高三数学总复习练习一模考前专项训练
数学思想专项训练(一) 函数与方程思想
方法概述 适用题型
函数思想，是指用函
数的概念和性质去分析问
题、转化问题和解决问
题．方程思想，是从问题
中的数量关系入手，运用
数学语言将问题中的条件
转化为数学模型(方程、不
等式或方程与不等式的混
合组)，然后通过解方程(组)
或不等式(组)来使问题获
解．有时，还通过函数与
方程的互相转化、接轨，
达到解决问题的目的.
函数与方 s 程的思想在解题中的应用十分广泛，主要有以下
几种类型：
(1)函数与不等式的相互转化，对函数 y＝f(x)，当 y>0 时，
就化为不等式 f(x)>0，借助于函数的图象和性质可解决有关问题，
而研究函数的性质也离不开不等式．
(2)数列的通项与前 n 项和是自变量为正整数的函数，用函
数的观点去处理数列问题十分重要．
(3)解析几何中的许多问题，需要通过解二元方程组才能解
决．这都涉及二次方程与二次函数的有关理论．
(4)立体几何中有关线段、角、面积、体积的计算，经常需
要运用列方程或建立函数表达式的方法加以解决，建立空间直
角坐标系后，立体几何与函数的关系更加密切.
一、选择题
1．已知函数 f(x)＝ln x－x－a 有两个不同的零点，则实数 a 的取值范围为( )
A．(－∞，－1] B．(－∞，－1)
C．[－1，＋∞) D．(－1，＋∞)
解析：选 B 函数 f(x)＝ln x－x－a 的零点即关于 x 的方程 ln x－x－a＝0 的实根，将方
程化为 ln x＝x＋a，令 y1＝ln x，y2＝x＋a，由导数知识可知当两曲线相切时有 a＝－1.若函数
f(x)＝ln x－x－a 有两个不同的零点，则实数 a 的取值范围为(－∞，－1)．
2．已知关于 x 的不等式(ax－1)(x＋1)＜0 的解集是(－∞，－1)∪(－1
2，＋∞)，则 a 等于
( )
A．2 B．－2
C．－1
2 D.1
2
解析：选 B 根据不等式与对应方程的关系知－1，－1
2是一元二次方程 ax2＋(a－1)x－1
＝0 的两个根，所以－1×(－1
2 )＝－1
a，所以 a＝－2，故选 B.
3．(2015·天津六校联考)若等差数列{an}满足 a21＋a 2100≤10，则 S＝a100＋a101＋…＋a199 的
最大值为( )
A．600 B．500
C．400 D．200
解析：选 B S＝a100＋a101＋…＋a199＝100a100＋100 × 99
2 d＝100(a1＋99d)＋100 × 99
2 d，
即 99d＝ S
150－2
3a1，因为 a21＋a 2100≤10，即 a21＋(a1＋99d)2≤10，整理得 a21＋(
1
3a1＋ S
150)2≤10，
即 10
9 a21＋ S
225a1＋(
S
150 )2－10≤0 有解，所以 Δ＝(
S
225 )2－4×10
9 [(
S
150 )2－10]≥0，解得－
500≤S≤500，所以 Smax＝500，故选 B.
4．已知 f(x)＝log2x，x∈[2,16]，对于函数 f(x)值域内的任意实数 m，则使 x2＋mx＋4＞2m
＋4x 恒成立的实数 x 的取值范围为( )
A．(－∞，－2] B．[2，＋∞)
C．(－∞，－2]∪[2，＋∞) D．(－∞，－2)∪(2，＋∞)
解析：选 D ∵x∈[2,16]，∴f(x)＝log2x∈[1,4]，即 m∈[1,4]．不等式 x2＋mx＋4＞2m＋4x
恒成立，即为 m(x－2)＋(x－2)2＞0 恒成立，设 g(m)＝(x－2)m＋(x－2) 2，则此函数在[1,4]上
恒大于 0，所以Error!即Error!解得 x＜－2 或 x＞2.
5．(2015·黄冈质检)已知点 A 是椭圆 x2
25＋y2
9＝1 上的一个动点，点 P 在线段 OA 的延长线
上，且 · ＝48，则点 P 的横坐标的最大值为( )
A．18 B．15
C．10 D.15
2
解析：选 C 当点 P 的横坐标最大时，射线 OA 的斜率 k＞0，设 OA：y＝kx，k＞0，与
椭圆x2
25＋y2
9＝1 联立解得 xA＝ 15
9＋25k2 .又 · ＝xAxP＋k2xAxP＝48，解得 xP＝ 48
(1＋k2)xA
＝
16 9＋25k2
5(1＋k2) ＝16
5 9＋25k2
(1＋k2)2，令 9＋25k 2＝t＞9，即 k 2＝t－9
25 ，则 xP＝16
5
t
(
t＋16
25 )2
＝16
5 ×25
t
t2＋162＋32t＝80
1
t＋162
t ＋32
≤80× 1
64＝10，当且仅当 t＝16，即 k2＝ 7
25时取等号，所以
点 P 的横坐标的最大值为 10，故选 C.
6．(2015·杭州二模)设 Sn 为等差数列{an}的前 n 项和，(n＋1)Sn＜nSn＋1(n∈N*)．若a8
a7＜－
1，则( )
A．Sn 的最大值是 S8 B．Sn 的最小值是 S8
OA OP
OA OP
C．Sn 的最大值是 S7 D．Sn 的最小值是 S7
解析：选 D 由(n＋1)Sn＜nSn＋1 得(n＋1)n(a1＋an)
2 ＜n
(n＋1)(a1＋an＋1)
2 ，整理得 an＜an＋1，
所以等差数列{an}是递增数列，又a8
a7＜－1，所以 a8＞0，a7＜0，所以数列{an}的前 7 项为负
值，即 Sn 的最小值是 S7.故选 D.
二、填空题
7．已知 f(x)为定义在 R 上的增函数，且对任意的 x∈R，都有 f[f(x)－2 x]＝3，则 f(3)＝
________.
解析：设 f(x)－2x＝t，则 f(t)＝3，f(x)＝2x＋t，
所以 2t＋t＝3，易得方程 2t＋t＝3 有唯一解 t＝1，
所以 f(x)＝2x＋1，所以 f(3)＝9.
答案：9
8．已知奇函数 f(x)的定义域为 R，当 x＞0 时，f(x)＝2x－x2.若 x∈[a，b]时，函数 f(x)的
值域为[
1
b，1
a ]，则 ab＝________.
解析：由题意知 a＜b，且1
a＞1
b，则 a，b 同号，当 x＞0 时，f(x)＝2x－x 2＝－(x－1)2＋
1≤1，若 0＜a＜b，则1
a≤1，即 a≥1.因为 f(x)在[1，＋∞)上单调递减，所以Error!解得Error!
所以 ab＝1＋ 5
2 .
由 f(x)是奇函数知，当 x＜0 时，f(x)＝x2＋2x，同理可知，当 a＜b＜0 时，Error!解得Error!
所以 ab＝1＋ 5
2 .综上，ab＝1＋ 5
2 .
答案：1＋ 5
2
9．为了考察某校各班参加课外书法小组的人数，从全校随机抽取 5 个班级，把每个班级
参加该小组的人数作为样本数据．已知样本平均数为 7，样本方差为 4，且样本数据互不相同，
则样本数据中的最大值为________．
解析：设 5 个班级的样本数据从小到大依次为 0≤a＜b＜c＜d＜e.由平均数及方差的公式
得a＋b＋c＋d＋e
5 ＝7，
(a－7)2＋(b－7)2＋(c－7)2＋(d－7)2＋(e－7)2
5 ＝4.设 a－7，b－7，c－7，
d－7，e－7 分别为 p，q，r，s，t，则 p，q，r，s，t 均为整数，且Error!设 f(x)＝(x－p)2＋(x
－q)2＋(x－r)2＋(x－s)2＝4x2－2(p＋q＋r＋s)x＋(p2＋q2＋r2＋s2)＝4x2＋2tx＋20－t2，由(x－p)2，
(x－q)2，(x－r)2，(x－s)2 不能完全相同知 f(x)＞0，则判别式 Δ＜0，即 4t2－4×4×(20－t2)＜
0，解得－4＜t＜4，所以－3≤t≤3，故 e 的最大值为 10.
答案：10
10．(2015·东城期末)若函数 f(x)＝m－ x＋3的定义域为[a，b]，值域为[a，b]，则实数 m
的取值范围是________．
解析：易知 f(x)＝m－ x＋3在[a，b]上单调递减，因为函数 f(x)的值域为[a，b]，所以Error!
即Error!两式相减得， a＋3－ b＋3＝a－b＝(a＋3)－(b＋3)＝( a＋3)2－( b＋3)2，所以
a＋3＋ b＋3＝1，因为 a＜b，所以 0≤ a＋3＜1
2，而 m＝ b＋3＋a＝a－ a＋3＋1，所以 m
＝(a＋3)－ a＋3－2＝( a＋3－1
2)2－9
4，又 0≤ a＋3＜1
2，所以－9
4＜m≤－2.
答案：(－9
4，－2]二、解答题
11.如图，在平行四边形 ABCD 中，BC＝2，BD⊥CD，四边形 ADEF
为正方形，平面 ADEF⊥平面 ABCD.记 CD＝x，V(x)表示四棱锥
FABCD 的体积．
(1)求 V(x)的表达式；
(2)求 V(x)的最大值．
解：(1)∵平面 ADEF⊥平面 ABCD，交线为 AD 且 FA⊥AD，∴FA⊥平面 ABCD.
∵BD⊥CD，BC＝2，CD＝x.
∴FA＝2，BD＝ 4－x2(0＜x＜2)，
S▱ABCD＝CD·BD＝x 4－x2，
∴V(x)＝1
3S▱ABCD·FA＝2
3x 4－x2(0＜x＜2)．
(2)V(x)＝2
3x 4－x2＝2
3
－x4＋4x2
＝2
3
－(x2－2)2＋4.
∵0＜x＜2，∴0＜x2＜4，
∴当 x2＝2，即 x＝ 2时，V(x)取得最大值，且 V(x)max＝4
3.
12．设 P 是椭圆x2
a2＋y2＝1(a>1)短轴的一个端点，Q 为椭圆上的一个动点，求|PQ|的最大
值．
解：依题意可设 P(0,1)，Q(x，y)，则
|PQ|＝ x2＋(y－1)2.
又因为 Q 在椭圆上，所以 x2＝a2(1－y2)．
|PQ|2＝a2(1－y2)＋y2－2y＋1＝(1－a2)y2－2y＋1＋a2
＝(1－a2)(y－ 1
1－a2)2－ 1
1－a2＋1＋a2，
因为|y|≤1，a>1，若 a≥ 2，则|
1
1－a2|≤1，
当 y＝ 1
1－a2时，|PQ|取最大值a2 a2－1
a2－1 ；
若 1
1 的解集为空集，a 不存在．
综上所述，实数 a 的取值范围是[
3
4，1 ].
答案：[
3
4，1 ]三、解答题
11．在公差 d＜0 的等差数列{an}中，已知 a1＝10，且 a1,2a2＋2,5a3 成等比数列，求|a1|＋
|a2|＋|a3|＋…＋|an|的值．
解：由已知可得(2a2＋2)2＝5a1a3，即 4(a1＋d＋1)2＝5a1(a1＋2d)⇒(11＋d)2＝25(5＋d)⇒
121＋22d＋d 2＝125＋25d⇒d 2－3d－4＝0⇒d＝4(舍去)或 d＝－1，所以 a n＝11－n，当
1≤n≤11 时，an≥0，∴|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n|＝a 1＋a2＋a3＋…＋a n＝n(10＋11－n)
2 ＝
n(21－n)
2 ；当 n≥12 时，an＜0，∴|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an|＝a1＋a2＋a3＋…＋a11－(a12＋a13
＋…＋a n)＝2(a 1＋a2＋a3＋…＋a 11)－(a 1＋a2＋a3＋…＋a n)＝2× 11(21－11)
2 －n(21－n)
2 ＝
n2－21n＋220
2 .综上所述，|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an|＝Error!
12．(2015·唐山统一考试)已知函数 f(x)＝ ex
xex＋1.
(1)证明：0＜f(x)≤1；
(2)当 x＞0 时，f(x)＞ 1
ax2＋1，求 a 的取值范围．
解：(1)证明：设 g(x)＝xex＋1，则 g′(x)＝(x＋1)ex.
当 x∈(－∞，－1)时，g′(x)＜0，g(x)单调递减；
当 x∈(－1，＋∞)时，g′(x)＞0，g(x)单调递增．
所以 g(x)≥g(－1)＝1－e－1＞0.
又 ex＞0，故 f(x)＞0.
f′(x)＝ex(1－ex)
(xex＋1)2.
当 x∈(－∞，0)时，f′(x)＞0，f(x)单调递增；
当 x∈(0，＋∞)时，f′(x)＜0，f(x)单调递减．
所以 f(x)≤f(0)＝1.
综上，有 0＜f(x)≤1.
(2)①若 a＝0，则 x>0 时，f(x)＜1＝ 1
ax2＋1，不等式不成立．
②若 a＜0，则当 0＜x＜ 1
－a
时， 1
ax2＋1＞1，不等式不成立．
③若 a＞0，
则 f(x)＞ 1
ax2＋1等价于(ax2－x＋1)ex－1＞0.(*)
设 h(x)＝(ax2－x＋1)ex－1，
则 h′(x)＝x(ax＋2a－1)ex.
若 a≥1
2，则当 x∈(0，＋∞)时，h′(x)>0，h(x)单调递增，h(x)>h(0)＝0.
若 0b>0)的焦距为 2c，以点 O 为圆心，a
为 半 径 作 圆 M. 若 过 点 P (
a2
c ，0)作 圆 M 的 两 条 切 线 互 相 垂 直 ， 则 该 椭 圆 的 离 心 率 为
________．
解析：设切点为 A，如图所示，切线 AP，PB 互相垂直，又半径 OA 垂
直于 AP，所以△OPA 为等腰直角三角形，可得 2a＝a2
c ，所以 e＝c
a＝
2
2 .
答案： 2
2
10．已知函数 f(x)＝x 2 －2x，x∈[a，b]的值域为[－1,3]，则 b－a 的取值范围是
________．
AB AC CD BC AE AD
AB AE AC
AE AD AB
AE AC AF AG AF
AB CG AG CG AC
解析：作出函数 f(x)＝x2－2x 的图象如图所示，因为 f(x)的值域为[－1,3]，所以①a＝－
1，b∈[1,3]，此时 b－a∈[2,4]；②b＝3，a∈[－1,1]，此时 b－a∈[2,4]．综上所述，b－a 的
取值范围是[2,4]．
答案：[2,4]
三、解答题
11．求 y＝1＋sin x
3＋cos x的值域．
解：1＋sin x
3＋cos x可理解为点 P(－cos x，－sin x)与点 C(3,1)连线的斜率，
点 P(－cos x，－sin x)在单位圆上，如图所示．
故 t＝ 1＋sin x
3＋cos x满足 kCA≤t≤kCB，设过点 C(3,1)的直线方程为 y－1＝
k(x－3)，即 kx－y＋1－3k＝0.
由原点到直线的距离不大于半径 1，得|1－3k|
k2＋1
≤1，解得 0≤k≤3
4.从而值域为[0，3
4 ].
12．某校高一(1)班的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的污
损，可见部分如下图．
(1)求分数在[50,60)的频率及全班人数；
(2)求分数在[80,90)之间的频率，并计算频率分布直方图中[80,90)间矩形的高；
(3)若要从分数在[80,100]之间的试卷中任取两份分析学生失分情况，求在抽取的试卷中，
至少有一份分数在[90,100]之间的概率．
解：(1)分数在[50,60)的频率为 0.008×10＝0.08，由茎叶图知：分数在[50,60)之间的频数
为 2，所以全班人数为 2
0.08＝25.
(2)分数在[80,90)之间的频数为 25－22＝3；频率分布直方图中[80,90)间的矩形的高为 3
25
÷10＝0.012.
(3)将[80,90)之间的 3 个分数编号为 a1，a2，a3，[90,100]之间的 2 个分数编号为 b1，b2，
在[80,100]之间的试卷中任取两份的基本事件为：
(a1，a2)，(a1，a3)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a2，a3)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a3，b1)，(a3，b2)，
(b1，b2)，共 10 个，其中，至少有一个在[90,100]之间的基本事件有 7 个，
故至少有一份分数在[90,100]之间的概率是 7
10＝0.7.
多题一法专项训练(一) 配方法
方法概述 适用题型
配方法是对数学式子进行一种
定向变形(配成“完全平方”的技
巧)，通过配方找到已知和未知的联
系从而化繁为简．何时配方，需要
我们适当预测，并且合理运用“裂
项”与“添项”，“配”与“凑”的
技巧，从而完成配方.
在高考中配方法常适用的类型有以下几种：
(1)二次函数的最值问题；
(2)同角三角函数基本关系式中平方关系；
(3)平面向量的数量积的应用；
(4)余弦定理；
(5)圆的方程；
(6)等比数列的性质.
一、选择题
1．在正项等比数列{an}中，a1·a5＋2a3·a5＋a3·a7＝25，则 a3＋a5 为( )
A．5 B．25
C．15 D．10
解析：选 A ∵a1a5＝a23，a3a7＝a25，
∴a23＋2a3·a5＋a25＝25.即(a3＋a5)2＝25.
又 an>0，∴a3＋a5＝5.
2.已知菱形 ABCD 的边长为2 3
3 ，∠ABC＝60°，将菱形 ABCD 沿对
角线 AC 折成如图所示的四面体，点 M 为 AC 的中点，∠BMD＝60°，P 在
线段 DM 上，记 DP＝x，PA＋PB＝y，则函数 y＝f(x)的图象大致为( )
解析：选 D 由题意可知 AM＝1
2AB＝ 3
3 ，BM＝MD＝1，∵DP＝x，∴MP＝1－x，在 Rt
△ AMP 中 ， PA ＝ AM2＋MP2＝ 1
3＋(1－x)2， 在 △ BMP 中 ， 由 余 弦 定 理 得 PB ＝
BM2＋MP2－2BM·MPcos 60°＝ 1＋(1－x)2－(1－x)＝ x2－x＋1， ∴ y ＝ PA ＋ PB ＝
1
3＋(x－1)2＋ x2－x＋1＝ 1
3＋(x－1)2＋ 3
4＋(x－1
2 )2(0≤x≤1)，∵当 0≤x≤1
2时，函数 y 单
调递减，当 x≥1 时，函数 y 单调递增，∴对应的图象为 D.
3．定义域为 R 的函数 f(x)满足 f(x＋1)＝2f(x)，且当 x∈(0,1]时，f(x)＝x2－x，则当 x∈(－
1,0]时，f(x)的值域为( )
A.[－1
8，0] B.[－1
4，0]
C.[－1
8，－1
4] D.[0，1
4 ]解析：选 A 若 x∈(－1,0]，则 x＋1∈(0,1]，所以 f(x＋1)＝(x＋1)2－(x＋1)＝x2＋x.又 f(x
＋1)＝2f(x)，所以 f(x)＝1
2(x2＋x)＝1
2(x＋1
2 )2－1
8，所以当 x＝－1
2时，f(x)min ＝－1
8；当 x＝0 时，
f(x)max ＝0.
4．设函数 f(x)＝Error!若对任意给定的 y∈(2，＋∞)，都存在唯一的 x0∈R，满足 f(f(x0))
＝2a2y2＋ay，则正实数 a 的最小值是( )
A.1
4 B.1
2
C．2 D．4
解析：选 A 当 x≤0 时，f(x)＝2x，值域为(0,1]，所以 f(f(x))＝log22x ＝x；当 0＜x≤1 时，
f(x)＝log2x，值域为(－∞，0]，所以 f(f(x))＝2log2x＝x；当 x＞1 时，f(x)＝log2x，值域为(0，＋
∞)，所以 f(f(x))＝log2 (log2x)，故 f(f(x))＝Error!当 x≤1 时，f(f(x))的值域为(－∞，1]；当 x＞
1 时，f(f(x))的值域为 R，因为 a＞0，令 g(y)＝2a2y2＋ay＝2a2
(y＋ 1
4a)2－1
8，对称轴 y＝－ 1
4a＜
0＜2，所以 g(y)在(2，＋∞)上是增函数，则 g(y)在(2，＋∞)上的值域为(g(2)，＋∞)，即(8a2
＋2a，＋∞)，则 8a2＋2a≥1，解得 a≥1
4，所以正实数 a 的最小值是1
4.故选 A.
5．数列{an}中，如果存在 ak，使得 ak＞ak－1 且 ak＞ak＋1 成立(其中 k≥2，k∈N*)，则称 ak
为数列{an}的峰值．若 an＝－3n2＋15n－18，则{an}的峰值为( )
A．0 B．4
C.13
3 D.16
3
解析：选 A 因为 an＝－3(n－5
2 )2＋3
4，且 n∈N*，所以当 n＝2 或 n＝3 时，an 取最大值，
最大值为 a2＝a3＝0.故选 A.
6．已知 sin4α＋cos4α＝1，则 sin α＋cos α 的值为( )
A．1 B．－1
C．1 或－1 D．0
解析：选 C ∵sin4α＋cos4α＝1，
∴(sin2α＋cos2α)2－2sin2αcos2α＝1.
∴sin αcos α＝0.
又(sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α＝1，
∴sin α＋cos α＝±1.
二、填空题
7．(2015·合肥一模)若二次函数 f(x)＝－x2＋4x＋t 图象的顶点在 x 轴上，则 t＝________.
解析：由于 f(x)＝－x2＋4x＋t＝－(x－2)2＋t＋4 图象的顶点在 x 轴上，所以 f(2)＝t＋4＝
0，故 t＝－4.
答案：－4
8．已知函数 f(x)＝－x2＋ax＋b2－b＋1(a∈R，b∈R)，对任意实数 x 都有 f(1－x)＝f(1＋x)
成立，若当 x∈[－1,1]时，f(x)＞0 恒成立，则 b 的取值范围是________________．
解析：由于对任意实数 x 都有 f(1－x)＝f(1＋x)成立，则 f(x)的对称轴为 x＝1，所以 a＝
2，f(x)＝－x2＋2x＋b2－b＋1＝－(x－1)2＋b2－b＋2，则 f(x)在区间[－1,1]上单调递增，当 x∈
[－1,1]时，要使 f(x)＞0 恒成立，只需 f(－1)＞0，即 b2－b－2＞0，则 b＜－1 或 b＞2.
答案：(－∞，－1)∪(2，＋∞)
9．在等比数列{an}中，a1＝512，公比 q＝－ 1
2，用 Tn 表示它的前 n 项之积，即 Tn＝
a1·a2·…·a n，则 T1，T2，…，Tn 中最大的是________．
解析：由题意知 an＝a1qn－1＝29·(－1
2 )n－1＝(－1)n－1·210－n，所以 Tn＝a1·a2·…·a n＝(－1)0
＋1＋2＋…＋(n－1) ·29＋8＋…＋(10－n) ＝(－1)n(n－1)
2 ·2
(19－n)n
2 ，因为
(19－n)n
2 ＝－1
2(n2－19n)＝－1
2
(n－19
2 )2＋192
8 ，n∈N*，所以当 n＝9 或 10 时，
(19－n)n
2 取得最大值，要使 Tn 最大，则需(－1)
n(n－1)
2 ＞0，所以 n＝9 时，Tn 最大．
答案：T9
10．在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知向量 ＝(2,2)， ＝(4,1)，在 x 轴上
取一点 P，使 · 有最小值，则 P 点的坐标是________．
解析：设 P 点坐标为(x,0)，
则 ＝(x－2，－2)， ＝(x－4，－1)．
· ＝(x－2)(x－4)＋(－2)×(－1)
＝x2－6x＋10＝(x－3)2＋1.
当 x＝3 时， · 有最小值 1.
∴此时点 P 坐标为(3,0)．
答案：(3,0)
三、解答题
11.过点 P(－2,1)作两条斜率互为相反数的直线，分别与抛物线 x 2
＝4y 交于 A，B 两点，若直线 AB 与圆 C：x2＋(y－1)2＝1 交于不同两点
M，N，求|MN|的最大值．
解：设直线 PA 的斜率为 k，A(xA，yA)，则直线 PA 的方程为 y－1＝
k(x＋2)，由Error!得 x2－4kx－8k－4＝0，所以 xA－2＝4k，则 xA＝4k＋2，
所以点 A(4k＋2，(2k＋1)2)，同理可得 B(－4k＋2，(－2k＋1) 2)，所以直线 AB 的斜率 kAB＝
(2k＋1)2－(－2k＋1)2
4k＋2－(－4k＋2) ＝1，设直线 AB 的方程为 y＝x＋b，由Error!得 2x2＋2(b－1)x＋b2－2b＝
0 ， 由 于 AB 与 圆 C 交 于 不 同 的 两 点 ， 所 以 Δ ＞ 0 ， 即 1 － 2＜ b ＜ 2＋ 1. 则 |MN| ＝
2· (b－1)2－2(b2－2b)＝ 2· －b2＋2b＋1＝ 2· －(b－1)2＋2≤2，故|MN|的最大值是 2.
12．(2015·湖北三校联考)已知△ABC 的三内角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c，向量
m＝(sin B,1－cos B)与向量 n＝(2,0)的夹角 θ 的余弦值为1
2.
(1)求角 B 的大小；
(2)若 b＝ 3，求 a＋c 的范围．
解：(1)∵m＝(sin B,1－cos B)，n＝(2,0)，
∴m·n＝2sin B，
又|m|＝ sin2B＋(1－cos B)2＝ 2－2cos B
＝2|sin B
2 |，
∵0＜B＜π，∴0＜B
2＜π
2，
∴sin B
2＞0，∴|m|＝2sin B
2.
OA OB
AP BP
AP BP
AP BP
AP BP
而|n|＝2，
∴cos θ＝ m·n
|m||n|＝2sin B
4sin B
2
＝cos B
2＝1
2，
∴B
2＝π
3，∴B＝2π
3 .
(2)由余弦定理，
得 b2＝a2＋c2－2accos 2π
3 ＝a2＋c2＋ac＝(a＋c)2－ac
≥(a＋c)2－(
a＋c
2 )2＝3
4(a＋c)2，
当且仅当 a＝c 时取等号，
∴(a＋c)2≤4，a＋c≤2，又 a＋c＞b＝ 3，
∴a＋c∈( 3，2]．
多题一法专项训练(二) 换元法
方法概述 适用题型
换元法又称辅助元素法、变
量代换法．通过引进新的变量，
可以把分散的条件联系起来，隐
含的条件显露出来；或者把条件
与结论联系起来；或者变为熟悉
的形式，把复杂的计算和推证简
化.
换元的常见方法有：局部换元、三角换元等，在高考
中换元法常适用以下几种类型：
(1)复合二次函数的最值问题(局部换元)；
(2)分式型函数利用均值不等式求最值问题(局部换元)；
(3)解析几何中涉及最值问题(局部换元)；
(4)求函数的值域问题(三角换元).
一、选择题
1．若 f(ln x)＝3x＋4，则 f(x)的表达式为( )
A．f(x)＝3ln x B．f(x)＝3ln x＋4
C．f(x)＝3ex D．f(x)＝3ex＋4
解析：选 D 令 ln x＝t，则 x＝et，故 f(t)＝3et＋4，
得 f(x)＝3ex＋4，故选 D.
2．函数 y＝sin xcos x＋sin x＋cos x 的最大值为( )
A.1
2＋ 2 B. 2－1
2
C．2 2 D.
2
2
解析：选 A 令 t＝sin x＋cos x，t∈[－ 2， 2]，
则 y＝1
2t2＋t－1
2＝1
2(t＋1)2－1，
t＝ 2时，ymax＝1
2＋ 2.
3．已知函数 f(x)＝4x－2xt＋t＋1 在区间(0，＋∞)上的图象恒在 x 轴上方，则实数 t 的取
值范围是( )
A．(2＋2 2，＋∞) B．(－∞，2＋2 2)
C．(0,2＋2 2) D．(2＋2 2，8)
解析：选 B 令 m＝2x(m>1)，则问题转化为函数 f(m)＝m2－mt＋t＋1 在区间(1，＋∞)上
的图象恒在 x 轴的上方，即 Δ＝t2－4(t＋1)<0 或Error!解得 t<2＋2 2.即实数 t 的取值范围是
(－∞，2＋2 2)．
4．函数 y＝3 x＋2－4 2－x的最小值为( )
A．－8 B．8
C．－10 D．10
解析：选 A 由Error!解得－2≤x≤2，所以函数的定义域为[－2,2]．
因为( x＋2)2＋( 2－x)2＝4，
故可设Error!(θ ∈ [0，π
2 ])则 y ＝ 3×2sin θ － 4×2cos θ ＝ 6sin θ － 8cos θ ＝ 10sin(θ － φ)
(其中φ ∈ (0，π
2 )，cos φ＝3
5，sin φ＝4
5).
因为 θ∈0，π
2，所以 θ－φ∈[－φ，π
2－φ].
所以当 θ＝0 时，函数取得最小值 10sin(－φ)＝10×(－4
5 )＝－8.
5．(2015·天津六校联考)对于函数 f(x)＝4x－m·2x＋1，若存在实数 x0，使得 f(－x0)＝－f(x0)
成立，则实数 m 的取值范围是( )
A.(－∞，1
2] B.[
1
2，＋∞)C．(－∞，1] D．[1，＋∞)
解析：选 B 若存在实数 x0，使得 f(－x0)＝－f(x0)成立，即 4－x0－m·2－x0＋1＝－4x0＋
m·2x0＋1，所以 1
4x0＋4x0＝2m(
1
2x0＋2x0
)，令 t＝2x0(t＞0)，则1
t2＋t2＝2m(
1
t＋t )，令 λ＝1
t＋t(λ≥2)，
所以 2m＝λ－2
λ，令 g(λ)＝λ－2
λ(λ≥2)，易知 g(λ)在区间[2，＋∞)上单调递增，所以 2m≥2－2
2
＝1，故 m≥1
2.故选 B.
6．已知向量 a＝(λ＋2，λ 2－cos2α)，b＝(m，m
2＋sin α)，其中 λ，m，α 为实数．若 a＝
2b，则λ
m的取值范围是( )
A．[－6,1] B．[4,8]
C．(－6,1] D．[－1,6]
解析：选 A 由题知，2b＝(2m，m＋2sin α)，所以 λ＋2＝2m，且 λ2－cos2α＝m＋2sin α，
于是 2λ2－2cos2α＝λ＋2＋4sin α，即 2λ2－λ＝－2sin2α＋4sin α＋4＝－2(sin α－1)2＋6，
故－2≤2λ2－λ≤6，即Error!解得－3
2≤λ≤2，
则λ
m＝ λ
λ
2＋1
＝2－ 4
λ＋2∈[－6,1]．选 A.
二、填空题
7．已知不等式 x>ax＋3
2的解集是(4，b)，则 a＝________，b＝________.
解析：令 x＝t，
则 t>at2＋3
2，即 at2－t＋3
2<0.
其解集为(2， b)，故Error!解得 a＝1
8，b＝36.
答案：1
8 36
8．(2015·苏锡常镇二调)已知 a 为正的常数，若不等式 1＋x≥1＋x
2－x2
a对一切非负实数 x
恒成立，则 a 的最大值为________．
解析：原不等式即x2
a≥1＋x
2－ 1＋x(*)，令 1＋x＝t，t≥1，则 x＝t2－1，所以(*)即
(t2－1)2
a
≥1＋t2－1
2 －t＝t2－2t＋1
2 ＝
(t－1)2
2 对 t≥1 恒成立，所以
(t＋1)2
a ≥1
2对 t≥1 恒成立，又 a 为正的
常数，所以 a≤[2(t＋1)2]min＝8，故 a 的最大值是 8.
答案：8
9．若实数 a，b，c 满足 2a＋2b＝2a＋b,2a＋2b＋2c＝2a＋b＋c，则 c 的最大值是________．
解析：由基本不等式得，2 a＋2b≥2 2a·2b＝2×2a＋b
2 ，即 2a＋b ≥2×2a＋b
2 ，所以 2a＋
b≥4.令 t＝2a＋b，由 2a＋2b＝2a＋b，2a＋2b＋2c＝2a＋b＋c 可得，2a＋b＋2c＝2a＋b2c，所以 2c＝ t
t－1
＝1＋ 1
t－1，由 t≥4 得，1＜ t
t－1≤4
3，即 1＜2c≤4
3，所以 0＜c≤log2
4
3＝2－log23，所以 c 的最
大值是 2－log23.
答案：2－log23
10.如图，半径为 2 的半圆有一内接梯形 ABCD，它的下底 AB 为圆 O
的直径，上底 CD 的端点在圆周上，若双曲线以 A，B 为焦点，且过 C，D
两点，则当梯形 ABCD 的周长最大时，双曲线的实轴长为________．
解析：连接 OD，DB，作 DH⊥AB，设∠AOD＝θ，θ∈(0，π
2 )，则 CD＝4cos θ，在△AOD
中，由余弦定理可得 AD＝ 8－8cos θ，所以梯形的周长为 l＝2 8－8cos θ＋4cos θ＋4＝
4 2· 1－cos θ＋4cos θ＋4，令 1－cos θ＝t∈(0,1)，则 cos θ＝1－t2，l＝4 2t＋4(1－t2)＋4＝
4(－t2＋ 2t＋2)，当 t＝ 2
2 ，即 cos θ＝1
2时周长取得最大值，此时 AD＝2，DB＝2 3，所以实
轴长为 DB－DA＝2 3－2.
答案：2 3－2
三、解答题
11．已知函数 y＝－sin2x＋asin x－a
4＋1
2的最大值为 2，求 a 的值．
解：令 t＝sin x，t∈[－1,1]，
所以 y＝－(t－a
2 )2＋1
4(a2－a＋2)，对称轴为 t＝a
2.
(1)当－1≤a
2≤1，即－2≤a≤2 时，ymax＝1
4(a2－a＋2)＝2，得 a＝－2 或 a＝3(舍去)．
(2)当a
2>1，即 a>2 时，函数 y＝－(t－a
2 )2＋1
4(a2－a＋2)在[－1,1]上单调递增，
所以由 ymax＝－1＋a－1
4a＋1
2＝2，得 a＝10
3 .
(3)当a
2<－1，即 a<－2 时，函数 y＝－(t－a
2 )2＋1
4(a2－a＋2)在[－1,1]上单调递减，
所以由 ymax＝－1－a－1
4a＋1
2＝2，得 a＝－2(舍去)．
综上，可得 a＝－2 或 a＝10
3 .
12．(2015·济南期末)已知函数 f(x)＝4x＋m
2x 是 R 上的奇函数．
(1)求 m 的值；
(2)设 g(x)＝2 x＋1 －a.若函数 f(x)与 g(x)的图象至少有一个公共点．求实数 a 的取值范
围．
解：(1)由函数 f(x)是 R 上的奇函数可知，f(0)＝1＋m＝0，解得 m＝－1.
(2)函数 f(x)与 g(x)的图象至少有一个公共点．
即方程4x－1
2x ＝2x＋1－a 至少有一个实根，
方程 4x－a·2x＋1＝0 至少有一个实根．
令 t＝2x＞0，则方程 t2－at＋1＝0 至少有一个正根．
令 h(t)＝t2－at＋1，由于 h(0)＝1＞0，
所以只需Error!解得 a≥2.
所以实数 a 的取值范围为[2，＋∞)．
多题一法专项训练(三) 待定系数法
方法概述 适用题型
要确定变量间的函数关系，设出某
些未知系数，然后根据所给条件来确定
这些未知系数的方法叫待定系数法．其
理论依据是多项式恒等，也就是利用了
多项式 f(x)＝g(x)的充要条件是：对于
一个任意的 a 值，都有 f(a)＝g(a)；或
者两个多项式各同类项的系数对应相
等.
在高考中待定系数法应用广泛，常见的类型有
以下几种：
(1)函数解析式的求法；
(2)圆的方程的求法；
(3)圆锥曲线方程的求法；
(4)等差、等比数列的基本运算；
(5)已知三角函数性质求参数；
(6)二项式定理中求参数问题.
一、选择题
1．(2014·山东高考)已知向量 a＝(1， 3)，b＝(3，m)．若向量 a，b 的夹角为 π
6，则实
数 m＝( )
A．2 3 B. 3
C．0 D．－ 3
解析：选 B 根据平面向量的夹角公式可得 1 × 3＋ 3m
2 × 9＋m2＝ 3
2 ，即 3＋ 3m＝ 3×
9＋m2，两边平方并化简得 6 3m＝18，解得 m＝ 3，经检验符合题意.
2．在等差数列{an}中，a1＋a5＝8，a4＝7，则 a5＝( )
A．11 B．10
C．7 D．3
解析：选 B 设数列{an}的公差为 d，则有Error!解得Error!所以 a5＝－2＋4×3＝10.故
选 B.
3．如果函数 f(x)＝logax(a＞1)在区间[a,2a]上的最大值是最小值的 3 倍，那么实数 a 的值
为( )
A. 2 B. 3
C．2 D．3
解析：选 A ∵a＞1，
∴函数 f(x)在[a,2a]上单调递增．
∴loga2a＝3logaa.
∴a3＝2a.
∴a＝ 2.
4．(2014·浙江高考)已知圆 x2＋y2＋2x－2y＋a＝0 截直线 x＋y＋2＝0 所得弦的长度为 4，
则实数 a 的值是( )
A．－2 B．－4
C．－6 D．－8
解析：选 B 圆的标准方程为(x＋1)2＋(y－1)2＝2－a，圆心 C(－1,1)，半径 r 满足 r2＝2－
a，则圆心 C 到直线 x＋y＋2＝0 的距离 d＝ 2
1＋1
＝ 2，所以 r2＝4＋2＝2－a⇒a＝－4.
5.(2015·大同调研)函数 f(x)＝Asin(2x＋φ)(A＞0，φ∈R)的部分图象
如图所示，则 f(0)＝( )
A．1 B．－1
C.1
2 D．－1
2
解析：选 B 由题图可知，A＝2，f(
π
3 )＝2，所以 2sin(2 × π
3＋φ)＝2，即 sin(
2π
3 ＋φ)
＝1，所以2π
3 ＋φ＝π
2＋2kπ(k∈Z)，φ＝－π
6＋2kπ(k∈Z)，所以 f(0)＝2sin φ＝2sin(－π
6＋2kπ)＝2×
(－1
2 )＝－1.
6．(2014·北京高考)加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食
用率”．在特定条件下，可食用率 p 与加工时间 t(单位：分钟)满足函数关系 p＝at2＋bt＋c
(a，b，c 是常数)，如图记录了三次实验的数据．根据上述函数模型和实验数据，可以得到最
佳加工时间为( )
A．3.50 分钟 B．3.75 分钟
C．4.00 分钟 D．4.25 分钟
解析：选 B 由实验数据和函数模型知，二次函数 p＝at 2＋bt＋c 的图象过点(3,0.7)，
(4,0.8)，(5,0.5)，分别代入解析式，得Error!解得Error!所以 p＝－0.2t 2＋1.5t－2＝－0.2(t－
3.75)2＋0.812 5，所以当 t＝3.75 分钟时，可食用率 p 最大．故选 B.
二、填空题
7．已知椭圆x2
a2＋y2
b2＝1(a＞b＞0)的离心率为 3
3 ，若以原点为圆心、椭圆短半轴长为半径
的圆与直线 y＝x＋2 相切，则椭圆的标准方程为________．
解析：由以原点为圆心、椭圆短半轴长为半径的圆与直线 y＝x＋2 相切，得 b＝ 2
2
＝
2.又离心率为 3
3 ，所以 a2＝3c2＝3(a2－2)，得 a＝ 3，故椭圆的标准方程为x2
3＋y2
2＝1.
答案：x2
3＋y2
2＝1
8.已知向量 a，b，c 在正方形网格中的位置如图所示，若 c＝λa＋
μb(λ，μ∈R)，则 λ
μ＝________.
解析：以向量 a 和 b 的交点为原点，水平方向和竖直方向分别为
x 轴和 y 轴建立直角坐标系，则 a＝(－1,1)，b＝(6,2)，c＝(－1，－3)，则Error!解得Error!，
所以λ
μ＝4.
答案：4
9．设 a 是实数，且 a
1＋i＋1－i
2 是实数，则 a＝________.
解析：由 a
1＋i＋1－i
2 ＝a(1－i)＋1－i
2 ＝
(a＋1)－i(a＋1)
2 是实数，得 a＋1＝0，a＝－1.
答案：－1
10．(2014·山东高考)已知双曲线 x2
a2－y2
b2＝1(a>0，b>0)的焦距为 2c，右顶点为 A，抛物
线 x2＝2py(p>0)的焦点为 F.若双曲线截抛物线的准线所得线段长为 2c，且|FA|＝c，则双曲线
的渐近线方程为________．
解析：抛物线 x2＝2py 的准线方程为 y＝－p
2，与双曲线的方程联立得 x2＝a2
(1＋ p2
4b2)，
根据已知得 a2
(1＋ p2
4b2)＝c2. ①
由|AF|＝c，得p2
4 ＋a2＝c2. ②
由①②可得 a2＝b2，即 a＝b，所以所求双曲线的渐近线方程是 y＝±x.
答案：y＝±x
三、解答题
11．(2014·江西高考)已知函数 f(x)＝(a＋2cos2x)·cos(2x＋θ)为奇函数，且 f(
π
4 )＝0，其
中 a∈R，θ∈(0，π)．
(1)求 a，θ 的值；
(2)若 f(
α
4 )＝－2
5，α∈(
π
2，π )，求 sin (α＋π
3 )的值．
解：(1)因为 f(x)＝(a＋2cos2x)cos(2x＋θ)是奇函数，而 y1＝a＋2cos2x 为偶函数，所以 y2＝
cos(2x＋θ)为奇函数，又 θ∈(0，π)，得 θ＝π
2，所以 f(x)＝－sin 2x·(a＋2cos2x)，
由 f(
π
4 )＝0 得－(a＋1)＝0，即 a＝－1.
(2)由(1)得，f(x)＝－1
2sin 4x，
因为 f(
α
4 )＝－1
2sin α＝－2
5，即 sin α＝4
5，
又 α∈(
π
2，π )，从而 cos α＝－3
5，
所以有 sin(α＋π
3 )＝sin αcosπ
3＋cos αsinπ
3＝4－3 3
10 .
12．函数 f(x)＝aex(x＋1)(其中 e＝2.718 28…)，g(x)＝x 2＋bx＋2，已知它们在 x＝0 处有
相同的切线．
(1)求函数 f(x)，g(x)的解析式；
(2)求函数 f(x)在[t，t＋1](t＞－3)上的最小值；
(3)判断函数 F(x)＝2f(x)－g(x)＋2 的零点个数．
解：(1)f′(x)＝aex(x＋2)，g′(x)＝2x＋b.
由题意，两函数在 x＝0 处有相同的切线，
∴f′(0)＝2a，g′(0)＝b.
∴2a＝b，f(0)＝a＝g(0)＝2，∴a＝2，b＝4.
∴f(x)＝2ex(x＋1)，g(x)＝x2＋4x＋2.
(2)由(1)得 f′(x)＝2ex(x＋2)．
由 f′(x)＞0 得 x＞－2，由 f′(x)＜0 得 x＜－2，
∴f(x)在(－2，＋∞)上单调递增，在(－∞，－2)上单调递减．
∵t＞－3，∴t＋1＞－2.
当－3＜t＜－2 时，f(x)在[t，－2]上单调递减，[－2，t＋1]上单调递增，
∴f(x)min＝f(－2)＝－2e－2.
当 t≥－2 时，f(x)在[t，t＋1]上单调递增，
∴f(x)min＝f(t)＝2et(t＋1)．
综上所述，当－3＜t＜－2 时，f(x)min＝－2e－2；
当 t≥－2 时，f(x)min＝2et(t＋1)．
(3)由(1)得 F(x)＝4ex(x＋1)－x2－4x.
则 F′(x)＝4ex(x＋1)＋4ex－2x－4＝2(x＋2)(2ex－1)，
由 F′(x)＞0 得 x＞－ln 2 或 x＜－2，
由 F′(x)＜0 得－2＜x＜－ln 2，
所以 F(x)在(－∞，－2)，(－ln 2，＋∞)上单调递增，在(－2，－ln 2)上单调递减，
故 F(x)极小值＝F(－ln 2)＝2＋2ln 2－(ln 2)2＝2＋ln 2(2－ln 2)＞0，
F(－4)＝4e－4×(－4＋1)－16＋16＝－12e－4<0，
故函数 F(x)＝2f(x)－g(x)＋2 只有一个零点．
多题一法专项训练(四) 构造法
方法概述 适用题型
构造法就是通过对式子或图形，通过转
化、构造为熟悉的数学模型后，将抽象问题
更加具体化、易解化，其实质体现了化归与
转化思想，在高考中，构造法主要应用于立
体几何、函数与方程、导数、数列等方面，
多以解答题出现.
常见的知识类型有以下几种：
(1)函数与方程中零点的判断；
(2)立体几何中线面位置关系的判断；
(3)递推关系求通项问题；
(4)利用导数构造函数证明不等式或解决
不等式恒成立问题.
一、选择题
1．(2015·长春调研)在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝3an＋2，则数列{an}的通项公式为 an＝
( )
A．2×3n－1－1 B．3n－1
C．3n－2 D．2n－1
解析：选 A 由 an＋1＝3an＋2 得 an＋1＋1＝3(an＋1)，
∴an＋1＋1
an＋1 ＝3，当 n＝1 时，a1＋1＝2，∴{an＋1}是首项为 2，公比为 3 的等比数列，∴
an＋1＝2×3n－1，an＝2×3n－1－1.
2．(2015·威海一模)已知 a＞1，设函数 f(x)＝ax＋x－4 的零点为 m，g(x)＝logax＋x－4 的
零点为 n，则 mn 的最大值为( )
A．8 B．4
C．2 D．1
解析：选 B 令 f(x)＝0，g(x)＝0，得 ax＝4－x，logax＝4－x，因为 y＝ax 与 y＝logax 的
图象关于直线 y＝x 对称，所以 m，n 关于两直线 y＝x 和 y＝4－x 交点的横坐标对称，则 m＋
n＝4，所以 mn≤(
m＋n
2 )2＝4.
3．设 l 为直线，α，β 是两个不同的平面．下列命题中正确的是( )
A．若 l∥α，l∥β，则 α∥β
B．若 l⊥α，l⊥β，则 α∥β
C．若 l⊥α，l∥β，则 α∥β
D．若 α⊥β，l∥α，则 l⊥β
解析：选 B 画出一个长方体 ABCDA1B1C1D1.对于 A，C 1D1∥平
面 ABB1A1，C1D1∥平面 ABCD ，但平面 ABB1A1 与平面 ABCD 相交；
对于 C，BB1 ⊥平面 ABCD，BB1∥平面 ADD1A1，但平面 ABCD 与平面
ADD1A1 相交；对于 D，平面 ABB1A1⊥平面 ABCD，CD∥平面 ABB1A1，但 CD⊂平面 ABCD.
4．已知函数 f(x)的定义域是 R，f(0)＝2，对任意的 x∈R，f(x)＋f′(x)＞1 恒成立，则不
等式 ex·f(x)＞ex＋1 的解集为( )
A．(0，＋∞) B．(－∞，0)
C．(－1，＋∞) D．(2，＋∞)
解析：选 A 构造函数 g(x)＝ex·f(x)－ex，因为 g′(x)＝ex·f(x)＋ex·f′(x)－ex＝ex[f(x)＋f′(x)]
－ex＞ex－ex＝0，所以 g(x)＝ex·f(x)－ex 为 R 上的增函数．又 g(0)＝e0·f(0)－e0＝1，所以原不
等式转化为 g(x)＞g(0)，得 x＞0.
5．方程|x|＝cos x 在(－∞，＋∞)内( )
A．没有根 B．有且仅有一个根
C．有且仅有两个根 D．有无穷多个根
解析：选 C 求解方程|x|＝cos x 在(－∞，＋∞)内根的个数问题，
可转化为求解函数 f(x)＝|x|和 g(x)＝cos x 在(－∞，＋∞)内的交点个数问题．由 f(x)＝|x|和 g(x)＝
cos x 的图象易知有两交点，即原方程有且仅有两个根．
6．(2015·怀化二模)设定义域为(0，＋∞)的单调函数 f(x)对任意的 x∈(0，＋∞)，都有 f[f(x)
－log2x]＝3，若 x0 是方程 f(x)－f′(x)＝2 的一个解，则 x0 存在的区间是( )
A．(0,1) B．(1,2)
C．(2,3) D．(3,4)
解析：选 B 设 f(x)－log2x＝t(t＞0)，则 f(t)＝3，f(x)＝log2x＋t，所以 log2t＋t＝3，易知
方程 log2t＋t＝3 有唯一解 t＝2，所以 f(x)＝log2x＋2，f′(x)＝ 1
xln 2，令 g(x)＝f(x)－f′(x)－2，
则 g(x)＝log2x－ 1
xln 2，易知函数 g(x)在区间(0，＋∞)上单调递增，因为 g(1)＝－ 1
ln 2＜0，g(2)
＝ln 4－1
2ln 2 ＞0，所以 x0 存在的区间是(1,2)．故选 B.
二、填空题
7．已知 f(x)是定义在 R 上不恒为零的函数，对于任意的 x，y∈R，都有 f(xy)＝xf(y)＋yf(x)
成立．数列{an}满足 an＝f(2n)(n∈N*)，且 a1＝2，则数列{an}的通项公式 an＝________.
解析：由题意知，an＋1＝f(2n＋1)＝2f(2n)＋2nf(2)＝2an＋2n＋1，则an＋1
2n＋1＝an
2n＋1，所以{
an
2n }
是首项为 1，公差为 1 的等差数列，所以an
2n＝n，an＝n·2n.
答案：n·2n
8．若 a1x≤sin x＜a2x 对任意的 x∈(0，π
2 ]都成立，则 a2－a1 的最小值是________．
解析：由题意知 a1≤sin x
x ＜a2 对任意的 x∈(0，π
2 ]都成立．设 k＝sin x－0
x－0 ，则 k 为函数 f(x)
＝sin x，x∈(0，π
2 ]上任意一点与原点连线的斜率，又 f′(x)＝cos x，f′(0)＝1，所以2
π≤sin x
x
＜1，所以 a2－a1 的最小值是 1－2
π.
答案：1－2
π
9．(2015·金华十校联考)已知函数 f(x)＝x(ln x－ax)有两个极值点，则实数 a 的取值范围
是________．
解析：f′(x)＝(ln x－ax)＋x(
1
x－a )＝ln x＋1－2ax，令 f′(x)＝0，
得 2a＝ln x＋1
x .设 φ(x)＝ln x＋1
x ，则 φ′(x)＝－ln x
x2 ，易知 φ(x)在(0,1)
上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，所以 φ(x)max＝φ(1)＝1，则 φ(x)
的大致图象如图所示，若函数 f(x)有两个极值点，则直线 y＝2a 和 y＝φ(x)的图象有两个交
点，所以 0＜2a＜1，得 0＜a＜1
2.
答案：(0，1
2 )
10．(2015·江西八校联考)已知数列{an}，{cn}满足 a1＝1，an＋1＝2an＋1，cn＝ 1
(2n＋1)(2n＋3).
设数列{cn}的前 n 项和为 Tn，若存在 m 使得 Tn＞ 1
am对任意的 n∈N*都成立，则正整数 m 的最
小值为________．
解析：∵an＋1＝2an＋1，∴an＋1＋1＝2(an＋1)，∵a1＝1，a1＋1＝2≠0，∴数列{an＋1}是
首项为 2，公比为 2 的等比数列，∴an＋1＝2×2n－1，∴an＝2n－1，又 cn＝ 1
(2n＋1)(2n＋3)＝1
2
(
1
2n＋1－ 1
2n＋3)，∴T n ＝1
2
1
3－1
5＋1
5－1
7＋…＋ 1
2n＋1－ 1
2n＋3＝1
2(
1
3－ 1
2n＋3)＝ n
3 × (2n＋3)＝
n
6n＋9.则Tn＋1
Tn ＝ n＋1
6n＋15·6n＋9
n ＝6n2＋15n＋9
6n2＋15n ＝1＋ 9
6n2＋15n＞1，又 Tn＞0，∴Tn＜Tn＋1，n∈
N*，即数列{Tn}是递增数列．∴当 n＝1 时，Tn 取得最小值 1
15，要使得 Tn＞ 1
am对任意 n∈N*都
成立，只需 1
15＞ 1
2m－1，由此得 m＞4；正整数 m 的最小值是 5.
答案：5
三、解答题
11.如图，已知抛物线 C：y2＝4x，过点 A(1,2)作抛物线 C 的弦 AP，AQ.
设直线 PQ 过点 T(5，－2)，求以 PQ 为底边的等腰三角形 APQ 的个数．
解：设直线 PQ 的方程为 x＝my＋n，易知当 m＝0 时，△APQ 不满足
题意．当 m≠0 时，∵直线 PQ 过点 T(5，－2)，
∴5＝m·(－2)＋n，∴n＝2m＋5.
∴直线 PQ 的方程为 x＝my＋2m＋5.
设点 P，Q 的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)．
由Error!得 y2－4my－8m－20＝0，
∴y1＋y2＝4m，y1y2＝－8m－20.
∵PQ 的中点坐标为(
x1＋x2
2 ，y1＋y2
2 )，
即(
y21＋y22
8 ，y1＋y2
2 )，
又y21＋y22
8 ＝
(y1＋y2)2－2y1y2
8 ＝2m2＋2m＋5，
∴PQ 的中点坐标为(2m2＋2m＋5,2m)．
由已知得 2m－2
2m2＋2m＋5－1＝－m，即 m3＋m2＋3m－1＝0.
设 g(m)＝m3＋m2＋3m－1，则 g′(m)＝3m2＋2m＋3＞0，
∴g(m)在 R 上是增函数．
又 g(0)＝－1＜0，g(1)＝4＞0，∴g(m)在(0,1)内有一个零点．
∴函数 g(m)在 R 上有且只有一个零点，即方程 m3＋m2＋3m－1＝0 在 R 上有唯一实根，
∴满足条件的等腰三角形有且只有一个．
12．设 f(x)＝ex－1.
(1)当 x>－1 时，证明：f(x)>2x2＋x－1
x＋1 ；
(2)当 a>ln 2－1 且 x>0 时，证明：f(x)>x2－2ax.
证明：(1)当 x>－1 时，要使 f(x)> 2x2＋x－1
x＋1 ，即 ex－1>2x2＋x－1
x＋1 ＝2x－1，当且仅当
ex>2x，即 ex－2x>0 时成立．
令 g(x)＝ex－2x，则 g′(x)＝ex－2.
令 g′(x)＝0，即 ex－2＝0，解得 x＝ln 2.
当 x∈(－1，ln 2]时，g′(x)<0，故函数 g(x)在(－1，ln 2]上单调递减；
当 x∈[ln 2，＋∞)时，g′(x)>0，故函数 g(x)在[ln 2，＋∞)上单调递增．
所以 g(x)在(－1，＋∞)上的最小值为 g(ln 2)＝eln 2－2ln 2＝2(1－ln 2)>0，
所以在(－1，＋∞)上有 g(x)≥g(ln 2)>0，即 ex>2x.
故当 x∈(－1，＋∞)时，有 f(x)>2x2＋x－1
x＋1 .
(2)证明：欲证 f(x)>x2－2ax，即证 ex－1>x2－2ax，也就是证 ex－x2＋2ax－1>0，
可令 u(x)＝ex－x2＋2ax－1，则 u′(x)＝ex－2x＋2a.
令 h(x)＝ex－2x＋2a，则 h′(x)＝ex－2.
当 x∈(－∞，ln 2)时，h′(x)<0，函数 h(x)在(－∞，ln 2)上单调递减；当 x∈(ln 2，＋∞)
时，h′(x)>0，函数 h(x)在(ln 2，＋∞)上单调递增．
所以 h(x)的最小值为
h(ln 2)＝eln 2－2ln 2＋2a＝2－2ln 2＋2a>0.
所以 u′(x)＝h(x)>0，即 u(x)在 R 上为增函数，
故 u(x)在(0，＋∞)上为增函数，所以 u(x)>u(0)．
而 u(0)＝0，所以 u(x)＝ex－x2＋2ax－1>0.
即当 a>ln 2－1 且 x>0 时，f(x)>x2－2ax.
创新问题专项训练(一)
一、选择题
1．设 S 是至少含有两个元素的集合，在 S 上定义一个二元运算“*”(即对任意的 a，b∈S，
对于有序元素对(a，b)，在 S 中有唯一确定的元素 a*b 与之对应)．若对任意的 a，b∈S，有
a*(b*a)＝b，则对任意的 a，b∈S，下列等式中不恒成立的是( )
A．(a*b)*a＝a B．[a*(b*a)]*(a*b)＝a
C．b*(b*b)＝b D．(a*b)*[b*(a*b)]＝b
解析：选 A 根据题意“对任意的 a，b∈S，有 a*(b*a)＝b”，则选项 B 中，[a*(b*a)]*(a*b)
＝b*(a*b)＝a 一定成立；选项 C 中，b*(b*b)＝b 一定成立；选项 D 中(a*b)*[b*(a*b)]＝(a*b)*a
＝b，一定成立，故选 A.
2．在平面直角坐标系 xOy 中，已知向量 a，b，|a|＝|b|＝1，a·b＝0，点 Q 满足 ＝ 2
(a＋b)．曲线 C＝{P| ＝acos θ＋bsin θ，0≤θ<2π}，区域 Ω＝{P|00，1
x2>0，x1
x>0，令 y′>0，
则 1－ln x>0，所以 0
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