2020年宁夏银川一中高考数学二模试卷(理科) (含答案解析)

2020年宁夏银川一中高考数学二模试卷(理科) (含答案解析)

2020 年宁夏银川一中高考数学二模试卷(理科) 一、单项选择题（本大题共 12小题，共 60.0分） 1. 若 ൌ 1 ͳ ，则复数 在复平面上对应的点的坐标为 A. 1t ͳ a B. ͳ at1 C. 1t1 D. ͳ 1t1 . 设集合 ൌ ሼሼ aሼ ͳ ൅ ， ൌ ሼሼ 1 ，则 ൌ A. ͳ at൅ B. ൅t C. ͳ at ͳ D. ͳ t ͳ a൅t a. 设、是两个不同的平面，l、m为两条不同的直线，命题 p：若， ， ，则 ， 命题 q：， ， ，则 则下列命题为真命题的是 A. B. C. ￢ D. ￢ . 䁨中， ൌ at1，䁨 ൌ t1，则 与䁨 的夹角大小为 A. a B. C. a D. ൅ 5. 已知 sin ͳ ൌ 1 ，cos ൌ 5 ，则 sin ൌ A. 5 B. ͳ 5 C. a 5 D. ͳ a 5 ൅. 函数 ൌ aሼ ͳ ሼ的图象可能是 A. B. C. D. . 如图，在正四棱柱 䁨ܥͳ 11䁨11ܥ中， ൌ 1t1 ൌ ，点 P是平面11䁨11ܥ内的一个动点， 则三棱锥 ͳ 䁨的正视图与俯视图的面积之比的最大值为 A. 1 B. 2 C. 1 D. 1 8. 抛物线ሼ ൌ 1൅的准线与双曲线 ሼ ͳ a ൌ 1的两条渐近线所围成的三角形的面积是 A. 1൅ a B. 8 C. 4 D. 2 . “今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭 长各几何？”其意思是：有一个正方形的池塘，池塘的边长为一丈，有一颗芦 苇生长在池塘的正中央．露出水面一尺，若把它引向岸边，正好与岸边齐如图 所示，问水有多深，芦苇有多长？其中一丈为十尺．若从该芦苇上随机取一点， 则该点取自水上的概率为 A. 1 1a B. 1 1a C. a 1 D. 1a 1. 如图所示，执行如图的程序框图，输出的 S值是 A. 1 B. 10 C. 19 D. 28 11. 在平面直角坐标系 xOy中，以椭圆 ሼ ൌ 1ab 上的一点 A为 圆心的圆与 x轴相切于椭圆的一个焦点，与 y轴相交于 B，C两点，若ABC是锐角三角形，则 该椭圆的离心率的取值范围是 A. ൅ͳ t 5ͳ1 B. ൅ͳ t1 C. 5ͳ1 t1 D. t 5ͳ1 1. 函数 ሼ ൌ ሼa aሼሼ ሼ ሼ tሼ 在 ͳ t上的最大值为 1，则实数 a的取值范围是 A. t B. t C. ͳ t D. ͳ t 二、填空题（本大题共 4小题，共 20.0分） 1a. 新冠病毒爆发初期，全国支援武汉的活动中，需要从 A医院某科室的 6名男医生含一名主任医 师､名女医生含一名主任医师中分别选派 3名男医生和 2名女医生，要求至少有一名主任医 师参加，则不同的选派方案共有___________种.用数字作答 1. 已知实数 x，y满足 ሼ a ሼ 5 ሼ ，则 ͳ ሼ的最大值是__________． 15. 在面积为 2的 䁨中， 的最小值_________． 1൅. 已知正三棱锥 ͳ 䁨的侧面是直角三角形， ͳ 䁨的顶点都在球O的球面上，正三棱锥 ͳ 䁨的体积为 36，则球 O的表面积为__________． 三、解答题（本大题共 7小题，共 82.0分） 1. 已知数列的前 n项和与通项满足 ൌ 1 1 ͳ . 1求数列的通项公式； 设函数 ሼ ൌ 1 a ሼ， ൌ 1 ，求 ൌ 1 1 1 1 a 1 的值． 18. 为推行“新课堂”教学法，某地理老师分别用传统方法和“新课堂”两种不同的教学方法，在 甲、乙两个平行班级进行教学实验，为了比较教学效果，期中考试后，分别从两个班级中各随 机抽取 20名学生的成绩进行统计，结果如下表：记成绩不低于 70分者为“成绩优良”． 分数 5t5 ൅t൅ t 8t8 t1 甲班频数 5 6 4 4 1 乙班频数 1 3 6 5 1由以上统计数据填写下面 列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过 .5的前提下 认为“成绩优良与教学方式有关”？ 甲班 乙班 总计 成绩优良 成绩不优良 总计 附： ൌ ܽͳ ܽܽ ， ൌ ܽ 临界值表： .1 .5 .5 .1 .൅ a.81 5. ൅.൅a5 先从上述 40人中，学校按成绩是否优良采用分层抽样的方法抽取 8人进行考核，在这 8人 中，记成绩不优良的乙班人数为 X，求 X的分布列及数学期望． 19. 如图，在四棱柱 䁨ܥͳ 11䁨11ܥ中，底面 ABCD为直角梯形，其中 䁨，且ܥ ܥ ൌ 䁨 ൌ ൌ ， 侧面，ܥ 11 平面 ABCD，且四边形 11是菱形，1 ൌ a，M为1ܥ的中点． 1证明：䁨明平面 11； 求二面角1 ͳ 䁨ܥͳ 的余弦值． 20. 已知点 ͳ t和圆 B：ሼ ͳ ൌ 1൅，点 Q在圆 B上，线段 AQ的垂直平分线角 BQ 于点 P． 1求点 P的轨迹 C的方程； 轨迹 C上是否存在直线 ሼ 1 ൌ 对称的两点，若存在，设这两个点分别为 S，T，求 直线 ST的方程，若不存在，请说明理由． 21. 已知函数 ሼ ൌ ሼ ͳ ሼ其中 e为自然对数的底数． 1讨论函数 ሼ的单调性． 当 ൌ 时，设ሼ1，ሼ是函数 ሼ的两个零点，证明：ሼ1 ሼ ． 22. 已知平面直角坐标系中，曲线 C的参数方程为 ሼ ൌ 1 5 ൌ 5 为参数，直线1：ሼ ൌ ，直 线：ሼ ͳ ൌ ，以原点 O为极点，x轴的正半轴为极轴取相同的长度单位建立极坐标系． 1求曲线 C和直线1，的极坐标方程； 若直线1与曲 C交于 O，A两点，直线与曲线 C交于 O，B两点，求线段 AB的长． 23. 设 ሼ ൌͳ ሼ ሼ 1 ，不等式 ሼ 的解集是 M． 1求集合 M； 设 t 明，证明： 1 ． 【答案与解析】 1.答案：A 解析： 本题考查复数的运算以及复数的几何意义，属于基础题． 根据复数的运算得 ൌ 1 ͳ a，在复平面上对应点的坐标为1t ͳ a． 解： ൌ 1 ͳ 1 ͳ ൌ 1 ͳ ͳ ൌ 1 ͳ a， 在复平面上对应点的坐标为1t ͳ a， 故选 A． 2.答案：C 解析：解： ൌ ሼሼ ͳ a，或 ሼ ൅， ൌ ሼሼ ͳ ； ൌ ሼ ͳ a ሼ ൅； ൌ ሼ ͳ a ሼ ͳ ൌ ͳ at ͳ ． 故选：C． 可解出集合 A，B，然后进行补集、交集的运算即可． 考查描述法、区间表示集合的概念，以及补集、交集的运算． 3.答案：C 解析：解：在长方体 䁨ܥͳ 11䁨11ܥ中 命题 p：平面 AC为平面，平面1䁨1为平面，直线11ܥ，和直线 AB 分别是直线 m，l， 显然满足， ， ，而 m与 l异面，故命题 p为假命题； 则￢真命题； 命题 q：平面 AC为平面，平面1䁨1为平面， 直线11ܥ，和直线11分别是直线 m，l， 显然满足 ， ， ，而，故命题 q假命题；￢为真命题， 是假命题， 是假命题，￢ 是真命题， ￢是假命题， 故选：C 对于命题 p，q，只要把相应的平面和直线放入长方体中，找到反例即可． 此题是个基础题．考查面面平行的判定和性质定理，要说明一个命题不正确，只需举一个反例即可， 否则给出证明；考查学生灵活应用知识分析解决问题的能力． 4.答案：A 解析： 本题考查了平面向量的数量积与夹角的计算问题，是基础题． 根据平面向量的夹角公式求出 与䁨 的夹角，再求出 与䁨 的夹角大小． 解： 䁨中， ൌ at1，䁨 ൌ t1， 䁨 ൌ a 1 1 ൌ 1， ൌ a 1 ൌ ，䁨 ൌ 1， cos ，䁨 ൌ 䁨 䁨 ൌ 1 1 ൌ 1 ， 与䁨 的夹角为 a， 与䁨 的夹角为 a ． 故选 A． 5.答案：C 解析： 利用两角差的正弦公式和二倍角公式把条件等式都转化为 角的正弦余弦函数，联立可解得 sin． 解：由 sin ͳ ൌ 1 得 sin ͳ cos ൌ 5 ， 由 cos ൌ 5 得cos ͳ sin ൌ 5 ， 所以cos ͳ sincos sin ൌ 5 ， 由可得 cos sin ൌͳ 1 5 ， 由可得 sin ൌ a 5 ． 故选 C． 6.答案：B 解析： 本题考查了函数图象的判断，一般从奇偶性，单调性，特殊值等方面判断，属于基础题． 判断函数的奇偶性，利用导数判断函数在t 上的单调性即可得出结论． 解：显然 ൌ aሼ ͳ ሼ是偶函数，图象关于 y轴对称， 当 ሼ 时， ൌͳ aሼ ͳ ሼ ൌͳ aሼ ሼ， 显然当 ሼ t时， ， 当 ሼ t 时，ሼ a ，而 aሼ ͳ a， ൌͳ aሼ ሼ ， ൌͳ aሼ ሼ 在t 上恒成立， ൌ aሼ ͳ ሼ在t 上单调递减． 只有 B符合， 故选 B． 7.答案：B 解析：解：由题意可知，P在正视图中的射影是在䁨11ܥ上， AB在正视图中，在平面 䁨1ܥܥ䁨1上的射影是 CD，P的射影到 CD的距离是 1 ൌ ， 所以三棱锥 ͳ 䁨的正视图的面积为 1 1 ൌ 1； 三棱锥 ͳ 䁨的俯视图的面积的最小值为 1 1 1 ൌ 1 ， 所以三棱锥 ͳ 䁨的正视图与俯视图的面积之比的最大值为 1 1 ൌ ， 故选：B． 由题意确定棱锥 ͳ 䁨的正视图的面积，三棱锥 ͳ 䁨的俯视图的面积的最小值，即可求出三 棱锥 ͳ 䁨的正视图与俯视图的面积之比的最大值． 本题考查三视图与直观图形的关系，正确处理正射影与射影图形是解题的关键，考查空间想象能力， 计算能力． 8.答案：A 解析：解：抛物线ሼ ൌ 1൅的准线方程为 ൌͳ ，双曲线 ሼ ͳ a ൌ 1的两条渐近线方程为 ൌ ሼ a 抛物线的准线与双曲线的两条渐近线的交点坐标为 at ͳ 抛物线的准线与双曲线的两条渐近线所围成的三角形的面积是 1 8 a ൌ 1൅ a 故选 A． 确定抛物线的准线与双曲线的两条渐近线的方程，求得交点坐标，即可求得面积． 本题考查抛物线的准线与双曲线的两条渐近线，考查学生的计算能力，属于基础题． 9.答案：B 解析：解：设水深为 x尺， 根据勾股定理得：ሼ 1 ൌ ሼ 5， 解得 ሼ ൌ 1， 水深 12尺，芦苇长 13尺， 根据几何概型概率公式得： 从芦苇上随机取一点，该点取自水上的概率为 ൌ 1 1a ． 故选：B． 设水深为 x尺，根据勾股定理求出水深 12尺，芦苇长 13尺，根据几何概型概率公式能求出从芦苇 上随机取一点，该点取自水上的概率． 本题考查概率的求法，考查几何概型等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基 础题． 10.答案：C 解析： 本题考查了循环结构的程序框图，属于基础题． 模拟程序运行，正确写出每次循环得到的 S，A的值可得答案． 解：模拟执行程序框图， ൌ 1， ൌ 1，满足条件 ， ൌ 1， ൌ ，满足条件 ， ൌ 1， ൌ a，不满足条件 ， 退出循环，输出 S的值为 19． 故选 C． 11.答案：A 解析： 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题、锐角三角形，考查了推理能力与计算 能力，属于中档题．设椭圆的右焦点 t，代入椭圆的标准方程可得 t .根据 䁨是锐角三 角形，可得ܥ 5，且 1 ，化为 ͳ 1 ͳ 1 ，解出即可． 解：如图所示， 设椭圆的右焦点 t， 代入椭圆的标准方程可得： ൌ ， 取 ൌ ，t ． 䁨是锐角三角形， ܥ 5， 1 ， 化为 ͳ 1 ͳ 1 ， 解得 ൅ͳ 5ͳ1 ． 故选 A． 12.答案：D 解析： 分别讨论 ሼ ，ሼ 时的情况，ሼ 时，通过求导得到 ሼሼ ൌ ͳ 1 ൌ 1，ሼ 时，讨论 时， 时 a的范围，综合得出结论． 本题考察了函数的单调性，导数的应用，求函数的最值问题，求参数的范围，是一道基础题． 解：ሼ 时，ሼ ൌ ൅ሼሼ 1， 令 ሼ ൌ ，解得：ሼ ൌͳ 1，ሼ ൌ ， ሼ在 ͳ t ͳ 1递增，在 ͳ 1t递减， ሼሼ ൌ ͳ 1 ൌ 1， ሼ 时，ሼ ൌ ሼ1ͳሼ ሼ ， 时，若 ሼ ，则 ሼ 1，若 ሼ ，则 ሼ 1， ሼሼ ൌ 1 ൌ 1， 解得： ， 时，ሼ ，符合题意， 综上： ， 故选 D． 13.答案：90 解析：解：根据题意，从 A医院某科室的 6名男医生和 4名女医生中分别选派 3名男医生和 2名女 医生，有䁨൅ a䁨 ൌ 1种取法， 若其中没有主任医师参加，即从不是主任医师的 5名男医生中选出 3名男医生，从不是主任医师的 3名女医生中选出 2名女医生， 其取法有䁨5 a䁨a ൌ a种， 则至少有一名主任医师参加的取法有 1ͳ a ൌ 种， 故答案为：90． 根据题意，先计算从 A医院某科室的 6名男医生和 4名女医生中分别选派 3名男医生和 2名女医生 的取法数目，再排除其中没有主任医师参加的取法，由此分析可得答案． 本题考查排列组合的应用，注意用间接法分析，避免分类讨论，属于基础题． 14.答案：0 解析： 本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，属于中档题． 由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，求得最优解的坐 标，代入目标函数得答案． 解：由约束条件 ሼ ͳ a ሼ ͳ 5 ሼ 作出可行域如图， 令 ൌ ͳ ሼ，化为 ൌ ሼ ， 由图可知，当直线 ൌ ሼ 过点 C时， ͳ ሼ取得最大值， 联立 ሼ ͳ 5 ൌ ሼ ͳ a ൌ ，解得 䁨1t． 所以 ͳ ሼ的最大值为 ͳ 1 ൌ ． 故答案为：0． 15.答案：8 5 解析： 本题考查解三角形的实际应用，属于较难题． 构造三角形，再运用基本不等式即可求得最小值． 解：作图如下： ൌ ሼ 1 ሼ ൌ 5 5， 第一个等号当且仅当 ሼ ൌ 时取到， 第二个等号当且仅当 5 ൌ 时取到， 䁨的面积为 2，则 ൌ 则 5 ൌ 8 5． 故答案为 8 5． 16.答案：18 解析： 本题考查正三棱锥外接球的表面积，关键是求球的半径，属于中档题． 依据题目条件求出三棱锥的侧棱长，将棱锥置于正方体中求出球半径，即可求解． 解：设正三棱锥的侧棱长为 a，球 O的半径为 R， 正三棱锥 ͳ 䁨的侧面是直角三角形， 1 a 1 a ൌ a൅，解得 ൌ ൅， 把正三棱锥补形为正方体，则其体对角线长为 ൌ ൅ ൅ ൅ ൌ ൅ a，解得 ൌ a a， 所以球 O的表面积为 ൌ ൌ 18． 故答案为 18． 17.答案：解：1 时， ൌ 1 1 ͳ ͳ 1 1 ͳ ͳ1 ൌͳ 1 1 ͳ1， ൌͳ ͳ1 ͳ1 ൌ 1 a， 1 ൌ 1 ൌ 1 1 ͳ 1得1 ൌ 1 a ， 数是以首1 ൌ 1 a ，公比 1 a 的等比数列， ൌ 1 a ሼ ൌ 1 a ሼ， ൌ 1 ， ൌ log1 a 1 1 a 1 a ൌ 1 a 1 即 1 a 1 a 1 ൌ 1 ൌ 1 1 ൌ 1 ൌ 1 ͳ 1 1 ， ൌ 1 1 1 1 ൌ 1 ͳ 1 1 ͳ 1 a 1 ͳ 1 1 ൌ 1 解析：1 时由 ൌ ͳ ͳ1，再利用1 ൌ 1 ൌ 1 1 ͳ 1求得1，分析可求数列的通项 公式； 由 ሼ ൌ 1 a ሼ， ൌ 1 ， ൌ 1 a 可求得，再用裂项法可求的值． 本题考查数列求和，重点考查裂项法求和，考查学生的理解与转化及运算能力，属于中档题． 18.答案：解：1 甲班 乙班 总计 成绩优良 9 16 25 成绩不优良 11 4 15 总计 20 20 40 根据 列联表中的数据，得的观测值为 ൌ ͳ1൅11 515 5. 5.， 能在犯错概率不超过 .5的前提下认为“成绩优良与教学方式有关”． 由表可知在 8人中成绩不优良的人数为 15 8 ൌ a，则 X的可能取值为 0，1，2，3， ൌ ൌ 䁨11 a 䁨15 a ൌ aa 1 ， ൌ 1 ൌ 䁨11 䁨 1 䁨15 a ൌ 1， ൌ ൌ 䁨11 1 䁨 䁨15 a ൌ ൅൅ 55， ൌ ൌ 䁨 a 䁨15 a ൌ 55． 的分布列为： X 0 1 2 3 P aa 1 1 ൅൅ 55 55 ൌ aa 1 ൅൅ 55 a 55 ൌ a൅ 55 ． 解析：1利用频数与频率，求解两个班的成绩，得到 列联表中的数据，求出的观测值，判 断即可． 由表可知在 8人中成绩不优良的人数为 15 8 ൌ a，则 X的可能取值为 0，1，2，3，求出概率， 得到分布列，然后求解期望即可． 本题考查离散性随机变量的分布列以及期望的求法，独立检验的应用，考查计算能力． 19.答案：1证明：取 1的中点 N，连接 MN，BN． 在 且明쳌ܥ1中，明쳌ܥ ൌ 1 ，ܥ 又 䁨ܥ且 䁨 ൌ 1 所以明쳌䁨且明쳌，ܥ ൌ 䁨， 所以四边形 MNBC是平行四边形，从而 䁨明쳌， 又 쳌 平面 11，明䁨 平面 11，所以 䁨明平面 11B. 解：取11的中点 P，连接 AP，1， 因为在菱形 11中，1 ൌ a， 所以 ൌ 1 ൌ 1 ൌ 11， 所以 11， 又 11， 所以 ， 又侧面 11 平面 ABCD，侧面 11 平面 䁨ܥ ൌ ， 所以 平面 ABCD，又 ，ܥ 故以 A为原点，AB，AD，AP所在直线分别为 x，y，z轴 建立空间直角坐标系 ͳ ሼ如图所示， 则 t0，，ܥt4，，䁨t2，，tt a， 1 ͳ 1tt a，䁨ܥ ൌ ͳ tt，䁨1 ൌ ͳ at ͳ t a． 因为 平面 ABCD，所以 ൌ tt a为平面 ABCD的一个法向量． 设平面1䁨ܥ的法向量为 ൌ ሼtt，由 䁨ܥ 䁨1 ，即 ͳ ሼ ൌ ͳ aሼͳ a ൌ ， 取 ൌ 1t1t 5 a a 为平面1䁨ܥ的一个法向量， 所以 cos t ൌ ൌ a5 a a a 115 a a ൌ 5 a1 a1 ． 设二面角1 ͳ 䁨ܥͳ 大小为， t ，故 ൌ 5 a1 a1 ， 解析：本题考查二面角的平面角的求法，空间向量的数量积的应用，直线 与平面平行的判断定理的应用，考查计算能力． 1取 1的中点 N，连接 MN，쳌.证明四边形 MNBC是平行四边形，推 出 䁨明쳌，然后证明 䁨明平面 11B. 取11的中点 P，连接 AP，1，以 A为原点，AB，AD，AP所在直线分别为 x，y，z轴建立空 间直角坐标系 ͳ ሼ如图所示，求出平面 ABCD的一个法向量．平面1䁨ܥ的法向量，利用空间 向量的数量积求解即可． 20.答案：解：1因为 ൌ 砀 ൌ ൌ ， 所以点 P的轨迹是以 A，B为焦点的椭圆，方程为 ሼ ൌ 1； 若存在满足条件的点 S，T，设直线 ST的方程为 ൌ 1 ሼ ，与 ሼ ൌ 1 联立，消去 y并化简可得 aሼ ሼ ͳ ͳ 8 ൌ ， 由已知知 ，即 1൅ ͳ a ͳ ，解得 ͳ a a， 设点 ሼ1t1 ， ሼt ，则 ሼ1 ሼ ൌͳ a ， ሼ1ሼ ൌ ͳ a ， 线段 ST的中点 ͳ a t a 在对称轴 ሼ 1 ൌ 上， ͳ a a 1 ൌ ， 解得 ൌ a ，且 a ͳ at a，所以满足条件的点 S，T是存在的， 直线 ST的方程为 ൌ 1 ሼ a ，即 ሼ ͳ a ൌ ． 解析：本题主要考查圆锥曲线的综合问题，难度较大． 1根据题干描述可以知道、、砀、的关系，即 ൌ 砀 ൌ ൌ ，再根据椭圆的定义，可以求出点 P的轨迹方程； 假设满足条件的点 S、T存在，则根据这两点关于直线 ሼ 1 ൌ 对称，可以设出直线 ST的 方程，将其与1中求出的椭圆方程联立，消去 y，利用 ，求出 m的范围以及点 S、T的横坐标 之和、之积，利用线段 ST的中点在对称轴 ሼ 1 ൌ 上，可以求出 m，从而得到直线 ST的方 程． 21.答案：1解：由题得ሼ ൌ ሼ ͳ ． 当 时，ሼ 对 ሼ 恒成立，所以 ሼ在 R上单调递增． 当 时，令ሼ ൌ ， ． 当 时，则 ሼ单调递减； ，则 ሼ单调递增． 综上，当 时，ሼ在 R上单调递增； 当 时，ሼ在区间 内单调递减，在区间 内单调递增． 证明：不妨设ሼ1 ሼ， 由 ሼ ൌ ሼ ͳ ሼ，得ሼ ൌ ሼ ͳ ，令ሼ ൌ ，得 ሼ ൌ ． ሼ在区间 内单调递减，在区间 内单调递增， ൌ 1 ， ൌ ͳ ൌ ͳ ， 所以 ሼ1 ሼ ， 构造函数 ሼ ൌ ͳ ሼ ͳ ሼ０ ｘ ２， 则ሼ ൌͳ ͳሼ ͳ ͳ ሼ ͳ ൌͳ ͳሼ ͳ ሼ ൌͳ ሼ ሼ ͳ ൌ ， 所以函数 ሼ在区间t内单调递减． 因为 ሼ1 ，所以 ͳ ሼ1 ，所以 ሼ1 ൌ ͳ ሼ1 ͳ ሼ1 ൌ ， 又 ሼ1 ൌ ሼ ൌ ，所以 ͳ ሼ1 ሼ.因为函数 ሼ在区间 内单调递增， 所以 ͳ ሼ1 ሼ，即ሼ1 ሼ ． 解析：本题考查利用导数判断函数的单调性以及研究函数的零点问题，难度较大． 1利用导函数的定义分类讨论即可； 首先利用函数单调性求出ሼ1、ሼ的取值范围，再通过构造新函数求解即可． 22.答案：解：1 曲线 C的参数方程为ሼ ൌ 1 5cos ൌ 5sin 为参数， 曲线 C的普通方程为ሼ ͳ 1 ͳ ൌ 5，即ሼ ͳ ሼͳ ൌ ， 将 ሼ ൌ ， ൌ 代入上式，得曲线 C的极坐标方程为 ൌ ． 直线1：ሼ ൌ ，直线1的极坐标方程为 ൌ ， 直线：ሼ ͳ ൌ ，直线的极坐标方程为 ൌ ． 设 A，B两点对应的极径分别为1，， 在 ൌ 中，令 ൌ ，得1 ൌ ൌ ， 令 ൌ ，得 ൌ ൌ a ， ͳ ൌ ， ൌ 1 ͳ 1cos ൌ 1． 解析：本题考查曲线的直线的极坐标方程的求法，考查弦长的求法，考查直角坐标方程、极坐标方 程、参数方程的互化等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题． 1由曲线 C的参数方程消去参数，求出曲线 C的普通方程，由此能求出曲线 C的极坐标方程，由 直线1：ሼ ൌ ，能求出直线1的极坐标方程，由直线：ሼ ͳ ൌ ，能求出直线的极坐标方程． 设A，B两点对应的极径分别为1，，在 ൌ 中，令 ൌ ，得1 ൌ ൌ ， 令 ൌ ，得 ൌ ൌ a ，由此能求出． 23.答案：1解：当 ሼ ͳ 1 时，ሼ ൌͳ ሼ ሼ 1 ൌ ሼ 1． 由 ሼ ，得 ሼ 1，所ͳ 1 ሼ 1． 当 ሼ ͳ 1 时，ሼ ൌͳ ሼ ͳ ሼ ͳ 1 ൌͳ aሼͳ 1． 由 ሼ ，得 ሼ ͳ 1，所以ͳ 1 ሼ ͳ 1 ． 综上可知，明 ൌ ሼ ͳ 1 ሼ 1． 证明：因为 a， 明， 所以ͳ 1 1，ͳ 1 1，即 1， 1． 于是 1 ͳ ൌ 1 ͳ ൌ ͳ 1 ͳ 1 ， 故 1 ． 解析： 本题考查含绝对值不等式的解法和不等式的证明，属中档题． 1讨论 x和ͳ 1 的大小去绝对值，解不等式即可； 分析 1 ͳ 与 0的关系即可得 1 ．