．为了保证所选定数字的随机性，应在面对随机数表之前就指 出开始数字的纵横位置． 第三步：获取样本号码．随机确定一个读数方向，读数的方向可以向右，也可以向左、 向上、向下等，重复的号码跳过．直到获取全部号码为止． 5．分层抽样 分层抽样使用的前提是总体可以分层，层与层之间有明显区别，而层内个体间差异较小， 每层中所抽取的个体数可按各层个体数在总体中所占比例抽取． 备选习题 1．(2013·贵州六校联考)为了参加 2013 贵州省高中篮球比赛，某中学决定从四个篮球较 强的班级的篮球队员中选出 12 人组成男子篮球队，代表该地区参赛，四个篮球较强的班级 篮球队员人数如下表： 班级 高三(7)班 高三(17)班 高二(31)班 高二(32)班 人数 12 6 9 9 (1)现采取分层抽样的方法是从这四个班中抽取运动员，求应分别从这四个班抽出的队 员人数； (2)该中学篮球队奋力拼搏，获得冠军．若要从高三(7)班和高三(17)班抽出的队员中选出 两位队员作为冠军的代表发言，求选出的两名队员来自同一班的概率． [解析]　(1)由题知，应从高三(7)班中抽出 12×12 36＝4 人， 应从高三(17)班中抽出 12× 6 36＝2 人， 应从高二(31)班中抽出 12× 9 36＝3 人， 应从高二(32)班中抽出 12× 9 36＝3 人． (2)记高三(7)班抽出的 4 人为 A1、A2、A3、A4，高三(17)班抽出的两人为 B1、B2，则从 这 6 个人中抽出 2 人的基本事件有：(A1，A2)、(A1，A3)、(A1，A4)、(A1，B1)、(A1，B2)、 (A2，A3)、(A2，A4)、(A2，B1)、(A2，B2)、(A3，A4)、(A3，B1)、(A3，B2)、(A4，B1)、(A4， B2)、(B1，B2)共 15 个． 记“抽出的 2 人来自同一班”的事件 C，则事件 C 含：(A1，A2)、(A1，A3)、(A1，A4)、 (A2，A3)、(A2，A4)、(A3，A4)、(B1，B2)共 7 个， 故 P(C)＝ 7 15.