【数学】2020届一轮复习北师大版空间几何体的三视图、表面积与体积及空间位置关系的判定学案

【数学】2020届一轮复习北师大版空间几何体的三视图、表面积与体积及空间位置关系的判定学案

一、主干知识要记牢 ‎1．简单几何体的表面积和体积 ‎(1)S直棱柱侧＝ch(c为底面的周长，h为高)．‎ ‎(2)S正棱锥侧＝ch′(c为底面周长，h′为斜高)．‎ ‎(3)S正棱台侧＝(c′＋c)h′(c与c′分别为上、下底面周长，h′为斜高)．‎ ‎(4)圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式 S圆柱侧＝2πrl(r为底面半径，l为母线长)，‎ S圆锥侧＝πrl(r为底面半径，l为母线长)，‎ S圆台侧＝π(r′＋r)l(r′，r分别为上、下底面的半径，l为母线长)．‎ ‎(5)柱、锥、台体的体积公式 V柱＝Sh(S为底面面积，h为高)，‎ V锥＝Sh(S为底面面积，h为高)，‎ V台＝(S＋＋S′)h(S，S′为上、下底面面积，h为高)．‎ ‎(6)球的表面积和体积公式 S球＝4πR2，V球＝πR3．‎ ‎2．两类关系的转化 ‎(1)平行关系之间的转化 ‎(2)垂直关系之间的转化 ‎3．证明空间位置关系的方法 已知a，b，l是直线，α，β，γ是平面，O是点，则 ‎(1)线线平行：‎ ⇒c∥b， ⇒a∥b，‎ ⇒a∥b, ⇒a∥b．‎ ‎(2)线面平行：‎ ⇒a∥α， ⇒a∥α， ⇒a∥α．‎ ‎(3)面面平行：‎ ⇒α∥β， ⇒α∥β， ⇒α∥γ．‎ ‎(4)线线垂直：‎ ⇒a⊥b, 　⇒a⊥b．‎ ‎(5)线面垂直：‎ ⇒l⊥α， ⇒a⊥β，‎ ⇒a⊥β ⇒b⊥α．‎ ‎(6)面面垂直：‎ ⇒α⊥β， ⇒α⊥β．‎ 二、二级结论要用好 ‎1．长方体的对角线与其共点的三条棱之间的长度关系d2＝a2＋b2＋c2；若长方体外接球半径为R，则有(2R)2＝a2＋b2＋c2．‎ ‎2．棱长为a的正四面体的内切球半径r＝a，外接球的半径R＝a.又正四面体的高h＝a，故r＝h，R＝h．‎ 三、易错易混要明了 应用空间线面平行与垂直关系中的判定定理和性质定理时，忽视判定定理和性质定理中的条件，导致判断出错．如由α⊥β，α∩β＝l，m⊥l，易误得出m⊥β的结论，就是因为忽视面面垂直的性质定理中m⊂α的限制条件．‎ 考点一　空间几何体的三视图 ‎1．由直观图确定三视图的方法 根据空间几何体三视图的定义及画法规则和摆放规则确定．‎ ‎2．由三视图还原到直观图的思路 ‎(1)根据俯视图确定几何体的底面．‎ ‎(2)根据正(主)视图或侧(左)视图确定几何体的侧棱与侧面的特征，调整实线和虚线所对应的棱、面的位置．‎ ‎(3)确定几何体的直观图形状．‎ ‎1．(2018·湖北联考)将正方体(如图1)截去三个三棱锥后，得到(如图2)所示的几何体，侧视图的视线方向(如图2)所示，则该几何体的侧视图为(　D　)‎ 解析　点A，B，C，E在左侧面的投影为正方形，CA在左侧面的投影为斜向下的正方形对角线，DE在左侧面的投影为斜向上的正方形对角线，为不可见轮廓线，综上可知故选D．‎ ‎2．(2018·北京卷)某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为(　C　)‎ A．1 B．2‎ C．3 D．4‎ 解析　由三视图得到空间几何体，如图所示，则PA⊥平面ABCD，平面ABCD为直角梯形，PA＝AB＝AD＝2，BC＝1，所以PA⊥AD，PA⊥AB，PA⊥BC.又BC⊥AB，AB∩PA＝A，所以BC⊥平面PAB，所以BC⊥PB.在△PCD中，PD＝2，PC＝3，CD＝，所以△PCD为锐角三角形．所以侧面中的直角三角形为△PAB，△PAD，△PBC，共3个．故选C．‎ 考点二　空间几何体的表面积与体积 ‎1．求解几何体的表面积与体积的技巧 ‎(1)求三棱锥的体积：等体积转化是常用的方法，转化原则是其高易求，底面放在已知几何体的某一面上．‎ ‎(2)求不规则几何体的体积：常用分割或补形的方法，将不规则几何体转化为规则几何体求解．‎ ‎(3)求表面积：其关键思想是空间问题平面化．‎ ‎2．根据几何体的三视图求其表面积或体积的步骤 ‎(1)根据给出的三视图还原该几何体的直观图．‎ ‎(2)由三视图中的大小标识确定该几何体的各个度量．‎ ‎(3)套用相应的面积公式或体积公式计算求解．‎ ‎1．(2018·延边模拟)已知一几何体的三视图如图所示，俯视图由一个直角三角形与一个半圆组成，则该几何体的体积为(　A　)‎ A．6π＋12 B．6π＋24‎ C．12π＋12 D．24π＋12‎ 解析　由三视图可知，该几何体为一组合体，它由半个圆柱和一个底面是直角三角形的直棱柱组成，故该几何体的体积V＝×π×22×3＋×2×4×3＝6π＋12，故选A．‎ ‎2．(2017·全国卷Ⅱ)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为(　B　)‎ A．90π B．63π C．42π D．36π 解析　方法一　(割补法)如图所示，由几何体的三视图，可知该几何体是一个圆柱被截去上面虚线部分所得．‎ 将圆柱补全，并将圆柱体从点A处水平分成上下两部分．由图可知，该几何体的体积等于下部分圆柱的体积加上上部分圆柱体积的，所以该几何体的体积V＝π×32×4＋π×32×6×＝63π.故选B．‎ 方法二　(估值法)由题意，知V圆柱

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