高考数学三角函数典型例题(供参考)
三角函数典型例题
1 ．设锐角 ABC 的内角 A B C， ， 的对边分别为 a b c， ， , 2 sina b A .
(Ⅰ)求 B 的大小;
(Ⅱ)求 cos sinA C 的取值范围.
【解析】:(Ⅰ)由 2 sina b A ,根据正弦定理得sin 2sin sinA B A ,所以 1sin 2B ,
由 ABC 为锐角三角形得 π
6B .
(Ⅱ) cos sin cos sinA C A A
cos sin 6A A
1 3cos cos sin2 2A A A
3sin 3A
.
2 ．在 ABC 中,角 A． B．C 的对边分别为 a、b、c,且满足(2a-c)cosB=bcos C．
(Ⅰ)求角 B 的大小;
(Ⅱ)设 2 4 1 1m sin A,cos A ,n k, k , 且 m n 的最大值是 5,求 k 的值.
【解析】:(I)∵(2a-c)cosB=bcosC,
∴(2sinA-sinC)cosB=sinBcos C．
即 2sinAcosB=sinBcosC+sinCcosB
=sin(B+C)
∵A+B+C=π,∴2sinAcosB=sinA．
∵0
1,∴t=1 时, m n 取最大值.
2
依题意得,-2+4k+1=5,∴k=
2
3 .
3 ．在 ABC 中,角 CBA ,, 所对的边分别为 cba ，， , 22sin2sin CBA .
I.试判断△ ABC 的形状;
II.若△ ABC 的周长为 16,求面积的最大值.
【解析】:I. )42sin(22sin2cos2sin2sin CCCCC
2242
CC 即 ,所以此三角形为直角三角形.
II. ababbaba 2216 22 , 2)22(64 ab 当且仅当 ba 时取等号,
此时面积的最大值为 24632 .
4 ．在 ABC 中,a、b、c 分别是角 A． B．C 的对边,C=2A,
4
3cos A ,
(1)求 BC cos,cos 的值;
(2)若
2
27 BCBA ,求边 AC 的长｡
【解析】:(1)
8
1116
921cos22coscos 2 AAC
4
7sin,4
3cos;8
73sin,8
1cos AACC 得由得由
16
9
8
1
4
3
8
73
4
7coscossinsincoscos CACACAB
(2) 24,2
27cos,2
27 acBacBCBA ①
又 aAacACC
c
A
a
2
3cos2,2,sinsin
②
由①②解得 a=4,c=6
2516
9483616cos2222 Baccab
5b ,即 AC 边的长为 5.
5 ．已知在 ABC 中, A B ,且 Atan 与 Btan 是方程 0652 xx 的两个根.
(Ⅰ)求 )tan( BA 的值;
(Ⅱ)若 AB 5 ,求 BC 的长.
【解析】:(Ⅰ)由所给条件,方程 0652 xx 的两根 tan 3, tan 2A B .
∴ tan tantan( ) 1 tan tan
A BA B A B
2 3 11 2 3
(Ⅱ)∵ 180 CBA ,∴ )(180 BAC .
由(Ⅰ)知, 1)tan(tan BAC ,
∵ C 为三角形的内角,∴ 2sin 2C
∵ tan 3A , A 为三角形的内角,∴ 3sin
10
A ,
由正弦定理得:
sin sin
AB BC
C A
∴ 5 3 3 5
2 10
2
BC .
6 ． 在 ABC 中 , 已 知 内 角 A ． B ． C 所 对 的 边 分 别 为 a 、 b 、 c, 向 量
2sin , 3m B , 2cos2 ,2cos 12
Bn B
,且 / /m n ｡
(I)求锐角 B 的大小;
(II)如果 2b ,求 ABC 的面积 ABCS 的最大值｡
【解析】:(1) / /m n 2sinB(2cos2B
2-1)=- 3cos2B
2sinBcosB=- 3cos2B tan2B=- 3
∵0<2B<π,∴2B=2π
3 ,∴锐角 B=π
3
(2)由 tan2B=- 3 B=π
3
或5π
6
①当 B=π
3
时,已知 b=2,由余弦定理,得:
4=a2+c2-ac≥2ac-ac=ac(当且仅当 a=c=2 时等号成立)
∵△ABC 的面积 S△ABC=1
2 acsinB= 3
4 ac≤ 3
∴△ABC 的面积最大值为 3
②当 B=5π
6
时,已知 b=2,由余弦定理,得:
4=a2+c2+ 3ac≥2ac+ 3ac=(2+ 3)ac(当且仅当 a=c= 6- 2时等号成立)
∴ac≤4(2- 3)
∵△ABC 的面积 S△ABC=1
2 acsinB=1
4ac≤ 2- 3
∴△ABC 的面积最大值为 2- 3
7 ．在 ABC 中,角 A． B．C 所对的边分别是 a,b,c,且 .2
1222 acbca
(1)求 BCA 2cos2sin 2 的值;
(2)若 b=2,求△ABC 面积的最大值.
【解析】:(1) 由余弦定理:cosB=1
4
2sin 2
A C +cos2B=
4
1
(2)由 .4
15sin,4
1cos BB 得 ∵b=2,
a2 +c2 =1
2ac+4≥2ac,得 ac≤
3
8 , S△ABC=1
2acsinB≤
3
15 (a=c 时取等号)
故 S△ABC 的最大值为
3
15
8 ．已知 )1(,tan aa ,求
2tan
)2sin(
)4sin(
的值｡
【解析】
a
a
1
2 ;
9 ．已知
3sin 5 cos cos2
3sin cos tan 32 2
f
(I)化简 f
(II)若 是第三象限角,且 3 1cos 2 5
,求 f 的值｡
【解析】
10．已知函数 f(x)=sin2x+ 3 sinxcosx+2cos2x,xR.
(1)求函数 f(x)的最小正周期和单调增区间;
(2)函数 f(x)的图象可以由函数 y=sin2x(x∈R)的图象经过怎样的变换得到?
【解析】:(1) 1 cos2 3( ) sin 2 (1 cos2 )2 2
xf x x x
3 1 3sin 2 cos22 2 2
3sin(2 ) .6 2
x x
x
( )f x 的最小正周期 2 .2T
由题意得 2 2 2 , ,2 6 2k x k k Z 即 , .3 6k x k k Z
( )f x 的单调增区间为 , , .3 6k k k Z
(2)先把 sin 2y x 图象上所有点向左平移
12
个单位长度,
得到 sin(2 )6y x 的图象,再把所得图象上所有的点向上平移 3
2
个单位长度,
就得到 3sin(2 )6 2y x 的图象｡
11．已知
2
3,2
3a , )4cos,4(sin xxb , baxf )( ｡
(1)求 )(xf 的单调递减区间｡
(2)若函数 )(xgy 与 )(xfy 关于直线 1x 对称,求当 ]3
4,0[x 时, )(xgy 的最大值｡
【解析】:(1) )34sin(34cos2
3
4sin2
3)( xxxxf
∴当 ]22
3,22[34
kkx 时, )(xf 单调递减
解得: ]83
22,83
10[ kkx 时, )(xf 单调递减｡
(2)∵函数 )(xgy 与 )(xfy 关于直线 1x 对称
∴
34
)2(sin3)2()( xxfxg
34cos3342sin3 xx
∵ ]3
4,0[x ∴
3
2,334
x ∴ ]2
1,2
1[34cos
x
∴ 0x 时,
2
3)(max xg
12．已知 cos 2sin ,求下列各式的值;
(1) 2sin cos
sin 3cos
;
(2) 2sin 2sin cos
【解析】: 1cos 2sin , tan 2
Q
(1)
12 12sin cos 2tan 1 42
1sin 3cos tan 3 532
(2)
2
2
2 2
sin 2sin cossin 2sin cos sin cos
2
2
22
1 12tan 2tan 32 2
tan 1 51 12
13．设向量 (sin ,cos ), (cos ,cos ),a x x b x x x R ,函数 ( ) ( )f x a a b
(I)求函数 ( )f x 的最大值与最小正周期;
(II)求使不等式 3( ) 2f x 成立的 x 的取值集合｡
【解析】
14．已知向量 )1,3
2(cos m , )1,(sinn , m 与 n 为共线向量,且 ]0,2[
(Ⅰ)求 cossin 的值;
(Ⅱ)求
cossin
2sin
的值.｡
【解析】:(Ⅰ) m 与 n 为共线向量, 0sin)1(1)3
2(cos ,
即
3
2cossin
(Ⅱ)
9
2)cos(sin2sin1 2 ,
9
72sin
2)cos(sin)cos(sin 22 ,
9
16)3
2(2)cos(sin 22
又 ]0,2[ , 0cossin ,
3
4cossin
因此,
12
7
cossin
2sin
15．如图,A,B,C,D 都在同一个与水平面垂直的平面内,B,D 为两岛上的两座灯
塔的塔顶｡测量船于水面 A 处测得 B 点和 D 点的仰角分别为 075 , 030 ,
于水面C处测得B点和D点的仰角均为 060 ,AC=0.1km｡试探究图中B,D
间距离与另外哪两点距离相等,然后求 B,D 的距离(计算结果精确到
0.01km, 2 1.414, 6 2.449)
【解析】:在 ACD 中, DAC =30°, ADC =60°- DAC =30°,
所以 CD=AC=0.1
又 BCD =180°-60°-60°=60°,
故 CB 是 CAD 底边 AD 的中垂线,所以 BD=BA
在 ABC 中,
ABC
AC
BCA
AB
sinsin ,
即 AB=
20
623
51sin
60sin
AC
因此, km33.020
623 BD
故 B．D 的距离约为 0.33km｡
16．已知函数 ( ) sin( ),f x A x x R (其中 0, 0,0 2A )的图象与 x 轴的交点中,相邻两个
交点之间的距离为
2
,且图象上一个最低点为 2( , 2)3M .
(Ⅰ)求 ( )f x 的解析式;(Ⅱ)当 [ , ]12 2x ,求 ( )f x 的值域. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
【解析】： (1)由最低点为 2( , 2)3M 得 A=2.
由 x 轴上相邻的两个交点之间的距离为
2
得
2
T =
2
,即T , 2 2 2T
由点 2( , 2)3M 在图像上的 2 42sin(2 ) 2, ) 13 3
即sin(
故 4 2 ,3 2k k Z 112 6k
又 (0, ), , ( ) 2sin(2 )2 6 6f x x 故
(2) 7[ , ], 2 [ , ]12 2 6 3 6x x
当 2 6x =
2
,即
6x 时, ( )f x 取得最大值 2;当 72 6 6x
即
2x 时, ( )f x 取得最小值-1,故 ( )f x 的值域为[-1,2]
17 ． 如 图 , 为 了 解 某 海 域 海 底 构 造 , 在 海 平 面 内 一 条 直 线 上 的 A,B,C 三 点 进 行 测 量 , 已 知
50AB m , 120BC m ,于 A 处测得水深 80AD m ,于 B 处测得水深 200BE m ,于 C 处测得水深
110CF m ,求∠DEF 的余弦值｡
【解析】:作 //DM AC 交 BE 于 N,交 CF 于 M.
2 2 2 230 170 10 198DF MF DM ,
2 2 2 250 120 130DE DN EN ,
2 2 2 2( ) 90 120 150EF BE FC BC
在 DEF 中,由余弦定理,
2 2 2 2 2 2130 150 10 298 16cos 2 2 130 150 65
DE EF DFDEF DE EF
18．已知
5
1cossin ， ),2( ，
求（1）sin cos （2） 3 3sin cos （3） 4 4sin cos
【解析】：（1） 3 3 4 47 91 337sin cos (2)sin cos (3)sin cos5 125 625
19．已知函数 )sin( xAy （ 0A ， 0 ， || ）的一段图象
如图所示，
（1）求函数的解析式；
（2）求这个函数的单调递增区间。
【解析】：（1）由图象可知： 3 22 28 8T T
； 2 2 22A
∴ 2sin 2y x ，又∵ 28
， 为“五点画法”中的第二点
∴ 32 8 2 4
∴所求函数解析式为： 32sin 2 4y x
（2）∵当 32 2 24 2 2x k k k Z
， 时， f x 单调递增
∴ 5 52 2 24 4 8 8x k k x k k k Z
， ，
20．已知 ABC 的内角 A． B．C 所对边分别为 a、b、c，设向量 )2cos),cos(1( BABAm ，
)2cos,8
5( BAn ，且
8
9 nm .
（Ⅰ）求 BA tantan 的值；
（Ⅱ）求 222
sin
cba
Cab
的最大值.
【解析】（Ⅰ）由
8
9 nm ，得
8
9
2cos)]cos(1[8
5 2 BABA
即
8
9
2
)cos(1)]cos(1[8
5 BABA
也即 )cos(5)cos(4 BABA
∴ BABABABA sinsin5coscos5sinsin4coscos4
∴ BABA coscossinsin9 ∴
9
1tantan BA
21．已知函数 )]42sin(21)[tan1()( xxxf ，求：
（1）函数 )(xf 的定义域和值域； （2）写出函数 )(xf 的单调递增区间。
【解析】:
4sin2cos24cos2sin21cos
sin1)( xxx
xxf
xxxx
x 2cos2cossin2cos
sin1
xxxx sincossincos2
)sin(cos2 22 xx x2cos2
（Ⅰ）函数的定义域
ZkkxRxx ,2,|
Zkkx ,22 ,22cos2 x
函数 )(xf 的值域为 2,2
（Ⅱ）令 )(,222 Zkkxk 得 )(2 Zkkxk
∴函数 )(xf 的单调递增区间是 )(,2 Zkkk
22．如图为一个观览车示意图．该观览车圆半径为 4.8m，圆上最低点与地面距
离为 0.8m，60 秒转动一圈．途中 OA 与地面垂直．以OA 为始边，逆时针
转动 角到 OB ．设 B 点与地面距离为 h ．
（1）求 h 与 的函数解析式；
（2）设从 OA 开始转动，经过 80 秒到达OB ，求 h .
【解析】：（1）∵ 0.8 0.8 4.8 sin 5.6 4.8sin( 90 )h OA BC OB ，
∴ 5.6 4.8cos ( 0)h
（2）∵ 2
60 30
， t30
，∴
3
88030
， 83
8cos8.46.5 h (m)
23．设函数 ).2sin3,(cos),1,cos2(,)( mxxxxf baba 其中向量
（1）求函数 ],0[)( 的最小正周期和在xf 上的单调递增区间；
（2）当 mxfx 求实数恒成立时 ,4)(4,]6,0[ 的取值范围。
【解析】：（1） 1)62sin(22sin3cos2)( 2 mxmxxxf ，
分上单调递增区间为在
分的最小正周期函数
6].,3
2[],6,0[],0[
4.2
2)(
Txf
（2）当 3)(,6,)(,]6,0[ max mxfxxfx 时当递增时 ，
分得解之
分由题设知
分时当
12.16,
10,42
,43
8,2)(,0 min
m
m
m
mxfx
24．已知函数 2 π( ) 2sin 3 cos24f x x x
， π π
4 2x
， ．
（1）求 )(xf 的最大值和最小值；
（2） 2)( mxf 在 π π
4 2x
， 上恒成立，求实数 m 的取值范围．
【解析】（Ⅰ） π( ) 1 cos 2 3 cos2 1 sin 2 3 cos22f x x x x x
∵
π1 2sin 2 3x
．
又 π π
4 2x
，∵ ， π π 2π26 3 3x ∴ ≤ ≤ ，
即 π2 1 2sin 2 33x
≤ ≤ ，
max min( ) 3 ( ) 2f x f x ，∴ ．
（Ⅱ） ( ) 2 ( ) 2 ( ) 2f x m f x m f x ∵ ， π π
4 2x
， ，
max( ) 2m f x ∴ 且 min( ) 2m f x ，
1 4m ∴ ，即 m 的取值范围是 (1 4)， ．
25．在锐角△ABC 中,角 A． B．C 的对边分别为 a、b、c,已知 .3tan)( 222 bcAacb
(I)求角 A;
(II)若 a=2,求△ABC 面积 S 的最大值｡
【解析】:(I)由已知得
2
3sin2
3
cos
sin
2
222
AA
A
bc
acb
又在锐角△ABC 中,所以 A=60°,[不说明是锐角△ABC 中,扣 1 分]
(II)因为 a=2,A=60°所以 bcAbcSbccb 4
3sin2
1,422
而 424222 bcbcbcbccb
又 344
3
4
3sin2
1 bcAbcS
所以△ABC 面积 S 的最大值等于 3
26．甲船由 A 岛出发向北偏东 45°的方向作匀速直线航行,速度为
15 2 浬/小时,在甲船从 A 岛出发的同时,乙船从 A 岛正南 40
浬处的 B 岛出发,朝北偏东θ( )2
1arctg 的方向作匀速直线航
行,速度为 10 5 浬/小时.(如图所示)
(Ⅰ)求出发后 3 小时两船相距多少浬?
(Ⅱ)求两船出发后多长时间相距最近?最近距离为多少浬?
【解析】:以 A 为原点,BA 所在直线为 y 轴建立如图所示的平面
直角坐标系.
设在 t 时刻甲、乙两船分别在 P(x1, y1) Q (x2,y2).
,5
5sin,5
52cos,2
1
2
15
1545cos215
11
1
可得由
分则
arctg
txy
ttx
分5402040cos510
10sin510
2
2
tty
ttx
(I)令 3t ,P、Q 两点的坐标分别为(45,45),(30,20)
345850)2045()3045(|| 22 PQ .
即两船出发后 3 小时时,相距 345 锂
(II)由(I)的解法过程易知:
220800)4(50160040050
10)154020()1510()()(||
22
222
12
2
12
ttt
ttttyyxxPQ 分
∴当且仅当 t=4 时,|PQ|的最小值为 20 2
即两船出发 4 小时时,相距 20 2 海里为两船最近距离.
27．在锐角 ABC 中，已知内角 A． B．C 所对的边分别为 a、b、c，且 (tanA－tanB)＝1＋tanA·tan B．
(1)若 a2－ab＝c2－b2，求 A． B．C 的大小；
(2)已知向量 m ＝(sinA，cosA)， n ＝(cosB，sinB)，求｜3 m －2 n ｜的取值范围．
【解析】
28．如图，某住宅小区的平面图呈扇形 AO C．小区的两个出入口设置在点 A
及点 C 处，小区里有两条笔直的小路 AD DC， ，且拐弯处的转角为
120 ．已知某人从C 沿CD 走到 D 用了 10 分钟，从 D 沿 DA 走到 A 用
了 6 分钟．若此人步行的速度为每分钟 50 米，求该扇形的半径OA 的长
（精确到 1 米）．
【解析】解法一：设该扇形的半径为 r 米. 由题意，得
CD=500（米），DA=300（米），∠CDO= 060
在 CDO 中， 2 2 0 22 cos60 ,CD OD CD OD OC
即 22 21500 300 2 500 300 ,2r r r
解得 4900 44511r （米）
解法二：连接 AC，作 OH⊥AC，交 AC 于 H
由题意，得 CD=500（米），AD=300（米）， 0120CDA
2 2 2 0
2 2 2
, 2 cos120
1500 300 2 500 300 700 ,2
ACD AC CD AD CD AD
在 中
120
0
O
C
A
D
H
120
0
O
C
A
Ｄ
∴ AC=700（米）
2 2 2 11cos .2 14
AC AD CDCAD AC AD
在直角 11, 350 ,cos 0 ,14HAO AH HA 中 （米）
∴ 4900 445cos 11
AHOA HAO
（米）
29．已知角 的顶点在原点,始边与x轴的正半轴重合,终边经过点 ( 3, 3)P .
(1)求 tan 的值;
(2)定义行列式运算 a b
c d ad bc ,求行列式 sin tan
1 cos
的值;
(3)若函数 cos( ) sin( ) sin( ) cos
xf x x
( xR ),
求函数 23 ( 2 ) 2 ( )2y f x f x 的最大值,并指出取到最大值时 x 的值
【解析】:(1)∵ 角 终边经过点 ( 3, 3)P ,
∴ 3tan 3
.
(2) 1sin 2
, 3cos 2
.
sin tan 3 3 3sin cos tan1 cos 4 3 12
.
(3) ( ) cos( )cos sin( )sin cosf x x x x ( xR ),
∴函数 23cos( 2 ) 2cos2y x x
3sin 2 1 cos2x x 2sin(2 ) 16x ( xR ),
∴ max 3y , 此时 ( )6x k k Z .
30．已知函数 2( ) (sin cos ) +cos2f x x x x .
(Ⅰ)求函数 f x 的最小正周期;(Ⅱ)当 0, 2x
时,求函数 f x 的最大值,并写出 x 相应的取值.
【解析】:(Ⅰ)因为 2 2 2( ) (sin cos ) +cos2 sin 2sin cos cos cos2 f x x x x x x x x x
1 sin 2 cos2 x x ( ) =1+ 2 sin(2 )4x
所以, 2
2T ,即函数 ( )f x 的最小正周期为
(Ⅱ)因为 0 2x ,得 524 4 4x ,所以有 2 sin(2 ) 12 4x
1 2 sin(2 ) 24x ,即 0 1 2 sin(2 ) 1 24x
所以,函数 f x 的最大值为1 2
此时,因为 524 4 4x ,所以, 2 4 2x ,即
8x
