2016届高考数学（理）大一轮复习达标训练试题：课时跟踪检测(五十四) 椭 圆
课时跟踪检测(五十四) 椭 圆
(分A、B卷，共2页)
A卷：夯基保分
一、选择题
1．(2015·北京西城区期末)若曲线ax2＋by2＝1为焦点在x轴上的椭圆，则实数a，b满足( )
A．a2>b2 B.< C．0
b>0)的左、右焦点分别为F1(－c,0)、F2(c,0)，若椭圆上存在点P使＝，则该椭圆离心率的取值范围为( )
A．(0，－1) B. C. D．(－1,1)
二、填空题
7．已知F1，F2是椭圆＋＝1的两个焦点，过点F2作x轴的垂线交椭圆于A，B两点，则△F1AB的周长为________．
8．直线x－2y＋2＝0过椭圆＋＝1的左焦点F1和一个顶点B，
则椭圆的方程为________________．
9．已知F1，F2是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的两个焦点，P为椭圆C上的一点，且⊥.若△PF1F2的面积为9，则b＝________.
10．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为e.直线l：y＝ex＋a与x轴，y轴分别交于点A，B，M是直线l与椭圆C的一个公共点，设|AM|＝e|AB|，则该椭圆的离心率e＝________.
三、解答题
11．(2015·衡水中学二调)已知椭圆C的对称中心为原点O，焦点在x轴上，左、右焦点分别为F1和F2，且|F1F2|＝2，点在该椭圆上．
(1)求椭圆C的方程；
(2)过F1的直线l与椭圆C相交于A，B两点，若△AF2B的面积为，求以F2为圆心且与直线l相切的圆的方程．
12．(2014·新课标全国卷Ⅱ)设F1，F2分别是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，M是C上一点且MF2与x轴垂直．直线MF1与C的另一个交点为N.
(1)若直线MN的斜率为，求C的离心率；
(2)若直线MN在y轴上的截距为2，且|MN|＝5|F1N|，求a，b.
B卷：增分提能
1．已知中心在原点，焦点在坐标轴上的椭圆E的离心率为，椭圆E的一个焦点和抛物线y2＝－4x的焦点重合，过直线l：x＝4上一点M引椭圆E的两条切线，切点分别是A，B.
(1)求椭圆E的方程；
(2)若在椭圆＋＝1(a>b>0)上的点(x0，y0)处的切线方程是＋＝1，求证：直线AB恒过定点C，并求出定点C的坐标．
2．(2015·长春调研)已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，右焦点到直线x＋y＋＝0的距离为2.
(1)求椭圆的方程；
(2)过点M(0，－1)作直线l交椭圆于A，B两点，交x轴于N点，且满足＝－，求直线l的方程．
3．(2015·兰州模拟)已知椭圆方程为＋x2＝1，斜率为k(k≠0)的直线l过椭圆的上焦点且与椭圆相交于P，Q两点，线段PQ的垂直平分线与y轴相交于点M(0，m)．
(1)求m的取值范围；
(2)求△MPQ面积的最大值．
答案
A卷：夯基保分
1．选C 由ax2＋by2＝1，得＋＝1，因为焦点在x轴上，所以>>0，所以00成立，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝－，x1x2＝，
可得|AB|＝·＝，
又圆F2的半径r＝，
∴△AF2B的面积为|AB|·r＝＝，
代简得：17k4＋k2－18＝0，得k＝±1，
∴r＝，圆的方程为(x－1)2＋y2＝2.
12．解：(1)根据a2－b2＝c2及题设知M，＝，
得2b2＝3ac.
将b2＝a2－c2代入2b2＝3ac，解得＝，＝－2(舍去)．
故C的离心率为.
(2)设直线MN与y轴的交点为D，
由题意，原点O为F1F2的中点，MF2∥y轴，
所以直线MF1与y轴的交点D(0,2)是线段MF1的中点，
故＝4，即b2＝4a. ①
由|MN|＝5|F1N|得|DF1|＝2|F1N|.
设N(x1，y1)，由题意知y1<0，则
即
代入C的方程，得＋＝1. ②
将①及a2－b2＝c2代入②得＋＝1.
解得a＝7，b2＝4a＝28，
故a＝7，b＝2.
B卷：增分提能
1．解：(1)设椭圆方程为＋＝1(a>b>0)，
因为抛物线y2＝－4x的焦点是(－1,0)，所以c＝1.
又＝，所以a＝2，b＝＝，
所以所求椭圆E的方程为＋＝1.
(2)证明：设切点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线l上一点M的坐标为(4，t)，
则切线方程分别为＋＝1，＋＝1，
又两切线均过点M，即x1＋y1＝1，x2＋y2＝1，
即点A，B的坐标都适合方程x＋y＝1，
而两点确定唯一的一条直线，
故直线AB的方程是x＋y＝1，
显然对任意实数t，点(1,0)都适合这个方程，
故直线AB恒过定点C(1，0)．
2．解：(1)设椭圆的右焦点为(c,0)(c＞0)，则＝2，c＋＝±2，c＝或c＝－3(舍去)．
又离心率＝，则＝，
故a＝2，b＝＝，
故椭圆的方程为＋＝1.
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，N(x0,0)，因为＝－，
所以(x1－x0，y1)＝－(x2－x0，y2)，y1＝－y2. ①
易知当直线l的斜率不存在或斜率为0时，①不成立，
于是设直线l的方程为y＝kx－1(k≠0)，
联立方程
消去x得(4k2＋1)y2＋2y＋1－8k2＝0， ②
因为Δ＞0，所以直线与椭圆相交，
于是y1＋y2＝－， ③
y1y2＝， ④
由①③得，y2＝，y1＝－，
代入④整理得8k4＋k2－9＝0，k2＝1，k＝±1，
所以直线l的方程是y＝x－1或y＝－x－1.
3．解：(1)设直线l的方程为y＝kx＋1，
由可得(k2＋2)x2＋2kx－1＝0.
设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
则x1＋x2＝，x1x2＝－.
可得y1＋y2＝k(x1＋x2)＋2＝.
设线段PQ的中点为N，则点N的坐标为，
由题意有kMN·k＝－1，可得·k＝－1，
可得m＝，又k≠0，所以0
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