人教版高三数学总复习课时作业27

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第四章　平面向量、数系的扩充与复数的引入 课时作业27　平面向量的概念及其线性运算 一、选择题 ‎1．下列命题中是真命题的是(　　)‎ ‎①对任意两向量a，b，a－b与b－a是相反向量；‎ ‎②在△ABC中，＋－＝0；‎ ‎③在四边形ABCD中，(＋)－(＋)＝0；‎ ‎④在△ABC中，－＝.‎ A．①② B．②③‎ C．②④ D．③④‎ 解析：①真命题．因为(a－b)＋(b－a)＝a＋(－b)＋b＋(－a)＝a＋(－a)＋b＋(－b)＝(a－a)＋(b－b)＝0，所以a－b与b－a是相反向量．‎ ‎②真命题．因为＋－＝－＝0，‎ 所以命题成立．‎ ‎③假命题．因为＋＝，＋＝，‎ 所以(＋)－(＋)＝－＝＋≠0，所以该命题不成立．‎ ‎④假命题．因为－＝＋＝≠，所以该命题不成立．故选A.‎ 答案：A ‎2．设a、b都是非零向量，下列四个条件中，使＝成立的充分条件是(　　)‎ A．a＝－b B．a∥b C．a＝2b D．a∥b且|a|＝|b|‎ 解析：表示与a同向的单位向量，表示与b同向的单位向量，只要a与b同向，就有＝，观察选择项易知C满足题意．‎ 答案：C ‎3．如上图所示，向量＝a，＝b，＝c，A，B，C在一条直线上，且＝－3，则(　　)‎ A．c＝－a＋b B．c＝a－b C．c＝－a＋2b D．c＝a＋2b 解析：∵＝＋＝＋3 ‎＝＋3(－)＝3＋－3 ‎∴2＝－＋3，‎ ‎∴c＝＝－a＋b.‎ 答案：A ‎4．已知点O，N在△ABC所在平面内，且||＝||＝||，＋＋＝0，则点O，N依次是△ABC的(　　)‎ A．重心　外心 B．重心　内心 C．外心　重心 D．外心　内心 解析：由||＝||＝||知，O为△ABC的外心；＋＋＝0知，N为△ABC的重心．‎ 答案：C ‎5．已知点A、B、C是直线l上不同的三个点，点O不在直线l上，则关于x的方程x2＋x＋＝0的解集为(　　)‎ A．∅ B．{－1}‎ C. D．{－1,0}‎ 解析：由条件可知，x2＋x不能和共线，即使x＝0时，也不满足条件，所以满足条件的x不存在．‎ 答案：A ‎6．设M是△ABC所在平面上一点，且＋＋＝0，D是AC 的中点，则的值为(　　)‎ A. B. C．1 D．2‎ 解析：因为D为AC的中点，所以＝－(＋)＝－×2＝－3，故＝，故选A.‎ 答案：A 二、填空题 ‎7．如图，在△ABC中，BO为边AC上的中线，＝2，若∥，且＝＋λ(λ∈R)，则λ的值为________．‎ 解析：因为∥，所以存在实数k，使得＝k.＝－＝＋(λ－1)，又由BO是△ABC的边AC上的中线，＝2，得点G为△ABC的重心，所以＝(＋)，所以＋(λ－1)＝(＋ ‎)，由平面向量基本定理可得，解得λ＝.‎ 答案： ‎8．设向量e1，e2不共线，＝3(e1＋e2)，＝e2－e1，＝2e1＋e2，给出下列结论：①A，B，C共线；②A，B，D共线；③B，C，D共线；④A，C，D共线，其中所有正确结论的序号为________．‎ 解析：＝－＝4e1＋2e2，＝－＝3e1，由向量共线的充要条件b＝λa(a≠0)可得A，C，D共线，而其他λ无解．‎ 答案：④‎ ‎9．已知||＝3，||＝，⊥，点R在∠POQ内，且∠POR＝30°，＝m＋n(m，n∈R)，则等于________．‎ 解析：‎ ‎∵＝＋＝m＋n ‎∴||＝3m，||＝n 且tan30°＝＝＝ ‎∴＝1.‎ 答案：1‎ 三、解答题 ‎10．如图，在平行四边形OADB中，设＝a，＝b，＝，＝.试用a，b表示，及.‎ 解：由题意知，在平行四边形OADB中，＝＝＝(－)＝(a－b)＝a－b，则＝＋＝b＋a－b＝a＋b.＝＝(＋)＝(a＋b)＝a＋b.＝－＝(a＋b)－a－b＝a－b.‎ ‎11．若a，b是两个不共线的非零向量，a与b起点相同，则当t为何值时，a，tb，(a＋b)三向量的终点在同一条直线上？‎ 解：设＝a，＝tb，＝(a＋b)，‎ ‎∴＝－＝－a＋b，＝－＝tb－a.‎ 要使A，B，C三点共线，只需＝λ.‎ 即－a＋b＝λ(tb－a)＝λtb－λa.‎ 又∵a与b为不共线的非零向量，‎ ‎∴有⇒ ‎∴当t＝时，三向量终点在同一直线上．‎ ‎1．在△ABC中，N是AC边上一点，且＝，P是BN上的一点，若＝m＋，则实数m的值为(　　)‎ A. B. C．1 D．3‎ 解析：‎ 如图，因为＝，所以＝，＝m＋＝m＋，因为B，P，N三点共线，所以m＋＝1，‎ 所以m＝，选B.‎ 答案：B ‎2．在直角梯形ABCD中，∠A＝90°，∠B＝30°，AB＝2，BC ‎＝2，点E在线段CD上，若＝＋μ，则μ的取值范围是(　　)‎ A．[0,1] B．[0，]‎ C. D. 解析：由题意可求得AD＝1，CD＝，所以＝2.‎ 因为点E在线段CD上，所以＝λ(0≤λ≤1)．‎ 因为＝＋，‎ 又＝＋μ＝＋2μ＝＋，‎ 所以＝1，即μ＝.因为0≤λ≤1，‎ 所以0≤μ≤，故选C.‎ 答案：C ‎3．已知△ABC中，＝a，＝b，对于平面ABC上任意一点O，动点P满足＝＋λa＋λb，则动点P的轨迹所过的定点为________．‎ 解析：依题意，由＝＋λa＋λb，‎ 得－＝λ(a＋b)，即＝λ(＋)．‎ 如图，以AB，AC为邻边作平行四边形ABDC，对角线交于点M，则＝λ，‎ 所以A，P，D三点共线，‎ 即P点的轨迹是AD所在的直线，由图可知P点轨迹必过△ABC边BC的中点M.‎ 答案：边BC的中点 ‎4．已知P为△ABC内一点，且3＋4＋5＝0，延长AP交BC于点D，若＝a，＝b，用a，b表示向量，.‎ 解：因为＝－＝－a，‎ ＝－＝－b，‎ 又3＋4＋5＝0.‎ 所以3＋4(－a)＋5(－b)＝0，‎ 所以＝a＋b.‎ 设＝t(t∈R)，则＝ta＋tb.①‎ 又设＝k(k∈R)，‎ 由＝－＝b－a，得＝k(b－a)．‎ 而＝＋＝a＋.‎ 所以＝a＋k(b－a)＝(1－k)a＋kb，②‎ 由①②得解得t＝.‎ 代入①得＝a＋b.‎ 所以＝a＋b，‎ ＝a＋b.‎