历年全国理科数学高考试题立体几何部分精选含答案

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历年全国理科数学高考试题立体几何部分精选含答案

‎★历年全国理科数学高考试题精选 ‎2011年高考试题 ‎1.在一个几何体的三视图中,正视图和俯视图如 右图所示,则相应的俯视图可以为 ‎2.已知矩形的顶点都在半径为4的球的球面上,且,则棱锥的体积为 。‎ ‎3.如图,四棱锥P—ABCD中,底面ABCD为平行四 边形,∠DAB=60°,AB=2AD,PD⊥底面ABCD.‎ ‎ (Ⅰ)证明:PA⊥BD;‎ ‎ (Ⅱ)若PD=AD,求二面角A-PB-C的余弦值。‎ ‎4.(本小题满分10分)选修4-1:几何证明选讲 如图,D,E分别为的边AB,AC上的点,且不与的顶点重合.已知AE的长为m,AC的长为n,AD,AB的长是关于x的方程的两个根.‎ ‎(I)证明:C,B,D,E四点共圆;‎ ‎(II)若,且求C,B,D,E所在圆的半径.‎ ‎1.D 2. ‎ ‎3. 解:(Ⅰ)因为, 由余弦定理得 ‎ 从而BD2+AD2= AB2,故BDAD 又PD底面ABCD,可得BDPD 所以BD平面PAD. 故 PABD ‎(Ⅱ)如图,以D为坐标原点,AD的长为单位长,射线DA为轴的正半轴建立空间直角坐标系D-,则 ‎,,,。‎ 设平面PAB的法向量为n=(x,y,z),则 ‎ 即 ‎ 因此可取n=‎ 设平面PBC的法向量为m,则 ‎ 可取m=(0,-1,) ‎ 故二面角A-PB-C的余弦值为 ‎ ‎4. 解: (I)连接DE,根据题意在△ADE和△ACB中, ‎ ‎ AD×AB=mn=AE×AC, ‎ ‎ 即.又∠DAE=∠CAB,从而△ADE∽△ACB ‎ ‎ 因此∠ADE=∠ACB ‎ ‎ 所以C,B,D,E四点共圆。‎ ‎ (Ⅱ)m=4, n=6时,方程x2-14x+mn=0的两根为x1=2,x2=12.‎ 故 AD=2,AB=12.‎ 取CE的中点G,DB的中点F,分别过G,F作AC,AB的垂线,两垂线相交于H点,连接DH.因为C,B,D,E四点共圆,所以C,B,D,E四点所在圆的圆心为H,半径为DH.‎ 由于∠A=900,故GH∥AB, HF∥AC. HF=AG=5,DF= (12-2)=5.‎ 故C,B,D,E四点所在圆的半径为5‎ ‎2010年高考试题 ‎1. 正方体ABCD-中,B与平面AC所成角的余弦值为 A B C D ‎2. 已知圆O的半径为1,PA、PB为该圆的两条切线,A、B为俩切点,那么的最小值为 ‎(A) (B) (C) (D)‎ ‎3. 已知在半径为2的球面上有A、B、C、D四点,若AB=CD=2,则四面体ABCD的体积的最大值为 ‎(A) (B) (C) (D) ‎ ‎4. 本小题满分12分)(注意:在试题卷上作答无效)‎ 如图,四棱锥S-ABCD中,SD底面ABCD,AB//DC,ADDC,AB=AD=1,DC=SD=2,E为棱SB上的一点,平面EDC平面SBC .‎ ‎(Ⅰ)证明:SE=2EB;‎ ‎(Ⅱ)求二面角A-DE-C的大小 .‎ ‎1. D 2. D 3. B ‎4. 解法一:‎ ‎ (Ⅰ)连接BD,取DC的中点G,连接BG,‎ ‎ 由此知 即为直角三角形,故.‎ ‎ 又,‎ 所以,.‎ 作,‎ 故与平面SBC内的两条相交直线BK、BC都垂直 DE⊥平面SBC,DE⊥EC,DE⊥SB 所以,SE=2EB ‎(Ⅱ) 由知 ‎.‎ 故为等腰三角形.‎ 取中点F,连接,则.‎ 连接,则.‎ 所以,是二面角的平面角.‎ 连接AG,AG=,,‎ ‎,‎ 所以,二面角的大小为120°.‎ 解法二:‎ ‎ 以D为坐标原点,射线为轴的正半轴,建立如图所示的直角坐标系,‎ 设A(1,0,0),则B(1,1,0),C(0,2,0),S(0,0,2)‎ ‎(Ⅰ)‎ 设平面SBC的法向量为n=(a, b, c)‎ 由,得 故2b-2c=0,-a+b=0‎ 令a=1,则b=c,c=1,n=(1,1,1)‎ 又设 ,则 设平面CDE的法向量m=(x,y,z)‎ 由,得 ‎ ,‎ 故 .‎ 令,则.‎ 由平面DEC⊥平面SBC得m⊥n,‎ 故SE=2EB ‎(Ⅱ)由(Ⅰ)知,取DE的中点F,则,‎ 故,由此得 又,故,由此得,‎ 向量与的夹角等于二面角的平面角 于是 ‎ 所以,二面角的大小为 ‎2009年高考试题 ‎1. 已知三棱柱的侧棱与底面边长都相等,在底面上的射影为的中点,则异面直线与所成的角的余弦值为( )‎ ‎(A) (B) (C) (D) ‎ ‎2. 已知二面角为 ,动点P、Q分别在面α、β内,P到β的距离为,Q到α的距离为,则P、Q两点之间距离的最小值为( )‎ ‎(A) (B)2 (C) (D)4‎ ‎3. 直三棱柱的各顶点都在同一球面上,若, ,则此球的表面积等于 。 ‎ ‎ 4.(本小题满分12分)(注意:在试题卷上作答无效)‎ 如图,四棱锥中,底面为矩形,底面,,,点M在侧棱上,=60°‎ ‎(I)证明:M在侧棱的中点 ‎(II)求二面角的大小。‎ ‎1. 解:设的中点为D,连结D,AD,易知 即为异面直线与所成的角,由三角余弦定理,易知.故选D ‎2. 解:如图分别作 ‎ ‎,连 ‎,‎ 又 当且仅当,即重合时取最小值。故答案选C。‎ ‎3. 解:在中,,可得,由正弦定理,可得外接圆半径r=2‎ 设此圆圆心为,球心为,在中,易得球半径,故此球的表面积为.‎ 解法一:(I)作∥交于点E,则∥,平面SAD 连接AE,则四边形ABME为直角梯形 作,垂足为F,则AFME为矩形 设,则,‎ 由 解得 即,从而 所以为侧棱的中点 ‎(Ⅱ),又,所以为等边三角形,‎ 又由(Ⅰ)知M为SC中点 ‎,故 取AM中点G,连结BG,取SA中点H,连结GH,则,由此知为二面角的平面角 连接,在中,‎ 所以 二面角的大小为 解法二:以D为坐标原点,射线DA为x轴正半轴,建立如图所示的直角坐标系D-xyz 设,则 ‎(Ⅰ)设,则 又 故 即 解得,即 所以M为侧棱SC的中点 ‎(II)由,得AM的中点 又 所以 因此等于二面角的平面角 所以二面角的大小为 ‎2008年高考试题 ‎1.已知三棱柱的侧棱与底面边长都相等,在底面内的射影为的中心,则与底面所成角的正弦值等于( )‎ A. B. C. D.‎ ‎2.等边三角形与正方形有一公共边,二面角的余弦值为,M、N分别是AC、BC的中点,则EM、AN所成角的余弦值等于 .‎ ‎3.(本小题满分12分)四棱锥中,底面为矩形,侧面底面,,,.‎ ‎(Ⅰ)证明:;‎ ‎(Ⅱ)设与平面所成的角为,求二面角的大小.‎ C D E A B ‎1.B 2.答案:.‎ ‎3.解:(I)作AO⊥BC,垂足为O,连接OD,由题设知,AO⊥底面BCDE,且O为BC中点,‎ 由知,Rt△OCD∽Rt△CDE,‎ 从而∠ODC=∠CED,于是CE⊥OD,‎ 由三垂线定理知,AD⊥CE ‎(II)由题意,BE⊥BC,所以BE⊥侧面ABC,又BE侧面ABE,所以侧面ABE⊥侧面ABC。‎ 作CF⊥AB,垂足为F,连接FE,则CF⊥平面ABE 故∠CEF为CE与平面ABE所成的角,∠CEF=45°‎ 由CE=,得CF=‎ 又BC=2,因而∠ABC=60°,所以△ABC为等边三角形 作CG⊥AD,垂足为G,连接GE。‎ 由(I)知,CE⊥AD,又CE∩CG=C,‎ 故AD⊥平面CGE,AD⊥GE,∠CGE是二面角C-AD-E的平面角。‎ CG=‎ GE=‎ cos∠CGE=‎ 所以二面角C-AD-E为arccos()‎ 解法二:(I)作AO⊥BC,垂足为O,则AO⊥底面BCDE,且O为BC的中点,以O为坐标原点,射线OC为x轴正向,建立如图所示的直角坐标系O-xyz.‎ 设A(0,0,t),由已知条件有 C(1,0,0), D(1,,0), E(-1, ,0),‎ 所以,得AD⊥CE ‎(II)作CF⊥AB,垂足为F,连接FE,‎ 设F(x,0,z)则=(x-1,0,z),‎ 故CF⊥BE,又AB∩BE=B,所以CF⊥平面ABE,‎ ‎∠CEF是CE与平面ABE所成的角,∠CEF=45°‎ 由CE=,得CF=‎ 又CB=2,所以∠FBC=60°,△ABC为等边三角形,因此A(0,0,)‎ 作CG⊥AD,垂足为G,连接GE,在Rt△ACD中,求得|AG|=|AD|‎ 故G[]‎ 又 所以的夹角等于二面角C-AD-E的平面角。‎ 由cos()=‎ 知二面角C-AD-E为arccos()‎
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