2020年秋人教版八年级数学上册期末试卷（1）

2020年秋人教版八年级数学上册期末试卷（1）

2020 年秋人教版八年级数学上册期末试卷（1） 一、选择题：（每小题 3 分，共 30 分） 1．（3 分）在以下永洁环保、绿色食品、节能、绿色环保四个标志中，是轴对称 图形是（ ） A． B． C． D． 2．（3 分）王师傅用 4 根木条钉成一个四边形木架，如图．要使这个木架不变形， 他至少还要再钉上几根木条？（ ） A．0 根 B．1 根 C．2 根 D．3 根 3．（3 分）如图，已知△ABE≌△ACD，∠1=∠2，∠B=∠C，不正确的等式是 （ ） A．AB=AC B．∠BAE=∠CAD C．BE=DC D．AD=DE 4．（3 分）如图，一个等边三角形纸片，剪去一个角后得到一个四边形，则图中 ∠α+∠β的度数是（ ） A．180°B．220°C．240°D．300° 5．（3 分）下列计算正确的是（ ） A．2a+3b=5ab B．（x+2）2=x2+4 C．（ab3）2=ab6 D．（﹣1）0=1 6．（3 分）如图，给出了正方形 ABCD 的面积的四个表达式，其中错误的是（ ） A．（x+a）（x+a） B．x2+a2+2ax C．（x﹣a）（x﹣a） D．（x+a）a+（x+a）x 7．（3 分）下列式子变形是因式分解的是（ ） A．x2﹣5x+6=x（x﹣5）+6 B．x2﹣5x+6=（x﹣2）（x﹣3） C．（x﹣2）（x﹣3）=x2﹣5x+6 D．x2﹣5x+6=（x+2）（x+3） 8．（3 分）若分式 有意义，则 a 的取值范围是（ ） A．a=0 B．a=1 C．a≠﹣1 D．a≠0 9．（3 分）化简 的结果是（ ） A．x+1 B．x﹣1C．﹣x D．x 10．（3 分）下列各式：①a0=1；②a2•a3=a5；③2﹣2=﹣ ；④﹣（3﹣5）+（﹣2） 4÷8×（﹣1）=0；⑤x2+x2=2x2，其中正确的是（ ） A．①②③ B．①③⑤ C．②③④ D．②④⑤ 11．（3 分）随着生活水平的提高，小林家购置了私家车，这样他乘坐私家车上 学比乘坐公交车上学所需的时间少用了 15 分钟，现已知小林家距学校 8 千米， 乘私家车平均速度是乘公交车平均速度的 2.5 倍，若设乘公交车平均每小时走 x 千米，根据题意可列方程为（ ） A． B． C． D． 12．（3 分）如图，已知∠1=∠2，要得到△ABD≌△ACD，还需从下列条件中补 选一个，则错误的选法是（ ） A．AB=AC B．DB=DC C．∠ADB=∠ADC D．∠B=∠C 二、填空题：（每空 3 分，共 18 分） 13．（3 分）分解因式：x3﹣4x2﹣12x= ． 14．（3 分）若分式方程： 有增根，则 k= ． 15．（3 分）如图所示，已知点 A、D、B、F 在一条直线上，AC=EF，AD=FB，要 使△ABC≌△FDE，还需添加一个条件，这个条件可以是 ．（只需填一个即可） 16．（3 分）如图，在△ABC 中，AC=BC，△ABC 的外角∠ACE=100°，则∠A= 度． 17．（3 分）如图，边长为 m+4 的正方形纸片剪出一个边长为 m 的正方形之后， 剩余部分可剪拼成一个矩形，若拼成的矩形一边长为 4，则另一边长为 ． 18．（3 分）已知 2+ =22× ，3+ =32× ，4+ =42× ，…，若 10+ =102× （a，b 为正整数），则 a+b= ． 三.解答下列各题：（本题共 7 题，共 66 分） 19．（9 分）先化简，再求值：5（3a2b﹣ab2）﹣3（ab2+5a2b），其中 a= ，b=﹣ ． 20．（9 分）给出三个多项式： x2+2x﹣1， x2+4x+1， x2﹣2x．请选择你最喜 欢的两个多项式进行加法运算，并把结果因式分解． 21．（9 分）解方程： = ． 22．（9 分）已知：如图，△ABC 和△DBE 均为等腰直角三角形． （1）求证：AD=CE； （2）求证：AD 和 CE 垂直． 23．（9 分）如图，CE=CB，CD=CA，∠DCA=∠ECB，求证：DE=AB． 24．（9 分）某县为了落实中央的“强基惠民工程”，计划将某村的居民自来水管道 进行改造．该工程若由甲队单独施工恰好在规定时间内完成；若乙队单独施工， 则完成工程所需天数是规定天数的 1.5 倍．如果由甲、乙队先合做 15 天，那么 余下的工程由甲队单独完成还需 5 天． （1）这项工程的规定时间是多少天？ （2）已知甲队每天的施工费用为 6500 元，乙队每天的施工费用为 3500 元．为 了缩短工期以减少对居民用水的影响，工程指挥部最终决定该工程由甲、乙队合 做来完成．则该工程施工费用是多少？ 25．（12 分）如图，在△ABC 中，AB=AC，CD⊥AB 于点 D，CE 为△ACD 的角平分 线，EF⊥BC 于点 F，EF 交 CD 于点 G．求证：BE=CG． 参考答案与试题解析 一、选择题：（每小题 3 分，共 30 分） 1．（3 分）在以下永洁环保、绿色食品、节能、绿色环保四个标志中，是轴对称 图形是（ ） A． B． C． D． 【考点】轴对称图形． 【分析】据轴对称图形的概念求解．如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完 全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴． 【解答】解：A、不是轴对称图形，不符合题意； B、是轴对称图形，符合题意； C、不是轴对称图形，不符合题意； D、不是轴对称图形，不符合题意． 故选 B． 【点评】本题主要考查轴对称图形的知识点．确定轴对称图形的关键是寻找对称 轴，图形两部分折叠后可重合． 2．（3 分）王师傅用 4 根木条钉成一个四边形木架，如图．要使这个木架不变形， 他至少还要再钉上几根木条？（ ） A．0 根 B．1 根 C．2 根 D．3 根 【考点】三角形的稳定性． 【专题】存在型． 【分析】根据三角形的稳定性进行解答即可． 【解答】解：加上 AC 后，原不稳定的四边形 ABCD 中具有了稳定的△ACD 及△ ABC， 故这种做法根据的是三角形的稳定性． 故选：B． 【点评】本题考查的是三角形的稳定性在实际生活中的应用，比较简单． 3．（3 分）如图，已知△ABE≌△ACD，∠1=∠2，∠B=∠C，不正确的等式是 （ ） A．AB=AC B．∠BAE=∠CAD C．BE=DC D．AD=DE 【考点】全等三角形的性质． 【分析】根据全等三角形的性质，全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应 角相等，即可进行判断． 【解答】解：∵△ABE≌△ACD，∠1=∠2，∠B=∠C， ∴AB=AC，∠BAE=∠CAD，BE=DC，AD=AE， 故 A、B、C 正确； AD 的对应边是 AE 而非 DE，所以 D 错误． 故选 D． 【点评】本题主要考查了全等三角形的性质，根据已知的对应角正确确定对应边 是解题的关键． 4．（3 分）如图，一个等边三角形纸片，剪去一个角后得到一个四边形，则图中 ∠α+∠β的度数是（ ） A．180°B．220°C．240°D．300° 【考点】等边三角形的性质；多边形内角与外角． 【专题】探究型． 【分析】本题可先根据等边三角形顶角的度数求出两底角的度数和，然后在四边 形中根据四边形的内角和为 360°，求出∠α+∠β的度数． 【解答】解：∵等边三角形的顶角为 60°， ∴两底角和=180°﹣60°=120°； ∴∠α+∠β=360°﹣120°=240°； 故选 C． 【点评】本题综合考查等边三角形的性质及三角形内角和为 180°，四边形的内角 和是 360°等知识，难度不大，属于基础题 5．（3 分）下列计算正确的是（ ） A．2a+3b=5ab B．（x+2）2=x2+4 C．（ab3）2=ab6 D．（﹣1）0=1 【考点】完全平方公式；合并同类项；幂的乘方与积的乘方；零指数幂． 【分析】A、不是同类项，不能合并； B、按完全平方公式展开错误，掉了两数积的两倍； C、按积的乘方运算展开错误； D、任何不为 0 的数的 0 次幂都等于 1． 【解答】解：A、不是同类项，不能合并．故错误； B、（x+2）2=x2+4x+4．故错误； C、（ab3）2=a2b6．故错误； D、（﹣1）0=1．故正确． 故选 D． 【点评】此题考查了整式的有关运算公式和性质，属基础题． 6．（3 分）如图，给出了正方形 ABCD 的面积的四个表达式，其中错误的是（ ） A．（x+a）（x+a） B．x2+a2+2ax C．（x﹣a）（x﹣a） D．（x+a）a+（x+a）x 【考点】整式的混合运算． 【专题】计算题． 【分析】根据正方形的面积公式，以及分割法，可求正方形的面积，进而可排除 错误的表达式． 【解答】解：根据图可知， S 正方形=（x+a）2=x2+2ax+a2=（x+a）a+（x+a）x 故选 C． 【点评】本题考查了整式的混合运算、正方形面积，解题的关键是注意完全平方 公式的掌握． 7．（3 分）下列式子变形是因式分解的是（ ） A．x2﹣5x+6=x（x﹣5）+6 B．x2﹣5x+6=（x﹣2）（x﹣3） C．（x﹣2）（x﹣3）=x2﹣5x+6 D．x2﹣5x+6=（x+2）（x+3） 【考点】因式分解的意义． 【专题】因式分解． 【分析】根据因式分解的定义：就是把整式变形成整式的积的形式，即可作出判 断． 【解答】解：A、x2﹣5x+6=x（x﹣5）+6 右边不是整式积的形式，故不是分解因 式，故本选项错误； B、x2﹣5x+6=（x﹣2）（x﹣3）是整式积的形式，故是分解因式，故本选项正确； C、（x﹣2）（x﹣3）=x2﹣5x+6 是整式的乘法，故不是分解因式，故本选项错误； D、x2﹣5x+6=（x﹣2）（x﹣3），故本选项错误． 故选 B． 【点评】本题考查的是因式分解的意义，把一个多项式化为几个整式的积的形式， 这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式． 8．（3 分）若分式 有意义，则 a 的取值范围是（ ） A．a=0 B．a=1 C．a≠﹣1 D．a≠0 【考点】分式有意义的条件． 【专题】计算题． 【分析】根据分式有意义的条件进行解答． 【解答】解：∵分式有意义， ∴a+1≠0， ∴a≠﹣1． 故选 C． 【点评】本题考查了分式有意义的条件，要从以下两个方面透彻理解分式的概念： （1）分式无意义 ⇔ 分母为零； （2）分式有意义 ⇔ 分母不为零； 9．（3 分）化简 的结果是（ ） A．x+1 B．x﹣1C．﹣x D．x 【考点】分式的加减法． 【专题】计算题． 【分析】将分母化为同分母，通分，再将分子因式分解，约分． 【解答】解： = ﹣ = = =x， 故选：D． 【点评】本题考查了分式的加减运算．分式的加减运算中，如果是同分母分式， 那么分母不变，把分子直接相加减即可；如果是异分母分式，则必须先通分，把 异分母分式化为同分母分式，然后再相加减． 10．（3 分）下列各式：①a0=1；②a2•a3=a5；③2﹣2=﹣ ；④﹣（3﹣5）+（﹣2） 4÷8×（﹣1）=0；⑤x2+x2=2x2，其中正确的是（ ） A．①②③ B．①③⑤ C．②③④ D．②④⑤ 【考点】负整数指数幂；有理数的混合运算；合并同类项；同底数幂的乘法；零 指数幂． 【专题】计算题． 【分析】分别根据 0 指数幂、同底数幂的乘法、负整数指数幂、有理数混合运算 的法则及合并同类项的法则对各小题进行逐一计算即可． 【解答】解：①当 a=0 时不成立，故本小题错误； ②符合同底数幂的乘法法则，故本小题正确； ③2﹣2= ，根据负整数指数幂的定义 a﹣p= （a≠0，p 为正整数），故本小题错 误； ④﹣（3﹣5）+（﹣2）4÷8×（﹣1）=0 符合有理数混合运算的法则，故本小题 正确； ⑤x2+x2=2x2，符合合并同类项的法则，本小题正确． 故选 D． 【点评】本题考查的是零指数幂、同底数幂的乘法、负整数指数幂、有理数混合 运算的法则及合并同类项的法则，熟知以上知识是解答此题的关键． 11．（3 分）随着生活水平的提高，小林家购置了私家车，这样他乘坐私家车上 学比乘坐公交车上学所需的时间少用了 15 分钟，现已知小林家距学校 8 千米， 乘私家车平均速度是乘公交车平均速度的 2.5 倍，若设乘公交车平均每小时走 x 千米，根据题意可列方程为（ ） A． B． C． D． 【考点】由实际问题抽象出分式方程． 【分析】根据乘私家车平均速度是乘公交车平均速度的 2.5 倍，乘坐私家车上学 比乘坐公交车上学所需的时间少用了 15 分钟，利用时间得出等式方程即可． 【解答】解：设乘公交车平均每小时走 x 千米，根据题意可列方程为： = + ， 故选：D． 【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，解题关键是正确找出题目 中的相等关系，用代数式表示出相等关系中的各个部分，把列方程的问题转化为 列代数式的问题． 12．（3 分）如图，已知∠1=∠2，要得到△ABD≌△ACD，还需从下列条件中补 选一个，则错误的选法是（ ） A．AB=AC B．DB=DC C．∠ADB=∠ADC D．∠B=∠C 【考点】全等三角形的判定． 【分析】先要确定现有已知在图形上的位置，结合全等三角形的判定方法对选项 逐一验证，排除错误的选项．本题中 C、AB=AC 与∠1=∠2、AD=AD 组成了 SSA 是不能由此判定三角形全等的． 【解答】解：A、∵AB=AC， ∴ ， ∴△ABD≌△ACD（SAS）；故此选项正确； B、当 DB=DC 时，AD=AD，∠1=∠2， 此时两边对应相等，但不是夹角对应相等，故此选项错误； C、∵∠ADB=∠ADC， ∴ ， ∴△ABD≌△ACD（ASA）；故此选项正确； D、∵∠B=∠C， ∴ ， ∴△ABD≌△ACD（AAS）；故此选项正确． 故选：B． 【点评】本题考查了三角形全等的判定定理，普通两个三角形全等共有四个定理， 即 AAS、ASA、SAS、SSS，但 SSA 无法证明三角形全等． 二、填空题：（每空 3 分，共 18 分） 13．（3 分）分解因式：x3﹣4x2﹣12x= x（x+2）（x﹣6） ． 【考点】因式分解-十字相乘法等；因式分解-提公因式法． 【分析】首先提取公因式 x，然后利用十字相乘法求解即可求得答案，注意分解 要彻底． 【解答】解：x3﹣4x2﹣12x =x（x2﹣4x﹣12） =x（x+2）（x﹣6）． 故答案为：x（x+2）（x﹣6）． 【点评】此题考查了提公因式法、十字相乘法分解因式的知识．此题比较简单， 注意因式分解的步骤：先提公因式，再利用其它方法分解，注意分解要彻底． 14．（3 分）若分式方程： 有增根，则 k= 1 ． 【考点】分式方程的增根． 【专题】计算题． 【分析】把 k 当作已知数求出 x= ，根据分式方程有增根得出 x﹣2=0，2﹣x=0， 求出 x=2，得出方程 =2，求出 k 的值即可． 【解答】解：∵ ， 去分母得：2（x﹣2）+1﹣kx=﹣1， 整理得：（2﹣k）x=2， ∵分式方程 有增根， ∴x﹣2=0， 解得：x=2， 把 x=2 代入（2﹣k）x=2 得：k=1． 故答案为：1． 【点评】本题考查了对分式方程的增根的理解和运用，把分式方程变成整式方程 后，求出整式方程的解，若代入分式方程的分母恰好等于 0，则此数是分式方程 的增根，即不是分式方程的根，题目比较典型，是一道比较好的题目． 15．（3 分）如图所示，已知点 A、D、B、F 在一条直线上，AC=EF，AD=FB，要 使△ABC≌△FDE，还需添加一个条件，这个条件可以是 ∠A=∠F 或 AC∥EF 或 BC=DE（答案不唯一） ．（只需填一个即可） 【考点】全等三角形的判定． 【专题】开放型． 【分析】要判定△ABC≌△FDE，已知 AC=FE，AD=BF，则 AB=CF，具备了两组边 对应相等，故添加∠A=∠F，利用 SAS 可证全等．（也可添加其它条件）． 【解答】解：增加一个条件：∠A=∠F， 显然能看出，在△ABC 和△FDE 中，利用 SAS 可证三角形全等（答案不唯一）． 故答案为：∠A=∠F 或 AC∥EF 或 BC=DE（答案不唯一）． 【点评】本题考查了全等三角形的判定；判定方法有 ASA、AAS、SAS、SSS 等， 在选择时要结合其它已知在图形上的位置进行选取． 16．（3 分）如图，在△ABC 中，AC=BC，△ABC 的外角∠ACE=100°，则∠A= 50 度． 【考点】三角形的外角性质；等腰三角形的性质． 【分析】根据等角对等边的性质可得∠A=∠B，再根据三角形的一个外角等于与 它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解． 【解答】解：∵AC=BC， ∴∠A=∠B， ∵∠A+∠B=∠ACE， ∴∠A= ∠ACE= ×100°=50°． 故答案为：50． 【点评】本题主要考查了三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性 质，等边对等角的性质，是基础题，熟记性质并准确识图是解题的关键． 17．（3 分）如图，边长为 m+4 的正方形纸片剪出一个边长为 m 的正方形之后， 剩余部分可剪拼成一个矩形，若拼成的矩形一边长为 4，则另一边长为 2m+4 ． 【考点】平方差公式的几何背景． 【专题】压轴题． 【分析】根据拼成的矩形的面积等于大正方形的面积减去小正方形的面积，列式 整理即可得解． 【解答】解：设拼成的矩形的另一边长为 x， 则 4x=（m+4）2﹣m2=（m+4+m）（m+4﹣m）， 解得 x=2m+4． 故答案为：2m+4． 【点评】本题考查了平方差公式的几何背景，根据拼接前后的图形的面积相等列 式是解题的关键． 18．（3 分）已知 2+ =22× ，3+ =32× ，4+ =42× ，…，若 10+ =102× （a，b 为正整数），则 a+b= 109 ． 【考点】分式的定义． 【专题】规律型． 【分析】根据题意找出规律解答． 【解答】解：由已知得 a=10，b=a2﹣1=102﹣1=99， ∴a+b=10+99=109． 【点评】本题属于找规律题目，关键是找出分母的规律，b=a2﹣1．根据题意解 出未知数，代入所求代数式即可． 三.解答下列各题：（本题共 7 题，共 66 分） 19．（9 分）先化简，再求值：5（3a2b﹣ab2）﹣3（ab2+5a2b），其中 a= ，b=﹣ ． 【考点】整式的加减—化简求值． 【分析】首先根据整式的加减运算法则将原式化简，然后把给定的值代入求值．注 意去括号时，如果括号前是负号，那么括号中的每一项都要变号；合并同类项时， 只把系数相加减，字母与字母的指数不变． 【解答】解：原式=15a2b﹣5ab2﹣3ab2﹣15a2b=﹣8ab2， 当 a= ，b=﹣ 时，原式=﹣8× × =﹣ ． 【点评】熟练地进行整式的加减运算，并能运用加减运算进行整式的化简求值． 20．（9 分）给出三个多项式： x2+2x﹣1， x2+4x+1， x2﹣2x．请选择你最喜 欢的两个多项式进行加法运算，并把结果因式分解． 【考点】因式分解的应用；整式的加减． 【专题】开放型． 【分析】本题考查整式的加法运算，找出同类项，然后只要合并同类项就可以了． 【解答】解：情况一： x2+2x﹣1+ x2+4x+1=x2+6x=x（x+6）． 情况二： x2+2x﹣1+ x2﹣2x=x2﹣1=（x+1）（x﹣1）． 情况三： x2+4x+1+ x2﹣2x=x2+2x+1=（x+1）2． 【点评】本题考查了提公因式法，公式法分解因式，整式的加减运算实际上就是 去括号、合并同类项，这是各地中考的常考点． 熟记公式结构是分解因式的关键．平方差公式：a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）；完全平 方公式：a2±2ab+b2=（a±b）2． 21．（9 分）解方程： = ． 【考点】解分式方程． 【专题】计算题． 【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到 x 的值，经检 验即可得到分式方程的解． 【解答】解：去分母得：x2+2x﹣x2+4=8， 移项合并得：2x=4， 解得：x=2， 经检验 x=2 是增根，分式方程无解． 【点评】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式 方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根． 22．（9 分）已知：如图，△ABC 和△DBE 均为等腰直角三角形． （1）求证：AD=CE； （2）求证：AD 和 CE 垂直． 【考点】全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形． 【专题】证明题． 【分析】（1）由等腰直角三角形的性质得出 AB=BC，BD=BE，∠ABC=∠DBE=90°， 得出∠ABD=CBE，证出△ABD≌△CBE（SAS），得出 AD=CE； （2）△ABD≌△CBE 得出∠BAD=∠BCE，再由∠BAD+∠ABC∠∠BGA=∠BCE+∠ AFC+∠CGF=180°，得出∠AFC=∠ABC=90°，证出结论． 【解答】（1）证明：∵△ABC 和△DBE 是等腰直角三角形， ∴AB=BC，BD=BE，∠ABC=∠DBE=90°， ∴∠ABC﹣∠DBC=∠DBE﹣∠DBC， 即∠ABD=CBE， 在△ABD 和△CBE 中， ， ∴△ABD≌△CBE（SAS）， ∴AD=CE； （2）延长 AD 分别交 BC 和 CE 于 G 和 F，如图所示： ∵△ABD≌△CBE， ∴∠BAD=∠BCE， ∵∠BAD+∠ABC∠∠BGA=∠BCE+∠AFC+∠CGF=180°， 又∵∠BGA=∠CGF， ∵∠BAD+∠ABC+∠BGA=∠BCE+∠AFC+∠CGF=180°， ∴∠AFC=∠ABC=90°， ∴AD⊥CE． 【点评】本题考查了等腰直角三角形的性质和全等三角形的判定与性质；证明三 角形全等是解决问题的关键． 23．（9 分）如图，CE=CB，CD=CA，∠DCA=∠ECB，求证：DE=AB． 【考点】全等三角形的判定与性质． 【专题】证明题． 【分析】求出∠DCE=∠ACB，根据 SAS 证△DCE≌△ACB，根据全等三角形的性质 即可推出答案． 【解答】证明：∵∠DCA=∠ECB， ∴∠DCA+∠ACE=∠BCE+∠ACE， ∴∠DCE=∠ACB， ∵在△DCE 和△ACB 中 ， ∴△DCE≌△ACB， ∴DE=AB． 【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，主要考查学生能否运用全 等三角形的性质和判定进行推理，题目比较典型，难度适中． 24．（9 分）某县为了落实中央的“强基惠民工程”，计划将某村的居民自来水管道 进行改造．该工程若由甲队单独施工恰好在规定时间内完成；若乙队单独施工， 则完成工程所需天数是规定天数的 1.5 倍．如果由甲、乙队先合做 15 天，那么 余下的工程由甲队单独完成还需 5 天． （1）这项工程的规定时间是多少天？ （2）已知甲队每天的施工费用为 6500 元，乙队每天的施工费用为 3500 元．为 了缩短工期以减少对居民用水的影响，工程指挥部最终决定该工程由甲、乙队合 做来完成．则该工程施工费用是多少？ 【考点】分式方程的应用． 【专题】应用题． 【分析】（1）设这项工程的规定时间是 x 天，根据甲、乙队先合做 15 天，余下 的工程由甲队单独需要 5 天完成，可得出方程，解出即可． （2）先计算甲、乙合作需要的时间，然后计算费用即可． 【解答】解：（1）设这项工程的规定时间是 x 天， 根据题意得：（ + ）×15+ =1． 解得：x=30． 经检验 x=30 是原分式方程的解． 答：这项工程的规定时间是 30 天． （2）该工程由甲、乙队合做完成，所需时间为：1÷（ + ）=18（天）， 则该工程施工费用是：18×（6500+3500）=180000（元）． 答：该工程的费用为 180000 元． 【点评】本题考查了分式方程的应用，解答此类工程问题，经常设工作量为“单 位 1”，注意仔细审题，运用方程思想解答． 25．（12 分）如图，在△ABC 中，AB=AC，CD⊥AB 于点 D，CE 为△ACD 的角平分 线，EF⊥BC 于点 F，EF 交 CD 于点 G．求证：BE=CG． 【考点】全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质． 【专题】证明题． 【分析】过点 A 作 AP⊥BC 于点 P，求出∠BAP=∠PAC，求出∠BAP=∠PAC=∠BCD， ∠ACE=∠ECD，推出 2（∠BCD+∠ECD）=90°，求出∠BCE=∠FEC=45°，推出 EF=FC， 求出∠BEF=∠BAP=∠BCD，∠BFE=∠EFC=90°，根据 ASA 证出△BFE≌△GFC 即可． 【解答】证明：过点 A 作 AP⊥BC 于点 P，∠APB=90°， ∵AB=AC，∴∠BAP=∠PAC， ∵CD⊥AB，∴∠B+∠BCD=180°﹣∠CDB=90°， ∵∠B+∠BAP=180°﹣∠APB=90°，∴∠BAP=∠PAC=∠BCD， ∵CE 平分∠DCA，∴∠ACE=∠ECD， ∵∠APC+∠PCA+∠PAC=180°， ∴∠ACE+∠DCE+∠PCD+∠PAC=90° ∴2（∠BCD+∠ECD）=90°， ∴∠BCE=45°， ∵EF⊥BC， ∴∠EFC=90° ∴∠FEC=180°﹣∠EFC﹣∠ECF=45°， ∴∠FEC=∠ECF， ∴EF=FC， ∵EF⊥BC， ∴∠EFC=∠APC=90°， ∴EF∥AP， ∴∠BEF=∠BAP=∠BCD， ∵EF⊥BC， ∴∠BFE=∠EFC=90°， ∵在△BFE 和△GFC 中， ， ∴△BFE≌△GFC（ASA）， ∴BE=CG． 【点评】本题考查了全等三角形的性质，等腰三角形的性质和判定，等边三角形 的性质和判定，三角形的内角和定理等知识点的综合运用，题目的难度中等．