【数学】2019届一轮复习北师大版 不等式选讲 学案

【数学】2019届一轮复习北师大版 不等式选讲 学案

‎【命题热点突破一】含绝对值的不等式的解法 例1、【2017课标3，理23】已知函数f（x）=│x+1│–│x–2│.‎ ‎（1）求不等式f（x）≥1的解集；‎ ‎【答案】(1) ；‎ ‎(2) ‎ ‎【变式探究】【2016高考新课标1卷】（本小题满分10分）,选修4—5 不等式选讲 已知函数.‎ ‎（I）在答题卡第（24）题图中画出的图像；‎ ‎（II）求不等式的解集．‎ ‎【答案】（I）见解析（II）‎ ‎【解析】⑴如图所示 ‎ ‎【变式探究】已知函数f(x)＝|2x－a|＋|x＋1|.‎ ‎(1)当a＝1时，解不等式f(x)<3；‎ ‎(2)若f(x)的最小值为1，求a的值．‎ ‎【解析】(1)因为f(x)＝|2x－1|＋|x＋1|＝ 且f(1)＝f(－1)＝3，‎ 所以f(x)＜3的解集为{x|－1＜x＜1}．学 ‎ ‎(2)|2x－a|＋|x＋1|＝|x－|＋|x＋1|＋|x－|≥|1＋|＋0＝|1＋|，‎ 当且仅当(x＋1)(x－)≤0且x－＝0时，取等号．‎ 所以|1＋|＝1，解得a＝－4或0. ‎ ‎【特别提醒】解含有绝对值的不等式的基本解法是分段去绝对值后，转化为几个不等式组的解，最后求并集得出原不等式的解集．‎ ‎【变式探究】 ‎ 已知函数f(x)＝2|x＋2|－|x－a|(a∈R)．‎ ‎(1)当a＝4时，求不等式f(x)≤0的解集；‎ ‎(2)当a>－2时，若函数f(x)的图像与x轴所围成的封闭图形的面积不超过54，求a的最大值．‎ ‎【解析】(1)当a＝4时，f(x)≤0，即2|x＋2|－|x－4|≤0，即2|x＋2|≤|x－4|，两边平方得4x2＋16x＋16≤x2－8x＋16，即x2＋8x≤0，解得－8≤x≤0，即不等式f(x)≤0的解集为[－8，0]．(或者分段去绝对值求解)‎ ‎【命题热点突破二】不等式的证明 例2、【2017课标II，理23】已知。证明 ‎ ‎（1）；‎ ‎（2）。‎ ‎【答案】(1)证明略；(2)证明略。‎ ‎【解析】（1）‎ ‎（2）因为 所以，因此a+b≤2.‎ ‎【变式探究】【2016高考新课标2理数】 ‎ 已知函数，为不等式的解集．‎ ‎（Ⅰ）求；‎ ‎（Ⅱ）证明 当时，．‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）详见解析.‎ ‎【解析】（I）‎ 当时，由得解得；‎ 当时， ；‎ 当时，由得解得.‎ 所以的解集.‎ ‎【变式探究】[2015·全国卷Ⅱ] 设a，b，c，d均为正数，且a＋b＝c＋d，证明 ‎ ‎(1)若ab>cd，则＋>＋；‎ ‎(2)＋>＋是|a－b|<|c－d|的充要条件．‎ 证明 (1)(＋)2＝a＋b＋2 ，‎ ‎(＋)2＝c＋d＋2 ，‎ 由题设a＋b＝c＋d，ab>cd，‎ 得(＋)2>(＋)2，‎ 因此＋>＋.‎ ‎【特别提醒】证明不等式的基本方法有综合法、分析法、反证法、放缩法、数学归纳法等．不等式的性质和重要不等式是证明其他不等式的主要工具，要特别注意柯西不等式的应用．‎ ‎【变式探究】‎ ‎(1)已知a，b都是正实数，求证 ＋≥2 －2.‎ ‎(2)已知实数a，b，c，d满足a＋b＋c＋d＝3，a2＋2b2＋‎3c2＋6d2＝5，求a的取值范围．‎ ‎【解析】(1)证明 方法一 (代数换元法)设a＋2b＝x，a＋b＝y，则a＝2y－x，b＝x－y，且x，y为正实数．‎ ＋＝＋＝＋－2≥2 －2，当且仅当x＝y时取等号．学 ‎ 方法二 (配凑法)＋＝＋1＋＋1－2＝＋－2≥2 －2，当且仅当a＋2b＝(a＋b)时取等号．‎ ‎(2)由柯西不等式得(2b2＋‎3c2＋6d2)≥(b＋c＋d)2，即2b2＋‎3c2＋6d2≥(b＋c＋d)2.由条件可得5－a2≥(3－a)2，解得1≤a≤2，即a的取值范围是[1，2]．‎ ‎【命题热点突破三】　绝对值不等式与不等式证明的综合 例3 、【2017课标1，理】已知函数f（x）=–x2+ax+4，g(x)=│x+1│+│x–1│.‎ ‎（1）当a=1时，求不等式f（x）≥g（x）的解集；‎ ‎（2）若不等式f（x）≥g（x）的解集包含[–1，1]，求a的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎（2）当时， .‎ 所以的解集包含，等价于当时.‎ 又在的学 最小值必为与之一，所以且，得.‎ 所以的取值范围为.‎ ‎【变式探究】【2016高考新课标2理数】 ‎ 已知函数，为不等式的解集．‎ ‎（Ⅰ）求；‎ ‎（Ⅱ）证明 当时，．‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）详见解析.‎ ‎【解析】（I）‎ 当时，由得解得；‎ 当时， ；‎ 当时，由得解得.‎ 所以的解集.‎ ‎【变式探究】已知函数f(x)＝的定义域为R.‎ ‎(1)求实数m的取值范围；‎ ‎(2)若m的最大值为n，当正数a，b满足＋＝n时，求‎7a＋4b的最小值．‎ ‎【解析】(1)因为该函数的定义域为R，所以|x＋1|＋|x－3|－m≥0恒成立．‎ 设函数g(x)＝|x＋1|＋|x－3|，则m不大于函数g(x)的最小值，‎ 又|x＋1|＋|x－3|≥|(x＋1)－(x－3)|＝4，即g(x)的最小值为4，所以m≤4.‎ ‎(2)由(1)知n＝4，‎ 所以‎7a＋4b＝＝ ‎＝≥＝，当且仅当a＋2b＝‎3a＋b，即b＝‎2a＝时，等号成立．‎ 所以‎7a＋4b的最小值为.学 ‎ ‎【特别提醒】使用绝对值三角不等式求含有两个绝对值符号的函数的最值时，注意利用恒等变换的方法创造使用重要不等式(均值不等式、柯西不等式等)的条件．‎ ‎【变式探究】‎ 已知函数f(x)＝|x|－2|x－3|.‎ ‎(1)求不等式f(x)≥－10的解集；‎ ‎(2)记f(x)的最大值为m，且a，b，c为正实数，求证 当a＋b＋c＝m时，ab＋bc＋ca≤m≤a2＋b2＋c2.‎ ‎【解析】(1)f(x)＝|x|－2|x－3|＝ 当x≤0时，x－6≥－10，∴－4≤x≤0；‎ 当00.‎ ‎(1)当a＝1时，求不等式f(x)>1的解集；‎ ‎(2)若f(x)的图象与x轴围成的三角形面积大于6，求a的取值范围．‎ ‎【解析】(1)当a＝1时，f(x)>1化为|x＋1|－2|x－1|－1>0.‎ 当x≤－1时，不等式化为x－4>0，无解；‎ 当－10，解得0，解得1≤x<2.‎ 所以f(x)>1的解集为 .‎ ‎ ‎ ‎1.【2014高考安徽卷理第9题】若函数的最小值为3，则实数的值为（ ）‎ A.5或8 B.或5 C.或 D.或8‎ ‎【答案】D ‎【解析】由题意，①当时，即，，则当时，，解得或（舍）；②当时，即，，则当时，，解得（舍）或；③当时，即，，此时，不满足题意，所以或，故选D.‎ ‎2. 【2014陕西高考理第15题】设，且，则的最小值为 ‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由柯西不等式得 ，所以，得 所以，故答案为。‎ ‎3. 【2014高考广东卷理第9题】不等式的解集为 .‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】令，则，‎ ‎（1）当时，由得，解得，此时有；‎ ‎（2）当时，，此时不等式无解；‎ ‎（3）当时，由得，解得，此时有；‎ 综上所述，不等式的解集为.[ 学 ]‎ ‎4. 【2014高考湖南卷第13题】若关于的不等式的解集为，则________.‎ ‎【答案】-3 ‎ ‎ ‎ ‎5. 【2014江西高考理第11题】对任意,的最小值为（ ）‎ ‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】C ‎【解析】因为，当且仅当 时取等号，所以的最小值为，选C. ‎ ‎6. 【2014重庆高考理第16题】若不等式对任意实数恒成立，则实数 的取值范围是____________.‎ ‎【答案】‎ ‎ ‎ 由图可知 ‎ 由题意得 ，解这得 ‎ 所以答案应填 ‎ ‎7. 【2014高考福建理第21（3）题】已知定义在R上的函数的最小值为.‎ ‎（I）求的值； ‎ ‎（II）若为正实数，且，求证 .‎ ‎【答案】（I）;（II）参考解析 ‎【解析】（I）因为,当且仅当时,等号成立,所以 的最小值等于3,即.学 ‎ ‎（II）由（I）知,又因为是正数,所以 ‎,即.‎ ‎9. 【2014高考江苏第21题】已知，证明 ‎ ‎【答案】证明见解析.‎ ‎ ‎ ‎10. 【2014高考江苏第21B题】已知矩阵，向量，是实数，若，求的值.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 由题意得，解得.∴.‎ ‎11. 【2014高考辽宁理第24题】设函数，，记的解集为M，的解集为N.‎ ‎（Ⅰ）求M；‎ ‎(Ⅱ)当时，证明 .‎ ‎【答案】（1）；（2）详见解析.‎ ‎【解析】 ‎ ‎（1） ‎ 当时，由得，故；‎ 当时，由得，故；‎ 所以的解集为.‎ ‎（2）由得解得，因此，故.‎ 当时，，于是 ‎.‎ ‎12. 【2014高考全国1第24题】若，且.‎ ‎（Ⅰ）求的最小值；‎ ‎（Ⅱ）是否存在，使得？并说明理由.‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）不存在．‎ ‎13. 【2014高考全国2第24题】设函数=‎ ‎（Ⅰ）证明 2； ‎ ‎（Ⅱ）若，求的取值范围.[ 学 ]‎ ‎【答案】（1）见解析（2）‎ ‎（2013·新课标I理）（24）（本小题满分10分）选修4—5 不等式选讲 已知函数f(x)＝|2x－1|＋|2x＋a|，g(x)=x+3.‎ ‎（Ⅰ）当a=-2时，求不等式f(x)＜g(x)的解集；‎ ‎（Ⅱ）设a＞－1，且当x∈[－，)时，f(x)≤g(x)，求a的取值范围.‎ ‎【答案】‎ 当时，令，，做出函数图像可知，当时，，故原不等式的解集为；学 ‎ ‎（2）依题意，原不等式化为，故对都成立，故，故，故的取值范围是.‎