千题百炼——高考数学100个热点问题二第37炼向量的数量积——坐标化解决向量问题

千题百炼——高考数学100个热点问题二第37炼向量的数量积——坐标化解决向量问题

第 37 炼 向量的数量积——坐标法 在处理向量数量积问题时，若几何图形特殊（如正方形，等边三角形等），易于建系并写 出点的坐标，则考虑将向量坐标化，一旦所求向量用坐标表示，其数量积等问题迎刃而解。 一、基础知识 1、向量的坐标表示 （1）平面向量基本定理：在平面中，如果两个向量 不共线，则对于平面上的任一向量 ，存在 ，使得 ，且这种表示唯一。其中 称为平面向量的一 组基底，而有序实数对 称为在 基底下的坐标 （2）为了让向量能够放置在平面直角坐标系中，我们要选择一组特殊的基底 ，在方向 上它们分别与 轴的正方向同向，在长度上， ，由平面向量基本定理可得：平 面上任一向量 ，均有 ，其坐标为 ，从图上可观察到恰好是将向量 起 点与坐标原点重合时，终点的坐标 （3）已知平面上的两点坐标，也可求得以它们为起终点的向量坐标：设 ， 则 （可记为“终” “起”），所以只要确定了平面上点的坐标， 则向量的坐标自然可求。另外 三个坐标知二可求一，所以当已知向量坐标与其中 一个点的坐标，也可求出另一个点的坐标 2、向量的坐标运算：设 ，则有： （1）加减运算： （2）数乘运算： （3）数量积运算： （4）向量的模长： 3、向量位置关系的判定： （1）平行： （2）垂直： （3）向量夹角余弦值： 4、常见的可考虑建系的图形：关于向量问题，一旦建立坐标系并成功写出相关点的坐标， 1 2,e e  a ,x y R∈ 1 2a xe ye= +   ( )1 2,e e  ( ),x y ( )1 2,e e  ,i j  ,x y 1i j= =  a a xi y j= +   ( ),x y a ( ) ( )1 1 2 2, , ,A x y B x y ( )2 1 2 1,AB x x y y= − − − , ,A B AB ( ) ( )1 1 2 2, , ,a x y b x y= =  ( )1 2 1 2,a b x x y y± = ± ±  ( )1 1,a x yλ λ λ= 1 2 1 2a b x x y y⋅ = +  2 2 1 1a x y= + 1 2 2 1a b x y x y⇔ = ∥ 1 2 1 20 0a b a b x x y y⊥ ⇔ ⋅ = ⇔ + =    1 2 1 2 2 2 2 2 1 1 2 2 cos , a b x x y ya b a b x y x y ⋅ += = ⋅ + ⋅ +      B C A D E 则问题常常迎刃而解。但难点如何甄别一道题适合使用建系的方法求解。如果你遇到以下图 形，则可尝试建系的方法，看能否把问题解决 （1）具备对称性质的图形：长方形，正方形，等边三角形，圆形 （2）带有直角的图形：直角梯形，直角三角形 （3）具备特殊角度的图形（ 等） 二、典型例题： 例 1：在边长为 1 的正三角形 中，设 ，则 __________ 思路：上周是用合适的基底表示所求向量，从而解决问题，本周仍以 此题为例，从另一个角度解题，观察到本题图形为等边三角形，所 以考虑利用建系解决数量积问题 ，如图建系： 下面求 坐标：令 由 可得： 答案： 例 2：（2012 江苏，9）如图，在矩形 中， ， 点 为 中点，点 在边 上，若 ，则 的 值是____________ 思路：本题的图型为矩形，且边长已知，故考虑建立直角坐标系求解， 以 为坐标原点如图建系： , 设 , 由 在 上 可 得 , 再 由 解 出 : 30 ,45 ,60 ,120    ABC 2 , 3BC BD CA CE= =    AD BE⋅ =  3 1 10, , ,0 , ,02 2 2A B C      −          E ( ) 1 1 3, , , ,2 2 2E x y CE x y CA   ∴ = − = −        3CA CE=  1 1 13 2 2 3 333 62 x x yy    − = − =     ⇒    ==  1 3,3 6E  ∴     3 5 30, , ,2 6 6AD BE    ∴ = − =          1 4AD BE∴ ⋅ = −  1 4AD BE⋅ = −  ABCD 2, 2AB BC= = E BC F CD 2AB AF⋅ =  AE BF⋅  A ( )2,0B ( ),F x y F CD 2y = 2AB AF⋅ =  x y xB C A D E E D A B CF y x E D A B CF ， ， 答案： 例 3 ： 如 图 ， 平 行 四 边 形 的 两 条 对 角 线 相 交 于 ， 点 是 的 中 点 ， 若 ， ， 且 ， 则 _________ 思路：本题抓住 这个特殊角，可以考虑 建立坐标系，同时由 ， 可以写出各 点坐标，从而将所求向量坐标化后即可求解 解：以 为 轴，过 的垂线作为 轴 可得： 答案： 例 4：已知直角梯形 中， 是腰 上的 动点，则 的最小值为_____________ 思路：本题所求模长如果从几何意义入手，则不便于作出 的图形。所以考虑从代数方面入手，结合所给的特 殊图形可想到依直角建立坐标系，从而将问题转为坐标运算求 解，在建系的过程中，由于梯形的高未知，为了能够写出 坐标，可先设高为 。 ( ) ( )2,0 , ,2AB AF x= =  2 2 1AB AF x x∴ ⋅ = = ⇒ =  ( )1,2F∴ ( )2,1E ( ) ( )2,1 , 1 2,2AE BF∴ = = −  ( )2 1 2 2 2AE BF∴ ⋅ = − + =  2AE BF⋅ =  ABCD M P MD 2AB = 1AD = 60BAD∠ =  AP CP⋅ =  60BAD∠ =  2AB = 1AD = AB x A y ( ) 1 3 52,0 , , , , 32 2 2B D C          5 3 7 3 3, , ,4 4 8 8M P             7 3 3 13 5 3, , ,8 8 8 8AP CP    ∴ = = − −          7 13 3 3 5 3 17 8 8 8 8 8AP CP   ∴ ⋅ = ⋅ − + ⋅ − = −        17 8 − ABCD , 90 , 2, 1,AD BC ADC AD BC P∠ = = =∥ DC 3PA PB+  3PA PB+  B h M D C A B P M D C A B P B D A C P 解：以 为轴建立直角坐标系，设梯形高为 则 ，设动点 ，则 （等号成立： ） 答案： 小炼有话说：本题的亮点在于梯形的高未知，但为了写坐标先用字母代替。在使用坐标解题 时有时会遇到由于某些条件未知而导致坐标无法写出的情况。要明确没有点的坐标，则坐标 法无法实现，所以“没有条件要创造条件”，先设再求，先将坐标完善，再看所设字母能否 求出，是否需要求出，这个理念在解析几何和空间向量解立体几何中都有所应用 例 5：给定平面上四点 满足 ，则 面 积的最大值为 ． 思路：由 可计算出 的夹 角 ，则可按照这个特殊角建立坐标系，则由 可知 在以 为圆心，半径 的圆上。 ， 若要求 的最大值，只需找到 到 的最大 值，数形结合可得距离的最大值为 ，进而可求出 的最大值。 解： 即 答案： ,AD CD h ( ) ( )2,0 , 1,A B h ( )0,P y ( ) ( )2, , 1,PA y PB h y= − = −  ( )3 5,3 4PA PB h y∴ + = −  ( ) ( )2 23 5 3 4 5PA PB h y∴ + = + − ≥  33 4 4h y y h= ⇒ = 5 , , ,O A B C 4, 3, 2, 3OA OB OC OB OC= = = ⋅ =  ABC∆ 3, 2, 3OB OC OB OC= = ⋅ =  ,OB OC  60BOC∠ =  4OA = A O 4r = ( ) ( )3,0 , 1, 3B C 7BC = ABCS A BC O BCd r− + ABCS ( ) ( )3,0 , 1, 3B C ( )3: 32BC y x∴ = − − 2 3 3 3 0y x+ − = ( )max 3 3 4 7A BC O BCd d r− −∴ = + = + 1 1 3 3 3 34 7 2 72 2 27ABC A BCS d BC−  ∴ = ⋅ ⋅ = + ⋅ = +    3 32 7 2 + 例 6：如图，在直角三角形 中， ，点 分别是 的中点， 点 是 内及边界上的任一点，则 的取值范围是_______ 思路：直角三角形直角边已知，且 为图形内动点，所求 不便于用已知向量表示，所以考虑建系处理。设 ， 从而可得 ，而 所在范围是一块区域， 所以联想到用线性规划求解 解：以 为轴建立直角坐标系 ，设 数形结合可得： 答案： 例 7：平面向量 满足 ，则 的最小值是______ 思路：本题条件中有 ，而 可利用向量数量积的投影定义得到 在 上的投影分别为 1,2，通过作图可发现能够以 的起点为原点，所在直线为 轴建立坐标系， 则 起点在原点，终点分别在 的直线上，从而 可坐标化，再求出 的 最值即可 解：如图建系可得： 由 可得： ABC 3, 1AC BC= = ,M N ,AB BC P ABC AN MP⋅  P MP ( ),P x y 1 532 4AN MP x y⋅ = − +  P ,AC BC ( ) ( ) 1 3 10, 3 , 1,0 , , , ,02 2 2A B M N          ( ),P x y 1 1 3, 3 , ,2 2 2AN MP x y   ∴ = − = − −        1 1 3 1 53 32 2 2 2 4AN MP x y x y   ∴ ⋅ = − − − = − +        7 7,4 4AN MP  ⋅ ∈ −     7 7,4 4  −   , ,a b c   1, 2, 2, 1a e b e a b e⋅ = ⋅ = − = =       a b⋅  1e = 1, 2a e b e⋅ = ⋅ =    ,a b  e e x ,a b  1, 2x x= = ,a b  a b⋅  ( ) ( )1, , 2,a a b b= =  2a b− =  ( ) ( ) ( )2 2 21 2 2 3a b a b− + − = ⇒ − = M N A C B P 而 ，由轮换对称式不妨设 ，则 答案： 例 8：已知点 为等边三角形 的中心， ，直线 过点 交边 于点 ，交 边 于点 ，则 的最大值为 . 思 路 ： 本 题 由 于 为 过 的 任 一 直 线 ， 所 以 的值不确定，从而不容易利用三边向 量将 进行表示，所以考虑依靠等边三角形的特 点，建立直角坐标系，从而 坐标可解，再借助解析几何的思想设出直线 方程， 与 方程联立解出 坐标，从而 可解出最大值 解：以 为轴建立直角坐标系 设直线 由 可得： 解得： 解得： 2a b ab⋅ = +  a b> 3 3a b b a− = ⇒ = − ( ) 2 2 3 5 52 3 3 2 2 4 4a b a a a a a  ∴ ⋅ = + − = − + = − + ≥      ( ) min 5 4a b∴ ⋅ =  5 4 M ABC 2AB = l M AB P AC Q BQ CP⋅  l M : , :AP AB AQ AC ,BQ CP  , , ,A B C M l ,AB AC ,P Q BQ CP⋅  ,BC AM ( ) ( ) ( ) 31,0 , 1,0 , 0, 3 , 0, 3B C A M  −     3: 3l y kx= + ( ) ( ) ( )1,0 , 1,0 , 0, 3B C A− ( ) ( ): 3 1 , : 3 1AB y x AC y y x= + = = − − ( ) 3 : 3 3 1 y kxP y x  = +∴   = + ( )2 3 3 3 3 1 3 x k ky k  = −  −= − ( ) 3 : 3 3 1 y kxQ y x  = +  = − − ( )2 3 3 3 3 1 3 x k ky k  = +  += + Q P A B C M Q P A B C M 若直线与 相交，则 答案： 例 9 ：如图，四边形 是半径为 的圆 的外切正方形， 是圆 的内接正三角形，当 绕着圆心 旋转时， 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 思路：本题所给的图形为正方形及其内切圆，可考虑建立直角坐标 系 ，为 了 使 坐 标 易 于 计 算 ，可以 为 坐 标 原 点 如 图 建 系 ： ，确定 点的坐标是一个难点，观察两个 点之间的关系，无论 如何转动， ，如何从这 个恒定的角度去刻画此圆上两点坐标的联系呢：考虑圆的参数方 程 （ 参 数 的 几 何 意 义 为 圆 心 角 ， 与 角 度 相 联 系 ）， 设 ，从而 ，用 的三角函数 将两点坐标表示出来，从而可求出 的范围 ( ) ( )5 3 3 3 1 5 3 3 3 1, , , 3 33 3 3 3 k k k kBQ CP k kk k    + + − −   ∴ = =   + −+ −      ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 22 2 5 3 3 5 3 3 3 1 3 1 75 9 3 1 6 22 39 3 3 33 33 3 3 3 k k k k k k kBQ CP kk kk kk k + − + − − − +∴ ⋅ = ⋅ + ⋅ = + =−− −+ −+ −   ( ) 2 2 2 22 6 22 1 6 18 40 1 4063 3 3 33 3 k k k kk  + − +  = = = ⋅ +   − −−    ,AB AC 3 3,3 3k  ∈ −    2 1 40 1 40 226 63 3 3 0 3 9BQ CP k    ∴ ⋅ = − ≤ − = −   − −      22 9 − ABCD 1 O PQR O PQR O AQ OR⋅  1 2,1 2 − +  1 2, 1 2 − − − +  1 12, 22 2  − − − +   1 12, 22 2  − +   O ( ) ( )0,0 , 1, 1O A − − ,Q R PQR 2 3ROQ π∠ = ( )cos ,sinR θ θ [ )( )2 2cos ,sin 0,23 3Q π πθ θ θ π    − − ∈         θ AQ OR⋅  y x 解： ， 答案：选 小炼有话说：在直角坐标系中涉及到圆上的点，除了想到传统坐标之外，还应想到圆的参数 方程，尤其是题目中有关于圆心角的条件时（例如本题中的 ），可依靠参数的 几何意义将条件充分的利用起来。 例 10：在平面上， ， ，若 ，则 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 思路：以 为入手点，考虑利用坐标系求解，题目中 和 点坐标均未 知，为了能够进行坐标运算，将其用字母表示：设 ，则 ，所求 范围即为求 的范围。下一步将题目的模长翻译成 关系，再寻找关 于 的不等关系即可 解 ： 如 图 以 为 轴 建 立 坐 标 系 ： 设 ， 则 2 2cos 1,sin 13 3AQ π πθ θ    = − + − +          ( )cos ,sinOR θ θ= 2 2cos cos 1 sin sin 13 3AQ OR π πθ θ θ θ      ∴ ⋅ = − + + − +               1 3 1 3=cos cos sin 1 sin sin cos 12 2 2 2 θ θ θ θ θ θ   − + + + − − +        2 21 3 1 3= cos sin cos cos sin sin cos sin2 2 2 2 θ θ θ θ θ θ θ θ− + + − − + 1 1= sin cos 2 sin2 2 4 πθ θ θ − + + = − + +   [ )0,2θ π∈ 1 12, 22 2AQ OR  ∴ ⋅ ∈ − − − +     C 2 3ROQ π∠ = 1 2AB AB⊥  1 2 1 21,OB OB AP AB AB= = = +     1 2OP < OA 50, 2       5 7,2 2       5 , 22       7 , 22       1 2AB AB⊥  1 2,AB AB  O ( )1 2, , ,AB a AB b O x y= =  ( ) ( ) ( )1 2,0 , ,0 , ,B a B b P a b OA 2 2x y+ , , ,a b x y 2 2x y+ 1 2,AB AB ( )1 2, , ,AB a AB b O x y= =  ( ) ( ) ( )1 2,0 , ,0 , ,B a B b P a b ① ②与①联系可得： ，所以②转变为： ，即 另一方面： 同理，由 可得： 综上所述： ，则 答案：D 小炼有话说：（1）本题涉及到的点与线段较多，所以难点一方面在于是否能够想到建系去 处理，还有一方面在于选择哪两条线作为坐标轴。也许有同学会从 入手， 选择 为坐标原点，这样 在以原点为圆心的单位圆上，且所求 只需计算出 的 坐标即可。但这种选法继续做下去会发现，首先 在圆上的位置不确定，坐标不易写出， 其次无法定位 ，从而使得条件 不便于使用。所以这种建系的方法在解题过程 中障碍重重，不利于求解。而利用现有的垂直建系，会使得 的坐标易于表示，进而 求出 坐标，只剩一个不好表示的 点，难度明显低于前一种建系方法。 （2）在坐标系建好之后，说明此题主流的解法是用变量，表达式去解决，所以下一步就要 将题目中的条件翻译成代数的关系。正所谓“数形结合”时，如果用到的是形，那么就将代 数条件翻译成几何特点，如果用到的是数，那就要将几何条件翻译成代数的特点。所以在 “数形结合”方法中“翻译”的步骤是必不可少的 ( ) ( ) 2 2 2 2 1 2 1 2 22 1 1 1 1 a x y OB OB OB OB x y b  − + =∴ = = ⇒ = = ⇒  + − =     ( ) ( )2 2 21 1 1 2 4 4OP OP x a y b< ⇒ < ⇒ − + − <  ( ) ( ) ( ) ( ) 2 22 2 2 22 2 1 1 1 1 a x y a x y x y b y b x  − + = − = − ⇒  + − = − = −   2 2 11 1 4y x− + − < 2 2 7 4x y+ > ( )2 2 2 2 21 2 1a x y x y ax a− + = ⇒ + − + = 2 2 2 1 2x y a ax∴ + + = + 2 22ax a x≤ + 2 2 2 2 2 21 1x y a a x y∴ + + ≤ + + ⇒ ≤ ( )22 1x y b+ − = 2 1x ≤ 2 2 2x y∴ + ≤ 2 27 24 x y< + ≤ 2 27 22 x y OA< + = ≤ 1 2 1OB OB= =  O 1 2,B B OA A 1 2,B B ,A P 1 2OP < 1 2, ,A B B P O