【数学】2019届一轮复习人教A版复数学案

【数学】2019届一轮复习人教A版复数学案

‎1．数系的扩充 数系的扩充：自然数集，整数集，有理数集，实数集，复数集，其从属关系用集合来表示为.‎ ‎2．复数的有关概念 ‎(1)复数的表示：，：复数的实部；：复数的虚部；：虚数单位，规定：.‎ ‎(2)复数的分类：若，则复数为实数；若，则复数为虚数；若，则复数为纯虚数.‎ ‎(3)复数相等：若，则.‎ ‎(4)共轭复数：若与互为共轭复数，则.记作.‎ ‎(5)复数的模：若，则复数的模为.‎ ‎(6)复数的几何意义：与复平面上的点一一对应；与向量一一对应.‎ ‎3．复数代数形式的四则运算 ‎(1)设，，则 ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎.‎ ‎(2)复数代数形式的四则运算满足分配律、结合律等.复数的除法运算一般是将分母实数化，即分子、分母同乘以分母的共轭复数，再利用复数的乘法运算加以化简.‎ ‎(3)几个常见的复数运算的技巧：‎ ‎；‎ ‎；‎ ‎；‎ ‎；‎ 若，则.‎ ‎(4)注意复数代数形式的四则运算与复数几何意义的综合应用.‎ 一、考查复数的概念 ‎【例1】若复数z=a‎2‎-1+(a+1)i为纯虚数（i为虚数单位），其中a∈R，则的实部为 A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】根据为纯虚数，可得，解得，‎ 则，‎ 所以其实部是，故选C．‎ ‎【例2】设是虚数单位，复数，则复数的共轭复数为 A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】, 则的共轭复数为1+i,故选D.‎ ‎【名师点睛】（1）解答与复数相关概念有关的问题时，需把所给复数化为代数形式，即a＋bi(a，b∈R)的形式，再根据题意求解.‎ ‎（2）判定复数是实数，仅注重虚部等于0是不够的，还需考虑它的实部是否有意义．‎ 二、复数的几何意义 ‎【例3】设为虚数单位，复数的实部比虚部大1，且满足，则在复平面内，复数所对应的点在 A．第一或第二象限 B．第二或第三象限 C．第一或第三象限 D．第二或第四象限 ‎【答案】C ‎【解析】设z=a+(a-1)i，a∈R，则a‎2‎‎+‎(a-1)‎‎2‎=13‎，解得a=3‎或‎-2‎，故z=3+2i或z=-2-3i，则可知在复平面内，复数z所对应的点在第一或第三象限.故选C.‎ ‎【名师点睛】| |的几何意义：令 =x＋yi(x，y∈R)，则| |=，由此可知表示复数 的点到原点的距离就是| |的几何意义；| 1− 2|的几何意义是复平面内表示复数 1， 2的两点之间的距离.‎ ‎【例4】在复平面内，若所对应的点位于第二象限，则实数的取值范围是 A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】由题意知所对应的点在第二象限，则，解得3＜m＜4.故选C．‎ 三、复数的四则运算 ‎【例5】是虚数单位，复数，则 A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】由复数z=1+i，可得z‎2‎‎+‎2‎z=‎(1+i)‎‎2‎+‎2‎‎1+i=1+2i-1+‎2‎‎1-i‎1+1‎=2i+1-i=1+i.故选C．‎ ‎【名师点睛】复数代数形式的四则运算是每年高考考查的一个重要考向，常利用复数的加减乘运算求复数，利用复数的相等或除法运算求复数等，题型为选择题或填空题，难度较小，属容易题.‎ ‎【例6】设是虚数单位，表示复数的共轭复数.若，则 A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】因为z‎=(3+i)i=-1+3i，所以z=-1-3i.所以zi-1‎‎=‎-1-3ii-1‎=‎(-1-3i)(i+1)‎‎(i-1)(i+1)‎=‎‎2-4i‎-2‎ ‎=-1+2i.故选C．‎ ‎【名师点睛】复数的综合运算．分别运用复数的乘法、除法法则进行运算，要注意运算顺序，要先算乘除，后算加减，有括号要先算括号里面的.‎ ‎1．复数（是虚数单位），则 A． B． ‎ C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】故选A.‎ ‎2．设是虚数单位，则复数在复平面内所对应的点位于 A．第四象限 B．第三象限 C．第二象限 D．第一象限 ‎【答案】A ‎【解析】因为，所以所对应的点为，位于第四象限，选A．‎ ‎3．已知复数，则复数的虚部为 A． B． ‎ C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】依题意得，‎2-mii=m+2i=5+nim,n∈R，故m=5,n=2‎，‎ 则z=m+ni‎1-i=‎5+2i‎1-i=‎5+2i‎1+i‎1-i‎1+i=‎5+5i+2i-2‎‎2‎=‎3‎‎2‎+‎7‎‎2‎i，故复数z=‎m+ni‎1-i的虚部为‎7‎‎2‎，故选C．‎ ‎4．在复平面内，复数与复数对应的点关于实轴对称，则 A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】∵复数z与复数对应的点关于实轴对称，‎10‎‎3+i‎=‎10(3-i)‎‎10‎=3-i，∴z=3+i，∴z‎=3-i.故选B．‎ ‎5．已知复数，则的充要条件为 A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】依题意,得，若，则，解得，故选C．‎ ‎6．已知复数在复平面上的对应点关于轴对称，且=2，则 A．0 B．‎ C．2 D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】因为复数在复平面上的对应点关于轴对称，所以互为共轭复数，所以，故选A.‎ ‎7．已知为虚数单位，现有下面四个命题：‎ p1：复数与（）在复平面内对应的点关于实轴对称；‎ p2：若复数满足，则 为纯虚数；‎ p3：若复数 1， 2满意，则；‎ p4：若复数 满足，则.‎ 其中的真命题为 A．p1，p4 B．p2，p4 ‎ C．p1，p3 D．p2，p3‎ ‎【答案】B ‎【解析】对于，与关于虚轴对称，所以错误；对于，由，则为纯虚数，所以正确；对于，若，则，满足，而它们实部不相等，不是共轭复数，所以不正确；正确.故选B．‎ ‎8．已知，复数是纯虚数，则__________.‎ ‎【答案】‎‎-1‎ ‎【解析】∵是纯虚数，∴‎ m‎2‎+m=0‎‎ m‎2‎-m≠0‎，解得m=﹣1． ‎ ‎9．若复数为纯虚数,且为虚数单位)，则_____________.‎ ‎【答案】‎‎±i ‎【解析】设z=bi（且）,则z‎1+i‎=bi‎1+i=b‎2‎=‎‎2‎‎2‎,所以b=±1‎.‎ 所以z=±i.‎ ‎1．（2018新课标全国Ⅲ文 ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎1+i‎2-i‎=2-i+2i-i‎2‎=3+i，故选D.‎ ‎2．（2018新课标全国Ⅱ文 ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】i(2+3i)=2i+3i‎2‎=-3+2i ，故选D.‎ ‎3．（2018新课标全国Ⅰ文 ）设，则 A．0 B．‎ C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】，则.故选C.‎ ‎4．（2017新课标全国Ⅰ文 ）下列各式的运算结果为纯虚数的是 A．i(1+i)2 B．i2(1−i)‎ C．(1+i)2 D．i(1+i)‎ ‎【答案】C ‎【解析】由为纯虚数知选C．‎ ‎5．（2017新课标全国Ⅱ文 ） ‎ A． B．‎ C． D． ‎ ‎【答案】B ‎【解析】由题意，故选B.‎ ‎6．（2017新课标全国Ⅲ文 ）复平面内表示复数的点位于 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎【答案】C ‎【解析】，则表示复数的点位于第三象限. 所以选C.‎