【数学】2021届一轮复习北师大版（文）第七章 第3讲 二元一次不等式（组）及简单的线性规划问题学案
第3讲 二元一次不等式(组)及简单的线性规划问题
一、知识梳理
1．二元一次不等式(组)表示的平面区域
不等式(组)
表示区域
Ax＋By＋C>0(<0)
直线Ax＋By＋C＝0某一侧的所有点组成的平面区域
不包括边界直线
Ax＋By＋C≥0(≤0)
包括边界直线
不等式组
各个不等式所表示平面区域的公共部分
2.二元一次不等式(组)的解集
满足二元一次不等式(组)的x和y的取值构成的有序数对(x，y)，叫做二元一次不等式(组)的解，所有这样的有序数对(x，y)构成的集合称为二元一次不等式(组)的解集．
3．线性规划的有关概念
名称
意义
约束条件
由变量x，y组成的不等式(组)
线性约束条件
由x，y的一次不等式(或方程)组成的不等式(组)
目标函数
关于x，y的函数解析式，如z＝x＋2y
线性目标函数
关于x，y的一次函数解析式
可行解
满足线性约束条件的解(x，y)
可行域
所有可行解组成的集合
最优解
使目标函数取得最大值或最小值的可行解
线性规划问题
在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题
常用结论
1．利用“同号上，异号下”判断二元一次不等式表示的平面区域
对于Ax＋By＋C>0或Ax＋By＋C<0，则有
(1)当B(Ax＋By＋C)>0时，区域为直线Ax＋By＋C＝0的上方；
(2)当B(Ax＋By＋C)<0时，区域为直线Ax＋By＋C＝0的下方．
2．最优解和可行解的关系
最优解必定是可行解，但可行解不一定是最优解．最优解不一定唯一，有时唯一，有时有多个．
二、教材衍化
若x，y满足则y－x的最小值为 ，最大值为 ．
答案：－3 1
一、思考辨析
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)任何一个二元一次不等式组都表示平面上的一个区域．( )
(2)线性目标函数的最优解可能是不唯一的．( )
(3)线性目标函数取得最值的点一定在可行域的顶点或边界上．( )
(4)在目标函数z＝ax＋by(b≠0)中，z的几何意义是直线ax＋by－z＝0在y轴上的截距．( )
答案：(1)× (2)√ (3)√ (4)×
二、易错纠偏
(1)不明确目标函数的最值与等值线截距的关系；
(2)不理解目标函数的几何意义；
(3)平面区域内点满足关系不理解．
1．点(－2，t)在直线2x－3y＋6＝0的上方，则t的取值范围是 ．
解析：因为直线2x－3y＋6＝0的上方区域可以用不等式2x－3y＋6＜0表示，所以由点(－2，t)在直线2x－3y＋6＝0的上方得－4－3t＋6＜0，解得t＞.
答案：
2．设x，y满足约束条件则z＝x＋y的最大值与最小值的比值为 ．
解析：不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示，
z＝x＋y可化为y＝－x＋z，当直线y＝－x＋z经过A点时，z最大，联立得故A(2，5)，此时z＝7；当直线y＝－x＋z经过B点时，z最小，联立得故B，此时z＝－，故最大值与最小值的比值为－2.
答案：－2
3．已知x，y满足条件则z＝的最大值为 ．
解析：作出可行域如图，问题转化区域上哪一点与点M(－3，1)连线斜率最大，观察知点A，使kMA最大，zmax＝kMA＝＝3.
答案：3
二元一次不等式(组)表示的平面区域(典例迁移)
(1)不等式组所表示的平面区域的面积等于( )
A. B.
C. D．
(2)设不等式组表示的平面区域为M，若直线y＝kx－2上存在M内的点，则实数k的取值范围是( )
A．[1，3] B．(－∞，1]∪[3，＋∞)
C．[2，5] D．(－∞，2]∪[5，＋∞)
【解析】 (1)由题意得不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示，A，B(1，1)，C(0，4)，则△ABC的面积为×1×＝.故选C.
(2)作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，因为直线l：y＝kx－2的图象过定点A(0，－2)，且斜率为k，由图知，当直线l过点B(1，3)时，k取最大值＝5，当直线l过点C(2，2)时，k取最小值＝2，故实数k的取值范围是[2，5]．
【答案】 (1)C (2)C
【迁移探究】 (变问法)本例(2)中条件不变，求平面区域M的面积，结果如何？
解：可知平面区域M为等腰直角三角形，可求出B(1，3)和C(2，2)，所以|BC|＝，
所以S＝××＝1.
二元一次不等式(组)表示的平面区域的确定方法
(1)确定二元一次不等式(组)表示的平面区域的方法是：“直线定界，特殊点定域”，即先作直线，再取特殊点并代入不等式(组)．若满足不等式(组)，则不等式(组)表示的平面区域为直线与特殊点同侧的那部分区域；否则就对应与特殊点异侧的平面区域．
(2)当不等式中带等号时，边界为实线，不带等号时，边界应画为虚线，特殊点常取原点．
1．不等式(x－2y＋1)(x＋y－3)≤0在直角坐标平面内表示的区域(用阴影部分表示)大致是( )
解析：选C.(x－2y＋1)(x＋y－3)≤0，即或与选项C符合．故选C.
2．若不等式组所表示的平面区域是一个三角形，则a的取值范围是( )
A．a≥ B．0
0，当直线过可行域且在y轴上的截距最大时，z值最大，在y轴上截距最小时，z值最小；
②若b<0，当直线过可行域且在y轴上的截距最大时，z值最小，在y轴上的截距最小时，z值最大．
(2)求目标函数最优解的常用方法
如果可行域是一个多边形，那么一般在某顶点处使目标函数取得最优解，到底哪个顶点为最优解，可有两种方法判断：
①将可行域各顶点的坐标代入目标函数，通过比较各顶点函数值大小即可求得最优解；
②将目标函数的直线平移，最先通过或最后通过的顶点便是最优解．
角度二 求非线性目标函数的最值(范围)
实数x，y满足
(1)若z＝，求z的最大值和最小值，并求z的取值范围；
(2)若z＝x2＋y2，求z的最大值与最小值，并求z的取值范围．
【解】 由作出可行域，
如图中阴影部分所示．
(1)z＝表示可行域内任一点与坐标原点连线的斜率，
因此的范围为直线OB的斜率到直线OA的斜率(直线OA的斜率不存在，即zmax不存在)．
由得B(1，2)，
所以kOB＝＝2，即zmin＝2，
所以z的取值范围是[2，＋∞)．
(2)z＝x2＋y2表示可行域内的任意一点与坐标原点之间距离的平方．
因此x2＋y2的最小值为OA2，最大值为OB2.
由得A(0，1)，
所以OA2＝()2＝1，
OB2＝()2＝5，所以z的取值范围是[1，5]．
【迁移探究1】 (变问法)本例条件不变，求目标函数z＝的取值范围．
解：z＝可以看作过点P(1，1)及(x，y)两点的直线的斜率．
所以z的取值范围是(－∞，0]．
【迁移探究2】 (变问法)本例条件不变，求目标函数z＝x2＋y2－2x－2y＋3的最值．
解：z＝x2＋y2－2x－2y＋3
＝(x－1)2＋(y－1)2＋1，
而(x－1)2＋(y－1)2表示点P(1，1)与Q(x，y)的距离的平方PQ2，
PQ＝(0－1)2＋(2－1)2＝2，
PQ＝＝，
所以zmax＝2＋1＝3，zmin＝＋1＝.
常见两类非线性目标函数的几何意义
(1)表示点(x，y)与原点(0，0)间的距离，表示点(x，y)与点(a，b)间的距离；
(2)表示点(x，y)与原点(0，0)连线的斜率，表示点(x，y)与点(a，b)连线的斜率．
角度三 求参数值或取值范围
(2020·陕西咸阳模拟检测(一))若实数x，y满足若z＝ax－y(a∈R)的最小值是－1，则a的取值范围是 ．
【解析】 画出可行域如图所示(阴影部分)，目标函数对应的直线为y＝ax－z，当截距－z最大时，目标函数z取得最小值，因为z＝ax－y(a∈R)的最小值是－1，所以在A(0，1)处取得最小值．由图象可知，直线y＝ax－z的斜率a≤2，因为当a>2时，目标函数在B
点取得最小值，所以a的取值范围是(－∞，2]．
【答案】 (－∞，2]
求解线性规划中含参数问题的基本方法有两种：一是把参数当成常数用，根据线性规划问题的求解方法求出最优解，代入目标函数确定最值，通过构造方程或不等式求解参数的值或取值范围；二是先分离含有参数的式子，通过观察的方法确定含参的式子所满足的条件，确定最优解的位置，从而求出参数．
1．(2019·高考天津卷)设变量x，y满足约束条件则目标函数z＝－4x＋y的最大值为( )
A. 2 B. 3
C. 5 D． 6
解析：选C.法一：作出可行域如图中阴影部分所示．由z＝－4x＋y得y＝4x＋z，结合图形可知当直线y＝4x＋z过点A时，z最大，
由得A(－1，1)，
故zmax＝－4×(－1)＋1＝5.故选C.
法二：易知目标函数z＝－4x＋y的最大值在可行域的顶点处取得，可行域的四个顶点分别是(－1，1)，(0，2)，(－1，－1)，(3，－1)．当直线y＝4x＋z经过点(－1，1)时，z＝5；当直线y＝4x＋z经过点(0，2)时，z＝2；当直线y＝4x＋z经过点(－1，－1)时，z＝3；当直线y＝4x＋z经过点(3，－1)时，z＝－13.所以zmax＝5，故选C.
2．(2020·赣州市质量检测)已知点A(0，2)，动点P(x，y)的坐标满足条件，则|PA|的最小值是 ．
解析：可行域为如图所示的阴影部分，|PA|表示可行域上的点到点A(0，2)的距离，所以|PA|的最小值转化成点A到直线y＝x的距离，所以|PA|min＝＝.
答案：
3．(2020·安徽五校联盟第二次质检)若x，y满足约束条件目标函数z＝2x＋3y的最小值为2，则a＝ ．
解析：作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，作出直线2x＋3y＝0，平移直线2x＋3y＝0，显然过A(a，1－a)时，z＝2x＋3y取得最小值，则2a＋3(1－a)＝2，a＝1.
答案：1
线性规划的实际应用问题(师生共研)
(2020·武汉市部分学校调研)某公司生产甲、乙两种桶装产品，
已知生产甲产品1桶需耗A原料2千克，B原料3千克；生产乙产品1桶需耗A原料2千克，B原料1千克，每桶甲产品的利润是300元，每桶乙产品的利润是400元，公司在每天消耗A，B原料都不超过12千克的条件下，生产这两种产品可获得的最大利润为( )
A．1 800元 B．2 100元
C．2 400元 D．2 700元
【解析】 设生产甲产品x桶，生产乙产品y桶，每天的利润为z元．根据题意，有z＝300x＋400y.作出所表示的可行域，如图中阴影部分所示，作出直线3x＋4y＝0并平移，当直线经过点A(0，6)时，z有最大值，zmax＝400×6＝2 400，故选C.
【答案】 C
解线性规划应用题的步骤
(1)转化——设元，写出约束条件和目标函数，从而将实际问题转化为数学上的线性规划问题；
(2)求解——解这个纯数学的线性规划问题；
求解过程：
①作图——画出约束条件所确定的平面区域和线性目标函数所表示的平行直线系中的任意一条直线l；
②转化平移——将l平行移动，以确定最优解所对应的点的位置；
③求值——解有关方程组求出最优解的坐标，再代入目标函数，求出目标函数的最值．
(3)作答——就应用题的提问作出回答．
某旅行社租用A，B两种型号的客车安排900名客人旅行，A，B两种车辆的载客量分别为36人和60人，租金分别为1 600元/辆和2 400元/辆，旅行社要求租车总数不超过21辆，且B型车不多于A型车7辆，则租金最少为( )
A．31 200元 B．36 000元
C．36 800元 D．38 400元
解析：选C.设租用A型车x辆，B型车y辆，目标函数为z＝1 600x＋2 400y，则约束条件为
作出可行域，如图中阴影部分所示，可知目标函数过点(5，12)时，有最小值zmin＝36 800(元)．
[基础题组练]
1．不等式组表示的平面区域是( )
解析：选C.用特殊点代入，比如(0，0)，容易判断为C.
2．设集合A＝{(x，y)|x－y≥1，ax＋y>4，x－ay≤2}，则( )
A．对任意实数a，(2，1)∈A
B．对任意实数a，(2，1)∉A
C．当且仅当a<0时，(2，1)∉A
D．当且仅当a≤时，(2，1)∉A
解析：选D.若(2，1)∈A，则解得a>，所以当且仅当a≤时，(2，1)∉A，故选D.
3．(2019·高考北京卷)若x，y满足|x|≤1－y，且y≥－1，则3x＋y的最大值为( )
A．－7 B．1
C．5 D．7
解析：选C.令z＝3x＋y，画出约束条件即或表示的平面区域，如图中阴影部分所示，作出直线y＝－3x，并平移，数形结合可知，当平移后的直线过点C(2，－1)时，z＝3x＋y取得最大值，zmax＝3×2－1＝5.故选C.
4．(2020·郑州市第二次质量预测)设变量x，y满足约束条件则目标函数z＝的最大值为( )
A. B.
C．3 D．4
解析：选C.可行域如图中阴影部分所示，目标函数z＝，设u＝3x＋y，欲求z＝的最大值，等价于求u＝3x＋y的最小值．u＝3x＋y可化为y＝－3x＋u，该直线的纵截距为u，作出直线y＝－3x，并平移，当直线y＝－3x＋u经过点B(－1，2)时，纵截距u取得最小值umin＝3×(－1)＋2＝－1，所以z＝的最大值zmax＝＝3.故选C.
5．(2020·洛阳市统考)如果点P(x，y)满足点Q在曲线x2＋(y＋2)2＝1上
，则|PQ|的取值范围是( )
A．[－1，－1] B．[－1，＋1]
C．[－1，5] D．[－1，5]
解析：选D.作出点P满足的线性约束条件表示的平面区域(如图中阴影部分所示)，因为点Q所在圆的圆心为M(0，－2)，所以|PM|取得最小值的最优解为(－1，0)，取得最大值的最优解为(0，2)，所以|PM|的最小值为，最大值为4，又圆M的半径为1，所以|PQ|的取值范围是[－1，5]，故选D.
6．(2020·安徽省考试试题)设x，y满足约束条件则z＝2x－y的最小值为 ．
解析：法一：作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，作出直线2x－y＝0，平移该直线，由图可知当直线经过点A时，目标函数z＝2x－y取得最小值．由，得，即A(3，4)，所以zmin＝2×3－4＝2.
法二：易知目标函数z＝2x－y的最小值在可行域的顶点处取得，由得，由得，由得，所以可行域的顶点坐标分别为(3，4)，(2，1)，(5，2)，代入目标函数得对应的z的值为2，3，8，所以z的最小值为2.
答案：2
7．(2020·郑州市第二次质量预测)设实数x，y满足，则z＝的取值范围为
．
解析：画出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示．z＝表示平面区域内的点与坐标原点O的连线的斜率．
由，得 ，即A(－1，3)．
由，得 ，即B.
所以zmax＝kOB＝＝－，zmin＝kOA＝＝－3，
所以z＝的取值范围为.
答案：
8．已知x，y满足，记点(x，y)对应的平面区域为P.
(1)设z＝，求z的取值范围；
(2)过点(－5，1)的一束光线，射到x轴被反射后经过区域P，当反射光线所在直线l经过区域P内的整点(即横纵坐标均是整数的点)时，求直线l的方程．
解：平面区域如图中阴影部分所示，易得A，B，C三点的坐标分别为A(－4，3)，B(－3，0)，C(－1，0)．
(1)由z＝知z的值即是定点P(－3，－1)与区域内的点Q(x，y)连接的直线的斜率，
当直线过A(－4，3)时，z＝－4；
当直线过C(－1，0)时，z＝.
故z的取值范围是(－∞，－4)∪.
(2)过点(－5，1)的光线被x轴反射后的光线所在直线必经过点(－5，－1)，由题设可得区域内坐标为整数点仅有点(－3，1)，
故直线l的方程是＝，即x－y＋4＝0.
[综合题组练]
1．(2020·新疆第一次适应性检测)若点M(x，y)满足则x＋y的取值集合是( )
A．[1，2＋] B．[1，3]
C．[2＋，4] D．[1，4]
解析：选A.x2＋y2－2x－2y＋1＝(x－1)2＋(y－1)2＝1，根据约束条件画出可行域，如图中阴影部分所示，令z＝x＋y，则y＝－x＋z，根据图象得到当直线过点(1，0)时目标函数取得最小值，为1，当直线和半圆相切时，取得最大值，根据点到直线的距离等于半径得到＝1⇒z＝2±，易知2－不符合题意，故z＝2＋，所以x＋y的取值范围为[1，2＋]．故选A.
2．(应用型)(2020·浙江杭州模拟)若存在实数x，y，m使不等式组与不等式x－2y＋m≤0都成立，则实数m的取值范围是( )
A．m≥0 B．m≤3
C．m≥1 D．m≥3
解析：选B.作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，其中A(4，2)，B(1，1)，C(3，3)．
设z＝x－2y，将直线l：z＝x－2y进行平移，当l经过点A时，目标函数z达到最大值，可得zmax＝4－2×2＝0，当l经过点C时，目标函数z达到最小值，可得zmin＝3－2×3＝－3，因此z＝x－2y的取值范围为[－3，0]．因为存在实数m，使不等式x－2y＋m≤0成立，即存在实数m，使x－2y≤－m成立，所以－m大于或等于z的最小值，即－3≤－m，解得m≤3，故选B.
3．(2020·安徽合肥一模)某企业生产甲、乙两种产品，销售利润分别为2千元/件、1千元/件．甲、乙两种产品都需要在A，B两种设备上加工，生产一件甲产品需用A设备2小时，B设备6小时；生产一件乙产品需用A设备3小时，B设备1小时．A，B两种设备每月可使用时间数分别为480小时、960小时，若生产的产品都能及时售出，则该企业每月利润的最大值为 千克．
解析：设生产甲产品x件，生产乙产品y件，利润z千元，则z＝2x＋y，作出表示的可行域如图中阴影部分所示，作出直线2x＋y＝0，平移该直线，当直线z＝2x＋y经过直线2x＋3y＝480与直线6x＋y＝960的交点(150，60)(满足x∈N，y∈N)时，z取得最大值，为360.
答案：360
4．(综合型)实数x，y满足不等式组则z＝|x＋2y－4|的最大值为
．
解析：作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示．z＝|x＋2y－4|＝·，其几何含义为阴影区域内的点到直线x＋2y－4＝0的距离的倍．由得点B坐标为(7，9)，显然点B到直线x＋2y－4＝0的距离最大，此时zmax＝21.
答案：21
