高三数学总复习学案16
学案16 定积分及其简单的应用
导学目标： 1.以求曲边梯形的面积和汽车变速行驶的路程为背景准确理解定积分的概念.2.理解定积分的简单性质并会简单应用.3.会说出定积分的几何意义，能根据几何意义解释定积分.4.会用求导公式和导数运算法则，反方向求使F′(x)＝f(x)的F(x)，并运用牛顿—莱布尼茨公式求f(x)的定积分.5.会通过求定积分的方法求由已知曲线围成的平面图形的面积.6.能熟练运用定积分求变速直线运动的路程.7.会用定积分求变力所做的功．
自主梳理
1．定积分的几何意义：如果在区间[a，b]上函数f(x)连续且恒有f(x)≥0，那么函数f(x)在区间[a，b]上的定积分的几何意义是直线________________________所围成的曲边梯形的________．
2．定积分的性质
(1)ʃkf(x)dx＝__________________ (k为常数)；
(2)ʃ[f1(x)±f2(x)]dx＝_____________________________________；
(3)ʃf(x)dx＝_______________________________________.
3．微积分基本定理
一般地，如果f(x)是区间[a，b]上的连续函数，并且F′(x)＝f(x)，那么ʃf(x)dx＝F(b)－F(a)，这个结论叫做__________________，为了方便，我们常把F(b)－F(a)记成__________________，即ʃf(x)dx＝F(x)|＝F(b)－F(a)．
4．定积分在几何中的应用
(1)当x∈[a，b]且f(x)>0时，由直线x＝a，x＝b (a≠b)，y＝0和曲线y＝f(x)围成的曲边梯形的面积S＝__________________.
(2)当x∈[a，b]且f(x)<0时，由直线x＝a，x＝b (a≠b)，y＝0和曲线y＝f(x)围成的曲边梯形的面积S＝__________________.
(3)当x∈[a，b]且f(x)>g(x)>0时，由直线x＝a，x＝b (a≠b)和曲线y＝f(x)，y＝g(x)围成的平面图形的面积S＝______________________.
(4)若f(x)是偶函数，则ʃf(x)dx＝2ʃf(x)dx；若f(x)是奇函数，则ʃf(x)dx＝0.
5．定积分在物理中的应用
(1)匀变速运动的路程公式
做变速直线运动的物体所经过的路程s，等于其速度函数v＝v(t)[v(t)≥0]在时间区间[a，b]上的定积分，即________________________．
(2)变力做功公式
一物体在变力F(x)(单位：N)的作用下做直线运动，如果物体沿着与F相同的方向从x＝a移动到x＝b (a
0时，S＝ʃ(x2＋k2－2kx)dx
＝ʃ(x－k)2dx＝(x－k)3|＝0－(－k)3＝，
由题意知＝9，∴k＝3.
由图象的对称性可知k＝－3也满足题意，故k＝±3.
课堂活动区
例1 解题导引 (1)与绝对值有关的函数均可化为分段函数．
①分段函数在区间[a，b]上的积分可分成几段积分的和的形式．
②分段的标准是使每一段上的函数表达式确定，按照原函数分段的情况分即可，无需分得过细．
(2)f(x)是偶函数，且在关于原点对称的区间[－a，a]上连续，则ʃf(x)dx＝2ʃf(x)dx.
解 (1)ʃdx
＝ʃxdx＋ʃdx＋ʃdx
＝x2|＋ln x|－|
＝(e2－1)＋(ln e－ln 1)－
＝e2－＋.
(2)ʃ0(sin x－2cos x)dx
＝ʃ0sin xdx－2ʃ0cos xdx
＝(－cos x)|0－2sin x|0
＝－cos －(－cos 0)－2
＝－1.
(3)ʃ(2sin x－3ex＋2)dx
＝2ʃsin xdx－3ʃexdx＋ʃ2dx
＝2(－cos x)|－3ex|＋2x|
＝2[(－cos π)－(－cos 0)]－3(eπ－e0)＋2(π－0)
＝7－3eπ＋2π.
(4)∵0≤x≤2，
于是|x2－1|＝
∴ʃ|x2－1|dx＝ʃ(1－x2)dx＋ʃ(x2－1)dx
＝|＋|＝2.
变式迁移1 解 (1)∵(－cos x)′＝sin x，
∴ʃ|sin x|dx＝ʃ|sin x|dx＋ʃ|sin x|dx
＝ʃsin xdx－ʃsin xdx
＝－cos x|＋cos x|
＝－(cos π－cos 0)＋(cos 2π－cos π)＝4.
(2)ʃsin2xdx＝ʃdx
＝ʃdx－ʃcos 2xdx
＝x|－|
＝－
＝.
例2 解题导引 求曲线围成的面积的一般步骤为：(1)作出曲线的图象，确定所要求的面积；(2)联立方程解出交点坐标；(3)用定积分表示所求的面积；(4)求出定积分的值．
解 作出函数y＝x2和y＝3－(x－1)2的图象(如图所示)，则所求平面图形的面积S为图中阴影部分的面积．
解方程组得或
所以两曲线交点为A，B(2,2)．
所以S＝ʃ2－[3－(x－1)2]dx－ʃ2－x2dx
＝ʃ2－(－x2＋2x＋2)dx－ʃ2－x2dx
＝2－－2－
＝－－×
＝4.
变式迁移2 解
如图，
设f(x)＝x＋3，
g(x)＝x2－2x＋3，
两函数图象的交点为A，B，
由
得或
∴曲线y＝x2－2x＋3与直线y＝x＋3所围图形的面积
S＝ʃ[f(x)－g(x)]dx
＝ʃ[(x＋3)－(x2－2x＋3)dx]
＝ʃ(－x2＋3x)dx
＝|＝.
故曲线与直线所围图形的面积为.
例3 解题导引 用定积分解决变速运动的位置与路程问题时，将物理问题转化为数学问题是关键．变速直线运动的速度函数往往是分段函数，故求积分时要利用积分的性质将其分成几段积分，然后求出积分的和，即可得到答案．s(t)求导后得到速度，对速度积分则得到路程．
解 方法一 由速度—时间曲线易知．
v(t)＝
由变速直线运动的路程公式可得
s＝ʃ3tdt＋ʃ30dt＋ʃ(－1.5t＋90)dt
＝t2|＋30t|＋|＝1 350 (m)．
答 此汽车在这1 min内所行驶的路程是1 350 m.
方法二 由定积分的物理意义知，汽车1 min内所行驶的路程就是速度函数在[0,60]
上的积分，也就是其速度曲线与x轴围成梯形的面积，
∴s＝(AB＋OC)×30＝×(30＋60)×30＝1 350 (m)．
答 此汽车在这1 min内所行驶的路程是1 350 m.
变式迁移3 解 (1)设v(t)＝1.2t，令v(t)＝24，∴t＝20.
∴A、C间距离|AC|＝ʃ1.2tdt
＝(0.6t2)|＝0.6×202＝240 (m)．
(2)由D到B时段的速度公式为
v(t)＝(24－1.2t) m/s，可知|BD|＝|AC|＝240 (m)．
(3)∵|AC|＝|BD|＝240 (m)，
∴|CD|＝7 200－240×2＝6 720 (m)．
∴C、D段用时＝280 (s)．
又A、C段与B、D段用时均为20 s，
∴共用时280＋20＋20＝320 (s)．
课后练习区
1．D 2.B 3.D 4.D 5.B
6．0.36
解析 设力F与弹簧伸长的长度x的关系式为F＝kx，
则1＝k×0.02，∴k＝50，
∴F＝50x，伸长12 cm时克服弹力做的功
W＝ʃ50xdx＝x2|＝×0.122＝0.36(J)．
7．1
解析 ∵ʃ(2xk＋1)dx＝
＝＋1＝2，∴k＝1.
8．－18
解析 ∵f′(x)＝2x＋2f′(2)，∴f′(2)＝4＋2f′(2)，
即f′(2)＝－4，∴f(x)＝x2－8x＋3，
∴ʃf(x)dx＝×33－4×32＋3×3＝－18.
9．解 (1)函数y＝2x2－的一个原函数是y＝x3－ln x，
所以ʃdx＝
＝－ln 2－＝－ln 2.………………………………………………………………(3分)
(2)ʃ2dx＝ʃdx
＝
＝－(2＋ln 2＋4)
＝ln ＋.…………………………………………………………………………………(6分)
(3)函数y＝sin x－sin 2x的一个原函数为
y＝－cos x＋cos 2x，所以ʃ0(sin x－sin 2x)dx
＝0
＝－＝－.……………………………………………………………(9分)
＝(3x－x2)|1＋(x2－3x)|2＝.…………………………………………………………(12分)
10．解 (1)设f(x)＝ax2＋bx＋c (a≠0)，
则f′(x)＝2ax＋b.又f′(x)＝2x－2，
所以a＝1，b＝－2，即f(x)＝x2－2x＋c.………………………………………………(4分)
又方程f(x)＝0有两个相等实根，
所以Δ＝4－4c＝0，即c＝1.
故f(x)＝x2－2x＋1.………………………………………………………………………(8分)
(2)依题意，所求面积S＝ʃ(x2－2x＋1)dx
＝|＝.……………………………………………………………………(12分)
11．解 画出直线x＝－ln 2，y＝e－1及曲线y＝ex－1如图所示，则所求面积为图中阴影部分的面积．
由解得B(1，e－1)．
由解得A.…………………………………………………(4分)
此时，C(－ln 2，e－1)，D(－ln 2,0)．
所以S＝S曲边梯形BCDO＋S曲边三角形OAD
＝ʃ(e－1)dx－ʃ(ex－1)dx＋………………………………………(7分)
＝(e－1)x|－(ex－x)|＋|(ex－x)|| ………………………………………………(10分)
＝(e－1)(1＋ln 2)－(e－1－e0)＋|e0－(e－ln 2＋ln 2)|
＝(e－1)(1＋ln 2)－(e－2)＋ln 2－
＝eln 2＋.……………………………………………………………………………(14分)
