高中数学人教a版选修2-2（课时训练）：2.2 直接证明与间接证明 2.2.1 综合法和分析法

高中数学人教a版选修2-2（课时训练）：2.2 直接证明与间接证明 2.2.1 综合法和分析法

2.2 直接证明与间接证明 2.2.1 综合法和分析法 [学习目标] 1．了解直接证明的两种基本方法——综合法和分析法． 2．理解综合法和分析法的思考过程、特点，会用综合法和分析法证明数学问题． [知识链接] 1．综合法与分析法的推理过程是合情推理还是演绎推理？ 答 综合法与分析法的推理过程是演绎推理，因为综合法与分析法的每一步推理都是严密的 逻辑推理，从而得到的每一个结论都是正确的，不同于合情推理中的“猜想” 2．必修五中基本不等式a＋b 2 ≥ ab(a>0，b>0)是怎样证明的？ 答 要证a＋b 2 ≥ ab， 只需证 a＋b≥2 ab， 只需证 a＋b－2 ab≥0， 只需证( a－ b)2≥0， 因为( a－ b)2≥0 显然成立，所以原不等式成立． [预习导引] 1．综合法 一般地，利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导 出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法． 2．分析法 分析法是从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论 归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止． 要点一 综合法的应用 例 1 在△ABC 中，三个内角 A、B、C 对应的边分别为 a、b、c，且 A、B、C 成等差数列， a、b、c 成等比数列，求证：△ABC 为等边三角形． 证明 由 A、B、C 成等差数列，有 2B＝A＋C. ① 因为 A、B、C 为△ABC 的内角，所以 A＋B＋C＝π. ② 由①②，得 B＝π 3. ③ 由 a、b、c 成等比数列，有 b2＝ac.④ 由余弦定理及③， 可得 b2＝a2＋c2－2accos B＝a2＋c2－ac. 再由④，得 a2＋c2－ac＝ac， 即(a－c)2＝0，因此 a＝c， 从而有 A＝C.⑤ 由②③⑤，得 A＝B＝C＝π 3.所以△ABC 为等边三角形． 规律方法 利用综合法证明问题的步骤： (1)分析条件选择方向：仔细分析题目的已知条件(包括隐含条件)，分析已知与结论之间的联 系与区别，选择相关的公理、定理、公式、结论，确定恰当的解题方法． (2)转化条件组织过程：把题目的已知条件，转化成解题所需要的语言，主要是文字、符号、 图形三种语言之间的转化，组织过程时要有严密的逻辑，简洁的语言，清晰的思路． (3)适当调整回顾反思：解题后回顾解题过程，可对部分步骤进行调整，并对一些语言进行 适当的修饰，反思总结解题方法的选取． 跟踪演练 1 已知 a，b 是正数，且 a＋b＝1，求证：1 a ＋1 b ≥4. 证明 法一 ∵a，b 是正数且 a＋b＝1， ∴a＋b≥2 ab，∴ ab≤1 2 ，∴1 a ＋1 b ＝a＋b ab ＝ 1 ab ≥4. 法二 ∵a，b 是正数，∴a＋b≥2 ab>0， 1 a ＋1 b ≥2 1 ab>0， ∴(a＋b) 1 a ＋1 b ≥4. 又 a＋b＝1，∴1 a ＋1 b ≥4. 法三 1 a ＋1 b ＝a＋b a ＋a＋b b ＝1＋b a ＋a b ＋1≥2＋2 b a·a b ＝4.当且仅当 a＝b 时，取“＝”号． 要点二 分析法的应用 例 2 设 a，b 为实数，求证： a2＋b2≥ 2 2 (a＋b)． 证明 当 a＋b≤0 时，∵ a2＋b2≥0， ∴ a2＋b2≥ 2 2 (a＋b)成立． 当 a＋b>0 时，用分析法证明如下： 要证 a2＋b2≥ 2 2 (a＋b)， 只需证( a2＋b2)2≥ 2 2 a＋b 2， 即证 a2＋b2≥1 2(a2＋b2＋2ab)，即证 a2＋b2≥2ab. ∵a2＋b2≥2ab 对一切实数恒成立， ∴ a2＋b2≥ 2 2 (a＋b)成立．综上所述，不等式得证． 规律方法 用分析法证明不等式时应注意 (1)分析法证明不等式的依据是不等式的基本性质、已知的重要不等式和逻辑推理的基本理 论； (2)分析法证明不等式的思维是从要证不等式出发，逐步寻求使它成立的充分条件，最后得 到的充分条件是已知(或已证)的不等式； (3)用分析法证明数学命题时，一定要恰当地用好“要证明”、“只需证明”、“即证明” 等词语． 跟踪演练 2 已知 a，b 是正实数，求证： a b ＋ b a ≥ a＋ b. 证明 要证 a b ＋ b a ≥ a＋ b， 只要证 a a＋b b≥ ab·( a＋ b)． 即证(a＋b－ ab)( a＋ b)≥ ab( a＋ b)， 因为 a，b 是正实数， 即证 a＋b－ ab≥ ab， 也就是要证 a＋b≥2 ab， 即( a－ b)2≥0. 该式显然成立，所以 a b ＋ b a ≥ a＋ b. 要点三 综合法和分析法的综合应用 例 3 已知 a、b、c 是不全相等的正数，且 0abc. 由公式a＋b 2 ≥ ab>0，b＋c 2 ≥ bc>0，a＋c 2 ≥ ac>0， 又∵a，b，c 是不全相等的正数， ∴a＋b 2 ·b＋c 2 ·a＋c 2 > a2b2c2＝abc. 即a＋b 2 ·b＋c 2 ·a＋c 2 >abc 成立． ∴logx a＋b 2 ＋logx b＋c 2 ＋logx a＋c 2 x>0，且 x＋y＝1，那么( ) A．xx>0，且 x＋y＝1，∴设 y＝3 4 ，x＝1 4 ， 则x＋y 2 ＝1 2 ，2xy＝3 8 ，∴x<2xyb>0 时，才有 a2>b2， ∴只需证： 2＋ 7< 6＋ 3， 只需证：( 2＋ 7)2<( 3＋ 6)2. 3．求证： 1 log519 ＋ 2 log319 ＋ 3 log219<2. 证明 因为 1 logba ＝logab，所以左边 ＝log195＋2log193＋3log192 ＝log195＋log1932＋log1923＝log19(5×32×23)＝log19360. 因为 log19360b，则 ac2>bc2 B．若a c>b c ，则 a>b C．若 a3>b3 且 ab<0，则1 a>1 b D．若 a2>b2 且 ab>0，则1 a<1 b 答案 C 解析 对于 A：若 c＝0，则 A 不成立，故 A 错；对于 B：若 c<0，则 B 不成立，B 错；对 于 C：若 a3>b3 且 ab<0，则 a>0 b<0 ，所以1 a>1 b ，故 C 对；对于 D：若 a<0 b<0 ，则 D 不成立． 2．A、B 为△ABC 的内角，A>B 是 sin A>sin B 的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．即不充分也不必要条件 答案 C 解析 由正弦定理 a sin A ＝ b sin B ，又 A、B 为三角形的内角，∴sin A>0，sin B>0，∴sin A>sin B⇔2Rsin A>2Rsin B⇔a>b⇔A>B. 3．已知直线 l，m，平面α，β，且 l⊥α，m⊂β，给出下列四个命题：①若α∥β，则 l⊥m； ②若 l⊥m，则α∥β；③若α⊥β，则 l⊥m；④若 l∥m，则α⊥β. 其中正确命题的个数是( ) A．1 B．2 C．3 D．4 答案 B 解析 若 l⊥α，m⊂β，α∥β，则 l⊥β，所以 l⊥m，①正确； 若 l⊥α，m⊂β，l⊥m，α与β可能相交，②不正确； 若 l⊥α，m⊂β，α⊥β，l 与 m 可能平行或异面，③不正确； 若 l⊥α，m⊂β，l∥m，则 m⊥α，所以α⊥β，④正确． 4．设 a，b∈R＋，且 a≠b，a＋b＝2，则必有( ) A．1≤ab≤a2＋b2 2 B．ab<1ab. 又因为 a＋b＝2>2 ab， 故 ab<1，a2＋b2 2 ＝a＋b2－2ab 2 ＝2－ab>1，即a2＋b2 2 >1>ab. 5．要证明 3＋ 7<2 5，可选择的方法有很多，最合理的应为________． 答案 分析法 6．设 a＝ 2，b＝ 7－ 3，c＝ 6－ 2，则 a，b，c 的大小关系为________． 答案 a>c>b 解析 ∵a2－c2＝2－(8－4 3)＝4 3－6＝ 48－ 36>0，∴a>c.∵c b ＝ 6－ 2 7－ 3 ＝ 7＋ 3 6＋ 2 ＞1， ∴c＞b. 7．设 a≥b>0，求证：3a3＋2b3≥3a2b＋2ab2. 证明 法一 3a3＋2b3－(3a2b＋2ab2)＝3a2(a－b)＋2b2(b－a)＝(3a2－2b2)(a－b)． 因为 a≥b>0，所以 a－b≥0,3a2－2b2>0，从而(3a2－2b2)(a－b)≥0， 所以 3a3＋2b3≥3a2b＋2ab2. 法二 要证 3a3＋2b3≥3a2b＋2ab2，只需证 3a2(a－b)－2b2(a－b)≥0， 只需证(3a2－2b2)(a－b)≥0，∵a≥b>0.∴a－b≥0,3a2－2b2>2a2－2b2≥0， ∴上式成立． 二、能力提升 8．设 0 2x＝a，∴a0 B．ab<0 C．a>0，b<0 D．a>0，b>0 答案 C 解析 ∵a b 与b a 同号，由a b ＋b a ≤－2，知a b<0，b a<0， 即 ab<0.又若 ab<0，则a b<0，b a<0. ∴a b ＋b a ＝－ －a b ＋ －b a ≤ －2 －a b · －b a ＝－2， 综上，ab<0 是a b ＋b a ≤－2 成立的充要条件， ∴a>0，b<0 是a b ＋b a ≤－2 成立的一个充分而不必要条件． 10． 如图所示，在直四棱柱 A1B1C1D1－ABCD 中，当底面四边形 ABCD 满足条件________时， 有 A1C⊥B1D1(注：填上你认为正确的一个条件即可，不必考虑所有可能的情形)． 答案 对角线互相垂直 解析 本题答案不唯一，要证 A1C⊥B1D1，只需证 B1D1 垂直于 A1C 所在的平面 A1CC1，因 为该四棱柱为直四棱柱，所以 B1D1⊥CC1，故只需证 B1D1⊥A1C1 即可． 11．已知 a＞0，b＞0，1 b －1 a ＞1.求证： 1＋a＞ 1 1－b . 证明 要证 1＋a＞ 1 1－b 成立， 只需证 1＋a＞ 1 1－b ， 只需证(1＋a)(1－b)＞1(1－b＞0)，即 1－b＋a－ab＞1， ∴a－b＞ab，只需证：a－b ab ＞1，即1 b －1 a ＞1. 由已知 a＞0，1 b －1 a ＞1 成立， ∴ 1＋a＞ 1 1－b 成立． 12．求证抛物线 y2＝2px(p＞0)，以过焦点的弦为直径的圆必与 x＝－p 2 相切． 证明 如图，作 AA′、BB′垂直准线，取 AB 的中点 M，作 MM′垂直准线．要证明以 AB 为直 径的圆与准线相切，只需证|MM′|＝1 2|AB|， 由抛物线的定义：|AA′|＝|AF|，|BB′|＝|BF|， 所以|AB|＝|AA′|＋|BB′|， 因此只需证|MM′|＝1 2(|AA′|＋|BB′|) 根据梯形的中位线定理可知上式是成立的． 所以以过焦点的弦为直径的圆必与 x＝－p 2 相切． 三、探究与创新 13．(2013·广东)设数列{an}的前 n 项和为 Sn，已知 a1＝1，2Sn n ＝an＋1－1 3n2－n－2 3 ，n∈N*. (1)求 a2 的值； (2)求数列{an}的通项公式； (3)证明：对一切正整数 n，有 1 a1 ＋ 1 a2 ＋…＋ 1 an ＜7 4. (1)解 当 n＝1 时，2S1 1 ＝2a1＝a2－1 3 －1－2 3 ＝2，解得 a2＝4. (2)解 2Sn＝nan＋1－1 3n3－n2－2 3n ① 当 n≥2 时，2Sn－1＝(n－1)an－1 3(n－1)3－(n－1)2－2 3(n－1) ② ①－②得 2an＝nan＋1－(n－1)an－n2－n 整理得 nan＋1＝(n＋1)an＋n(n＋1)，即 an＋1 n＋1 ＝an n ＋1，an＋1 n＋1 －an n ＝1，当 n＝1 时，a2 2 －a1 1 ＝2－1 ＝1. 所以数列 an n 是以 1 为首项，1 为公差的等差数列． 所以an n ＝n，即 an＝n2. 所以数列{an}的通项公式为 an＝n2，n∈N*. (3)证明 因为 1 an ＝ 1 n2 ＜ 1 n－1n ＝ 1 n－1 －1 n(n≥2)， 所以 1 a1 ＋ 1 a2 ＋…＋ 1 an ＝ 1 12 ＋ 1 22 ＋ 1 32 ＋…＋ 1 n2 ＜1＋1 4 ＋ 1 2 －1 3 ＋ 1 3 －1 4 ＋…＋ 1 n－1 －1 n ＝1＋1 4 ＋1 2 －1 n ＝7 4 －1 n ＜7 4.