【数学】2020届一轮复习北师大版归纳与类比学案

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【数学】2020届一轮复习北师大版归纳与类比学案

第四节 归纳与类比 ‎[考纲传真] 1.了解合情推理的含义,能进行简单的归纳推理和类比推理,体会合情推理在数学发现中的作用.2.了解演绎推理的含义,了解合情推理和演绎推理的联系和差异;掌握演绎推理的“三段论”,能运用“三段论”进行一些简单的演绎推理.‎ ‎1.归纳推理 ‎(1)定义:根据一类事物中部分事物具有某种属性,推断该类事物中每一个都有这种属性的推理方式.‎ ‎(2)特点:①是由部分到整体,由个别到一般的推理.‎ ‎②利用归纳推理得出的结论不一定是正确的.‎ ‎2.类比推理 ‎(1)定义:由于两类不同对象具有某些类似的特征,在此基础上,根据一类对象的其他特征,推断另一类对象也具有类似的其他特征的推理过程.‎ ‎(2)特点:①是两类事物特征之间的推理.‎ ‎②利用类比推理得出的结论不一定是正确的.‎ ‎3.合情推理 ‎(1)定义:是根据实验和实践的结果,个人的经验和直觉,已有的事实和正确的结论(定义、公理、定理等),推测出某些结果的推理方式.‎ ‎(2)归纳推理和类比推理是最常见的合情推理.‎ ‎4.演绎推理 ‎(1)定义:是根据已知的事实和正确的结论,按照严格的逻辑法则得到新结论的推理过程.‎ ‎(2)“三段论”是演绎推理的一般模式,包括:‎ ‎①大前提——已知的一般原理;‎ ‎②小前提——所研究的特殊情况;‎ ‎③结论——根据一般原理,对特殊情况做出的判断.‎ ‎1.合情推理的结论是猜想,不一定正确;演绎推理在大前提、小前提和推理形式都正确时,得到的结论一定正确.‎ ‎2.合情推理是发现结论的推理,演绎推理是证明结论的推理.‎ ‎[基础自测]‎ ‎1.(思考辨析)判断下列结论的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)‎ ‎(1)归纳推理与类比推理都是由特殊到一般的推理. (  )‎ ‎(2)在类比时,平面中的三角形与空间中的平行六面体作为类比对象较为合适. (  )‎ ‎(3)“所有3的倍数都是9的倍数,某数m是3的倍数,则m一定是9的倍数”,这是三段论推理,但其结论是错误的. (  )‎ ‎(4)在演绎推理中,只要符合演绎推理的形式,结论就一定正确. (  )‎ ‎[答案] (1)× (2)× (3)√ (4)×‎ ‎2.由“半径为R的圆内接矩形中,正方形的面积最大”,推出“半径为R的球的内接长方体中,正方体的体积最大”是(  )‎ A.归纳推理     B.类比推理 C.演绎推理 D.以上都不是 B [类比推理的一般步骤是:(1)找出两类事物之间的相似性或一致性.(2)用一类事物的性质去推测另一类事物的性质,得出一个明确的命题(猜想).所以,由“半径为R的圆内接矩形中,正方形的面积最大”,推理出“半径为R的球的内接长方体中,正方体的体积最大”是类比推理,选B.]‎ ‎3.(教材改编)已知数列{an}中,a1=1,n≥2时,an=an-1+2n-1,依次计算a2,a3,a4后,猜想an的表达式是(  )‎ A.an=3n-1 B.an=4n-3‎ C.an=n2 D.an=3n-1‎ C [a1=1,a2=4,a3=9,a4=16,猜想an=n2.]‎ ‎4.“因为指数函数y=ax是增函数(大前提),而y=是指数函数(小前提),所以函数y=是增函数(结论)”,上面推理的错误在于(  )‎ A.大前提错误导致结论错误 B.小前提错误导致结论错误 C.推理形式错误导致结论错误 D.大前提和小前提错误导致结论错误 A [“指数函数y=ax是增函数”是本推理的大前提,它是错误的.因为实数a的取值范围没有确定,所以导致结论是错误的.]‎ ‎5.在平面上,若两个正三角形的边长的比为1∶2,则它们的面积比为1∶4.类似地,在空间中,若两个正四面体的棱长的比为1∶2,则它们的体积比为________.‎ ‎1∶8 [在空间中,若两个正四面体的棱长的比为1∶2,则它们的底面面积比为1∶4,对应高之比为1∶2,则它们的体积比为1∶8.]‎ 归纳推理 ‎►考法1 与数字有关的推理 ‎【例1】 (1)给出以下数对序列:‎ ‎(1,1);‎ ‎(1,2)(2,1);‎ ‎(1,3)(2,2)(3,1);‎ ‎(1,4)(2,3)(3,2)(4,1);‎ ‎…‎ 记第i行的第j个数对为aij,如a43=(3,2),则anm=(  )‎ A.(m,n-m+1)  B.(m-1,n-m)‎ C.(m-1,n-m+1) D.(m,n-m)‎ ‎(2)观察下列式子:1,1+2+1,1+2+3+2+1,1+2+3+4+3+2+1,…,由以上可推测出一个一般性结论:对于n∈N*,则1+2+…+n+…+2+1=________.‎ ‎(1)A (2)n2 [(1)由已知可得,第i行第j列个数对aij=(j,i-j+1),因此anm=(m,n-m+1),故选A.‎ ‎(2)由已知中 ‎1=12,‎ ‎1+2+1=4=22,‎ ‎1+2+3+2+1=9=32,‎ ‎1+2+3+4+3+2+1=16=42,‎ ‎…‎ 归纳猜想可得1+2+3+…+(n-1)+n+(n-1)+…+3+2+1=n2.]‎ ‎►考法2 与式子有关的推理 ‎【例2】 (1)(2019·青岛模拟)观察下列等式:‎ +=×1×2;‎ +++=×2×3;‎ +++…+=×3×4;‎ +++…+=×4×5;‎ ‎……‎ 照此规律,‎ +++…+=________.‎ ‎(2)已知x∈(0,+∞),观察下列各式:x+≥2,x+=++≥3,x+=+++≥4,…,归纳得x+≥n+1(n∈N*),则a=__________.‎ ‎(1)n(n+1) (2)nn [(1)根据所给等式知,等式右边是三个数的乘积,第一个数是,第二个数是左边最后一个数括号内角度值分子中π的系数的一半,第三个数比第二个数大1,故所求结果为n(n+1).‎ ‎(2)第一个式子是n=1的情况,此时a=11=1;第二个式子是n ‎=2的情况,此时a=22=4;第三个式子是n=3的情况,此时a=33=27,归纳可知a=nn.]‎ ‎►考法3 与图形变化有关的推理 ‎【例3】 (2019·成都模拟)分形理论是当今世界十分风靡和活跃的新理论、新学科.其中,把部分与整体以某种方式相似的形体称为分形.分形是一种具有自相似特性的现象、图像或者物理过程.标准的自相似分形是数学上的抽象,迭代生成无限精细的结构.也就是说,在分形中,每一组成部分都在特征上和整体相似,只仅仅是变小了一些而已,谢尔宾斯基三角形就是一种典型的分形,是由波兰数学家谢尔宾斯基在1915年提出的,按照如下规律依次在一个黑色三角形内去掉小三角形,则当n=6时,该黑色三角形内一共去掉的小三角形的个数为(  )‎ A.81  B.121   C.364   D.1 093‎ C [由题图可知,当n=1时,该黑色三角形内一共去掉小三角形的个数为1;当n=2时,该黑色三角形内一共去掉小三角形的个数为1+3;当n=3时,该黑色三角形内一共去掉小三角形的个数为1+3+32;……据此归纳推理可知,当n=6时,该黑色三角形内一共去掉小三角形的个数为1+3+32+33+34+35==364.故选C.]‎ ‎[规律方法] 归纳推理的常见类型和一般步骤 ‎(1)常见的归纳推理分为数的归纳和形的归纳两类:‎ ‎①数的归纳包括数字归纳和式子归纳,解决此类问题时,需要细心观察,寻求相邻项及项与序号之间的关系,同时还要联系相关的知识,如等差数列、等比数列等;‎ ‎②形的归纳主要包括图形数目归纳和图形变化规律归纳,合理利用特殊图形归纳推理得出结论,并用赋值检验法验证其真伪性.‎ ‎(2)归纳推理的一般步骤:‎ ‎①通过观察个别情况发现某些相同性质;‎ ‎②从相同性质中推出一个明确表述的一般性命题.‎ ‎ (1)观察下列立方和:13,13+23,13+23+33,13+23+33+43,…,则归纳上述求和的一般公式13+23+33+…+n3=________.‎ ‎(2)观察下列各式:‎ ‎1+<;‎ ‎1++<;‎ ‎1+++<;‎ ‎…‎ 照此规律,当n∈N*时,1+++…+<________.‎ ‎(1) (2) [(1)13=1=12,‎ ‎13+23=9=(1+2)2,‎ ‎13+23+33=36=(1+2+3)3,‎ ‎13+23+33+43=100=(1+2+3+4)2,‎ ‎…‎ 由此规律可知13+23+33+43+…+n3=(1+2+3+…+n)2=.‎ ‎(2)观察所给不等式可知,第n个不等式的右边为.]‎ 类比推理 ‎【例4】 (1)(2019·上饶模拟)二维空间中,圆的一维测度(周长)l=2πr,二维测度(面积)S=πr2;三维空间中,球的二维测度(表面积)S=4πr2,三维测度(体积)V=πr3.应用合情推理,若四维空间中,“超球”的三维测度V=12πr3,则其四维测度W=________.‎ ‎(2)把一个直角三角形以两直角边为邻边补成一个矩形,则矩形的对角线长即为直角三角形外接圆直径,以此可求得外接圆半径r=(其中a,b 为直角三角形两直角边长).类比此方法可得三条侧棱长分别为a,b,c且两两垂直的三棱锥的外接球半径R=________.‎ ‎(1)3πr4 (2) [(1)∵二维空间中圆的一维测度(周长)l=2πr,二维测度(面积)S=πr2;观察发现S′=l,三维空间中球的二维测度(表面积)S=4πr2,三维测度(体积)V=πr3,观察发现V′=S,∴四维空间中“超球”的三维测度V=12πr3,猜想其四维测度W,则W′=V=12πr3,∴W=3πr4,故答案为3πr4.‎ ‎(2)把三棱锥补形为长方体,则长方体的对角线长即为三棱锥外接球的直径,则三棱锥外接球的半径R=.]‎ ‎[规律方法] 解决类比推理问题的方法步骤 ‎(1)类比推理是由特殊到特殊的推理,其一般步骤为:‎ ‎①找出两类事物之间的相似性或一致性;‎ ‎②用一类事物的性质去推测另一类事物的性质,得出一个明确的命题(猜想).‎ ‎(2)类比推理的关键是找到合适的类比对象.平面几何中的一些定理、公式、结论等,可以类比到立体几何中,得到类似的结论.‎ ‎ (1)若数列{an}是等差数列,则数列{bn}也是等差数列,类比这一性质可知,若正项数列{cn}是等比数列,且{dn}也是等比数列,则dn的表达式应为(  )‎ A.dn=  B.dn= C.dn= D.dn= ‎(2)在平面几何中,△ABC的∠C的平分线CE分AB所成线段的比为=.把这个结论类比到空间:在三棱锥ABCD中(如图所示),平面DEC平分二面角ACDB且与AB相交于E,则得到类比的结论是________________.‎ ‎(1)D (2)= [(1)法一:从商类比开方,从和类比到积,则算术平均数可以类比几何平均数,故dn的表达式为dn=.‎ 法二:若{an}是等差数列,则a1+a2+…+an=na1+d,‎ ‎∴bn=a1+d=n+a1-,即{bn}为等差数列;若{cn}是等比数列,则c1·c2·…·cn=c·q1+2+…+(n-1)=c·q,∴dn==c1·q,即{dn}为等比数列,故选D.‎ ‎(2)由平面中线段的比转化为空间中面积的比可得=.]‎ 演绎推理 ‎【例5】 (1)(2017·全国卷Ⅱ)甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩.老师说:你们四人中有2位优秀,2位良好,我现在给甲看乙、丙的成绩,给乙看丙的成绩,给丁看甲的成绩.看后甲对大家说:我还是不知道我的成绩.根据以上信息,则(  )‎ A.乙可以知道四人的成绩 B.丁可以知道四人的成绩 C.乙、丁可以知道对方的成绩 D.乙、丁可以知道自己的成绩 ‎(1)D [(1)由甲说:“我还是不知道我的成绩”可推知甲看到乙、丙的成绩为“1个优秀、1个良好”.乙看丙的成绩,结合甲的说法,丙为“优秀”时,乙为“良好”;丙为“良好”时,乙为“优秀”‎ ‎,可得乙可以知道自己的成绩.丁看甲的成绩,结合甲的说法,甲为“优秀”时,丁为“良好”;甲为“良好”时,丁为“优秀”,可得丁可以知道自己的成绩.故选D.]‎ ‎(2)(2019·福州模拟)数列{an}的前n项和记为Sn,已知a1=1,an+1=Sn(n∈N+).‎ 证明:①数列是等比数列;②Sn+1=4an.‎ ‎[证明] ①∵an+1=Sn+1-Sn,an+1=Sn,‎ ‎∴(n+2)Sn=n(Sn+1-Sn),即nSn+1=2(n+1)Sn.‎ ‎∴=2·, (小前提)‎ 故是以2为公比,1为首项的等比数列. (结论)‎ ‎(大前提是等比数列的定义,这里省略了)‎ ‎②由①可知=4·(n≥2),‎ ‎∴Sn+1=4(n+1)·=4··Sn-1‎ ‎=4an(n≥2), (小前提)‎ 又a2=3S1=3,S2=a1+a2=1+3=4=4a1, (小前提)‎ ‎∴对于任意正整数n,都有Sn+1=4an. (结论)‎ ‎(第(2)问的大前提是第(2)问的结论以及题中的已知条件)‎ ‎[规律方法] 演绎推理的推证规则 ‎(1)演绎推理是从一般到特殊的推理,其一般形式是三段论,应用三段论解决问题时,应当首先明确什么是大前提和小前提,如果大前提是显然的,则可以省略.‎ ‎(2)演绎推理常考的推理形式还包括假言推理,即根据假言命题的逻辑性质进行的推理,解决这类问题常用方法①充分条件假言推理,②必要条件假言推理.‎ ‎ 如图,A,B,C三个开关控制着1,2,3,4号四盏灯.若开关A控制着2,3,4号灯(即按一下开关A,2,3,4号灯亮,再按一下开关A,‎ ‎2,3,4号灯熄灭),同样,开关B控制着1,3,4号灯,开关C控制着1,2,4号灯.开始时,四盏灯都亮着,那么下列说法正确的是(  )‎ A.只需要按开关A,C可以将四盏灯全部熄灭 B.只需要按开关B,C可以将四盏灯全部熄灭 C.按开关A,B,C可以将四盏灯全部熄灭 D.按开关A,B,C无法将四盏灯全部熄灭 D [根据题意,按开关A,2,3,4号灯熄灭,1号灯亮;按开关B,1,2号灯熄灭,3,4号灯亮;按开关C,则2,3,4号灯熄灭,1号灯亮.选D.]‎ ‎1.(2014·全国卷Ⅰ)甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A,B,C三个城市时,‎ 甲说:我去过的城市比乙多,但没去过B城市;‎ 乙说:我没去过C城市;‎ 丙说:我们三人去过同一城市.‎ 由此可判断乙去过的城市为________.‎ A [由题意可推断:甲没去过B城市,但比乙去的城市多,而丙说“三人去过同一城市”,说明甲去过A,C城市,而乙“没去过C城市”,说明乙去过城市A,由此可知,乙去过的城市为A.]‎ ‎2.(2016·全国卷Ⅱ)有三张卡片,分别写有1和2,1和3,2和3.甲,乙,丙三人各取走一张卡片,甲看了乙的卡片后说:“我与乙的卡片上相同的数字不是2”,乙看了丙的卡片后说:“我与丙的卡片上相同的数字不是1”,丙说:“我的卡片上的数字之和不是5”,则甲的卡片上的数字是________.‎ ‎1和3 [根据丙的说法及乙看了丙的卡片后的说法进行推理.由丙说“我的卡片上的数字之和不是5”‎ ‎,可推知丙的卡片上的数字是1和2或1和3.又根据乙看了丙的卡片后说:“我与丙的卡片上相同的数字不是1”可知,乙的卡片不含1,所以乙的卡片上的数字为2和3.再根据甲的说法“我与乙的卡片上相同的数字不是2”可知,甲的卡片上的数字是1和3.]‎
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