高考数学一轮复习练案3第一章集合与常用逻辑用语第三讲逻辑联结词全称量词与存在量词含解析

高考数学一轮复习练案3第一章集合与常用逻辑用语第三讲逻辑联结词全称量词与存在量词含解析

‎ [练案3]第三讲　逻辑联结词、全称量词与存在量词 A组基础巩固 一、单选题 ‎1．(2020·内蒙古呼和浩特市高三调研)已知命题p：实数的平方是非负数，则下列结论正确的是(　C　)‎ A．命题¬p是真命题 B．命题p是特称命题 C．命题p是全称命题 D．命题p既不是全称命题也不是特称命题 ‎[解析]　命题p：实数的平方是非负数，是真命题，故¬p是假命题，命题p是全称命题，故选C.‎ ‎2．(2020·山西芮城期末)在一次数学测试中，成绩在区间[125,150]内视为优秀，有甲、乙两名同学，设命题p是“甲测试成绩优秀”，q是“乙测试成绩优秀”，则命题“甲、乙中至少有一名同学成绩不是优秀”可表示为(　A　)‎ A．(¬p)∨(¬q)　　 B．p∨(¬q)‎ C．(¬p)∧(¬q)　　 D．p∨q ‎[解析]　“甲测试成绩不优秀”可表示为¬p，“乙测试成绩不优秀”可表示为¬q，“甲、乙中至少有一名同学成绩不是优秀”即“甲测试成绩不优秀”或“乙测试成绩不优秀”，表示形式为(¬p)∨(¬q)．故选A.‎ ‎3．“若¬q”是假命题，命题“p∧q”也是假命题，则(　C　)‎ A．命题“(¬p)∨q”是假命题 B．命题“p∨q”是假命题 C．命题“(¬p)∨q”是真命题 D．命题“p∨(¬q)”是真命题 ‎[解析]　由“¬q”为假命题，得q为真命题．又“p∧q”是假命题，所以p为假命题，“¬p”为真命题，所以命题“(¬p)∨q”是真命题，命题“p∨q”是真命题，故选C.‎ ‎4．命题“所有实数的平方都是正数”的否定为(　D　)‎ A．所有实数的平方都不是正数 B．有的实数的平方是正数 C．至少有一个实数的平方是正数 D．至少有一个实数的平方不是正数 ‎[解析]　命题“所有实数的平方都是正数”的否定是“所有实数的平方不都是正数”，即至少有一个实数的平方不是正数，故选D.‎ - 5 -‎ ‎5．(2020·吉林长春实验中学高三期中)命题“∀x∈R，x3－3x≤‎0”‎的否定为(　C　)‎ A．“∀x∈R，x3－3x>‎0”‎　　 B．“∀x∈R，x3－3x≥‎‎0”‎ C．“∃x0∈R，x－3x0>‎0”‎　　 D．“∃x0∈R，x－3x0<‎‎0”‎ ‎[解析]　因为全称命题的否定是特称命题，所以“∀x∈R，x3－3x≤‎0”‎的否定为“∃x0∈R，x－3x0>‎0”‎．故选C.‎ ‎6．下列四个命题中为真命题的是(　C　)‎ A．∀x∈R，x2＋3<0　　 B．∀x∈N，x2≥1‎ C．∃x0∈Z，x<1　　 D．∃x0∈Q，x＝3‎ ‎7．已知命题p：∀x∈R，(a＋2)x2－2ax＋1<0，若命题p为假命题，则a的取值范围为(　A　)‎ A．R　　 B．(－∞，－2)‎ C．(－∞，－2]　　 D．(－∞，－1]∪[2，＋∞)‎ ‎[解析]　若命题p为真，则 ‎∴∴a∈∅，因此若命题p为假命题，则a的取值范围为R，故选A.‎ 二、多选题 ‎8．(2019·山东聊城一中高三10月月考)下列命题中是真命题的是(　ABD　)‎ A．∃x，y∈(0，＋∞)，lg ＝lg x－lg y B．∀x∈R，x2＋x＋1>0‎ C．∀x∈R,2x<3x D．∃x，y∈R,2x·2y＝2xy ‎[解析]　对于A，由对数的运算性质可知，∃x，y∈(0，＋∞)，lg ＝lg x－lg y，故正确；对于B，b2－‎4ac＝1－4＝－3<0，故正确：对于C，当x＝－1时，2－1>3－1，故错误；对于D，由同底数幂乘积可得x＝y＝2时，2x·2y＝2xy，故正确．故选A、B、D.‎ ‎9．已知命题p：∃x∈R，x2－x＋1≥0；命题q：若a20，∴命题p为真命题．当a2－5，故命题q为假命题，故¬q为真命题．∴p∧(¬q)为真命题，故选A、C、D.‎ ‎10．下列命题中为假命题的是(　ACD　)‎ A．命题“若x>1，则x2>‎1”‎的否命题 B．命题“若x>y，则x>|y|”的逆命题 - 5 -‎ C．命题“∀x∈R，x2＋2x＋3≥‎0”‎的否定 D．命题“若>1，则x>‎1”‎的逆否命题 ‎[解析]　命题“若x>1，则x2>‎1”‎的否命题：若x≤1，则x2≤1，显然不正确，反例：x＝－2，x2>1.命题“若x>y，则x>|y|”的逆命题：若x>|y|，则x>y，正确．命题“∀x∈R，x2＋2x＋3≥‎0”‎为真命题，所以其否定为假命题．命题“若>1，则x>‎1”‎为假命题，所以其逆否命题为假命题．故选A、C、D.‎ 二、填空题 ‎11．(2020·安徽滁州联合质检)命题“∃x0∈R,2x0，命题q：∃x0∈(0，＋∞)，x＋x0为真命题，若命题“p∧q”为真命题，则q是真命题．由命题q：∃x0∈(0，＋∞)，x＋x(x2＋x－2)min＝2，∴实数a的取值范围为(2，＋∞)．‎ B组能力提升 ‎1．(2020·辽宁锦州期末)命题p：∀x∈[2，＋∞)，log2x≥1，则(　A　)‎ A．p是真命题，¬p：∃x0∈[2，＋∞)，log2x0<1‎ B．p是假命题，¬p：∀x∈[2，＋∞)，log2x<1‎ C．p是假命题，¬p：∃x0∈[2，＋∞)，log2x0<1‎ D．p是真命题，¬p：∀x∈[2，＋∞)，log2x<1‎ ‎[解析]　∵y＝log2x为增函数，∵x≥2，∴log2x≥log22＝1，∴p为真命题．¬p：∃x0∈[2，＋∞)，log2x0<1.故选A.‎ ‎2．(2020·昆明一中质检)已知命题p：∀x∈R，x＋≥2；命题q：∃x0∈(0，＋∞)，x>x - 5 -‎ ‎，则下列命题中为真命题的是(　A　)‎ A．(¬p)∧q　　 B．p∧(¬p)‎ C．(¬p)∧(¬q)　　 D．p∧q ‎[解析]　对于p：当x＝－1时，x＋＝－2，∴p为假命题．从而¬p为真命题，取x0∈(0,1)，此时x>x，∴q为真命题．(¬p)∧q为真命题．‎ ‎3．(2020·西藏拉萨中学月考)下列说法正确的是(　C　)‎ A．命题“若x2－3x＋2＝0，则x＝‎1”‎的否命题是“若x2－3x＋2＝0，则x≠‎‎1”‎ B．若p∧q为假命题，则p，q均为假命题 C．命题p：∃x0∈R，sinx0>1，则¬p：∀x∈R，sin x≤1‎ D．“φ＝2kπ＋(k∈Z)”是“函数y＝sin(2x＋φ)为偶函数”的充要条件 ‎[解析]　对于A，命题“若x2－3x＋2＝0，则x＝‎1”‎的否命题是“若x2－3x＋2≠0，则x≠‎1”‎，A错误，对于B，若p∧q为假命题，则p，q中至少有一个为假命题，B错误．对于C，命题p：∃x0∈R，sin x0>1，则¬p：∀x∈R，sin x≤1，C正确．对于D，φ＝2kπ＋(k∈Z)时，函数y＝sin(2x＋φ)＝cos 2x为偶函数，充分性成立．函数y＝sin(2x＋φ)为偶函数时，φ＝＋kπ(k∈Z)，必要性不成立，不是充要条件，D错误．故选C.‎ ‎4．(2020·贵州贵阳模拟)已知命题p：∀x∈R,2x<3x，命题q：∃x∈R，x2＝2－x，若命题(¬p)∧q为真命题，则x的值为(　D　)‎ A．1　 B．－1　‎ C．2　 D．－2‎ ‎[解析]　因为¬p：∃x∈R,2x≥3x，要使(¬p)∧q为真命题，所以¬p与q同时为真命题．由2x≥3x得()x≥1，所以x≤0，由x2＝2－x得x2＋x－2＝0，所以x＝1或x＝－2.又x≤0，所以x＝－2.故选D.‎ ‎5．若f(x)＝x2－2x，g(x)＝ax＋2(a>0)，∀x1∈[－1,2]，∃x0∈[－1,2]，使g(x1)＝f(x0)，则实数a的取值范围是　(0，]　.‎ ‎[解析]　由于函数g(x)在定义域[－1,2]内是任意取值的，且必存在x0∈[－1,2]，使得g(x1)＝f(x0)，因此问题等价于函数g(x)的值域是函数f(x)值域的子集．函数f(x)的值域是[－1,3]，函数g(x)的值域是[2－a,2＋‎2a]，则有2－a≥－1且2＋‎2a≤3，即a≤.又a>0，故a的取值范围是(0，]．‎ - 5 -‎ - 5 -‎