【数学】2019届一轮复习北师大版 坐标系与参数方程 学案

【数学】2019届一轮复习北师大版 坐标系与参数方程 学案

【命题热点突破一】极坐标系与简单曲线的极坐标方程 例 1、【2017 天津，理 11】在极坐标系中，直线 与圆 的公 共点的个数为___________. 【答案】2 【解析】直线为 ，圆为 ，因为 ，所以有两 个交点 【变式探究】【2016 年高考北京理数】在极坐标系中，直线 与圆 交于 A，B 两点，则 ______. 【答案】2 【解析】直线 过圆 的圆心，因此 学 【变式探究】[2015·全国卷] 在直角坐标系 xOy 中，直线 C1 x＝－2，圆 C2 (x－1)2＋(y－ 2)2＝1，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系． (1)求 C1，C2 的极坐标方程； (2)若直线 C3 的极坐标方程是 θ＝ π 4 (ρ∈R)，设 C2 与 C3 的交点为 M，N，求△C2MN 的面积． 【解析】 【特别提醒】根据直角坐标化为极坐标的公式，可以把直线、曲线的直角坐标方程化为极坐 标方程，反之亦然．使用直线、曲线的直角坐标方程和极坐标方程解题各有利弊，要根据情 况灵活选取． 【变式探究】 在直角坐标系 xOy 中，曲线 C {x＝2t， y＝4t2－6(t 为参数)．以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴 cos 3 sin 1 0ρ θ ρ θ− − = 2cosρ θ= | |AB = 3 1 0x y− − = 2 2( 1) 1x y− + = 2.AB = 4 cos( ) 1 06 ρ θ π− + = 2sinρ θ= 2 3 2 1 0x y+ + = 2 2( 1) 1x y+ − = 3 14d = < 建立极坐标系，直线 l 的极坐标方程为 θ＝ π 3 (ρ∈R)，l 与 C 相交于 A，B 两点． (1)写出直线 l 的参数方程和曲线 C 的普通方程； (2)设线段 AB 的中点为 M，求点 M 的极坐标． 【解析】 【命题热点突破二】简单曲线的参数方程 例 2、【2017·江苏】[选修 4-4 坐标系与参数方程]（本小题满分 10 分） 在平面坐标系中 中,已知直线 的参考方程为 ( 为参数),曲线 的参数方程为 ( 为参数).设 为曲线 上的动点，求点 到直线 的距离的最小值. 【答案】 【解析】直线 的普通方程为 . 因为点 在曲线 上，设 ， xOy l x 8 2 t ty = − + = t C 22 , 2 2 x s y s  = = s P C P l 4 5 5 l 2 8 0x y− + = P C ( )22 ,2 2P s s 从而点 到直线 的的距离 ， 当 时， . 因此当点 的坐标为 时，曲线 上点 到直线 的距离取到最小值 . 【变式探究】【2016 高考新课标 1 卷】（本小题满分 10 分）选修 4—4 坐标系与参数方程 在直角坐标系 x y 中,曲线 C1 的参数方程为 （t 为参数,a＞0）． 在以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线 C2 ρ= . （I）说明 C1 是哪一种曲线,并将 C1 的方程化为极坐标方程； （II）直线 C3 的极坐标方程为 ,其中 满足 tan =2,若曲线 C1 与 C2 的公共点都在 C3 上,求 a． 【答案】（I）圆, （II）1 （Ⅱ）曲线 的公共点的极坐标满足方程组 若 ，由方程组得 ，由已知 ， 可得 ，从而 ，解得 （舍去）， . 时，极点也为 的公共点，在 上.所以 . 【变式探究】已知直线 l 经过点 P(1，1)，倾斜角 α＝ π 6 . Ο cos 1 sin x a t y a t =  = + 4 cosθ 0 θ α= 0 α 0 α 2 22 sin 1 0aρ ρ θ− + − = 21,CC    = =−+− ,cos4 ,01sin2 22 θρ θρρ a 0≠ρ 01cossin8cos16 22 =−+− aθθθ 2tan =θ 0cossin8cos16 2 =− θθθ 01 2 =− a 1−=a 1=a 1=a 21,CC 3C 1=a P l ( ) ( ) ( )22 2 2 2 2 42 4 2 8 51 2 ss s d − +− + = = − + − 2s = min 4 5 5d = P ( )4,4 C P l 4 5 5 (1)写出直线 l 的参数方程； (2)设 l 与圆{x＝2cos θ， y＝2sin θ (θ 为参数)相交于 A，B 两点，求点 P 到 A，B 两点的距离之 积． 【解析】 解 (1)直线 l 的参数方程是{x＝1＋ 3 2 t， y＝1＋ 1 2t (t 是参数)． (2)因为点 A，B 都在直线 l 上，所以可设点 A，B 对应的参数分别为 t1 和 t2，将直线 l 的参 数方程代入圆的方程 x2＋y2＝4 中，整理得 t2＋( 3＋1)t－2＝0.① 因为 t1 和 t2 是方程①的解，从而 t1t2＝－2， 所以|PA|·|PB|＝|t1t2|＝2.学 【特别提醒】直线的参数方程{x＝x0＋tcos α， y＝y0＋tsin α (其中 t 为参数，α 为直线的倾斜角)中 t 的几何意义是点 P(x0，y0)到参数 t 对应的点的有向线段的数量，解题中注意使用直线参数 方程的几何意义，同时注意直线的参数方程中 t 的系数是否符合上述参数方程． 【变式探究】 已知椭圆 C x2 4 ＋ y2 3 ＝1，直线 l {x＝－3＋ 3t， y＝2 3＋t (t 为参数)． (1)写出椭圆 C 的参数方程及直线 l 的普通方程； (2)设 A(1，0)，若椭圆 C 上的点 P 满足到点 A 的距离与其到直线 l 的距离相等，求点 P 的 坐标． 【命题热点突破三】极坐标与参数方程的综合 例 3、【2017 课标 1，理 22】在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为 （θ 为 参数），直线 l 的参数方程为 . （1）若 a=−1，求 C 与 l 的交点坐标； （2）若 C 上的点到 l 的距离的最大值为 ，求 a. 【答案】（1） 与 的交点坐标为 ， ；（2） 或 . （2）直线 的普通方程为 ，故 上的点 到 的距离为 . 当 时， 的最大值为 .由题设得 ，所以 ； 当 时， 的最大值为 .由题设得 ，所以 . 综上， 或 .学 【变式探究】【2016 高考新课标 2 理数】选修 4—4 坐标系与参数方程 在直角坐标系 中，圆 的方程为 ． （Ⅰ）以坐标原点为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求 的极坐标方程； xOy C 2 2( 6) 25x y+ + = x C 3cos , sin , x y θ θ =  = 4 , 1 , x a t ty t = +  = − （ 为参数） 17 C l ( )3,0 21 24,25 25  −   8a = 16a = − l 4 4 0x y a+ − − = C ( )3cos ,sinθ θ l 3cos 4sin 4 17 ad θ θ+ − −= 4a ≥ − d 9 17 a + 9 17 17 a + = 8a = 4a < − d 1 17 a− + 1 17 17 a− + = 16a = − 8a = 16a = − （Ⅱ）直线 的参数方程是 （ 为参数）, 与 交于 两点， ， 求 的斜率． 【答案】（Ⅰ） ；（Ⅱ） . 【变式探究】已知平面直角坐标系 xOy 中，以 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系， P 点的极坐标为(4 3， π 6 )，曲线 C 的极坐标方程为 ρ2＋4 3ρsin θ＝4. (1)写出点 P 的直角坐标及曲线 C 的普通方程； (2)若 Q 为 C 上的动点，求 PQ 中点 M 到直线 l {x＝3＋2t， y＝－2＋2t(t 为参数)距离的最大值． 解 (1)x＝ρcos θ＝6，y＝ρsin θ＝2 3， ∴点 P 的直角坐标为(6，2 3)． 由 ρ2＋4 3ρsin θ＝4 得 x2＋y2＋4 3y＝4，即 x2＋(y＋2 3)2＝16， ∴曲线 C 的普通方程为 x2＋(y＋2 3)2＝16. (2)由 l {x＝3＋2t， y＝－2＋2t可得直线 l 的普通方程为 x－y－5＝0， 由曲线 C 的普通方程 x2＋(y＋2 3)2＝16 可设点 Q(4cos θ，4sin θ－2 3)， ∴则点 M 的坐标为(2cos θ＋3，2sin θ)， l cos sin x t y t α α =  = t l C ,A B | | 10AB = l 2 12 cos 11 0ρ ρ θ+ + = 15 3 ± ∴点 M 到直线 l 的距离 d＝ |2cos θ＋3－2sin θ－5| 2 ＝ |2 2cos（θ＋ π 4 ）－2| 2 ， 当 cos(θ＋ π 4 )＝－1 时，d 取得最大值 2＋ 2， ∴点 M 到直线 l 距离的最大值为 2＋ 2. 【特别提醒】在极坐标与参数方程综合的试题中，一个基本的思路是把极坐标方程化为直角 坐标方程、参数方程化为普通方程，然后使用我们熟悉的平面解析几何知识解决问题． 【变式探究】 以平面直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系取相同 的单位长度．已知圆 C 的参数方程是{x＝2cos φ， y＝1＋2sin φ(φ 为参数)，直线 l 的极坐标方程是 2ρcos θ＋ρsin θ＝6. (1)求圆 C 的极坐标方程； (2)过圆 C 上任意一点 P 作与 l 夹角为 45°的直线，交 l 于点 Q，求|PQ|的最大值与最小 值． 【高考真题解读】 1.【2017 江苏，21】 在平面坐标系中 中,已知直线 的参考方程为 ( 为参数),曲线 的参数方程为 ( 为参数).设 为曲线 上的动点，求点 到直线 的距离的最小值. 【答案】 【解析】直线 的普通方程为 . xOy l x 8 2 t ty = − + = t C 22 , 2 2 x s y s  = = s P C P l 4 5 5 l 2 8 0x y− + = 因为点 在曲线 上，设 ， 从而点 到直线 的的距离 ， 当 时， . 因此当点 的坐标为 时，曲线 上点 到直线 的距离取到最小值 .学* 2. 【2017 课标 II，理 22】在直角坐标系 xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴 建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 。 （1）M 为曲线 上的动点，点 P 在线段 OM 上，且满足 ,求点 P 的轨迹 的直角坐标方程； （2）设点 A 的极坐标为 ，点 B 在曲线 上，求 面积的最大值。 【答案】(1) ；(2) 。 【解析】 （1）设 P 的极坐标为（ ）（ ＞0），M 的极坐标为 （ ）由题设知 |OP|= ， = . 由 |OP|=16 得 的极坐标方程 因此 的直角坐标方程为 . 3.【2017 北京，理 11】在极坐标系中，点 A 在圆 上，点 P 的坐标为（1,0）， P C ( )22 ,2 2P s s P l ( ) ( ) ( )22 2 2 2 2 42 4 2 8 51 2 ss s d − +− + = = − + − 2s = min 4 5 5d = P ( )4,4 C P l 4 5 5 1C cos 4ρ θ = 1C | | | | 16OM OP⋅ = 2C (2, )3 π 2C OAB△ ( ) ( )2 22 4 0x y x− + = ≠ 2 3+ ,ρ θ ρ ( )1,ρ θ 1 0ρ ＞ ρ OM 1 4 cosθ ρ = OM ⋅ 2C 4cos 0ρ θ ρ= （ ＞ ） 2C ( )2 2x 2 y 4 0x− + = ≠（ ） 2 2 cos 4 sin 4 0ρ ρ θ ρ θ− − + = 则|AP|的最小值为___________. 【答案】1 【解析】将圆的极坐标方程化为普通方程为 ，整理为 ，圆心 ，点 是圆外一点，所以 的最小值就是 . 4.【2017 课标 1，理 22】在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为 （θ 为参 数），直线 l 的参数方程为 . （1）若 a=−1，求 C 与 l 的交点坐标； （2）若 C 上的点到 l 的距离的最大值为 ，求 a. 【答案】（1） 与 的交点坐标为 ， ；（2） 或 . （2）直线 的普通方程为 ，故 上的点 到 的距离为 . 当 时， 的最大值为 .由题设得 ，所以 ； 当 时， 的最大值为 .由题设得 ，所以 . 2 2 2 4 4 0x y x y+ − − + = ( ) ( )2 21 2 1x y− + − = ( )1,2C P AP 2 1 1AC r− = − = 3cos , sin , x y θ θ =  = 4 , 1 , x a t ty t = +  = − （ 为参数） 17 C l ( )3,0 21 24,25 25  −   8a = 16a = − l 4 4 0x y a+ − − = C ( )3cos ,sinθ θ l 3cos 4sin 4 17 ad θ θ+ − −= 4a ≥ − d 9 17 a + 9 17 17 a + = 8a = 4a < − d 1 17 a− + 1 17 17 a− + = 16a = − 综上， 或 . 1.【2016 年高考北京理数】在极坐标系中，直线 与圆 交于 A，B 两点，则 ______. 【答案】2 【解析】直线 过圆 的圆心，因此 学 2.【2016 高考新课标 1 卷】（本小题满分 10 分）选修 4—4 坐标系与参数方程 在直角坐标系 x y 中,曲线 C1 的参数方程为 （t 为参数,a＞0）．在以坐标原 点为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线 C2 ρ= . （I）说明 C1 是哪一种曲线,并将 C1 的方程化为极坐标方程； （II）直线 C3 的极坐标方程为 ,其中 满足 tan =2,若曲线 C1 与 C2 的公共点都在 C3 上,求 a． 【答案】（I）圆, （II）1 【解析】解 （Ⅰ）消去参数 得到 的普通方程 . 是以 为圆心， 为半径的圆. 将 代入 的普通方程中，得到 的极坐标方程为 . 3.【2016 高考新课标 2 理数】选修 4—4 坐标系与参数方程 在直角坐标系 中，圆 的方程为 ． cos 3 sin 1 0ρ θ ρ θ− − = 2cosρ θ= | |AB = 3 1 0x y− − = 2 2( 1) 1x y− + = 2.AB = Ο cos 1 sin x a t y a t =  = + 4 cosθ 0 θ α= 0 α 0 α 2 22 sin 1 0aρ ρ θ− + − = t 1C 222 )1( ayx =−+ 1C )1,0( a θρθρ sin,cos == yx 1C 1C 01sin2 22 =−+− aθρρ xOy C 2 2( 6) 25x y+ + = 8a = 16a = − （Ⅰ）以坐标原点为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求 的极坐标方程； （Ⅱ）直线 的参数方程是 （ 为参数）, 与 交于 两点， ， 求 的斜率． 【答案】（Ⅰ） ；（Ⅱ） . 4.【2016 高考新课标 3 理数】（本小题满分 10 分）选修 4-4 坐标系与参数方程 在直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 ，以坐标原点为极点， 以 轴的正半轴为极轴，，建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 ． （I）写出 的普通方程和 的直角坐标方程； （II）设点 在 上，点 在 上，求 的最小值及此时 的直角坐标. 【答案】（Ⅰ） 的普通方程为 ， 的直角坐标方程为 ；（Ⅱ） ． x C l cos sin x t y t α α =  = t l C ,A B | | 10AB = l 2 12 cos 11 0ρ ρ θ+ + = 15 3 ± xOy 1C 3cos ( ) sin x y α α α  = = 为参数 x 2C sin( ) 2 24 ρ θ π+ = 1C 2C P 1C Q 2C PQ P 1C 2 2 13 x y+ = 2C 4 0x y+ − = 3 1( , )2 2 【解析】（Ⅰ） 的普通方程为 ， 的直角坐标方程为 . （Ⅱ）由题意，可设点 的直角坐标为 ，因为 是直线，所以 的最 小值即为 到 的距离 的最小值， . 当且仅当 时， 取得最小值，最小值为 ，此时 的直角坐标 为 . 1．(2015·广东，14)已知直线 l 的极坐标方程为 2ρsin(θ－π 4 )＝ 2，点 A 的极坐标为 A(2 2，7π 4 )， 则点 A 到直线 l 的距离为________． 【答案】5 2 2 【解析】依题已知直线 l 2ρsin(θ－π 4 )＝ 2和点 A (2 2，7π 4 )可化为 l x－y＋1＝0 和 A(2，－2)， 所以点 A 到直线 l 的距离为 d＝|2－（－2）＋1| 12＋（－1）2 ＝5 2 2 . 2 ． (2015· 北 京 ， 11) 在 极 坐 标 系 中 ， 点(2，π 3 )到 直 线 ρ(cos θ ＋ 3sin θ) ＝ 6 的 距 离 为 ________． 【答案】1 【解析】在平面直角坐标系下，点(2，π 3 )化为(1， 3)，直线方程为 x＋ 3y＝6，∴点(1， 3)到直线的距离为 d＝|1＋ 3 × 3－6| 2 ＝|－2| 2 ＝1. 学 3．(2015·安徽，12)在极坐标系中，圆 ρ＝8sin θ 上的点到直线 θ＝ π 3(ρ∈R)距离的最大值是 ________． 【答案】6 4．(2015·江苏，21)已知圆 C 的极坐标方程为 ρ2＋2 2ρsin(θ－π 4 )－4＝0，求圆 C 的半径． 【解析】 1C 2 2 13 x y+ = 2C 4 0x y+ − = P ( 3 cos ,sin )α α 2C | |PQ P 2C ( )d α | 3 cos sin 4 |( ) 2 | sin( ) 2 |32 d α α πα α+ −= = + − 2 ( )6k k Z πα π= + ∈ ( )d α 2 P 3 1( , )2 2 解 以极坐标系的极点为平面直角坐标系的原点 O，以极轴为 x 轴的正半轴，建立直角坐标 系 xOy. 圆 C 的极坐标方程为 ρ2＋2 2ρ( 2 2 sin θ－ 2 2 cos θ)－4＝0， 化简，得 ρ2＋2ρsin θ－2ρcos θ－4＝0. 则圆 C 的直角坐标方程为 x2＋y2－2x＋2y－4＝0， 即(x－1)2＋(y＋1)2＝6， 所以圆 C 的半径为 6. 5．(2015·新课标全国Ⅰ，23)在直角坐标系 xOy 中，直线 C1 x＝－2，圆 C2 (x－1)2＋(y－2)2＝ 1，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系． (1)求 C1，C2 的极坐标方程； (2)若直线 C3 的极坐标方程为 θ＝π 4(ρ∈R)，设 C2 与 C3 的交点为 M，N，求△C2MN 的面积． 【解析】 6．(2015·福建，21(2))在平面直角坐标系 xOy 中，圆 C 的参数方程为 (t 为 参数)．在极坐标系(与平面直角坐标系 xOy 取相同的长度单位，且以原点 O 为极点，以 x 轴 非负半轴为极轴)中，直线 l 的方程为 2ρsin(θ－π 4 )＝m(m∈R)． ①求圆 C 的普通方程及直线 l 的直角坐标方程； ②设圆心 C 到直线 l 的距离等于 2，求 m 的值． 【解析】 解 ①消去参数 t，得到圆 C 的普通方程为(x－1)2＋(y＋2)2＝9. 1 3cos , 2 3sin x t y t = +  = − + 由 2ρsin(θ－π 4 )＝m，得 ρsin θ－ρcos θ－m＝0. 所以直线 l 的直角坐标方程为 x－y＋m＝0. ②依题意，圆心 C 到直线 l 的距离等于 2， 即|1－（－2）＋m| 2 ＝2， 解得 m＝－3±2 2.学 7．(2015·湖南，16Ⅱ)已知直线 l (t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半 轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为 ρ＝2cos θ. (1)将曲线 C 的极坐标方程化为直角坐标方程； (2)设点 M 的直角坐标为(5， 3)，直线 l 与曲线 C 的交点为 A，B，求|MA|·|MB|的值． 【解析】 解 (1)ρ＝2cos θ 等价于 ρ2＝2ρcos θ.① 将 ρ2＝x2＋y2，ρcos θ＝x 代入①即得曲线 C 的直角坐标方程为 x2＋y2－2x＝0.② (2)将 代入②式，得 t2＋5 3t＋18＝0. 设这个方程的两个实根分别为 t1，t2，则由参数 t 的几何意义即知， |MA|·|MB|＝|t1t2|＝18. 1. 【2014 高考安徽卷理第 4 题】以平面直角坐标系的原点为极点， 轴的正半轴为极轴， 建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位，已知直线 的参数方程是 （ 为 参数），圆 的极坐标方程是 ，则直线 被圆 截得的弦长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 32 ,2 13 2 x t y t  = +  = + 32 ,2 13 2 x t y t  = +  = + x l 1 3 x t y t = +  = − t C θρ cos4= l C 14 142 2 22 2. 【2014 高考北京卷理第 3 题】曲线 ，（ 为参数）的对称中心（ ） A．在直线 上 B．在直线 上 C．在直线 上 D．在直线 上 【答案】B 【解析】参数方程 所表示的曲线为圆心在 ，半径为 1 的圆，其对称 中心为 ，逐个代入选项可知，点 满足 ，故选 B. 3. 【2014 高考湖北卷理第 16 题】已知曲线 的参数方程是 ，以坐标 原点为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程是 ，则 与 交点的直角坐标为 . 【答案】 【解析】 解 由 消去 得 ，由 得 ，解方程组 得 与 的交点坐标为 .学 4. 【2014 高考湖南卷第 11 题】在平面直角坐标系中，倾斜角为 的直线 与曲线 ，（ 为参数）交于 、 两点，且 ，以坐标原点 为极点， 1 cos 2 sin x y θ θ = − +  = = θ 2y x= 2y x= − 1y x= − 1y x= +    += +−= θ θ sin2 cos1 y x )2,1(− )2,1(− )2,1(− xy 2−= 1C    = = 3 3ty tx ( )为参数t x 2C 2=ρ 1C 2C )1,3(    = = 3 3ty tx t )0,0(3 22 ≥≥= yxyx 2=ρ 422 =+ yx    = =+ 22 22 3 4 yx yx 1C 2C )1,3( 4 π l 2 cos 1 sin xC y α α = +  = + ： α A B 2AB = O x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，则直线 的极坐标方程是________. 【答案】 ,故填 . 5.【2014 江西高考理第 12 题】若以直角坐标系的原点为极点， 轴的非负半轴为极轴建立 极坐标系，则线段 的极坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】根据 ， 得 解得 ，选 A. 6. 【2014 重庆高考理第 15 题】已知直线 的参数方程为 （ 为参数），以坐标原 点为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 ，则直线 与曲线 的公共点的极径 ________. 【答案】 l ( )cos sin 1ρ θ θ− = 1y x= − ( )sin cos 1 cos sin 1ρ θ ρ θ ρ θ θ⇒ = − ⇒ − = ( )cos sin 1ρ θ θ− = x ( )1 0 1y x x= − ≤ ≤ 1 ,0cos sin 2 πρ θθ θ= ≤ ≤+ 1 ,0cos sin 4 πρ θθ θ= ≤ ≤+ cos sin ,0 2 πρ θ θ θ= + ≤ ≤ cos sin ,0 4 πρ θ θ θ= + ≤ ≤ cos , sin , 0, [0,2 ]x yρ θ ρ θ ρ θ π= = > ∈ ( )1 0 1y x x= − ≤ ≤ [0,1], sin 1 cos ,(0 cos 1,0 sin 1,)y ρ θ ρ θ ρ θ ρ θ∈ = − ≤ ≤ ≤ ≤ 1 ,0cos sin 2 πρ θθ θ= ≤ ≤+ l    += += ty tx 3 2 t x C ( )2sin 4cos 0 0,0 2ρ θ θ ρ θ π− = ≥ ≤ < l C =ρ 5 7. 【2014 陕西高考理第 15 题】在极坐标系中，点 到直线 的距离 是 . 【答案】1 【解析】直线 化为直角坐标方程为 ，点 的直角坐 标为 ，点 到直线 的距离 ， 故答案为 1. 8. 【2014 天津高考理第 13 题】在以 为极点的极坐标系中，圆 和直线 相交于 两点．若 是等边三角形，则 的值为___________． 【答案】3． 9.【2014 高考福建理第 21（2）题】 已知直线 的参数方程为 ，（ 为参数），圆 的参数方程为 ，（ 为常数）. (2, )6 π sin( ) 16 πρ θ − = sin( ) 16 πρ θ − = 3 1 1 02 2y x− − = (2, )6 π ( 3,1) ( 3,1) 3 1 1 02 2y x− − = 2 2 3 1| 1 3 1 0 |2 2 1 1 3( ) ( )2 2 d × − × − = = = − + O 4sinr q= sin ar q = ,A B AOBD a l    −= −= ty tax 4 2 t C    = = θ θ sin4 cos4 y x θ （I）求直线 和圆 的普通方程； （II）若直线 与圆 有公共点，求实数 的取值范围. 【答案】（I） , ;（II） 【解析】（I）由已知直线 的参数方程为 ，（ 为参数）,消去参数 即可得直线 的普通方程.由圆 的参数方程 为 ，（ 为常数）消去参数 ,即可得圆的普通 方程. （II）由直线 与圆 有公共点,等价于圆心到直线的距离小于或等于圆的半径 4,由点到直 线的距离公式即可得到结论. 试题解析 （I）直线 的普通方程为 .圆 C 的普通方程为 . （II）因为直线 与圆有公共点,故圆 C 的圆心到直线 的距离 ,解得 . 10. 【2014 高考江苏第 21C 题】在平面直角坐标系 中，已知直线 的参数方程 （ 为参数），直线 与抛物线 相交于 两点，求线段 的长. 【答案】 【解析】直线 的普通方程为 ，即 ，与抛物线方程联立方程组解 得 ，∴ . 11. 【2014 高考辽宁理第 23 题】将圆 上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为 原 的 2 倍，得曲线 C. （Ⅰ）写出 C 的参数方程； （Ⅱ）设直线 与 C 的交点为 ，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极坐 l C l C a 2 2 0x y a− − = 2 2 16x y+ = 2 5 2 5a− ≤ ≤ l    −= −= ty tax 4 2 t t C    = = θ θ sin4 cos4 y x θ θ l C l 2 2 0x y a− − = 2 2 16x y+ = l l 2 4 5 ad −= ≤ 2 5 2 5a− ≤ ≤ xoy l 21 2 22 2 x t y t  = −  = + t l 2 4y x= AB AB 8 2 l 1 ( 2) 0x y− + − = 3y x= − 1 1 1, 2, x y =  = 2 2 9, 6 x y =  = − 2 2(9 1) ( 6 2) 8 2AB = − + − − = 2 2 1x y+ = : 2 2 0l x y+ − = 1 2,P P 标建立极坐标系，求过线段 的中点且与 垂直的直线的极坐标方程. 【答案】（1） （t 为参数）；（2） . （2）由 解得 ，或 . 不妨设 ,则线段 的中点坐标为 ,所求直线的斜率为 ，于是所 求直线方程为 ，化极坐标方程，并整理得 ，即 . 12. 【2014 高考全国 1 第 23 题】已知曲线 ，直线 （ 为参 数）. （I）写出曲线 的参数方程，直线 的普通方程； （II）过曲线 上任意一点 作与 夹角为 的直线，交 于点 ， 的最大值与最小 值． 【答案】（I） ；（II）最大值为 ，最小值为 . 1 2PP l cos 2sin x t y t    ＝ ＝ 3 4sin 2cos ρ θ θ= − 2 2 14 2 2 0 yx x y  + =  + − = 1 0 x y =  = 0 2 x y =  = 1 2(1,0), (0,2)P P 1 2PP 1( ,1)2 1 2k = 1 11 ( )2 2y x− = − 2 cos 4 sin 3ρ θ ρ θ− = − 3 4sin 2cos ρ θ θ= − 2 2 1 : 14 9 x yC + = l 2 , 2 2 , x t y t = +  = − t C l C P l 30° l A PA 2cos , 3sin , x y θ θ =  = 2 6 0x y+ − = 22 5 5 2 5 5 13. 【2014 高考全国 2 第 23 题】在直角坐标系 xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴为极轴建 立极坐标系，半圆 C 的极坐标方程为 ， . （Ⅰ）求 C 的参数方程； （Ⅱ）设点 D 在 C 上，C 在 D 处的切线与直线 垂直，根据（Ⅰ）中你得到的 参数方程，确定 D 的坐标. 【答案】（Ⅰ） 是参数， ；（Ⅱ） 【解析】（1）设点 M 是 C 上任意一点，则由 可得 C 的普通方程为 ， 即 ， 所以 C 的参数方程为 是参数， . （2）设 D 点坐标为 ，由（1）知 C 是以 G（1，0）为圆心，1 为半径的上 半圆， 因为 C 在点 D 处的切线与 垂直，所以直线 GD 与 的斜率相同， ， ， 2cosρ θ= 0, 2 πθ  ∈   : 3 2l y x= + 1 cos ,(sin x y β ββ = +  = 0 )β π≤ ≤ 3 3( , )2 2 ( , )x y 2cosρ θ= 2 2 2x y x+ = 2 2( 1) 1(0 1)x y y− + = ≤ ≤ 1 cos ,(sin x y β ββ = +  = 0 )β π≤ ≤ (1 cos ,sin )β β+ l l tan 3β = 3 πβ = 故 D 点的直角坐标为 ，即 . 14. 【2014 高考上海理 】已知曲线 C 的极坐标方程为 ，则 C 与极轴 的交点到极点的距离是 . 【答案】 15.（2013·新课标 I 理）（23）（本小题 10 分）选修 4—4 坐标系与参数方程 已知曲线 C1 的参数方程为Error!（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建 立极坐标系，曲线 C2 的极坐标方程为 ρ=2sinθ。 （Ⅰ）把 C1 的参数方程化为极坐标方程； （Ⅱ）求 C1 与 C2 交点的极坐标（ρ≥0,0≤θ＜2π） 【答案】（1）因为 ，消去参数，得 ，即 ， 故 极坐标方程为 ； （2） 的普通方程为 ，联立 、 的方程，解得 或 ，所 以交点的极坐标为 . 【解析】（1）先得到 C1 的一般方程，进而得到极坐标方程；（2）先联立求出交点坐标，进 而求出极坐标. 1)sin4cos3( =− θθp 1 3 4 5cos 5 5sin x t y t = +  = + 2 2( 4) ( 5) 25x y− + − = 2 2 8 10 16 0x y x y+ − − + = 1C 2 8 cos 10 sin 16 0ρ ρ θ ρ θ− − + = 2C 2 2 2 0x y y+ − = 1C 2C 1 1 x y =  = 0 2 x y =  = ( 2, ),(2, )4 2 π π (1 cos ,sin )3 3 π π+ 3 3( , )2 2