【数学】2019届高考一轮复习北师大版理3-6利用导数研究函数零点问题学案
第6讲 利用导数研究函数零点问题
数形结合法研究零点问题
[典例引领]
已知f(x)＝ax2(a∈R)，g(x)＝2ln x.
(1)讨论函数F(x)＝f(x)－g(x)的单调性；
(2)若方程f(x)＝g(x)在区间[，e]上有两个不相等的解，求a的取值范围．
【解】 (1)F(x)＝ax2－2ln x，
其定义域为(0，＋∞)，
所以F′(x)＝2ax－
＝(x＞0)．
①当a＞0时，由ax2－1＞0，得x＞，
由ax2－1＜0，得0＜x＜，
故当a＞0时，F(x)在区间上单调递增，在区间上单调递减．
②当a≤0时，F′(x)＜0(x＞0)恒成立．
故当a≤0时，F(x)在(0，＋∞)上单调递减．
(2)原式等价于方程a＝在区间[，e]上有两个不等解．
令φ(x)＝，由φ′(x)＝易知，φ(x)在(，)上为增函数，在(，e)上为减函数，
则φ(x)max＝φ()＝，
而φ(e)＝，φ()＝.
由φ(e)－φ()＝－＝＝＜＜0，
所以φ(e)＜φ()．
所以φ(x)min＝φ(e)，
如图可知φ(x)＝a有两个不相等的解时，需≤a＜.
即f(x)＝g(x)在[，e]上有两个不相等的解时a的取值范围为[，)．
含参数的函数零点个数，可转化为方程解的个数，若能分离参数，可将参数分离出来后，用x表示参数的函数，作出该函数图象，根据图象特征求参数的范围．
利用函数性质研究函数零点
[典例引领]
已知函数f(x)＝xln x，g(x)＝(－x2＋ax－3)ex(a为实数)．
(1)当a＝4时，求函数y＝g(x)在x＝0处的切线方程；
(2)如果关于x的方程g(x)＝2exf(x)在区间上有两个不等实根，求实数a的取值范围．
【解】 (1)当a＝4时，g(x)＝(－x2＋4x－3)ex，g(0)＝－3，
g′(x)＝(－x2＋2x＋1)ex，g′(0)＝1，
所以，所求的切线方程为y＋3＝x－0，即y＝x－3.
(2)由g(x)＝2exf(x)，
可得2xln x＝－x2＋ax－3，a＝x＋2ln x＋.
设h(x)＝x＋2ln x＋(x>0)，
所以h′(x)＝1＋－＝，
所以x在上变化时，h′(x)，h(x)的变化如下：
x
1
(1，e)
h′(x)
－
0
＋
h(x)
单调递减
极小值(最小值)
单调递增
又h＝＋3e－2，h(1)＝4，h(e)＝＋e＋2.
且h(e)－h＝4－2e＋<0.
所以实数a的取值范围为4
0；x∈时，f′(x)<0；x∈时，f′(x)>0，注意f(0)＝1
，f＝>0，则f(x)的大致图象如图(1)所示：
不符合题意，排除A、C.
当a＝－时，f′(x)＝－4x2－6x＝－2x(2x＋3)，则当x∈时，f′(x)<0，x∈时，f′(x)>0，x∈(0，＋∞)时，f′(x)<0，注意f(0)＝1，f＝－，则f(x)的大致图象如图(2)所示．
不符合题意，排除D.
3.函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c(a，b，c∈R)的导函数的图象如图所示：
(1)求a，b的值并写出f(x)的单调区间；
(2)若函数y＝f(x)有三个零点，求c的取值范围．
解：(1)因为f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，
所以f′(x)＝x2＋2ax＋b.
因为f′(x)＝0的两个根为－1，2，
所以
解得a＝－，b＝－2，
由导函数的图象可知，当－1＜x＜2时，f′(x)＜0，函数单调递减，
当x＜－1或x＞2时，f′(x)＞0，函数单调递增，
故函数f(x)在(－∞，－1)和(2，＋∞)上单调递增，
在(－1，2)上单调递减．
(2)由(1)得f(x)＝x3－x2－2x＋c，
函数f(x)在(－∞，－1)，(2，＋∞)上是增函数，
在(－1，2)上是减函数，
所以函数f(x)的极大值为f(－1)＝＋c，
极小值为f(2)＝c－.
而函数f(x)恰有三个零点，故必有
解得－＜c＜.
所以使函数f(x)恰有三个零点的实数c的取值范围是.
4．已知f(x)＝＋－3，F(x)＝ln x＋－3x＋2.
(1)判断f(x)在(0，＋∞)上的单调性；
(2)判断函数F(x)在(0，＋∞)上零点的个数．
解：(1)f′(x)＝－＋＝，
令f′(x)＞0，解得x＞1，令f′(x)＜0，解得0＜x＜1，
所以f(x)在(0，1)上单调递减，
在(1，＋∞)上单调递增．
(2)F′(x)＝f(x)＝＋－3，
由(1)得∃x1，x2，满足0＜x1＜1＜x2，
使得f(x)在(0，x1)上大于0，在(x1，x2)上小于0，在(x2，＋∞)上大于0，
即F(x)在(0，x1)上单调递增，在(x1，x2)上单调递减，在(x2，＋∞)上单调递增，
而F(1)＝0，x→0时，F(x)→－∞，x→＋∞时，
F(x)→＋∞，
画出函数F(x)的草图，如图所示．
故F(x)在(0，＋∞)上的零点有3个．
1．已知函数f(x)＝(2－a)(x－1)－2ln x(a∈R)．
(1)当a＝1时，求f(x)的单调区间；
(2)若函数f(x)在上无零点，求a的取值范围．
解：(1)当a＝1时，f(x)＝x－1－2ln x，
则f′(x)＝1－＝，
由f′(x)＞0，得x＞2，
由f′(x)＜0，得0＜x＜2，
故f(x)的单调递减区间为(0，2)，单调递增区间为(2，＋∞)．
(2)因为f(x)＜0在区间上恒成立不可能，
故要使函数f(x)在上无零点，
只要对任意的x∈，f(x)＞0恒成立，
即对x∈，a＞2－恒成立．
令h(x)＝2－，x∈，
则h′(x)＝，
再令m(x)＝2ln x＋－2，x∈，
则m′(x)＝＜0，
故m(x)在上为减函数，
于是，m(x)＞m＝4－2ln 3＞0，
从而h′(x)＞0，于是h(x)在上为增函数，
所以h(x)＜h＝2－3ln 3，
所以a的取值范围为[2－3ln 3，＋∞)．
2．(2018·豫南九校联考)对于函数y＝H(x)，若在其定义域内存在x0，使得x0·H(x0)＝1成立，则称x0为函数H(x)的“倒数点”．已知函数f(x)＝ln x，g(x)＝(x＋1)2－1.
(1)求证：函数f(x)有“倒数点”，并讨论函数f(x)的“倒数点”的个数；
(2)若当x≥1时，不等式xf(x)≤m[g(x) －x]恒成立，试求实数m的取值范围．
解：(1)证明：设h(x)＝ln x－(x＞0)，
则h′(x)＝＋＞0(x＞0)，
所以h(x)在(0，＋∞)上为单调递增函数．
而h(1)＜0，h(e)＞0，
所以函数h(x)有零点且只有一个零点．
所以函数f(x)有“倒数点”且只有一个“倒数点”．
(2)xf(x)≤m[g(x)－x]等价于2x·ln x≤m(x2－1)，
设d(x)＝2ln x－m，x≥1.
则d′(x)＝，x≥1，
易知－mx2＋2x－m＝0的判别式为Δ＝4－4 m2.
①当m≥1时，d′(x)≤0，d(x)在[1，＋∞)上单调递减，d(x)≤d(1)＝0，符合题意；
②当0＜m＜1时，方程－mx2＋2x－m＝0有两个正根且0＜x1＜1＜x2，则函数d(x)在(1，x2)上单调递增，此时d(x)＞d(1)＝0，不合题意；
③当m＝0时，d′(x)＞0，d(x)在(1，＋∞)上单调递增，此时d(x)＞d(1)＝0，不合题意；
④当－1＜m＜0时，方程－mx2＋2x－m＝0有两个负根，d(x)在(1，＋∞)上单调递增，此时d(x)＞d(1)＝0，不合题意；
⑤当m≤－1时，d′(x)≥0，d(x)在(1，＋∞)上单调递增，此时d(x)＞d(1)＝0，不合题意．
综上，实数m的取值范围是[1，＋∞)．
