【数学】2018届一轮复习北师大版第六章不等式推理与证明第二节一元二次不等式及其解法教案
第二节 一元二次不等式及其解法
☆☆☆2017考纲考题考情☆☆☆
考纲要求
真题举例
命题角度
1.会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型；
2.通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系；
3.会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图。
2016，全国卷Ⅲ，1,5分(一元二次不等式的解法)
2015，天津卷，4,5分(一元二次不等式的解法)
2014，全国卷Ⅰ，1,5分(一元二次不等式的解法)
2014，全国卷Ⅱ，1,5分(一元二次不等式的解法)
一元二次不等式的解法，直接考查则常以较简单的选择题形式出现。若以其他形式出现则常常起一个辅助作用，重点考查其他知识。
微知识 小题练
自|主|排|查
1．一元二次不等式的特征
一元二次不等式的二次项(最高次项)系数不等于0。
2．一元二次不等式的解集
判别式
Δ＝b2－4ac
Δ＞0
Δ＝0
Δ＜0
二次函数
y＝ax2＋bx＋c
(a＞0)的图象
一元二次方程
ax2＋bx＋c＝0
(a＞0)的根
有两相异实根x1，x2(x1＜x2)
有两相等实根x1＝x2＝－
没有实数根
ax2＋bx＋c＞0 (a＞0)的解集
{x|x＜x1或x＞x2}
{x|x≠x1}
R
ax2＋bx＋c＜0
(a＞0)的解集
{x|x1＜x＜x2}
∅
∅
3.(x－a)(x－b)＞0或(x－a)(x－b)＜0型不等式解法
不等式
解集
a＜b
a＝b
a＞b
(x－a)(x－b)＞0
{x|x＜a或
x＞b}
{x|x≠a}
{x|x＜b或x＞a}
(x－a)(x－b)＜0
{x|a＜x＜b}
∅
{x|b＜x＜a}
微点提醒
1．解不等式ax2＋bx＋c>0(<0)时不要忘记讨论当a＝0时的情形。
2．不等式ax2＋bx＋c>0(<0)恒成立的条件要结合其对应的函数图象决定。
(1)不等式ax2＋bx＋c>0对任意实数x恒成立⇔或
(2)不等式ax2＋bx＋c<0对任意实数x恒成立⇔或
小|题|快|练
一 、走进教材
1．(必修5P80A组T4改编)已知集合A＝{x|x2－16<0}，B＝{x|x2－4x＋3>0}，则A∪B＝( )
A．(－4,4) B．R
C．{x|x>3或x<1} D．{x|－4
0}＝{x|x>3或x<1}，所以A∪B＝R。故选B。
【答案】 B
2．(必修5P103A组T3改编)当x>0时，若不等式x2＋ax＋1≥0恒成立，则a的最小值为( )
A．－2 B．－3
C．－1 D．－
【解析】 当Δ＝a2－4≤0，即－2≤a≤2时，不等式x2＋ax＋1≥0对任意x>0恒成立，
当Δ＝a2－4>0，则需解得a>2。
所以使不等式x2＋ax＋1≥0对任意x>0恒成立的实数a的最小值是－2。故选A。
【答案】 A
二、双基查验
1．不等式x(1－2x)>0的解集是( )
A. B.
C．(－∞，0)∪ D.
【答案】 B
2．不等式2x2－x－1＞0的解集是( )
A. B．(1，＋∞)
C．(－∞，1)∪(2，＋∞) D.∪(1，＋∞)
【解析】 ∵2x2－x－1＝(x－1)(2x＋1)＞0，
∴x＞1或x＜－，
故原不等式的解集为∪(1，＋∞)。故选D。
【答案】 D
3．若不等式ax2＋bx－2＜0的解集为{x|－2＜x＜}，则ab＝( )
A．－28 B．－26
C．28 D．26
【解析】 ∵x＝－2，是方程ax2＋bx－2＝0的两根，
∴∴a＝4，b＝7，
∴ab＝28。故选C。
【答案】 C
4．不等式>0的解集是________。
【解析】 由>0，得(x＋3)(x－3)(x－2)>0，利用数轴标根法易得－33。
【答案】 {x|－33}
5．不等式ax2＋2ax＋1≥0对一切x∈R恒成立，则实数a的取值范围为__________。
【解析】 当a＝0时，不等式为1≥0恒成立；当a≠0时，须即所以0＜a≤1。
综上0≤a≤1。
【答案】 [0,1]
微考点 大课堂
考点一
一元二次不等式的解法
【典例1】 (1)(2016·全国卷Ⅲ)设集合S＝{x|(x－2)(x－3)≥0}，T＝{x|x>0}，则S∩T＝( )
A．[2,3] B．(－∞，2]∪[3，＋∞)
C．[3，＋∞) D．(0,2]∪[3，＋∞)
(2)不等式≤1的解集为________。
(3)求不等式12x2－ax>a2(a∈R)的解集。
【解析】 (1)集合S＝(－∞，2]∪[3，＋∞)，结合数轴，可得S∩T＝(0,2]∪[3，＋∞)。故选D。
(2)≤1⇔－1≤0⇔≤0⇔≥0。
解法一：≥0⇔
得。
解法二：≥0⇔或
得。
(3)∵12x2－ax>a2，
∴12x2－ax－a2>0，即(4x＋a)(3x－a)>0。
令(4x＋a)(3x－a)＝0，解得x1＝－，x2＝。
①当a>0时，－<，不等式的解集为
；
②当a＝0时，－＝＝0，不等式的解集为{x|x∈R，且x≠0}；
③当a<0时，－>，不等式的解集为。
综上所述：当a>0时，不等式的解集为；
当a＝0时，不等式的解集为{x|x∈R，且x≠0}；
当a<0时，不等式的解集为。
【答案】 (1)D (2)(－∞，－2]∪
(3)见解析
反思归纳 解一元二次不等式注意以下几点：
1．若二次项系数为常数，首先确定二次项系数是否为正数，再考虑分解因式，对参数进行分类讨论，若不易分解因式，则可依据判别式符号进行分类讨论；
2．若二次项系数为参数，则应先考虑二次项系数是否为零，确定不等式是不是二次不等式，然后再讨论二次项系数不为零的情形，以便确定解集的形式；
3．若不等式是分式不等式，应化为一元二次不等式(组)，再求解。
【变式训练】 (1)不等式>0的解集为________。
(2)解不等式ax2－(a＋1)x＋1<0。
【解析】 (1)>0⇔>0⇔(x－2)(x＋2)(x＋1)>0，
数轴标根得{x|－22}，
故填{x|－22}。
(2)若a＝0，原不等式等价于－x＋1<0，解得x>1。
若a<0，原不等式等价于(x－1)>0，
解得x<或x>1。
若a>0，原不等式等价于(x－1)<0。
①当a＝1时，＝1，(x－1)<0无解；
②当a>1时，<1，解(x－1)<0得1，解(x－1)<0得11}；
当a＝0时，解集为{x|x>1}；当01时，解集为{x|2} (2)见解析
考点二
一元二次不等式恒成立问题……多维探究
角度一：在R上恒成立
【典例2】 (1)若一元二次不等式2kx2＋kx－<0对一切实数x都成立，则k的取值范围为( )
A．(－3,0] B．[－3,0)
C．[－3,0] D．(－3,0)
(2)设a为常数，∀x∈R，ax2＋ax＋1>0，则a的取值范围是( )
A．(0,4) B．[0,4)
C．(0，＋∞) D．(－∞，4)
【解析】 (1)2kx2＋kx－<0对一切实数x都成立，则必有解之得－30，则必有或a＝0，∴0≤a<4。故选B。
【答案】 (1)D (2)B
角度二：在给定区间上恒成立
【典例3】 设函数f(x)＝mx2－mx－1。若对于x∈[1,3]，f(x)<－m＋5恒成立，求m的取值范围。
【解析】 要使f(x)<－m＋5在x∈[1,3]上恒成立，即m2＋m－6<0在x∈[1,3]上恒成立。
有以下两种方法：
解法一：令g(x)＝m2＋m－6，x∈[1,3]。
当m>0时，g(x)在[1,3]上是增函数，
所以g(x)max＝g(3)⇒7m－6<0，
所以m<，所以00，
又因为m(x2－x＋1)－6<0，所以m<。
因为函数y＝＝在[1,3]上的最小值为，所以只需m<即可。
所以，m的取值范围是。
【答案】
角度三：给定参数范围的恒成立问题
【典例4】 对任意的k∈[－1,1]，函数f(x)＝x2＋(k－4)x＋4－2k的值恒大于零，则x的取值范围是________。
【解析】 x2＋(k－4)x＋4－2k>0恒成立，
即g(k)＝(x－2)k＋(x2－4x＋4)>0，
在k∈[－1,1]时恒成立。
只需g(－1)>0且g(1)>0，即
解之得x<1或x>3。
【答案】 {x|x<1或x>3}
反思归纳 1.对于一元二次不等式恒成立问题，恒大于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴上方，恒小于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴下方。另外常转化为求二次函数的最值或用分离参数法求最值。
2．解决恒成立问题一定要搞清谁是主元，谁是参数，一般地，知道谁的范围，谁就是主元，求谁的范围，谁就是参数。
考点三
结合函数的图象与性质解不等式
【典例5】 (2016·湖北联考)已知g(x)是R上的奇函数，当x<0时，g(x)＝－ln(1－x)，且f(x)＝若f(2－x2)>f(x)，则实数x的取值范围是( )
A．(－∞，1)∪(2，＋∞)
B．(－∞，－2)∪(1，＋∞)
C．(1,2)
D．(－2,1)
【解析】 若x>0，则－x<0，所以g(x)＝－g(－x)＝ln(x＋1)，所以f(x)＝则函数f(x)是R上的增函数，所以当f(2－x2)>f(x)时，2－x2>x，解得－20。
【解析】 (1)证明：∵函数f(x)＝为定义在R上的奇函数，
∴f(0)＝0，即b＝0，
∴f(x)＝(经检验满足题意)，
∴f′(x)＝＝。
当x∈(1，＋∞)时，f′(x)<0，
∴函数f(x)在区间(1，＋∞)上是减函数。
(2)由f(1＋2x2)＋f(－x2＋2x－4)>0，
得f(1＋2x2)>－f(－x2＋2x－4)。
∵f(x)是奇函数，
∴f(1＋2x2)>f(x2－2x＋4)。
又∵1＋2x2>1，x2－2x＋4＝(x－1)2＋3>1，且f(x)在(1，＋∞)上为减函数，
∴1＋2x20的解集为{x|－30的解集为( )
A．{x|x<－2或x>3} B．{x|x<－2或13} D．{x|－20，>0，所以－23。故选C。
答案 C
3．已知不等式ax2＋bx＋2>0的解集为{x|－11}
解析 由题意知x＝－1，x＝2是方程ax2＋bx＋2＝0的根。
由韦达定理⇒
∴不等式2x2＋bx＋a<0，即2x2＋x－1<0。
可知x＝－1，x＝是对应方程的根。故选A。
答案 A
4．已知关于x的不等式<0的解集是(－∞，－1)∪，则a＝________。
解析 <0⇔(ax－1)(x＋1)<0，
根据解集的结构可知，a<0且＝－，∴a＝－2。
答案 －2
5．若不等式x2＋ax＋1≥0对x∈恒成立，求a的最小值。
解析 解法一：(1)Δ＝a2－4≤0，即－2≤a≤2成立。
(2)a<－2时，－>1，
只需2＋a·＋1≥0，即a≥－，此时－≤a<－2。
(3)a>2时，－<－1恒成立。
综上所述，a≥－。
解法二：由x2＋ax＋1≥0，得a≥－x－，x∈。
令f(x)＝－x－＝－，是增函数。
当x＝时，f＝－，∴f(x)max＝－。
要使原命题成立，则a≥－。
答案 －
