高考数学理三角恒等变换与解三角形二轮提高练习题目

高考数学理三角恒等变换与解三角形二轮提高练习题目

‎　三角恒等变换与解三角形 一、选择题(每小题5分，共25分)‎ ‎1．已知α，β都是锐角，若sin α＝，sin β＝，则α＋β＝(　　)．‎ A. B. C.和 D．－和－ ‎2．已知sin α－cos α＝，α∈(0，π)，则tan α＝(　　)．‎ A．－1 B．－ ‎ C. D．1‎ ‎3．在△ABC中，a＝4，b＝，5cos(B＋C)＋3＝0，则角B的大小为(　　)．‎ A. B. ‎ C. D.π ‎4．△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若＜cos A，则△ABC为(　　)．‎ A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．等边三角形 ‎5．若△ABC的内角A，B，C所对的边a，b，c满足(a＋b)2－c2＝4，且C＝60°，则a＋b的最小值为(　　)．‎ A. . ‎ C. D. 二、填空题(每小题5分，共15分)‎ ‎6．在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b＝2，∠B＝，sin C＝，则c＝________；a＝________.‎ ‎7．在△ABC中，sin‎2C＝sin Asin B＋sin2B，a＝2b，则角C＝________.‎ ‎8．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知4sin2－cos ‎2C＝，且a＋b＝5，c＝，则△ABC的面积为________．‎ 三、解答题(本题共3小题，共35分)‎ ‎9．(11分)已知函数f(x)＝2sin， x∈R.‎ ‎(1)求f的值；‎ ‎(2)设α，β∈，f＝，f(3β＋2π)＝，求cos(α＋β)的值．‎ ‎10．(12分)在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且2sin2－cos ‎2A＝.‎ ‎(1)求角A的度数；‎ ‎(2)若a＝，b＋c＝3(b＞c)，求b和c的值．‎ ‎11．(12分)如图，某气象仪器研究所按以下方案测试一种“弹射型”气象观测仪器的垂直弹射高度：在C处进行该仪器的垂直弹射，观测点A、B两地相距10‎0米，∠BAC＝60°，在A地听到弹射声音的时间比B地晚秒．A地测得该仪器在C处时的俯角为15°，A地测得最高点H的仰角为30°，求该仪器的垂直弹射高度CH.(声音的传播速度为‎340米/秒)‎ 参考答案 ‎1．A　[因为α、β都为锐角，所以cos α＝＝，cos β＝＝.所以cos(α＋β)＝cos α·cos β－sin α·sin β＝，所以α＋β＝，故选A.]‎ ‎2．A　[利用辅助角公式求出α，再求其正切值．由sin α－cosα＝sin＝，α∈(0，π)，解得α＝，所以tan α＝tan＝－1.]‎ ‎3．A　[由5 cos(B＋C)＋3＝0，得cos A＝，则sin A＝，‎ ＝，sin B＝.又a＞b，B必为锐角，所以B＝.]‎ ‎4．A　[依题意，得＜cos A，sin C＜sin Bcos A，所以sin(A＋B)＜sin Bcos A，即sin Bcos A＋cos Bsin A－sin Bcos A＜0，所以cos Bsin A＜0.又sin A＞0，于是有cos B＜0，B为钝角，△ABC是钝角三角形，选A.]‎ ‎5．D　[由余弦定理可得：c2＝a2＋b2－2abcos C＝a2＋b2－ab＝(a＋b)2－3ab＝(a＋b)2－4，所以有ab＝≤2，解得a＋b≥.]‎ ‎6．解析　利用正弦定理可知：c＝＝2，∵b2＝a2＋c2－2accos B，∴a2－‎4a－12＝0，∴a＝6.‎ 答案：2　6‎ ‎7．解析　由正弦定理知，c2＝ab＋b2，所以cos C＝＝＝＝＝，所以C＝.‎ 答案　 ‎8．解析　因为4sin2－cos ‎2C＝，‎ 所以2[1－cos(A＋B)]－2cos‎2C＋1＝，‎ ‎2＋2cos C－2cos2C＋1＝，‎ cos‎2C－cos C＋＝0，解得cos C＝.‎ 根据余弦定理有cos C＝＝，ab＝a2＋b2－7，‎ ‎3ab＝a2＋b2＋2ab－7＝(a＋b)2－7＝25－7＝18， ab＝6.‎ 所以S＝absin C＝×6×＝.‎ 答案　 ‎9．解　(1)由题设知：f＝2sin＝2sin＝.‎ ‎ (2)由题设知：＝f＝2sin α，‎ ＝f(3β＋2π)＝2sin＝2cos β，‎ 即sin α＝，cos β＝.又α，β∈，∴cos α＝，sin β＝，∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝×－×＝.‎ ‎10．解　 (1)由2sin2－cos ‎2A＝及A＋B＋C＝180°，‎ 得2[1－cos (B＋C)]－2cos‎2A＋1＝，‎ ‎4(1＋cos A)－4cos‎2A＝5.‎ ‎∴4cos‎2A－4cos A＋1＝0.∴cos A＝.‎ ‎∵0°＜A＜180°，∴A＝60°.‎ ‎(2)由余弦定理，得cos A＝.‎ ‎∵cos A＝，‎ ‎∴＝.‎ ‎∴(b＋c)2－a2＝3bc.‎ 将a＝，b＋c＝3代入上式得bc＝2.‎ 由及b＞c，得 ‎11．解　由题意，设|AC|＝x，则|BC|＝x－×340＝x－40，‎ 在△ABC内，由余弦定理：|BC|2＝|BA|2＋|CA|2－2|BA|·|CA|·cos∠BAC，‎ 即(x－40)2＝x2＋10 000－100x，解得x＝420.‎ 在△ACH中，|AC|＝420，∠CAH＝30°＋15°＝45°，∠CHA＝90°－30°＝60°，‎ 由正弦定理：＝，‎ 可得|CH|＝|AC|·＝140.‎ 答：该仪器的垂直弹射高度CH为‎140米．‎