高三数学（理数）总复习练习专题二十三 坐标系与参数方程

高三数学（理数）总复习练习专题二十三 坐标系与参数方程

‎1．(2015·广东，14，易)已知直线l的极坐标方程为2ρsin＝，点A的极坐标为A，则点A到直线l的距离为________．‎ ‎【解析】　∵2ρsin ＝，‎ ‎∴2ρ ‎＝(ρsin θ－ρcos θ)＝，‎ 即ρsin θ－ρcos θ＝1，∴y－x＝1.‎ ‎∵点A化为直角坐标为(2，－2)，‎ ‎∴点A到直线的距离为d＝＝.‎ ‎【答案】　 ‎2．(2015·北京，11，易)在极坐标系中，点到直线ρ(cosθ＋sinθ)＝6的距离为________．‎ ‎【解析】　把极坐标转化为直角坐标，‎ 点(2，)对应的直角坐标为点(1，)，‎ 极坐标方程ρ(cos θ＋sin θ)＝6对应的直角坐标方程为x＋y＝6，‎ 即x＋y－6＝0.‎ ‎∴点到直线的距离为 d＝＝1.‎ ‎【答案】　1‎ ‎3．(2015·安徽，12，易)在极坐标系中，圆ρ＝8sinθ上的点到直线θ＝(ρ∈R)距离的最大值是________．‎ ‎【解析】　∵ρ＝8sinθ，∴ρ2＝8ρsinθ.‎ ‎∴x2＋y2＝8y，即(y－4)2＋x2＝16.‎ ‎∵θ＝，‎ ‎∴直线方程为y＝x，‎ ‎∴圆心到直线的距离d＝＝2，‎ ‎∴圆上点到直线的最大距离为2＋4＝6.‎ ‎【答案】　6‎ ‎4．(2015·课标Ⅰ，23，10分，中)在直角坐标系xOy中，直线C1：x＝－2，圆C2：(x－1)2＋(y－2)2＝1，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．‎ ‎(1)求C1，C2的极坐标方程；‎ ‎(2)若直线C3的极坐标方程为θ＝(ρ∈R)，设C2与C3的交点为M，N，求△C2MN的面积．‎ 解：(1)因为x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，所以C1的极坐标方程为ρcos θ＝－2，C2的极坐标方程为ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0.‎ ‎(2)将θ＝代入ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0，得ρ2－3ρ＋4＝0，解得ρ1＝2，ρ2＝.故ρ1－ρ2＝，即|MN|＝.‎ 由于C2的半径为1，所以△C2MN的面积为.‎ ‎1．(2011·安徽，5，易)在极坐标系中，点 到圆ρ＝2 cosθ 的圆心的距离为(　　)‎ A．2 B. C. D. ‎【答案】　D　极坐标系中的点化为平面直角坐标系中的点为，即(1，)．极坐标方程ρ＝2cos θ化为平面直角坐标方程为x2＋y2＝2x，即(x－1)2＋y2＝1，其圆心为(1，0)，‎ ‎∴所求两点间的距离为 ＝.‎ ‎2．(2014·广东，14，易)在极坐标系中，曲线C1和C2的方程分别为ρsin2θ＝cosθ和ρsinθ＝1.以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，则曲线C1和C2交点的直角坐标为________．‎ ‎【解析】　将C1，C2的方程分别化为直角坐标方程为y2＝x，y＝1，‎ 由得即交点的直角坐标为(1，1)．‎ ‎【答案】　(1，1)‎ ‎3．(2014·重庆，15，易)已知直线l的参数方程为(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρsin2θ－4cosθ＝0(ρ≥0，0≤θ<2π)，则直线l与曲线C的公共点的极径ρ＝________．‎ ‎【解析】　直线l的普通方程为y＝x＋1，曲线C的直角坐标方程为y2＝4x，故直线l与曲线C的交点坐标为(1，2)．故该点的极径ρ＝＝.‎ ‎【答案】　 ‎4．(2014·天津，13，易)在以O为极点的极坐标系中，圆ρ＝4sinθ和直线ρsinθ＝a相交于A，B两点．若△AOB是等边三角形，则a的值为________．‎ ‎【解析】　圆的直角坐标方程为x2＋y2＝4y，直线的直角坐标方程为y＝a，因为△AOB为等边三角形，则A，代入圆的方程得＋a2＝4a，故a＝3.‎ ‎【答案】　3‎ ‎5．(2014·湖南，11，易)在平面直角坐标系中，倾斜角为的直线l与曲线C：(α为参数)交于A，B两点，且|AB|＝2，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，则直线l的极坐标方程是________．‎ ‎【解析】　曲线C的普通方程为(x－2)2＋(y－1)2＝1，由直线l与曲线C相交所得的弦长|AB|＝2知，AB为圆的直径，故直线l过圆心(2，1)，注意到直线的倾斜角为，即斜率为1，从而直线l的普通方程为y＝x－1，从而其极坐标方程为ρsin θ＝ρcos θ－1，即ρcos＝1.‎ ‎【答案】　ρcos＝1‎ ‎6．(2013·江西，15(1)，易)设曲线C的参数方程为(t为参数)，若以直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C的极坐标方程为________．‎ ‎【解析】　曲线C的直角坐标方程是y＝x2，化为极坐标方程得ρsin θ＝ρ2cos2θ.即ρcos2θ＝sin θ.‎ ‎【答案】　ρcos2θ＝sin θ ‎7．(2012·陕西，15C，易)直线2ρcos θ＝1与圆ρ＝2cos θ相交的弦长为________．‎ ‎【解析】　将直线和圆的极坐标方程化为直角坐标方程分别为x＝，(x－1)2＋y2＝1.该圆的圆心为(1，0‎ ‎)，半径为1，所求的弦长等于2＝.‎ ‎【答案】　 ‎8．(2013·课标Ⅰ，23，10分，中)已知曲线C1的参数方程为(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝2sin θ.‎ ‎(1)把C1的参数方程化为极坐标方程；‎ ‎(2)求C1与C2交点的极坐标(ρ≥0，0≤θ＜2π)．‎ 解：(1)将消去参数t，化为普通方程为(x－4)2＋(y－5)2＝25，‎ 即C1：x2＋y2－8x－10y＋16＝0.‎ 将代入x2＋y2－8x－10y＋16＝0，得 ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0.‎ 所以C1的极坐标方程为ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0.‎ ‎(2)C2的普通方程为x2＋y2－2y＝0.‎ 联立C1，C2的方程 解得或 所以C1与C2交点的极坐标分别为，.‎ 考向1　极坐标与直角坐标的互化 极坐标和直角坐标的互化公式 如图所示，设M是坐标平面内任意一点，它的直角坐标是(x，y)，极坐标是(ρ，θ)(ρ≥0)，于是极坐标与直角坐标的互化公式如下表：‎ 点M 直角坐标(x，y)‎ 极坐标(ρ，θ)‎ 互化公式 ‎(1)(2014·江西，11(2))若以直角坐标系的原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，则线段y＝1－x(0≤x≤1)的极坐标方程为(　　)‎ A．ρ＝，0≤θ≤ B．ρ＝，0≤θ≤ C．ρ＝cos θ＋sin θ，0≤θ≤ D．ρ＝cos θ＋sin θ，0≤θ≤ ‎(2)(2014·陕西，15C)在极坐标系中，点到直线 ρsin＝1的距离是________．‎ ‎【解析】　(1)∵ ‎∴y＝1－x化成极坐标方程为ρcos θ＋ρsin θ＝1，‎ 即ρ＝.‎ ‎∵0≤x≤1，∴线段在第一象限内(含端点)，‎ ‎∴0≤θ≤.‎ ‎(2)点化为直角坐标为(，1)，由ρsin＝1得ρ＝1，∴直线的直角坐标方程为y－x＝1，即x－y＋1＝0，点(，1)到直线x－y＋1＝0的距离为＝1.‎ ‎【答案】　(1)A　(2)1‎ ‎ 极坐标与直角坐标互化的方法 ‎(1)将点的直角坐标(x，y)化为极坐标(ρ，θ)时，运用公式ρ＝，tan θ＝(x≠0)即可．在[0，2π ‎)范围内，由tan θ＝(x≠0)求θ时，要根据直角坐标的符号特征判断出点所在的象限．如果允许θ∈R，再根据终边相同的角的意义，表示为θ＋2kπ(k∈Z)即可．‎ ‎(2)极坐标与直角坐标的互化，常用方法有代入法、平方法等，还经常会用到同乘(同除以)ρ等技巧．‎ ‎(1)(2013·安徽，7)在极坐标系中，圆ρ＝2cos θ的垂直于极轴的两条切线方程分别为(　　)‎ A．θ＝0(ρ∈R)和ρcos θ＝2‎ B．θ＝(ρ∈R)和ρcos θ＝2‎ C．θ＝(ρ∈R)和ρcos θ＝1‎ D．θ＝0(ρ∈R)和ρcos θ＝1‎ ‎(2)(2013·天津，11)已知圆的极坐标方程为ρ＝4cos θ，圆心为C，点P的极坐标为，则|CP|＝________.‎ ‎(1)【答案】　B　在直角坐标系中，圆的方程为x2＋y2＝2x，即(x－1)2＋y2＝1.‎ 从而垂直于x轴的两条切线方程分别为x＝0，x＝2，即θ＝(ρ∈R)和ρcos θ＝2.故选B.‎ ‎(2)【解析】　由ρ＝4cos θ，得ρ2＝4ρcos θ，对应的直角坐标方程为x2＋y2＝4x，即(x－2)2＋y2＝4，‎ ‎∴圆心C(2，0)，又由点P的极坐标为，可得点P的直角坐标为(2，2)，‎ ‎∴|CP|＝＝2.‎ ‎【答案】　2 考向2　极坐标方程的综合应用 ‎1．直线的极坐标方程 ‎(1)过极点倾斜角为α的直线：θ＝α(ρ∈R)；‎ ‎(2)过A(a，0)(a>0)且垂直于极轴的直线：ρcos θ＝a；‎ ‎(3)过A(a>0)且平行于极轴的直线：ρsin θ＝a.‎ ‎2．圆的极坐标方程 ‎(1)圆心在极点，半径为R的圆的极坐标方程为ρ＝R；‎ ‎(2)圆心在极轴上的点(a，0)处，且过极点O的圆的极坐标方程为ρ＝2acos θ；‎ ‎(3)圆心在点处且过极点的圆的极坐标方程为ρ＝2asin θ，0≤θ≤π.‎ ‎(2014·辽宁，23，10分)将圆x2＋y2＝1上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C.‎ ‎(1)写出C的参数方程；‎ ‎(2)设直线l：2x＋y－2＝0与C的交点为P1，P2，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P1P2的中点且与l垂直的直线的极坐标方程．‎ ‎【解析】　(1)设(x1，y1)为圆上的点，在已知变换下变为曲线C上的点(x，y)，依题意，得 由x＋y＝1得x2＋＝1，‎ 即曲线C的方程为x2＋＝1.‎ 故C的参数方程为(t为参数)．‎ ‎(2)由解得或 不妨设P1(1，0)，P2(0，2)，则线段P1P2的中点坐标为，所求直线斜率为k＝，‎ 于是所求直线方程为y－1＝，‎ 化为极坐标方程，并整理得2ρcos θ－4ρsin θ＝－3，‎ 即ρ＝.‎ ‎ 求解与极坐标有关的问题的主要方法 ‎(1)直接利用极坐标系求解，可与数形结合思想配合使用；‎ ‎(2)转化为直角坐标系，用直角坐标求解．‎ 使用后一种方法时，应注意若结果要求的是极坐标，还应将直角坐标化为极坐标．‎ ‎(2012·江苏，21C，10分)在极坐标系中，已知圆C经过点P，圆心为直线ρsin eq blc(rc)(avs4alco1(θ－f(π,3)))＝－与极轴的交点，求圆C的极坐标方程．‎ 解：在ρsin＝－中，令θ＝0，得ρ＝1，所以圆C的圆心坐标为(1，0)．‎ 如图所示，因为圆C经过点P，‎ 所以圆C的半径 PC＝＝1，‎ 于是圆C过极点，所以圆C的极坐标方程为ρ＝2cos θ.‎ ‎1．(2015·北京西城三模，4)在极坐标系中，过点且与极轴平行的直线方程是(　　)‎ A．ρ＝2 B．θ＝ C．ρcos θ＝2 D．ρsin θ＝2‎ ‎【答案】　D　点在直角坐标系下的坐标为，即(0，2)．‎ ‎∴过点(0，2)且与x轴平行的直线方程为y＝2.‎ 即为ρsin θ＝2.‎ ‎2．(2015·江西抚州质检，11(2))在极坐标系中，曲线C的方程是ρ＝4sin θ，过点作曲线C的切线，则切线长为(　　)‎ A．4 B. C．2 D．2 ‎【答案】　C　ρ＝4sin θ化为普通方程为x2＋(y－2)2＝4，点的直角坐标是A(2，2)，‎ 圆心到定点的距离、切线长及半径构成直角三角形．由勾股定理得，切线长为＝2.‎ ‎3．(2015·安徽合肥模拟，4)在极坐标系中，直线ρ(cos θ－sin θ)＝2与圆ρ＝4sin θ的交点的极坐标为(　　)‎ A. B. C. D. ‎【答案】　A　直线ρ(cos θ－sin θ)＝2化为直角坐标方程为x－y－2＝0，圆ρ＝4sin θ化为直角坐标方程为x2＋(y－2)2＝4，表示以(0，2)为圆心，半径等于2的圆．联立解得故直线和圆的交点坐标为(，1)，化成极坐标为.‎ ‎4．(2014·陕西宝鸡一模，15C)在极坐标系中，过圆ρ＝6cos θ的圆心，且垂直于极轴的直线的极坐标方程为________．‎ ‎【解析】　把ρ＝6cos θ两边同乘ρ，得ρ2＝6ρcos θ，所以圆的普通方程为x2＋y2－6x＝0，即(x－3)2＋y2＝9，圆心为(3，0)，故所求直线的极坐标方程为ρcos θ＝3.‎ ‎【答案】　ρcos θ＝3‎ ‎5．(2015·天津南开一模，13)极坐标系下，直线ρcos＝与圆ρ＝的公共点个数为________．‎ ‎【解析】　直线ρcos＝化为普通方程为x＋y＝，即x＋y－2＝0.‎ 圆ρ＝化为普通方程为x2＋y2＝2，表示圆心在原点，半径为的圆．所以圆心到直线的距离等于＝.故直线和圆相切．‎ ‎【答案】　1‎ ‎6．(2014·湖南十二校第二次联考，11)设极点与坐标原点重合，极轴与x轴正半轴重合，已知直线l的极坐标方程为 ρsin＝a，a∈R，圆C的参数方程是(θ为参数)．若圆C关于直线l对称 ‎，则a＝________.‎ ‎【解析】　将直线l的方程化为直角坐标方程为x－y＋2a＝0.由圆的参数方程可知圆心C的坐标为(2，2)，若圆C关于直线l对称，则直线l过圆心C，所以×2－2＋2a＝0，解得a＝－2.‎ ‎【答案】　－2‎ ‎7．(2015·广东惠州二模，14)极坐标系中，A，B分别是直线ρcos θ－ρsin θ＋5＝0和圆ρ＝2sin θ上的动点，则A，B两点之间距离的最小值是________．‎ ‎【解析】　直线ρcos θ－ρsin θ＋5＝0的直角坐标方程为x－y＋5＝0，‎ 圆ρ＝2sin θ，即ρ2＝2ρsin θ，‎ 化为直角坐标方程为x2＋(y－1)2＝1，表示以(0，1)为圆心、半径为1的圆．‎ 圆心到直线的距离d＝＝2，‎ ‎∴A，B两点之间距离的最小值是2－1.‎ ‎【答案】　2－1‎ 思路点拨：分别把所给的直线、圆的极坐标方程化为直角坐标方程，求出圆心到直线的距离d，则d－r即为所求．‎ ‎8．(2015·辽宁大连一模，23，10分)已知在极坐标系中点C的极坐标为.‎ ‎(1)求出以点C为圆心，半径为2的圆的极坐标方程(写出解题过程)并画出图形；‎ ‎(2)在直角坐标系中，以圆C所在极坐标系的极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立直角坐标系，点P是圆C上任意一点，Q(5，－)，M是线段PQ的中点，当点P在圆C上运动时，求点M的轨迹的普通方程．‎ 解：(1)如图，设圆C上任意一点A(ρ，θ)，则∠AOC＝θ－或－θ.‎ 由余弦定理得，AC2＝OA2＋OC2－2OA·OCcos，‎ 即4＋ρ2－4ρcos＝4，‎ ‎∴圆C的极坐标方程ρ＝4cos.‎ ‎(2)在直角坐标系中，点C的坐标为(1，)，可设圆C上任意一点P(1＋2cos α，＋2sin α)，又令M(x，y)，∵Q(5，－)，M是线段PQ的中点．‎ ‎∴M的参数方程为 即(α为参数)．‎ ‎∴点M的轨迹的普通方程为(x－3)2＋y2＝1.‎ ‎1．(2015·湖北，16，中)在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线l的极坐标方程为ρ(sin θ－3cos θ)＝0，曲线C的参数方程为(t为参数)，l与C相交于A，B两点，则|AB|＝________．‎ ‎【解析】　由题可知直线l为y＝3x.①‎ 又∵∴ ‎∴y2－x2＝4.②‎ 联立①②得8x2＝4，x＝±.‎ ‎∴A，B两点坐标为，‎ ，‎ ‎∴＝ ‎＝＝2.‎ ‎【答案】　2 ‎2．(2015·课标Ⅱ，23，10分，中)在直角坐标系xOy中，曲线C1：(t为参数，t≠0)，其中0≤α＜π.在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ＝2sin θ，C3：ρ＝2cos θ.‎ ‎(1)求C2与C3交点的直角坐标；‎ ‎(2)若C1与C2相交于点A，C1与C3相交于点B，求|AB|的最大值．‎ 解：(1)曲线C2的直角坐标方程为x2＋y2－2y＝0，曲线C3的直角坐标方程为x2＋y2－2x＝0.‎ 联立 解得或 所以C2与C3交点的直角坐标为(0，0)和.‎ ‎(2)曲线C1的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R，ρ≠0)，其中0≤α<π.‎ 因此A的极坐标为(2sin α，α)，B的极坐标为(2cos α，α)．‎ 所以|AB|＝|2sin α－2cos α|‎ ‎＝4.‎ 当α＝时，|AB|取得最大值，最大值为4.‎ ‎3．(2015·湖南，16Ⅱ，6分，中)已知直线l：(t为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ＝2cos θ.‎ ‎(1)将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程；‎ ‎(2)设点M的直角坐标为(5，)，直线l与曲线C的交点为A，B，求|MA|·|MB|的值．‎ 解：(1)ρ＝2cos θ等价于 ρ2＝2ρcos θ.①‎ 将ρ2＝x2＋y2，ρcos θ＝x代入①，‎ 即得曲线C的直角坐标方程为 x2＋y2－2x＝0.②‎ ‎(2)将代入②，‎ 得t2＋5t＋18＝0.‎ 设这个方程的两个实根分别为t1，t2，‎ 则由参数t的几何意义即知，‎ ‎|MA|·|MB|＝|t1t2|＝18.‎ ‎1．(2014·北京，3，易)曲线(θ为参数)的对称中心(　　)‎ A．在直线y＝2x上 B．在直线y＝－2x上 C．在直线y＝x－1上 D．在直线y＝x＋1上 ‎【答案】　B　将曲线方程化成普通方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝1，该曲线表示以 ‎(－1，2)为圆心，1为半径的圆，故对称中心为(－1，2)，在直线y＝－2x上，故选B.‎ ‎2．(2014·安徽，4，易)以平面直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位．已知直线l的参数方程是(t为参数)，圆C的极坐标方程是ρ＝4cos θ，则直线l被圆C截得的弦长为(　　)‎ A. B．2 C. D．2 ‎【答案】　D　由题意知，直线l的直角坐标方程为x－y－4＝0，圆C的直角坐标方程为x2＋y2＝4x，即(x－2)2＋y2＝4.∵圆心(2，0)到直线x－y－4＝0的距离为d＝＝，‎ ‎∴弦长为2＝2. ‎ ‎3．(2014·湖北，16，易)已知曲线C1的参数方程是(t为参数)．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程是ρ＝2，则C1与C2交点的直角坐标为________．‎ ‎【解析】　将曲线C1的参数方程化为普通方程为y＝x(x≥0)，将曲线C2的极坐标方程化为直角坐标方程为x2＋y2＝4，联立解得故曲线C1与C2交点的直角坐标为(，1)．‎ ‎【答案】　(，1)‎ ‎4．(2013·重庆，15，易)在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，若极坐标方程为ρcos θ＝4的直线与曲线(t为参数)相交于A，B两点，则|AB|＝________.‎ ‎【解析】　极坐标方程ρcos θ＝4化为普通方程为x＝4，‎ 代入得t＝±2，‎ 当t＝2时，y＝8；当t＝－2时，y＝－8.‎ 所以两个交点坐标分别为(4，8)，(4，－8)．从而|AB|＝16.‎ ‎【答案】　16‎ ‎5．(2012·湖南，9，易)在直角坐标系xOy中，已知曲线C1：(t为参数)与曲线C2：(θ为参数，a>0)有一个公共点在x轴上，则a＝________．‎ ‎【解析】　曲线C1的普通方程为y＝－2x＋3，曲线C2的普通方程为＋＝1，直线y＝－2x＋3与x轴的交点为，代入C2的方程，可得a＝.‎ ‎【答案】　 ‎6．(2014·福建，21(2)，7分，易)已知直线l的参数方程为(t为参数)，圆C的参数方程为(θ为参数)．‎ ‎(1)求直线l和圆C的普通方程；‎ ‎(2)若直线l与圆C有公共点，求实数a的取值范围．‎ 解：(1)直线l的普通方程为2x－y－2a＝0，‎ 圆C的普通方程为x2＋y2＝16.‎ ‎(2)因为直线l与圆C有公共点，‎ 故圆C的圆心到直线l的距离d＝≤4，解得－2≤a≤2.‎ ‎7．(2014·江苏，21C，10分，易)在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为(t为参数)，直线l与抛物线y2＝4x相交于A，B两点，求线段AB的长．‎ 解：将直线l的参数方程代入抛物线方程y2＝4x，得＝4，解得t1＝0，t2＝－8.所以AB＝|t1－t2|＝8.‎ ‎8．(2013·课标Ⅱ，23，10分，中)已知动点P，Q都在曲线C：(t为参数)上，对应参数分别为t＝α与t＝2α(0＜α＜2π)，M为PQ的中点．‎ ‎(1)求M的轨迹的参数方程；‎ ‎(2)将M到坐标原点的距离d表示为α的函数，并判断M的轨迹是否过坐标原点．‎ 解：(1)依题意有P(2cos α，2sin α)，Q(2cos 2α，2sin 2α)，‎ 因此M(cos α＋cos 2α，sin α＋sin 2α)．‎ M的轨迹的参数方程为 (α为参数，0<α<2π)．‎ ‎(2)M点到坐标原点的距离 d＝＝(0<α<2π)．‎ 当α＝π时，d＝0，故M的轨迹过坐标原点．‎ 考向1　参数方程与普通方程的互化 常见的参数方程 ‎(1)直线的参数方程 若直线过(x0，y0)，α为直线的倾斜角，则直线的参数方程为(t为参数)，其中参数t的几何意义是直线上定点P0到动点P的有向线段P0P的数量，若动点P在定点P0的上方，则t>0；若动点P在定点P0的下方，则t<0；若动点P与定点P0重合，则t＝0.定点P0到动点P的距离是|P0P|＝|t|.‎ ‎(2)圆的参数方程 若圆心在点M0(x0，y0)，半径为r，则圆的参数方程为 (θ为参数)．‎ ‎(3)椭圆＋＝1(a>b>0)的参数方程为 (θ为参数)．‎ ‎(4)双曲线－＝1(a>0，b>0)的参数方程为 (θ为参数)．‎ ‎(5)抛物线y2＝2px(p>0)的参数方程为 (t为参数)．‎ ‎(2014·课标Ⅰ，23，10分)已知曲线C：＋＝1，直线l：(t为参数)．‎ ‎(1)写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程；‎ ‎(2)过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线，交l于点A，求|PA|的最大值与最小值．‎ ‎【思路导引】　(1)利用同角三角函数的平方关系将椭圆的标准方程化为参数方程(常见的)，利用消元法求出直线l的普通方程；(2)利用点到直线的距离公式进行转化求解．‎ ‎【解析】　(1)曲线C的参数方程为(θ为参数)．‎ 直线l的普通方程为2x＋y－6＝0.‎ ‎(2)曲线C上任意一点P(2cos θ，3sin θ)到l的距离为 d＝|4cos θ＋3sin θ－6|.‎ 则|PA|＝＝|5sin(θ＋α)－6|，其中α为锐角，且tan α＝.‎ 当sin(θ＋α)＝－1时，|PA|取得最大值，最大值为.‎ 当sin(θ＋α)＝1时，|PA|取得最小值，最小值为.‎ ‎ 1.将参数方程化为普通方程的方法 将参数方程化为普通方程，需要根据参数方程的结构特征，选取适当的消参方法．常见的消参方法有：代入消参法、加减消参法、平方消参法等，对于含三角函数的参数方程，常利用同角三角函数关系式消参，如sin2θ＋cos2θ＝1.‎ ‎2．将普通方程化为参数方程的方法 只要适当选取参数t，确定x＝φ(t)，再代入普通方程，求得y＝ψ(t)，即可化为参数方程 选取参数的原则是：①曲线上任意一点的坐标与参数的关系比较明显且关系相对简单；②当参数取某一值时，可以唯一确定x，y的值．一般地，与时间有关的问题，常取时间作参数；与旋转有关的问题，常取旋转角作参数．此外也常常用线段的长度，直线的倾斜角、斜率、截距等作参数．‎ 将参数方程化为普通方程时，要注意两种方程的等价性，不要增解；确定曲线的参数方程时，一定要根据实际问题的要求确定参数的取值范围．必要时通过限制参数的范围去掉多余的解．‎ ‎(1)(2013·陕西，15C)如图，以过原点的直线的倾斜角θ为参数，则圆x2＋y2－x＝0的参数方程为________．‎ ‎(2)(2013·湖南，9)在平面直角坐标系xOy中，若直线l：(t为参数)过椭圆C：(φ为参数)的右顶点，则常数a的值为________．‎ ‎【解析】　(1)如图，圆的半径为，记圆心为C，连接CP，‎ 则∠PCx＝2θ，故xP＝＋cos 2θ＝cos2θ，yP＝sin 2θ＝sin θcos θ(θ为参数)．‎ 故圆的参数方程为(θ为参数)．‎ ‎(2)由直线l的参数方程(t为参数)消去参数t，得直线l的一般方程为y＝x－a，由椭圆的参数方程可知其右顶点为(3，0)．因为直线l过椭圆的右顶点，所以3－a＝0，即a＝3.‎ ‎【答案】　(1)(θ为参数)　(2)3‎ 考向2　参数方程与极坐标方程的综合应用 ‎(2014·课标Ⅱ，23，10分)在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C的极坐标方程为ρ＝2cos θ，θ∈.‎ ‎(1)求C的参数方程；‎ ‎(2)设点D在C上，C在D处的切线与直线l：y＝x＋2垂直，根据(1)中你得到的参数方程，确定D的坐标．‎ ‎【思路导引】　(1)先写出直角坐标方程，再写出参数方程；(2)利用参数方程的几何意义求出点的坐标．‎ ‎【解析】　(1)C的直角坐标方程为(x－1)2＋y2＝1(0≤y≤1)．‎ 可得C的参数方程为(t为参数，0≤t≤π)．‎ ‎(2)设D(1＋cos t，sin t)，由(1)知C是以G(1，0)为圆心，1为半径的上半圆．‎ 因为C在点D处的切线与l垂直，所以直线GD与l的斜率相同，‎ tan t＝，t＝，‎ 故D的直角坐标为，即.‎ ‎【点拨】　本题要注意极坐标方程中对θ的限定，在写直角坐标方程及对应的参数方程时对变量作相应的限定．‎ ‎ 转化与化归思想在参数方程、极坐标问题中的运用 在对坐标系与参数方程的考查中，最能体现坐标法的解题优势，灵活地利用坐标法可以使问题得到简捷的解答．例如，将题设条件中涉及的极坐标方程和参数方程等价转化为直角坐标方程，然后在直角坐标系下对问题进行求解就是一种常见的解题方法，对应数学问题求解的“化生为熟”原则，充分体现了转化与化归的数学思想．‎ ‎(2013·辽宁，23，10分)在直角坐标系xOy中，以O为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．圆C1，直线C2的极坐标方程分别为ρ＝4sin θ，ρcos＝2.‎ ‎(1)求C1与C2交点的极坐标；‎ ‎(2)设P为C1的圆心，Q为C1与C2交点连线的中点．已知直线PQ的参数方程为(t∈R为参数)，求a，b的值．‎ 解：(1)圆C1的直角坐标方程为x2＋(y－2)2＝4，‎ 直线C2的直角坐标方程为x＋y－4＝0.‎ 联立 解得 所以C1与C2交点的极坐标为 ，.‎ 注：极坐标系下点的表示不唯一．‎ ‎(2)由(1)可得，P点与Q点的直角坐标分别为(0，2)，(1，3)．故直线PQ的直角坐标方程为x－y＋2＝0.‎ 由参数方程可得y＝(x－a)＋1＝x－＋1，‎ 所以 解得a＝－1，b＝2.‎ ‎1．(2015·江西南昌模拟，11(2))已知曲线C的参数方程(t为参数)，C在点(1，1)处的切线为l，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则l的极坐标方程为(　　)‎ A．ρ＝sin B．ρsin＝ C．ρsin＝2‎ D．ρ＝sin ‎【答案】　B　把曲线C的参数方程(t为参数)，消去参数化为普通方程为x2＋y2＝2，曲线C在点(1，1)处的切线为l：x＋y＝2，化为极坐标方程为ρcos θ＋ρsin θ＝2，即 ρsin＝，故选B.‎ ‎2．(2015·北京东城模拟，6)已知曲线C的极坐标方程是ρ＝1，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l的参数方程是(t为参数)，则直线l与曲线C相交所截的弦长为(　　)‎ A. B. C．2 D．3‎ ‎【答案】　B　曲线C的直角坐标方程为x2＋y2＝1，直线l的直角坐标方程为3x－4y＋3＝0.‎ 圆心到直线的距离d＝＝.‎ ‎∴直线l与曲线C相交所截的弦长为2＝.故选B.‎ ‎3．(2015·湖南株洲模拟，11)已知直角坐标系xOy中，直线l的参数方程：(t为参数)，以直角坐标系的原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，则以极点为圆心且与直线l相切的圆的极坐标方程为________．‎ ‎【解析】　直线l的直角坐标方程为x－y＋＝0.‎ ‎∴原点到直线的距离r＝＝1.‎ ‎∴以极点为圆心且与直线l相切的圆的极坐标方程为ρ＝1.‎ ‎【答案】　ρ＝1‎ ‎4．(2014·广东中山模拟，14)在平面直角坐标系中，已知直线l的参数方程为(s为参数)，曲线C的参数方程为(t为参数)，若l与C相交于A，B两点，则|AB|＝________.‎ ‎【解析】　直线l的直角坐标方程为x＋y＝2，曲线C的直角坐标方程为y＝(x－2)2(y≥0)，联立两方程得x2－3x＋2＝0，求得两交点坐标为(1，1)，(2，0)，所以|AB|＝.‎ ‎【答案】　 ‎5．(2015·湖北武昌质检，16)已知曲线C1的参数方程是(t为参数)，曲线C2的参数方程是(t为参数)．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C3的极坐标方程是ρ＝1.若C1与C2分曲线C3所成长度相等的四段弧，则a2＋b2＝________．‎ ‎【解析】　由题意得，C1的直角坐标方程为y＝x＋a，C2的直角坐标方程为y＝x＋b，‎ 因为曲线C3的直角坐标方程为x2＋y2＝1，‎ 因为C1与C2分曲线C3所成长度相等的四段弧，‎ 所以直线y＝x＋a，y＝x＋b与圆x2＋y2＝1相交截得的弦长所对的圆心角是90°，‎ 则圆心到直线的距离d＝，即＝，解得a＝±1，‎ 同理，b＝±1，所以a2＋b2＝2.‎ ‎【答案】　2‎ ‎6．(2015·吉林长春质检，23，10分)在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的参数方程为(t为参数)，曲线C1的方程为ρ(ρ－4sin θ)＝12，定点A(6，0)，点P是曲线C1上的动点，Q为AP的中点．‎ ‎(1)求点Q的轨迹C2的直角坐标方程；‎ ‎(2)直线l与直线C2交于A，B两点，若|AB|≥2，求实数a的取值范围．‎ 解：(1)根据题意，得 曲线C1的直角坐标方程为x2＋y2－4y＝12，‎ 设点P(x′，y′)，Q(x，y)，‎ 根据中点坐标公式，得 代入x2＋y2－4y＝12，‎ 得点Q的轨迹C2的直角坐标方程为(x－3)2＋(y－1)2＝4，‎ ‎(2)直线l的直角坐标方程为y＝ax，根据题意，得圆心(3，1)到直线的距离d≤＝1，即≤1，解得0≤a≤.‎ ‎∴实数a的取值范围为.‎ ‎7．(2015·黑龙江大庆二模，23，10分)已知圆锥曲线C：(α为参数)和定点A(0，)，F1，F2是此圆锥曲线的左、右焦点，以原点O为极点，以x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．‎ ‎(1)求直线AF2的直角坐标方程；‎ ‎(2)经过点F1且与直线AF2垂直的直线l交此圆锥曲线于M，N两点，求||MF1|－|NF1||的值．‎ 解：(1)圆锥曲线C的直角坐标方程为＋＝1，可得F2(1，0)，‎ ‎∴直线AF2的直角坐标方程为＋＝1，即y＝－x＋.‎ ‎(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)．‎ ‎∵直线AF2的斜率为－，∴直线l的斜率为.‎ ‎∴直线l的参数方程为(t为参数)，‎ 代入椭圆方程可得3＋4＝12，‎ 整理得13t2－12t－36＝0，∴t1＋t2＝，‎ ‎∴||MF1|－|NF1||＝|t1＋t2|＝.‎ ‎8．(2015·河南郑州质检，23，10分)在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ＝2cos，直线l的参数方程为(t为参数)，直线l和圆C交于A，B两点，P是圆C上不同于A，B的任意一点．‎ ‎(1)求圆心的极坐标；‎ ‎(2)求△PAB面积的最大值．‎ 解：(1)由圆C的极坐标方程为 ρ＝2cos(θ＋)，得 ρ2＝2，‎ 把代入可得圆C的直角坐标方程为x2＋y2－2x＋2y＝0，即(x－1)2＋(y＋1)2＝2.‎ ‎∴圆心坐标为(1，－1)，‎ ‎∴圆心的极坐标为.‎ ‎(2)由题意，得直线l的直角坐标方程为2x－y－1＝0.‎ ‎∴圆心(1，－1)到直线l的距离d＝＝，‎ ‎∴|AB|＝2＝2＝.‎ 点P到直线l的距离的最大值为r＋d＝＋＝，‎ ‎∴Smax＝××＝.‎