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文档介绍
高考文科数学试题及答案湖北卷
2009年普通高校招生统一考试(湖北卷) 数学(文史类) 一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合要求的。 1. (09湖北文)若向量a=(1,1),b=(-1,1),c=(4,2),则c= A. 3a+b B. 3a-b C.-a+3b D. a+3b 【答案】B 2. (09湖北文)函数的反函数是 A. B. C. D. 【答案】D 3.(09湖北文)“sin=”是“”的 A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】A 4.(09湖北文) 从5名志愿者中选派4人在星期五、星期六、星期日参加公益活动,每人一天,要求星期五有一人参加,星期六有两人参加,星期日有一人参加,则不同的选派方法共有 A.120种 B.96种 C.60种 D.48种 【答案】C 【解析】5人中选4人则有种,周五一人有种,周六两人则有,周日则有种,故共有××=60种,故选C 5. (09湖北文)已知双曲线的准线经过椭圆(b>0)的焦点,则b= A.3 B. C. D. 【答案】C 【解析】可得双曲线的准线为,又因为椭圆焦点为所以有.即b2=3故b=.故C. 6. (09湖北文)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,∠ACB=900,∠ACC1=600,∠BCC1=450,侧棱CC1的长为1,则该三棱柱的高等于 A. B. C. D. 【答案】A 7. (09湖北文)函数的图像F按向量a平移到F/,F/的解析式y=f(x),当y=f(x)为奇函数时,向量a可以等于 A. B. C. D. 【答案】D 8. (09湖北文)在“家电下乡”活动中,某厂要将100台洗衣机运往邻近的乡镇,现有4辆甲型货车和8辆乙型货车可供使用,每辆甲型货车运输费用400元,可装洗衣机20台;每辆乙型货车运输费用300元,可装洗衣机10台,若每辆车至多只运一次,则该厂所花的最少运输费用为 A.2000元 B.2200元 C.2400元 D.2800元 【答案】B 【解析】设甲型货车使用x辆,已型货车y辆.则,求Z=400x+300y最小值.可求出最优解为(4,2)故故选B. 9. (09湖北文)设记不超过的最大整数为[],令{}=-[],则{},[], A.是等差数列但不是等比数列 B.是等比数列但不是等差数列 C.既是等差数列又是等比数列 D.既不是等差数列也不是等比数列 【答案】B 【解析】可分别求得,.则等比数列性质易得三者构成等比数列 10. (09湖北文)古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种性状来研究数,例如: 他们研究过图1中的1,3,6,10,…,由于这些数能够表示成三角形,将其称为三角形数;类似地,称图2中的1,4,9,16,…这样的数成为正方形数。下列数中及时三角形数又是正方形数的是 A.289 B.1024 C.1225 D.1378 【答案】C 【解析】由图形可得三角形数构成的数列通项,同理可得正方形数构成的数列通项,则由可排除A、D,又由知必为奇数,故选C. 二.填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分。请将答案填在答题卡对应题号的位置上,一题两空的题,其答案按先后次序填写。 11. (09湖北文)已知,则b= . 【答案】40 【解析】因为∴ .解得 12. (09湖北文)甲、乙、丙三人将参加某项测试,他们能达标的概率分别是0.8、0.6、0.5,则三人都达标的概率是 ,三人中至少有一人达标的概率是 。 【答案】0.24 0.96 【解析】三人均达标为0.8×0.6×0.5=0.24,三人都不达标的概率为(1-0.8)×(1-0.6)×(1-0.5)=0.04,所以,三人中至少有一人达标的概率为1-0.04=0.96 13. (09湖北文)设集合A=(x∣log2x<1), B=(X∣<1), 则A= . 【答案】 【解析】易得A= B= ∴A∩B=. 14. (09湖北文)过原点O作圆的两条切线,设切点分别为P、Q,则线段PQ的长为 。 【答案】4 【解析】可得圆方程是又由圆的切线性质及在三角形中运用正弦定理得 15. (09湖北文)下图是样本容量为200的频率分布直方图。 根据样本的频率分布直方图估计,样本数据落在[6,10)内的频数为 ,数据落在[2,10)内的概率约为 。 【答案】64 【解析】观察直方图易得两个频率为,频率为 三、解答题:本大题共6小题,共75分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 16.(09湖北文)(本小题满分12分) 在锐角△ABC中,a、b、c分别为角A、B、C所对的边,且 (Ⅰ)确定角C的大小; (Ⅱ)若c=,且△ABC的面积为,求a+b的值。 本小题主要考查正弦定理和余弦定理等基础知识及解三角形的方法,考查基本运算能力。(满分12分) (Ⅰ)解:由及正弦定理得, 是锐角三角形, (Ⅱ)解法1:由面积公式得 由余弦定理得 由②变形得 ③ 将①代入③得,故 解法2:前同解法1,联立①、②得 消去b并整理得解得 所以故 17. (09湖北文)(本小题满分12分) 围建一个面积为360m2的矩形场地,要求矩形场地的一面利用旧墙(利用旧墙需维修),其它三面围墙要新建,在旧墙对面的新墙上要留一个宽度为2m的进出口,如图所示,已知旧墙的维修费用为45元/m,新墙的造价为180元/m,设利用的旧墙长度为x(单位:m),修建此矩形场地围墙的总费用为y(单位:元)。 (Ⅰ)将y表示为x的函数: (Ⅱ)试确定x,使修建此矩形场地围墙的总费用最小,并求出最小总费用。 17. 本小题主要考查函数和不等式等基础知识,考查用平均不等式求最值和运用数学知识解决实际问题的能力。(满分12分) 解:(Ⅰ)如图,设矩形的另一边长为m, 则-45x-180(x-2)+180·2a=225x+360a-360 由已知xa=360,得a=, 所以y=225x+ (Ⅱ) .当且仅当225x=时,等号成立. 即当x=24m时,修建围墙的总费用最小,最小总费用是10440元. 18.(09湖北文)(本小题满分12分) 如图,四棱锥的底面是正方形,⊥平面,,点是上的点,且 (Ⅰ)求证:对任意的(0、1],都有; (Ⅱ)若二面角的大小为600,求的值。 18. 本小题主要考查空间直线与直线、直线与平面的位置关系和二面角等基础知识,考查空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力。(满分12分) (Ⅰ)证法1:连接,由底面是正方形可得ACBD。 SD平面,BD是BE在平面上的射影, 由三垂线定理得 (Ⅱ) 解法1:SD平面,平面, SDCD. 又底面是正方形,,又,CD平面 过点D在平面内做DFAE于F,连接CF,则CFAE, 故CFD是二面角C-AE-D 的平面角,即CFD=60° 在Rt△ADE中,AD=, DE= , AE= 。 于是, 在Rt△CDF中,由cot60°= 得,即=3 , 解得= (Ⅰ)证法2:以D为原点,的方向分别作为的正方向建立如图所示的空间直角坐标系,则, , ∴ 即对任意的(0,1],都有 (Ⅱ)解法2:为平面的一个法向量 设平面的一个法向量为, 则 ∴即 取,得 ∴ 由(0,1],解得 19.(09湖北文)(本小题满分12分) 已知{}是一个公差大于0的等差数列,且满足 (Ⅰ)求数列{}的通项公式: (Ⅱ)若数列{}和数列{}满足等式:=,求数列{}的前n项和 (Ⅰ)解法一:设等差数列的公差为d,则依题设d>0 由,得 ① 由得 ② 由①得将其代入②得, 即 解法二:由等差数列的性质得:,∴ 由韦达定理知,是方程的根, 解方程得或 设公差为,则由,得 ∵,∴ 故 (Ⅱ)解法一:当时,,∴ 当时, 两式相减得,∴ 因此 当时,; 当时, ∵当时上式也成立, ∴当为正整数时都有 解法二:令 两式相减得由(Ⅰ)得 于是 =-4= 20.(09湖北文)(本小题满分13分) 如图,过抛物线的焦点F的直线与抛物线相交于M、N两点,自M、N向准线作垂线,垂足分别为M1、N1 (Ⅰ)求证:FM1⊥FN1: (Ⅱ)记△FMM1、、△FM1N1、△FN N1的面积分别为,试判断是否成立,并证明你的结论。 本小题主要考查抛物线的概念,抛物线的几何性质等平面解析几何的基础知识,考查综合运用数学知识进行推理运算的能力(满分13分) (Ⅰ)证法1:由抛物线的定义得 2分 如图,设准线与轴的交点为 而 即 故 证法2:依题意,焦点为准线的方程为 设点M,N的坐标分别为直线MN的方程为,则有 由 得 于是,, ,故 (Ⅱ)成立,证明如下: 证法1:设,则由抛物线的定义得 ,于是 将与代入上式化简可得 ,此式恒成立。 故成立。 证法2:如图,设直线的倾角为, 则由抛物线的定义得 于是 在和中,由余弦定理可得 由(I)的结论,得 即,得证。 21.(09湖北文)(本小题满分14分) 已知关于x的函数,其导函数为.令,记函数在区间[-1、1]上的最大值为. (Ⅰ)如果函数f(x)在x=1处有极值-,试确定b、c的值; (Ⅱ)若∣b∣>1,证明对任意的c,都有M>2; (Ⅲ)若对任意的b、c恒成立,试求k的最大值。 21.(09湖北文)本小题主要考察函数、函数的导数和不等式等基础知识,考察综合运用数学知识进行推理论证的能力和分类讨论的思想(满分14分) (Ⅰ)解:,由在处有极值 可得 解得或 若,则,此时没有极值; 若,则 当变化时,,的变化情况如下表: 1 0 + 0 极小值 极大值 当时,有极大值,故,即为所求。 (Ⅱ)证法1: 当时,函数的对称轴位于区间之外。 在上的最值在两端点处取得 故应是和中较大的一个 即 证法2(反证法):因为,所以函数的对称轴位于区间之外, 在上的最值在两端点处取得。 故应是和中较大的一个 假设,则 将上述两式相加得: ,导致矛盾, (Ⅲ)解法1: (1)当时,由(Ⅱ)可知; (2)当时,函数)的对称轴位于区间内, 此时 由有 ①若则, 于是 ②若,则 于是 综上,对任意的、都有 而当时,在区间上的最大值 故对任意的、恒成立的的最大值为。 解法2: (1)当时,由(Ⅱ)可知; (2)当时,函数的对称轴位于区间内, 此时 ,即 下同解法1查看更多