2020_2021学年新教材高中数学第二章函数4函数的奇偶性与简单的幂函数2

2020_2021学年新教材高中数学第二章函数4函数的奇偶性与简单的幂函数2

4.2 　简单幂函数的图象和性质 激趣诱思 知识点拨 幂函数在生活、建筑、军事等多个领域都有着重要的应用 . 那么幂函数如何定义 ? 它的图象和性质是怎样的呢 ? 激趣诱思 知识点拨 一 、幂函数的定义 一般地 , 形如 　　　　　 ( α 为常数 ) 的函数 , 即 　　　　 是自变量 、 　　　　 是常数的函数称为幂函数 .   名师点 析 1. 幂 的指数是一个常数 , 它可以取任意实数 ; 2. 幂 值前面的系数是 1, 否则不是幂函数 , 如函数 y= 5 就 不是幂函数 . 3. 幂函数 的定义域是使 x α 有意义的所有 x 的集合 , 因 α 的不同 , 定义域也不同 . y=x α 底数 指数 激趣诱思 知识点拨 微练习 在函数 ① y = , ② y= 3 x 2 , ③ y=x 2 + 2 x 中 , 幂函数的序号为 　　　　　 . （填序号） 答案 : ① 　 解析 : 函数 y = = x - 4 为幂函数 ; 函数 y= 3 x 2 中 x 2 的系数不是 1, 所以它不是幂函数 ; 函数 y=x 2 + 2 x 不是 y=x α ( α ∈ R ) 的形式 , 所以它不是 幂函数 . 激趣诱思 知识点拨 二、幂函数的图象和性质 1 . 常见的五种幂函数的 图象 可以发现任一幂函数在第一象限内必有图象 , 在第四象限内无图象 . 激趣诱思 知识点拨 2 . 幂函数的 性质 [0, +∞ ) [0, +∞ ) [0, +∞ ) 奇函数 偶函数 既 不是 奇 函数 , 也不 是 偶函数 　 奇函数 增函数 单调递增 单调递 减 增函数 单调递减 (1,1 ) 单调递减 激趣诱思 知识点拨 名师点 析 幂函数 y=x α 的上述性质可归纳如下 : ( 1) 当 α > 0 时 , 图象都通过点 (0,0),(1,1); 在第一象限内 , 函数单调递增 . ( 2) 当 α < 0 时 , 图象都通过点 (1,1); 在第一象限内 , 函数单调递减 , 图象向上与 y 轴无限接近 , 向右与 x 轴无限接近 . 激趣诱思 知识点拨 微判断 判断下列说法是否正确 , 正确的在后面的括号内画“√” , 错误的画“ ×”. ( 1) 幂函数的图象可以出现在平面直角坐标系中的任意一个象限 . ( 　　 ) (2) 幂函数的图象必过 (0,0) 和 (1,1) . ( 　　 ) 答案 : (1) × 　 (2 ) × 激趣诱思 知识点拨 微 练习 (2) 已知幂函数 f ( x ) =x α 的图象经过点 (2 , ), 则函数 f ( x ) 为 ( 　　 ) A. 奇函数且在 (0, +∞ ) 上单调递增 B. 偶函数且在 (0, +∞ ) 上单调递减 C. 既不是奇函数 , 又不是偶函数且在 (0, +∞ ) 上单调递增 D. 既不是奇函数 , 又不是偶函数且在 (0, +∞ ) 上单调递减 激趣诱思 知识点拨 答案 : (1) C 　 (2) C 　 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 幂函数的概念 例 1 函数 f ( x ) = ( m 2 -m- 5) x m- 1 是幂函数 , 且当 x ∈ (0, +∞ ) 时 , f ( x ) 单调递增 , 试确定 m 的值 . 分析 由 f ( x ) = ( m 2 -m- 5) x m- 1 是幂函数 , 且当 x> 0 时 单调递增 , 可先利用幂函数的定义求出 m 的值 , 再利用单调性确定 m 的值 . 解 : 根据幂函数的定义 , 得 m 2 -m- 5 = 1, 解得 m= 3 或 m=- 2 . 当 m= 3 时 , f ( x ) =x 2 在 (0, +∞ ) 上 单调递增 ; 当 m=- 2 时 , f ( x ) =x - 3 在 (0, +∞ ) 上 单调递减 , 不符合要求 . 故 m= 3 . 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 反思感悟 判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为 y=x α ( α 为常数 ) 的形式 , 即 :(1) 系数为 1;(2) 指数为常数 ;(3) 后面不加任何项 . 反之 , 若一个函数为幂函数 , 则该函数必具有这种形式 . 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 变式训练 1 如果幂函数 y= ( m 2 - 3 m+ 3 ) 的 图象不过原点 , 求实数 m 的取值 . 解 : 由幂函数的定义得 m 2 - 3 m+ 3 = 1, 解得 m= 1 或 m= 2; 当 m= 1 时 , m 2 -m- 2 =- 2, 函数为 y=x - 2 , 其图象不过原点 , 满足条件 ; 当 m= 2 时 , m 2 -m- 2 = 0, 函数为 y=x 0 , 其图象不过原点 , 满足条件 . 综上所述 , m= 1 或 m= 2 . 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 幂函数的图象 例 2 已知函数 y=x a , y=x b , y=x c 的图象如图所示 , 则 a , b , c 的大小关系为 ( 　　 ) A. c 1,0 2 b > 2 c , 又函数 y= 2 x 在 R 上是增函数 , 于是 a>b>c. 2 . 对于函数 y=x α ( α 为常数 ) 而言 , 其图象有以下特点 : (1) 恒过点 (1,1 ) . (2) 当 x ∈ (0,1) 时 , 指数越大 , 幂函数图象越靠近 x 轴 ( 简记为 “ 指大图低 ”); 当 x ∈ (1, +∞ ) 时 , 指数越大 , 幂函数的图象越远离 x 轴 ( 简记为 “ 指大图高 ”) . (3) 由幂函数的图象确定幂指数 α 与 0,1 的大小关系 , 即根据幂函数在第一象限内的图象 ( 类似于 y=x - 1 或 y = , y=x 3 ) 来判断 . (4) 当 α > 0 时 , 幂函数在 区间 (0, +∞ ) 上都是增函数 ; 当 α < 0 时 , 幂函数在 区间 (0, +∞ ) 上都是减函数 . 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 变式训练 2 如图所示 , 曲线 C 1 与 C 2 分别是函数 y=x m 和 y=x n 在第一象限内的图象 , 则下列结论正确的是 ( 　　 ) A. nm> 0 D. m>n> 0 答案 : A 　 解析 : 画出直线 y=x 0 的图象 , 作出直线 x= 2, 与三个函数图象交于点 (2,2 0 ),(2,2 m ),(2,2 n ) . 由三个点的位置关系可知 , ng ( x ),(2) f ( x ) =g ( x ),(3) f ( x ) 1 或 x<- 1 时 , f ( x ) >g ( x ); (2) 当 x= 1 或 x=- 1 时 , f ( x ) =g ( x ); (3) 当 - 1 1 时 , y> 1, ∴ 1 . 3 0 . 7 > 1 . 于是有 0 . 7 1 . 3 < 1 . 3 0 . 7 . 对于幂函数 y=x m , 由 (0 . 7 1 . 3 ) m < (1 . 3 0 . 7 ) m 知 , 当 x> 0 时 , 随着 x 的增大 , 函数值 y 也增大 , 所以 m> 0 . 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 幂函数的 “ 凸 ” 性 (1) 上凸函数、下凸函数的定义 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 (2) 幂函数的凸性 ① 幂函数 y=x α , x ∈ (0, +∞ ), 在 α > 1 时 , 函数是下凸函数 ; ② 幂函数 y=x α , x ∈ (0, +∞ ), 在 0 < α < 1 时 , 函数是上凸函数 ; ③ 幂函数 y=x α , x ∈ (0, +∞ ), 在 α < 0 时 , 函数是下凸函数 . 这个定义从几何形式上看就是 : 在函数 f ( x ) 的图象上取任意两点 , 如果函数图象在这两点之间的部分总在连接这两点的线段的上方 , 那么这个函数就是上凸函数 ; 如果函数图象在这两点之间的部分总在连接这两点的线段的下方 , 那么这个函数就是下凸函数 . 根据函数图象判断 , 一般开口向下的二次函数是上凸函数 , 开口向上的二次函数是下凸函数 . 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 典例 如图 , f i ( x )( i= 1,2,3,4) 是定义 在 区间 [ 0,1] 上的四个函数 , 其中满足性质 :“ 对 [0,1] 中任意的 x 1 和 x 2 , 任意 λ ∈ [0,1 ], f [ λ x 1 + (1 - λ ) x 2 ] ≤ λ f ( x 1 ) + (1 - λ ) f ( x 2 ) 恒成立 ” 的只有 ( 　　 ) A. f 1 ( x ) B. f 2 ( x ) C. f 3 ( x ) D. f 4 ( x ) 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 再结合函数 f ( x ) 图象的凹凸性 , 可排除 B,C,D 三个选项 , 正确答案为 A . 答案 : A 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 1 . 幂函数 y=kx α 过点 (4,2), 则 k- α 的值为 ( 　　 ) 答案 : B 　 解析 : 幂函数 y=kx α 过点 (4,2), 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 A. C 2 , C 1 , C 3 , C 4 B. C 4 , C 1 , C 3 , C 2 C. C 3 , C 2 , C 1 , C 4 D. C 1 , C 4 , C 2 , C 3 答案 : D 　 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 3 . 幂函数 f ( x ) =x 3 m- 5 ( m ∈ N ) 在 区间 (0 , +∞ ) 上 是 单调递减 , 且 对定义域中的任意 x , 有 f ( -x ) =f ( x ), 则 m 等于 ( 　　 ) A.0 B.1 C.2 D.3 答案 : B 　 解析 : 幂函数 f ( x ) =x 3 m- 5 ( m ∈ N ) 在 (0, +∞ ) 上 单调递减 , 则 3 m- 5 < 0, 即 又 m ∈ N , 故 m= 0 或 m= 1 . ∵ f ( -x ) =f ( x ), ∴ f ( x ) 是偶函数 . 当 m= 0 时 , f ( x ) =x - 5 是奇函数 ; 当 m= 1 时 , f ( x ) =x - 2 是偶函数 , 符合题意 . 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 5 . 比较下列各组中两个值的大小 :