2013上海高考数学试卷理科含答案精美排版

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‎2013年全国普通高等学校招生统一考试 上海 数学试卷(理工农医类)‎ 考生注意：‎ 1. 答卷前，务必用钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚地填写姓名、准考证号，并将核对后的条形码贴在指定位置上，在答题纸反面清楚地填写姓名.‎ 2. 本试卷共有23道试题，满分150分. 考试时间120分钟.‎ 一. 填空题（本大题共有14题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.‎ 1. 计算：__________.‎ 2. 设，是纯虚数，其中i是虚数单位，则__________.‎ 3. 若，则__________.‎ 4. 已知△ABC的内角A、B、C所对的边分别是a、b、c. 若，则角C的大小是__________（结果用反三角函数值表示）.‎ 5. 设常数. 若的二项展开式中项的系数为，则__________.‎ 6. 方程的实数解为__________.‎ 7. 在极坐标系中，曲线与的公共点到极点的距离为__________.‎ 8. 盒子中装有编号为的九个球，从中任意取出两个，则这两个球的编号之积为偶数的概率是__________（结果用最简分数表示）.‎ 9. 设AB是椭圆的长轴，点C在上，且. 若，，则的两个焦点之间的距离为__________.‎ 10. 设非零常数d是等差数列的公差，随机变量等可能地取值，则方差__________.‎ 11. 若，，则__________.‎ 1. 设为实常数，是定义在上的奇函数，当时，. 若对一切成立，则a的取值范围为__________.‎ y x O ‎1‎ ‎−1‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎ 4‎ 第13题图 2. 在平面上，将两个半圆弧（）和（）、两条直线和围成的封闭图形记为D，如图中阴影部分. 记D绕y轴旋转一周而成的几何体为. 过（）作的水平截面，所得截面面积为. 试利用祖暅原理、一个平放的圆柱和一个长方体，得出的体积值为__________.‎ 3. 对区间上有定义的函数，记. 已知定义域为的函数有反函数，且，. 若方程有解，则__________.‎ 一. 选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得 5分，否则一律得零分.‎ 4. 设常数，集合，. 若，则a的取值范围为（ ）. (A) (B) (C) (D) ‎ 5. 钱大姐常说“便宜没好货”，她这句话的意思是：“不便宜”是“好货”的（ ）. (A) 充分条件 (B) 必要条件 (C) 充分必要条件 (D) 既非充分又非必要条件 6. 在数列中，. 若一个行列的矩阵的第行第列的元素（；），则该矩阵元素能取到的不同数值的个数为（ ）. (A) 18 (B) 28 (C) 48 (D) 63‎ 7. 在边长为1的正六边形ABCDEF中，记以A为起点，其余顶点为终点的向量分别为、、、、；以D为起点，其余顶点为终点的向量分别为、、、、. 若 m、M分别为的最小值、最大值，其中，，则m、M满足（ ）. (A) ， (B) ， (C) ， (D) ，‎ 一. 解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.‎ B A A'‎ B'‎ D D'‎ C C'‎ 第19题图 1. ‎（本题满分12分） 如图，在长方体中，，，. 证明直线平行于平面，并求直线到平面的距离. ‎ 2. ‎（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分. 甲厂以x千克/小时的速度匀速生产某种产品（生产条件要求），每一小时可获得的利润是元.‎ ‎ (1) 要使生产该产品2小时获得的利润不低于3000元，求x的取值范围；‎ ‎ (2) 要使生产900千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该选取何种生产速度？并求此最大利润.‎ 3. ‎（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分. 已知函数，其中常数.‎ ‎ (1) 若在上单调递增，求的取值范围；‎ ‎ (2) 令，将函数的图像向左平移个单位，再向上平移1个单位，得到函数的图像. 区间（，且）满足：在上至少含有30个零点. 在所有满足上述条件的中，求的最小值.‎ 1. ‎（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分5分，第3小题满分8分. 如图，已知双曲线，曲线. 是平面内一点，若存在过点P的直线与、都有公共点，则称P为“型点”.‎ O 第22题图 y x ‎ (1) 在正确证明的左焦点是“型点”时，要使用一条过该焦点的直线，试写出一条这样的直线的方程（不要求验证）；‎ ‎ (2) 设直线与有公共点，求证，进而证明原点不是“型点”；‎ ‎ (3) 求证：圆内的点都不是“型点”.‎ 2. ‎（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分9分. 给定常数，定义函数. 数列满足.‎ ‎ (1) 若，求及；‎ ‎ (2) 求证：对任意；‎ ‎ (3) 是否存在，使得成等差数列？若存在，求出所有这样的；若不存在，说明理由.‎ ‎2013年全国普通高等学校招生统一考试 上海 数学试卷(理工农医类)‎ 答案要点及评分标准 说明 1. 本解答列出试题的解法，如果考生的解法与所列解法不同，可参照解答中评分标准的精神进行评分.‎ 2. 评阅试卷，应坚持每题评阅到底，不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评阅，当考生的解答在某一步出现错误，影响了后继部分，但该步以后的解答未改变这一题的内容和难度时，可视影响程度决定后面部分的给分，这时原则上不应超过后面部分应给分数之半，如果有较严重的概念性错误，就不给分.‎ 解答 一. ‎（第1题至第14题）‎ ‎ 1. . 2. . 3. . 4. . 5. . 6. . 7. . 8. . 9. . 10. . 11. . 12. . 13. . 14. .‎ 一. ‎（第15题至第18题）‎ 题 号 ‎15‎ ‎16‎ ‎17‎ ‎18‎ 代 号 B B A D B A A'‎ B'‎ D D'‎ C C'‎ 第19题图 y x z 二. ‎（第19题至第23题）‎ 19. ‎（本题满分12分）‎ ‎ 如图，建立空间直角坐标系，可得有关点的坐标为、、、、.‎ ‎ 设平面的法向量为，则，.‎ ‎ 因为，，，， 所以解得. 取，得平面的一个法向量 ‎. 因为，所以，所以.‎ ‎ 又不在平面内，所以直线与平面平行. 由，得点B到平面的距离， 所以直线到平面的距离为.‎ 19. ‎（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.‎ ‎(1) 生产该产品2小时的利润为. 由题意，，解得或. 又，所以.‎ ‎(2) 生产900千克该产品，所用的时间是小时， 获得的利润为. 记， 则，当且仅当时取到最大值. 最大利润为元. 因此甲厂应以6千克/小时的速度生产，可获得最大利润为457500元.‎ 20. ‎（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.‎ ‎(1) 因为函数在上单调递增，且， 所以，且， 所以.‎ ‎(2) ， 将的图像向左平移个单位，再向上平移1个单位后得到的图像，所以 ‎. 令，得或， 所以两个相邻零点之间的距离为或. 若最小，则a和b都是零点， 此时在区间，，，（）上分别恰有3，5，，个零点，所以区间上恰有29个零点， 从而在区间上至少有一个零点，所以.‎ ‎ 另一方面，在区间上恰有30个零点， 因此，的最小值为.‎ 19. ‎（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分5分，第3小题满分8分.‎ ‎(1) 的左焦点为，写出的直线方程可以是以下形式： 或，其中.‎ ‎(2) 因为直线与有公共点， 所以方程组有实数解，因此，得. 若原点是“型点”，则存在过原点的直线与都有公共点. 考虑过原点与有公共点的直线或（）. 显然直线与无公共点.‎ ‎ 如果直线为（），则由方程组得，矛盾. 所以直线（）与也无公共点.‎ ‎ 因此原点不是“型点”.‎ ‎(3) 记圆，取圆O内的一点Q. 设有经过Q的直线l与都有公共点. 显然l不垂直于x轴，故可设 ‎. 若，由于圆O夹在两组平行线与之间，因此圆O也夹在直线与之间，从而过Q且以k为斜率的直线l与无公共点，矛盾，所以.‎ ‎ 因为l与有公共点，所以方程组有实数解， 得. 因为，所以， 因此， 即. 因为圆O的圆心到直线l的距离， 所以，从而，得，与矛盾. 因此，圆内的点都不是“型点”.‎ 19. ‎（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.‎ ‎(1) .‎ ‎(2) 当时，； 当时，； 当时，. 所以，对任意，.‎ ‎(3) 由(2)，结合，得，即为无穷递增数列. 又为等差数列，所以存在正数M，当时，， ‎ 从而. 由于为等差数列，因此其公差.‎ ‎ ① 若，则， 又，故，即，从而. 当时，由于为递增数列，故， 所以，，而， 故当时，为无穷等差数列，符合要求；‎ ‎ ② 若，则，又， 所以，，得，舍去；‎ ‎ ③ 若，则由得到， 从而为无穷等差数列，符合要求.‎ ‎ 综上，的取值集合为.‎