安徽省淮南市高考数学一模试卷理科解析

安徽省淮南市高考数学一模试卷理科解析

‎2017年安徽省淮南市高考数学一模试卷（理科）（解析版）　‎ 一、选择题（共12题，每题5分，共60分）‎ ‎1．已知集合A={x|x2≤1}，B={x|x＜a}，若A∪B=B，则实数a的取值范围是（　　）‎ A．（﹣∞，1） B．（﹣∞，﹣1] C．（1，+∞） D．[1，+∞）‎ ‎2．若复数z满足i•z=（1+i），则z的虚部是（　　）‎ A．﹣i B． i C．﹣ D．‎ ‎3．《九章算术》是我国古代数学名著，也是古代东方数学的代表作．书中有如下问题：“今有勾八步，股一十五步，问勾中容圆，径几何？”其意思为：“已知直角三角形两直角边长分别为8步和15步，问其内切圆的直径为多少步？”现若向此三角形内投豆子，则落在其内切圆内的概率是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎4．阅读如图所示的程序框图，则该算法的功能是（　　）‎ A．计算数列{2n﹣1}前5项的和 B．计算数列{2n﹣1}前5项的和 C．计算数列{2n﹣1}前6项的和 D．计算数列{2n﹣1}前6项的和 ‎5．已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π），直线x=是它的一条对称轴，且（，0）是离该轴最近的一个对称中心，则φ=（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎6．函数y=的图象大致是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎7．函数y=f（x）在[0，2]上单调递增，且函数f（x+2）是偶函数，则下列结论成立的是（　　）‎ A．f（1）＜f（）＜f（） B．f（）＜f（1）＜f（） C．f（）＜f（）＜f（1） D．f（）＜f（1）＜f（）‎ ‎8．已知等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，若对于任意的自然数n，都有=，则+=（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎9．设e是自然对数的底，a＞0且a≠1，b＞0且b≠1，则“loga2＞logbe”是“0＜a＜b＜1”的（　　）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎10．已知点F1、F2是双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，O为坐标原点，点P在双曲线C的右支上，且满足|F1F2|=2|OP|，|PF1|≥3|PF2|，则双曲线C的离心率的取值范围为（　　）‎ A．（1，+∞） B．[，+∞） C．（1，] D．（1，]‎ ‎11．设函数f（x）=，则满足f（f（a））=2f（a）的a取值范围是（　　）‎ A．[，+∞） B．[，1] C．[1，+∞） D．[0，1]‎ ‎12．如果定义在R上的函数f（x）满足：对于任意x1≠x2，都有xlf（xl）+x2f（x2）≥xlf（x2）+x2f（xl），则称f（x）为“H函数”，给出下列函数：‎ ‎①y=﹣x3+x+l；‎ ‎②y=3x﹣2（sinx﹣cosx）；‎ ‎③y=l﹣ex；‎ ‎④f（x）=；‎ ‎⑤y=‎ 其中“H函数”的个数有（　　）‎ A．3个 B．2个 C．l个 D．0个 ‎　‎ 二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13．已知两个单位向量，的夹角为60°，则|+2|=　　．‎ ‎14．实数x，y满足，则的取值范围是　　．‎ ‎15．若（x2﹣a）（x+）10的展开式中x6的系数为30，则（3x2+1）dx=　　．‎ ‎16．已知函数f（x）=，其中m＞0，若存在实数b，使得关于x的方程f（x）=b有三个不同的根，则m的取值范围是　　．‎ ‎　‎ 三、解答题 ‎17．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且acosC=（2b﹣c）cosA．‎ ‎（1）求角A的大小；‎ ‎（2）求cos（﹣B）﹣2sin2的取值范围．‎ ‎18．数列{an}满足a1=1，nan+1=（n+1）an+n（n+1），n∈N*．‎ ‎（Ⅰ）证明：数列{}是等差数列；‎ ‎（Ⅱ）设bn=3n•，求数列{bn}的前n项和Sn．‎ ‎19．某中学举行了一次“环保知识竞赛”活动．为了了解本次竞赛学生成绩情况，从中抽取了部分学生的分数（得分取正整数，满分为100分）作为样本（样本容量为n）进行统计．按照[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]的分组作出频率分布直方图，并作出样本分数的茎叶图（图中仅列出了得分在[50，60），[90，100]的数据）．‎ ‎（Ⅰ）求样本容量n和频率分布直方图中x、y的值；‎ ‎（Ⅱ）在选取的样本中，从竞赛成绩是80分以上（含80分）的同学中随机抽取3名同学到市政广场参加环保知识宣传的志愿者活动，设ξ表示所抽取的3名同学中得分在[80，90）的学生个数，求ξ的分布列及其数学期望．‎ ‎20．设椭圆E的方程为+y2=1（a＞1），O为坐标原点，直线l与椭圆E交于点A，B，M为线段AB的中点．‎ ‎（1）若A，B分别为E的左顶点和上顶点，且OM的斜率为﹣，求E的标准方程；‎ ‎（2）若a=2，且|OM|=1，求△AOB面积的最大值．‎ ‎21．已知函数f（x）=xe2x﹣lnx﹣ax．‎ ‎（1）当a=0时，求函数f（x）在[，1]上的最小值；‎ ‎（2）若∀x＞0，不等式f（x）≥1恒成立，求a的取值范围；‎ ‎（3）若∀x＞0，不等式f（）﹣1≥e+恒成立，求a的取值范围．‎ ‎　‎ ‎[选修4-4：坐标系与参数方程]‎ ‎22．在平面直角坐标中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为ρsin2θ=2acosθ（a＞0），直线l的参数方程为（t为参数），直线l与曲线C相交于A，B两点．‎ ‎（1）写出曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；‎ ‎（2）若|AB|=2，求a的值．‎ ‎　‎ ‎[选修4-5：不等式选讲]‎ ‎23．设函数f（x）=|x﹣a|+5x．‎ ‎（1）当a=﹣1时，求不等式f（x）≤5x+3的解集；‎ ‎（2）若x≥﹣1时有f（x）≥0，求a的取值范围．‎ ‎　‎ ‎2017年安徽省淮南市高考数学一模试卷（理科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题（共12题，每题5分，共60分）‎ ‎1．已知集合A={x|x2≤1}，B={x|x＜a}，若A∪B=B，则实数a的取值范围是（　　）‎ A．（﹣∞，1） B．（﹣∞，﹣1] C．（1，+∞） D．[1，+∞）‎ ‎【考点】并集及其运算．‎ ‎【分析】若A∪B=B可得 A⊆B，由此求得实数a的取值范围．‎ ‎【解答】解：∵A={x|x2≤1}=[﹣1，1]，B={x|x＜a}=（﹣∞，a），若A∪B=B，‎ ‎∴A⊆B，∴a＞1，‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎2．若复数z满足i•z=（1+i），则z的虚部是（　　）‎ A．﹣i B． i C．﹣ D．‎ ‎【考点】复数代数形式的乘除运算．‎ ‎【分析】把已知等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．‎ ‎【解答】解：由i•z=（1+i），得，‎ ‎∴z的虚部为．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎3．《九章算术》是我国古代数学名著，也是古代东方数学的代表作．书中有如下问题：“今有勾八步，股一十五步，问勾中容圆，径几何？”其意思为：“已知直角三角形两直角边长分别为8步和15步，问其内切圆的直径为多少步？”现若向此三角形内投豆子，则落在其内切圆内的概率是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】模拟方法估计概率．‎ ‎【分析】利用直角三角形三边与内切圆半径的关系求出半径，然后分别求出三角形和内切圆的面积，根据几何概型的概率公式即可求出所求．‎ ‎【解答】解：由题意，直角三角形，斜边长为17，由等面积，可得内切圆半径r==3，‎ ‎∴向此三角形内投豆子，则落在其内切圆内的概率是=，‎ 故选C．‎ ‎　‎ ‎4．阅读如图所示的程序框图，则该算法的功能是（　　）‎ A．计算数列{2n﹣1}前5项的和 B．计算数列{2n﹣1}前5项的和 C．计算数列{2n﹣1}前6项的和 D．计算数列{2n﹣1}前6项的和 ‎【考点】程序框图．‎ ‎【分析】根据算法流程，依次计算运行结果，由等比数列的前n项和公式，判断程序的功能．‎ ‎【解答】解：由算法的流程知，第一次运行，A=2×0+1=1，i=1+1=2；‎ 第二次运行，A=2×1+1=3，i=2+1=3；‎ 第三次运行，A=2×3+1=7，i=3+1=4；‎ 第四次运行，A=2×7+1=15，i=5；‎ 第五次运行，A=2×15+1=31，i=6；‎ 第六次运行，A=2×31+1=63，i=7；满足条件i＞6，终止运行，输出A=63，‎ ‎∴A=1+2+22+…+25==26﹣1=64﹣1=63．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎5．已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π），直线x=是它的一条对称轴，且（，0）是离该轴最近的一个对称中心，则φ=（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】正弦函数的图象．‎ ‎【分析】根据题意，利用求出ω的值，再根据函数f（x）图象过点（，0）求出φ的值．‎ ‎【解答】解：根据题意， =﹣=，‎ ‎∴T=2π，‎ ‎∴ω=1；‎ 又函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）图象过点（，0），‎ ‎∴sin（+φ）=0，‎ ‎+φ=kπ，k∈Z；‎ 解得φ=kπ﹣，k∈Z；‎ 当k=1时，φ=满足题意．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎6．函数y=的图象大致是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】函数的图象．‎ ‎【分析】根据掌握函数的奇偶性和函数的单调性即可判断．‎ ‎【解答】解：当x＞0时，y=xlnx，y′=1+lnx，‎ 即0＜x＜时，函数y单调递减，当x＞，函数y单调递增，‎ 因为函数y为偶函数，‎ 故选：D ‎　‎ ‎7．函数y=f（x）在[0，2]上单调递增，且函数f（x+2）是偶函数，则下列结论成立的是（　　）‎ A．f（1）＜f（）＜f（） B．f（）＜f（1）＜f（） C．f（）＜f（）＜f（1） D．f（）＜f（1）＜f（）‎ ‎【考点】奇偶性与单调性的综合．‎ ‎【分析】由已知中函数y=f（x）在[0，2]上单调递增，且函数f（x+2）是偶函数，我们可得函数y=f（x）在[2，4]上单调递减，且在[0，4]上函数y=f（x）满足f（2﹣x）=f（2+x），由此要比较f（），f（1），f（）的大小，可以比较f（），f（3），f（）．‎ ‎【解答】解：∵函数y=f（x）在[0，2]上单调递增，且函数f（x+2）是偶函数，‎ ‎∴函数y=f（x）在[2，4]上单调递减 且在[0，4]上函数y=f（x）满足f（2﹣x）=f（2+x）‎ 即f（1）=f（3）‎ ‎∵f（）＜f（3）＜f（）‎ ‎∴f（）＜f（1）＜f（）‎ 故选B ‎　‎ ‎8．已知等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，若对于任意的自然数n，都有=，则+=（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】等差数列的前n项和．‎ ‎【分析】利用等差数列的通项公式性质可得： =，可得+=+，再进行转化利用求和公式及其性质即可得出．‎ ‎【解答】解：∵等差数列中，若m+n=p+q，则am+an=ap+aq；‎ 等差数列的前n项和为：Sn=．‎ ‎∴==‎ ‎∴+‎ ‎=+=+‎ ‎===‎ ‎==‎ ‎=‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎9．设e是自然对数的底，a＞0且a≠1，b＞0且b≠1，则“loga2＞logbe”是“0＜a＜b＜1”的（　　）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．‎ ‎【分析】根据对数函数的性质结合充分必要条件的定义判断即可．‎ ‎【解答】解：a＞1，0＜b＜1时，“loga2＞0，logbe＜0，推不出0＜a＜b＜1，不是充分条件，‎ ‎0＜a＜b＜1时，loga2＞logb2＞logbe，是必要条件，‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎10．已知点F1、F2是双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，O为坐标原点，点P在双曲线C的右支上，且满足|F1F2|=2|OP|，|PF1|≥3|PF2|，则双曲线C的离心率的取值范围为（　　）‎ A．（1，+∞） B．[，+∞） C．（1，] D．（1，]‎ ‎【考点】双曲线的简单性质．‎ ‎【分析】由直角三角形的判定定理可得△PF1F2为直角三角形，且PF1⊥PF2，运用双曲线的定义，可得|PF1|﹣|PF2|=2a，‎ 又|PF1|≥3|PF2|，可得|PF2|≤a，再由勾股定理，即可得到c≤a，运用离心率公式，即可得到所求范围．‎ ‎【解答】解：由|F1F2|=2|OP|，可得|OP|=c，‎ 即有△PF1F2为直角三角形，且PF1⊥PF2，‎ 可得|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2，‎ 由双曲线定义可得|PF1|﹣|PF2|=2a，‎ 又|PF1|≥3|PF2|，可得|PF2|≤a，‎ 即有（|PF2|+2a）2+|PF2|2=4c2，‎ 化为（|PF2|+a）2=2c2﹣a2，‎ 即有2c2﹣a2≤4a2，‎ 可得c≤a，‎ 由e=可得 ‎1＜e≤，‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎11．设函数f（x）=，则满足f（f（a））=2f（a）的a取值范围是（　　）‎ A．[，+∞） B．[，1] C．[1，+∞） D．[0，1]‎ ‎【考点】分段函数的应用．‎ ‎【分析】令f（a）=t，则f（t）=2t，讨论t＜1，运用导数判断单调性，进而得到方程无解，讨论t≥1时，以及a＜1，a≥1，由分段函数的解析式，解不等式即可得到所求范围．‎ ‎【解答】解：令f（a）=t，‎ 则f（t）=2t，‎ 当t＜1时，3t﹣1=2t，‎ 由g（t）=3t﹣1﹣2t的导数为g′（t）=3﹣2tln2，‎ 在t＜1时，g′（t）＞0，g（t）在（﹣∞，1）递增，‎ 即有g（t）＜g（1）=0，‎ 则方程3t﹣1=2t无解；‎ 当t≥1时，2t=2t成立，‎ 由f（a）≥1，即3a﹣1≥1，解得a≥，且a＜1；‎ 或a≥1，2a≥1解得a≥0，即为a≥1．‎ 综上可得a的范围是a≥．‎ 故选：A ‎　‎ ‎12．如果定义在R上的函数f（x）满足：对于任意x1≠x2，都有xlf（xl）+x2f（x2）≥xlf（x2）+x2f（xl），则称f（x）为“H函数”，给出下列函数：‎ ‎①y=﹣x3+x+l；‎ ‎②y=3x﹣2（sinx﹣cosx）；‎ ‎③y=l﹣ex；‎ ‎④f（x）=；‎ ‎⑤y=‎ 其中“H函数”的个数有（　　）‎ A．3个 B．2个 C．l个 D．0个 ‎【考点】函数单调性的判断与证明．‎ ‎【分析】根据题意，将x1f（x1）+x2f（x2）≥x1f（x2）+x2f（x1）变形可得[f（x1）﹣f（x2）]（x1﹣x2）≥0，进而分析可得若函数f（x）为“H函数”，则函数f（x）为增函数或常数函数；据此依次分析所给函数的单调性，综合可得答案．‎ ‎【解答】解：根据题意，对于x1f（x1）+x2f（x2）≥x1f（x2）+x2f（x1），‎ 则有f（x1）（x1﹣x2）﹣f（x2）（x1﹣x2）≥0，‎ 即[f（x1）﹣f（x2）]（x1﹣x2）≥0，‎ 分析可得：若函数f（x）为“H函数”，则函数f（x）为增函数或常数函数；‎ 对于①、y=﹣x3+x+l，有y′=﹣3x2+l，不是增函数也不是常数函数，则其不是“H函数”，‎ 对于②、y=3x﹣2（sinx﹣cosx）；有y′=3﹣2（sinx+cosx）=3﹣2sin（x+‎ ‎），有y′≥0，‎ y=3x﹣2（sinx﹣cosx）为增函数，则其是“H函数”，‎ 对于③、y=l﹣ex=﹣ex+1，是减函数，则其不是“H函数”，‎ 对于④、f（x）=，当x＜1时是常数函数，当x≥1时是增函数，则其是“H函数”，‎ 对于⑤、y=，当x≠0时，y=，当x＞1和x＜﹣1时，函数为减函数，故其不是增函数也不是常数函数，则其不是“H函数”，‎ 综合可得：有2个是“H函数”，‎ 故选：B．‎ ‎　‎ 二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13．已知两个单位向量，的夹角为60°，则|+2|=　　．‎ ‎【考点】平面向量数量积的运算．‎ ‎【分析】根据平面向量数量积的定义与模长公式，求出结果即可．‎ ‎【解答】解：两个单位向量，的夹角为60°，‎ ‎∴•=1×1×cos60°=，‎ ‎∴=+4•+4‎ ‎=1+4×+4×1‎ ‎=7，‎ ‎∴|+2|=．‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ ‎14．实数x，y满足，则的取值范围是　　．‎ ‎【考点】简单线性规划．‎ ‎【分析】作出不等式组对应的平面区域，设k=，利用目标函数的几何意义，求k的最值即可．‎ ‎【解答】解：设k=，则k的几何意义为过原点的直线的斜率：‎ 作出不等式组对应的平面区域如图（阴影部分ABC）：‎ 则由图象可知，过原点的直线y=kx，当直线y=kx，经过点A时，直线的斜率k最小，‎ 当经过点A时，直线的斜率k最大，‎ 由，解得A（2，2），此时k==1．‎ 由，解得B（3，1），此时k=，‎ ‎∴直线y=kx的斜率k的取值范围是≤k≤1，‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ ‎15．若（x2﹣a）（x+）10的展开式中x6的系数为30，则（3x2+1）dx=　10　．‎ ‎【考点】二项式定理的应用；定积分．‎ ‎【分析】根据题意求出（x+）10展开式中含x4项、x6项的系数，得出（x2﹣a）（x+）10的展开式中x6的系数，再列出方程求出a的值，利用定积分求出结论．‎ ‎【解答】解：（x+）10展开式的通项公式为：‎ Tr+1=•x10﹣r•x﹣r=•x10﹣2r；‎ 令10﹣2r=4，解得r=3，所以x4项的系数为；‎ 令10﹣2r=6，解得r=2，所以x6项的系数为；‎ 所以（x2﹣a）（x+）10的展开式中x6的系数为：﹣a=30，‎ 解得a=2．‎ ‎∴（3x2+1）dx==10．‎ 故答案为10．‎ ‎　‎ ‎16．已知函数f（x）=，其中m＞0，若存在实数b，使得关于x的方程f（x）=b有三个不同的根，则m的取值范围是　（3，+∞）　．‎ ‎【考点】根的存在性及根的个数判断．‎ ‎【分析】作出函数f（x）=的图象，依题意，可得4m﹣m2＜m（m＞0），解之即可．‎ ‎【解答】解：当m＞0时，函数f（x）=的图象如下：‎ ‎∵x＞m时，f（x）=x2﹣2mx+4m=（x﹣m）2+4m﹣m2＞4m﹣m2，‎ ‎∴y要使得关于x的方程f（x）=b有三个不同的根，‎ 必须4m﹣m2＜m（m＞0），‎ 即m2＞3m（m＞0），‎ 解得m＞3，‎ ‎∴m的取值范围是（3，+∞），‎ 故答案为：（3，+∞）．‎ ‎　‎ 三、解答题 ‎17．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且acosC=（2b﹣c）cosA．‎ ‎（1）求角A的大小；‎ ‎（2）求cos（﹣B）﹣2sin2的取值范围．‎ ‎【考点】正弦定理．‎ ‎【分析】（Ⅰ）由正弦定理化简等式整理可得sinB=2sinBcosA，又sinB≠0，可求，结合A为内角即可求得A的值．‎ ‎（Ⅱ）由三角函数恒等变换化简已知可得sin（B﹣）﹣1，由可求B﹣的范围，从而可求，即可得解．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）由正弦定理可得，，‎ 从而可得，，即sinB=2sinBcosA，‎ 又B为三角形的内角，所以sinB≠0，于是，‎ 又A亦为三角形内角，因此，．…‎ ‎（Ⅱ）∵，‎ ‎=，‎ ‎=，‎ 由可知，，所以，从而，‎ 因此，，‎ 故的取值范围为．…‎ ‎　‎ ‎18．数列{an}满足a1=1，nan+1=（n+1）an+n（n+1），n∈N*．‎ ‎（Ⅰ）证明：数列{}是等差数列；‎ ‎（Ⅱ）设bn=3n•，求数列{bn}的前n项和Sn．‎ ‎【考点】数列的求和；等比关系的确定．‎ ‎【分析】（Ⅰ）将nan+1=（n+1）an+n（n+1）的两边同除以n（n+1）得，由等差数列的定义得证．‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）求出bn=3n•=n•3n，利用错位相减求出数列{bn}的前n项和Sn．‎ ‎【解答】证明（Ⅰ）∵nan+1=（n+1）an+n（n+1），‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴数列{}是以1为首项，以1为公差的等差数列；‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，‎ ‎∴，‎ bn=3n•=n•3n，‎ ‎∴•3n﹣1+n•3n①‎ ‎•3n+n•3n+1②‎ ‎①﹣②得3n﹣n•3n+1‎ ‎=‎ ‎=‎ ‎∴‎ ‎　‎ ‎19．某中学举行了一次“环保知识竞赛”活动．为了了解本次竞赛学生成绩情况，从中抽取了部分学生的分数（得分取正整数，满分为100分）作为样本（样本容量为n）进行统计．按照[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]的分组作出频率分布直方图，并作出样本分数的茎叶图（图中仅列出了得分在[50，60），[90，100]的数据）．‎ ‎（Ⅰ）求样本容量n和频率分布直方图中x、y的值；‎ ‎（Ⅱ）在选取的样本中，从竞赛成绩是80分以上（含80分）的同学中随机抽取3名同学到市政广场参加环保知识宣传的志愿者活动，设ξ表示所抽取的3名同学中得分在[80，90）的学生个数，求ξ的分布列及其数学期望．‎ ‎【考点】离散型随机变量的期望与方差；频率分布直方图．‎ ‎【分析】（Ⅰ）根据茎叶图可得[50，60），总共有8人，结合频率分布直方图，可求样本容量n和频率分布直方图中x、y的值；‎ ‎（Ⅱ）由题意可知，分数在[80，90）有5人，分数在[90，100）有2人，共7人．抽取的3名同学中得分在[80，90）的学生个数ξ的可能取值为1，2，3，求出相应的概率，即可求ξ的分布列及其数学期望．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）由题意可知，样本容量，，x=0.1﹣0.004﹣0.010﹣0.016﹣0.04=0.030．‎ ‎（Ⅱ）由题意可知，分数在[80，90）有5人，分数在[90，100）有2人，共7人．‎ 抽取的3名同学中得分在[80，90）的学生个数ξ的可能取值为1，2，3，则 ‎，，．‎ 所以，ξ的分布列为 ξ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P 所以，．‎ ‎　‎ ‎20．设椭圆E的方程为+y2=1（a＞1），O为坐标原点，直线l与椭圆E交于点A，B，M为线段AB的中点．‎ ‎（1）若A，B分别为E的左顶点和上顶点，且OM的斜率为﹣，求E的标准方程；‎ ‎（2）若a=2，且|OM|=1，求△AOB面积的最大值．‎ ‎【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．‎ ‎【分析】（1）将A和B代入椭圆方程，做差求得，由斜率公式可知kAB=，即可求得a的值，求得E的标准方程；‎ ‎（2）将直线方程代入椭圆方程，由韦达定理及中点坐标公式，即可求得M点坐标，由|OM|=1，可得n2=，由三角形面积公式可知：，t=m2+4（t≥4），代入由基本不等式的性质即可求得△AOB面积的最大值．‎ ‎【解答】解：（1）设M（x0，y0），A（x1，y1），B（x2，y2），‎ 则，两式相减，得，…‎ 即，又，‎ 代入化简，解得a=2，‎ 故E的标准方程为；…‎ ‎（2）设直线l：x=my+n，A（x1，y1），B（x2，y2），‎ ‎∴，整理得：（4+m2）y2+3mny+n2﹣4=0①‎ y1+y2=﹣，y1•y2=，x1+x2=，‎ 由中点坐标公式可知：M（，），即M（，﹣）‎ ‎∵|OM|=1，‎ ‎∴n2=②，…‎ 设直线l与x轴的交点为D（n，0），‎ 则，‎ 令，…‎ 设t=m2+4（t≥4），‎ 则，‎ 当t=12时，即时，‎ ‎△AOB的面积取得最大值1…‎ ‎　‎ ‎21．已知函数f（x）=xe2x﹣lnx﹣ax．‎ ‎（1）当a=0时，求函数f（x）在[，1]上的最小值；‎ ‎（2）若∀x＞0，不等式f（x）≥1恒成立，求a的取值范围；‎ ‎（3）若∀x＞0，不等式f（）﹣1≥e+恒成立，求a的取值范围．‎ ‎【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．‎ ‎【分析】（1）a=0时，，，由此利用导数性质能求出函数f（x）在[，1]上的最小值．‎ ‎（2），函数f（x）在区间（0，x0）上递减，在（x0，+∞）上递增，由∀x＞0，不等式f（x）≥1恒成立，得lnx0+2x02≤‎ ‎0，由此能求出a的取值范围．（3）由f（）﹣1≥，得a对任意x＞0成立，令函数g（x）=xlnx﹣x﹣，则，由此利用导数性质能求出a的取值范围．‎ ‎【解答】解：（1）a=0时，f（x）=xe2x﹣lnx，‎ ‎∴，，‎ ‎∴函数f′（x）在（0，+∞）上是增函数，‎ 又函数f′（x）的值域为R，‎ 故∃x0＞0，使得f′（x0）=（2x0+1）e﹣=0，‎ 又∵，∴，所以当x∈[]时，f′（x）＞0，‎ 即函数f（x）在区间[，1]上递增，所以．‎ ‎（2），‎ 由（1）知函数f′（x）在（0，+∞）上是增函数，且∃x0＞0，使得f′（x0）=0，‎ 进而函数f（x）在区间（0，x0）上递减，在（x0，+∞）上递增，‎ ‎﹣lnx0﹣ax0，‎ 由f′（x0）=0，得：（2x0+1）e﹣﹣a=0，‎ ‎∴，∴f（x0）=1﹣lnx0﹣2x02，‎ ‎∵∀x＞0，不等式f（x）≥1恒成立，‎ ‎∴1﹣lnx0﹣2x02e≥1，∴lnx0+2x02≤0，‎ ‎∴≤2+0=2．‎ ‎∴a的取值范围是（﹣∞，2]．‎ ‎（3）由f（）﹣1≥，‎ 得，‎ ‎∴xlnx﹣x﹣a≥，∴a对任意x＞0成立，‎ 令函数g（x）=xlnx﹣x﹣，∴，‎ 当x＞1时，g′（x）＞0，当0＜x＜1时，g′（x）＜0，‎ ‎∴当x=1时，函数g（x）取得最小值g（1）=﹣1﹣=﹣1﹣，‎ ‎∴a≤﹣1﹣．‎ ‎∴a的取值范围是（﹣∞，﹣1﹣）．‎ ‎　‎ ‎[选修4-4：坐标系与参数方程]‎ ‎22．在平面直角坐标中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为ρsin2θ=2acosθ（a＞0），直线l的参数方程为（t为参数），直线l与曲线C相交于A，B两点．‎ ‎（1）写出曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；‎ ‎（2）若|AB|=2，求a的值．‎ ‎【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．‎ ‎【分析】（1）利用三种方程的互化方法，可得结论；‎ ‎（2）直线与曲线联立，利用弦长公式，建立方程，即可求a的值．‎ ‎【解答】解：（1）曲线C的极坐标方程为ρsin2θ=2acosθ（a＞0）可得ρ2sin2θ=2aρcosθ．‎ 可得：曲线C的普通方程为：y2=2ax；‎ 直线l的参数方程为（t为参数），普通方程为x﹣y﹣2=0；‎ ‎（2）直线与曲线联立可得y2﹣2ay﹣4a=0，‎ ‎∵|AB|=2，‎ ‎∴=2，解得a=﹣5或1．‎ ‎　‎ ‎[选修4-5：不等式选讲]‎ ‎23．设函数f（x）=|x﹣a|+5x．‎ ‎（1）当a=﹣1时，求不等式f（x）≤5x+3的解集；‎ ‎（2）若x≥﹣1时有f（x）≥0，求a的取值范围．‎ ‎【考点】其他不等式的解法．‎ ‎【分析】（1）当a=﹣1时，|x+1|+5x≤5x+3，从而解得；‎ ‎（2）当x≥0时，f（x）=|x﹣a|+5x≥0恒成立，从而转化为故只需使当﹣1≤x＜0时，f（x）=|x﹣a|+5x≥0，从而化简可得（4x+a）（6x﹣a）≤0，从而分类讨论解得．‎ ‎【解答】解：（1）当a=﹣1时，|x+1|+5x≤5x+3，‎ 故|x+1|≤3，‎ 故﹣4≤x≤2，‎ 故不等式f（x）≤5x+3的解集为[﹣4，2]；‎ ‎（2）当x≥0时，f（x）=|x﹣a|+5x≥0恒成立，‎ 故只需使当﹣1≤x＜0时，f（x）=|x﹣a|+5x≥0，‎ 即|x﹣a|≥﹣5x，‎ 即（x﹣a）2≥25x2，‎ 即（x﹣a﹣5x）（x﹣a+5x）≥0，‎ 即（4x+a）（6x﹣a）≤0，‎ 当a=0时，解4x×6x≤0得x=0，不成立；‎ 当a＞0时，解（4x+a）（6x﹣a）≤0得，‎ ‎﹣≤x≤，‎ 故只需使﹣≤﹣1，‎ 解得，a≥4；‎ 当a＜0时，解（4x+a）（6x﹣a）≤0得，‎ ‎≤x≤﹣，‎ 故只需使≤﹣1，‎ 解得，a≤﹣6；‎ 综上所述，a的取值范围为a≥4或a≤﹣6．‎ ‎　‎