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文档介绍
中考数学梯形专题复习
2012年中考数学深度复习讲义(教案+中考真题+模拟试题+单元测试)梯形 ◆考点聚焦 1.了解梯形、直角梯形、等腰梯形的概念. 2.掌握等腰梯形的性质和判定,并能进行计算和证明. 3.通过作辅助线灵活地解决与梯形有关的问题. 4.掌握三角形中位线定理和梯形面积公式,了解梯形中位线定理. ◆备考兵法 1.本节内容在考试中主要涉及梯形、等腰梯形、直角梯形的定义、性质和判定,三角形与梯形中位线定理.考查的形式有填空题、选择题、解答题,有时也会出现开放题和探索题.主要以计算和证明为主,图形的变换和运动、面积类问题也容易和梯形挂上钩. 2.解答时需要添加一些较明显的辅助线,将梯形问题转化为三角形、矩形或平行四边形来解决,体会转化的思想. ◆识记巩固 1.梯形:一组对边______,另一组对边_______的四边形叫梯形. 等腰梯形:两腰_______的梯形叫等腰梯形. 直角梯形:有一个角_________的梯形叫直角梯形. 2.等腰梯形的特征: (1)等腰梯形同一底上的两个角_______. (2)等腰梯形的对角线_______. (3)等腰梯形是_______对称图形,其对称轴是_________. 3.等腰梯形的判定: (1)_____________的梯形是等腰梯形.(定义) (2)_________________的梯形是等腰梯形. (3)_______________的梯形是等腰梯形. 4.三角形和梯形的中位线定理: (1)三角形的中位线________于第三边且等于第三边的_______. (2)梯形的中位线_______于两底且等于两底和的_______. 5.梯形的面积: 如图所示,S梯形ABCD=(AB+CD)·DE=________(用L表示中位线,h表示高). 在该梯形中,面积相等的三角形有: _____________;_____________;_____________. 识记巩固参考答案: 1.平行不平行相等直角2.(1)相等(2)相等(3)轴过两底中点的直线3.(1)两腰相等(2)同一底上的两角相等(3)对角线相等4.(1)平行一半(2)平行一半5.ch(1)S=S(2)S=S(3)S=S ◆典例解析 例1(2011安徽芜湖,21,8分)如图,在梯形ABCD中,DC‖AB,AD=BC,BD平分过点D作,过点C作,垂足分别为E、F,连接EF,求证:为等边三角形. 【答案】 证明:因为DC‖AB,,所以. 又因为平分,所以………………2分 因为DC‖AB,所以,所以所以4分 因为,所以F为BD中点,又因为,所以……6分 由,得,所以为等边三角形.………………8分 例2(2011山东泰安,27,10分)已知,在梯形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=900,BC=2AD,E是BC的中点,连接AE、AC. (1)点F是DC上一点,连接EF,交AC于点O(如图①),求证:△AOE∽△COF (2)若点F是DC的中点,连接BD,交AE于点G(如图②),求证:四边形EFDG是菱形。 【答案】证明:∵点E是BC的中点,BC=2AD ∴EC=BE=BC=AD 又∵AD∥EC ∴四边形AECD为平行四边形 ∴AE∥DC ∴∠AEO=∠CFO,∠EAO=∠FCO ∴△AOE∽△COF (2)证明:连接DE ∵AD∥BE,AD=BE ∴四边形ABED是平行四边形 又∠ABE=900 ∴□ABED是矩形 ∴GE=GA=GB=GD=BD=AE ∵E、F分别是BC、CD的中点 ∴EF、GE是△CBD的两条中位线 ∴EF=BD=GD,GE=CD=DF 又GE=GD∴EF=GD=GE=DF 则四边形EFDG是菱形 例3(2008,四川广安)如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,E为CD中点,连结AE并延长AE交BC的延长线于点F. (1)求证:CF=AD; (2)若AD=2,AB=8,当BC为多少时,点B在线段AF的垂直平分线上?为什么? 解析(1)证明:∵AD∥BC,∴∠F=∠DAE. 又∵∠FEC=∠AED,CE=DE, ∴△FEC≌△AED, CF=AD. (2)当BC=6时,点B在线段AF的垂直平分线上. ∵BC=6,AD=2,AB=8, ∴AB=BC+AD. 又∵CF=AD,BC+CF=BF, ∴AB=BF. ∴点B在AF的垂直平分线上. 点评在(2)中要证点B在线段AF的垂直平分线上,其实是依据到AF的两端点A,F距离相等的点在AF的垂直平分线上来证的,即只需从证明AB=BF出发倒推即可. 拓展变式1在梯形ABCD中,AD∥BC,AD+BC=CD,E是AB的中点,则∠CED=_____度. 答案90 拓展变式2如图,直角梯形ABCD的中位线EF的长为a,垂直于底的腰AB的长为b,则图中阴影部分的面积等于_______. 答案:ab 2011年中考真题 一、选择题 1.(2011江苏扬州,7,3分)已知下列命题:①对角线互相平分的四边形是平行四边形;②等腰梯形的对角线相等;③对角线互相垂直的四边形是菱形;④内错角相等。其中假命题有() A.1个B.2个C.3个D.4个 【答案】B 2.(2011山东滨州,12,3分)如图,在一张△ABC纸片中,∠C=90°,∠B=60°,DE是中位线,现把纸片沿中位线DE剪开,计划拼出以下四个图形:①邻边不等的矩形;②等腰梯形;③有一个角为锐角的菱形;④正方形.那么以上图形一定能被拼成的个数为() A.1B.2C.3D.4 (第12题图) 【答案】C 3.(2011山东烟台,6,4分)如图,梯形ABCD中,AB∥CD,点E、F、G分别是BD、AC、DC的中点.已知两底差是6,两腰和是12,则△EFG的周长是() A.8B.9C.10D.12 A B C D E F G (第6题图) 【答案】B 4.(2011浙江台州,7,4分)如图,在梯形ABCCD中,AD∥BC,∠ABC=90º,对角线BD、AC相交于点O。下列条件中,不能判断对角线互相垂直的是() A.∠1=∠4B.∠1=∠3C.∠2=∠3D.OB2+OC2=BC2 【答案】B 5.(2011台湾台北,15)图(五)为梯形纸片ABCD,E点在上,且,=3,=9,=8。若以 为折线,将C折至上,使得与交于F点,则长度为何? A.4.5B。5C。5.5D.6 【答案】B 6.(2011山东潍坊,11,3分)已知直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠BCD=90°,BC=CD=2AD,E、F分别是BC、CD边的中点,连接BF、DE交于点P,连接CP并延长交AB于点Q,连接AF,则下列结论不正确的是() A.CP平分∠BCD B.四边形ABED为平行四边形 C.CQ将直角梯形ABCD分为面积相等的两部分 D.△ABF为等腰三角形 【答案】C 7.(2011山东临沂,12,3分)如图,梯形ABCD中,AD∥BC,AB=CD,AD=2,BC=6,∠B=60°,则梯形ABCD的周长是() A.12B.14C.16D.18 【答案】C 8.(2011四川绵阳11,3)如图,在等腰梯形站ABCD中,AB//CD,对角线AC、BD相交于O,∠ABD=30°,AC⊥BC,AB=8cm,则△COD的面积为 A.B. C.D. 【答案】A 9.(2011湖北武汉市,7,3分)如图,在梯形ABCD中,AB∥DC,AD=DC=CB,若∠ABD=25°,则∠BAD的大小是 A.40°. B.45°.C.50°. D.60°. 第7题图 A B C D 【答案】C 10.(2011湖北宜昌,12,3分)如图,在梯形ABCD中,AB∥CD,AD=BC,点E,F,G,H分别是AB,BC,CD,DA的中点,则下列结论一定正确的是(). A.∠HGF=∠GHEB.∠GHE=∠HEF C.∠HEF=∠EFGD.∠HGF=∠HEF (第12题图) 【答案】D 11. 12. 二、填空题 1.(2011福建福州,13,4分)如图4,直角梯形中,∥,,则度. 图4 【答案】 2.(2011浙江湖州,14,4)如图,已知梯形ABCD,AD∥BC,对角线AC,BD相交于点O,△AOD与△BOC的面积之比为1:9,若AD=1,则BC的长是. 【答案】3 3.(2011湖南邵阳,16,3分)如图(六)所示,在等腰梯形ABCD中,AB∥CD,AD=BC,AC⊥BC,∠B=60°,BC=2cm ,则上底DC的长是_______cm。 【答案】2.提示:∠CAB=90°-60°=30°, 又∵等腰梯形ABCD中,∠BAD=∠B=60°, ∴∠CAD=∠BAD-∠BAC=30°。 又∵CD∥AB,∴∠DCA=∠CAB=30°=∠DAC。 ∴CD=AD=BC=2cm。 4.(2011江苏连云港,16,3分)一等腰梯形两组对边中点连线段的平方和为8,则这个等腰梯形的对角线长为_______. 【答案】 5.(2011江苏宿迁,15,3分)如图,在梯形ABCD中,AB∥DC,∠ADC的平分线与∠BDC的平分线的交点E恰在AB上.若AD=7cm,BC=8cm,则AB的长度是▲cm. 【答案】15 6.(2011重庆江津,13,4分)在梯形ABCD中,AD∥BC,中位线长为5,高为6,则它的面积是___________. 【答案】30· 7..(2011江苏南京,10,2分)等腰梯形的腰长为5㎝,它的周长是22㎝,则它的中位线长为___________㎝. 【答案】6 8.(2011山东临沂,19,3分)如图,上面各图都是用全等的等边三角形拼成的一组图形,则在第10个这样的图形中,共有个等腰梯形. ⑴⑵⑶ 【答案】100 9.(2011湖北襄阳,17,3分)如图4,在梯形ABCD中,AD∥BC,AD=6,BC=16,E是BC的中点.点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发,沿AD向点D运动;点Q同时以每秒2个单位长度的速度从点C出发,沿CB向点B运动.点P停止运动时,点Q也随之停止运动.当运动时间t=秒时,以点P,Q,E,D为顶点的四边形是平行四边形. 图4 【答案】2或 10.(2011江苏盐城,15,3分)将两个形状相同的三角板放置在一张矩形纸片上,按图示画线得到四边形ABCD,则四边形ABCD 的形状是▲. 【答案】等腰梯形 11. 12. 三、解答题 1.(2011安徽芜湖,21,8分)如图,在梯形ABCD中,DC‖AB,AD=BC,BD平分过点D作,过点C作,垂足分别为E、F,连接EF,求证:为等边三角形. 【答案】 证明:因为DC‖AB,,所以. 又因为平分,所以………………2分 因为DC‖AB,所以,所以所以4分 因为,所以F为BD中点,又因为,所以……6分 由,得,所以为等边三角形.………………8分 2.(2011山东菏泽,17(2),7分)如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,∠B=90°,∠C=45°,AD=1,BC=4,E为AB中点,EF∥DC交BC于点F,求EF的长. E 【答案】解:过点A作AG∥DC,∵AD∥BC, ∴四边形AGCD是平行四边形, ∴GC=AD, ∴BG=BC-AD=4-1=3, 在Rt△ABG中, AG=, ∵EF∥DC∥AG, ∴, ∴EF=. 3.(2011山东泰安,27,10分)已知,在梯形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=900,BC=2AD,E是BC的中点,连接AE、AC. (1)点F是DC上一点,连接EF,交AC于点O(如图①),求证: △AOE∽△COF (2)若点F是DC的中点,连接BD,交AE于点G(如图②),求证:四边形EFDG是菱形。 【答案】证明:∵点E是BC的中点,BC=2AD ∴EC=BE=BC=AD 又∵AD∥EC ∴四边形AECD为平行四边形 ∴AE∥DC ∴∠AEO=∠CFO,∠EAO=∠FCO ∴△AOE∽△COF (2)证明:连接DE ∵AD∥BE,AD=BE ∴四边形ABED是平行四边形 又∠ABE=900 ∴□ABED是矩形 ∴GE=GA=GB=GD=BD=AE ∵E、F分别是BC、CD的中点 ∴EF、GE是△CBD的两条中位线 ∴EF=BD=GD,GE=CD=DF 又GE=GD∴EF=GD=GE=DF 则四边形EFDG是菱形 4.(2011四川南充市,17,6分)如图,四边形ABCD是等腰梯形,AD∥BC,点E,F在BC上,且BE=CF,连接DE,AF. 求证:DE=AF. 【答案】证明:∵BE=FC ∴BE+EF=FC+EF,即BF=CE ∵四边形ABCD是等腰梯形 ∴AB=DC∠B=∠C 在⊿DCE和⊿ABF中, DC=AB ∠B=∠C CE=BF ∴⊿DCE≌⊿ABF(SAS) ∴DE=AF 5.(2011四川南充市,21,8分)如图,等腰梯形ABCD中,AD∥BC,AD=AB=CD=2,∠C=600,M是BC的中点。 (1)求证:⊿MDC是等边三角形; (2)将⊿MDC绕点M旋转,当MD(即MD′)与AB交于一点E,MC即MC′)同时与AD交于一点F时,点E,F和点A构成⊿AEF.试探究⊿AEF的周长是否存在最小值。如果不存在,请说明理由;如果存在,请计算出⊿AEF周长的最小值. 【答案】(1)证明:过点D作DP⊥BC,于点P,过点A作AQ⊥BC于点Q, ∵∠C=∠B=600 ∴CP=BQ=AB,CP+BQ=AB 又∵ADPQ是矩形,AD=PQ,故BC=2AD, 由已知,点M是BC的中点, BM=CM=AD=AB=CD, 即⊿MDC中,CM=CD,∠C=600,故⊿MDC是等边三角形. (2)解:⊿AEF的周长存在最小值,理由如下: 连接AM,由(1)平行四边形ABMD是菱形,⊿MAB,⊿MAD和⊿MC′D′是等边三角形, ∠BMA=∠BME+∠AME=600,∠EMF=∠AMF+∠AME=600 ∴∠BME=∠AMF) 在⊿BME与⊿AMF中,BM=AM,∠EBM=∠FAM=600 ∴⊿BME≌⊿AMF(ASA) ∴BE=AF,ME=MF,AE+AF=AE+BE=AB ∵∠EMF=∠DMC=600,故⊿EMF是等边三角形,EF=MF. ∵MF的最小值为点M到AD的距离,即EF的最小值是. ⊿AEF的周长=AE+AF+EF=AB+EF, ⊿AEF的周长的最小值为2+. 6.(2011浙江杭州,22,10)在直角梯形ABCD中,AB∥CD,∠ABC=90°,AB=2BC=2CD,对角线AC与BD相交于点O,线段OA,OB的中点分别为点E,F. (1)求证:△FOE≌△DOC; (2)求sin∠OEF的值; (3)若直线EF与线段AD,BC分别相交于点G,H,求 的值. 【答案】(1)证明:∵E,F分别为线段OA,OB的中点,∴EF∥AB,AB=2EF,∵AB=2CD,∴EF=CD,∵AB∥CD,∴EF∥CD,∴∠OEF=∠OCD,∠OFE=∠ODC,∴△FOE≌△DOC;, (2)在△ABC中,∵∠ABC=90°,∴,.∵EF∥AB,∴∠OEF=∠CAB,∴ (3)∵△FOE≌△DOC,∴OE=OC,∵AE=OE,AE=OE=OC,∴.∵EF∥AB,∴△CEH∽△CAB,∴,∴,∵EF=CD,∴ ,同理,∴,∴ 7.(2011浙江温州,18,8分)如图,在等腰梯形ABCD中,AB∥CD,点M是AB的中点. 求证:△ADM≌△BCM. 【答案】证明:在等腰梯形ABCD中,AB∥CD, ∴AD=BC,∠A=∠B, ∵点M是AB的中点, ∴MA=MB, ∴△ADM≌△BCM 8.(2011四川重庆,24,10分)如图,梯形ABCD中,AD∥BC,∠DCB=45°,CD=2,BD⊥CD.过点C作CE⊥AB于E,交对角线BD于F.点G为BC中点,连结EG、AF. (1)求EG的长; (2)求证:CF=AB+AF. 【答案】(1)解∵BD⊥CD,∠DCB=45°,∴∠DBC=∠DCB=45°, ∴CD=DB=2,∴CB==2, ∵CE⊥AB于E,点G为BC中点,∴EG=CB=. (2)证明:证法一:延长BA、CD交于点H,∵BD⊥CD,∴∠CDF=∠BDH=90°, ∴∠DBH+∠H=90°,∵CE⊥AB于E,∴∠DCF+∠H=90°, ∴∠DBH=∠DCF,又CD=BD,∠CDF=∠BDH,∴△CDF≌△BDH(ASA), DF=DH,CF=BH=BA+AH,∵AD∥BC,∴∠DBC=∠ADF=45°, ∠HDA=∠DCB=45°,∴∠ADF=∠HAD,又DF=DH,DA=DA, ∴△ADF≌△ADH(SAS),∴AF=AH, 又CF=BH=BA+AH,∴CF=AB+AF. 证法二:在线段DH上截取CH=CA,连结DH. ∵BD⊥CD,BE⊥CE,∴∠EBF+∠EFB=90°,∠DCF+∠DFC=90°. 又∠EFB=∠DFC,∴∠EBF=∠DCF. 又BD=CD,BA=CH,∴△ABD≌△HCD. ∴AD=HD,∠ADB=∠HDC. 又AD∥BC,∴∠ADB=∠DBC=45°. ∴∠HDC=45°.∴∠HDB=∠BDC-∠HDC=45°. ∴∠ADB=∠HDB. 又AD=HD,DF=DF,∴△ADF≌△HDF,∴AF=HF. ∴CF=CH+HF=AB+AF. 9.(2011湖南邵阳,19,8分)在四边形ABCD中,E,F,G,H分别是AB,BC,CD,DA的中点,顺次连结EF,FG,GH,HE。 (1)请判断四边形EFGH的形状,并给予证明; (2)试添加一个条件,使四边形EFGH是菱形。(写出你所添加的条件,不要求证明) 【答案】解:(1)四边形EFGH是平行四边形。证明如下: 连结AC,BD,由E,F,G,H分别是所在边的中点, 知EF∥AC,且EF=AC,GH∥AC,且GH=AC, ∴GH∥EF,且GH=EF,四边形EFGH是平行四边形。 10.(2011湖南益阳,15,6分)如图6,在梯形ABCD中,AB∥CD,AD=DC, 求证:AC是∠DAB的平分线. 图6 D A B C 【答案】解:∵,∴. ∵,∴. ∴,即是的角平分线. 11.(2011湖南益阳,21,12分)图10是小红设计的钻石形商标,△ABC是边长为2的等边三角形,四边形ACDE是等腰梯形,AC∥ED,∠EAC=60°,AE=1. (1)证明:△ABE≌△CBD; (2)图中存在多对相似三角形,请你找出一对进行证明,并求出其相似比(不添加辅助线,不找全等的相似三角形); (3)小红发现AM=MN=NC,请证明此结论; (4)求线段BD的长. E C D A M N 图10 B 【答案】⑴证明:, ,. , , ,. 在. ⑵答案不唯一.如. 证明:,, . 其相似比为:. ⑶由(2)得,. 同理. . ⑷作, ,. ,,, . ,, . 12.(2011江苏苏州,23,6分)如图,已知四边形ABCD是梯形,AD∥BC,∠A=90°,BC=BD,CE⊥BD,垂足为E. (1)求证:△ABD≌△ECB; (2)若∠DBC=50°,求∠DCE的度数. 【答案】证明:(1)∵AD∥BC,∴∠ADB=∠EBC. 又∵CE⊥BD,∠A=90°,∴∠A=∠CEB. 在△ABD和△ECB中, ∴△ABD≌△ECB. (2)解法一:∵∠DBC=50°,BC=BD,∴∠EDC=65°. 又∵CE⊥BD,∴∠CED=90°. ∴∠DCE=90°-∠EDC=25°. 解法二:∵∠DBC=50°,BC=BD,∴∠BCD=65°. 又∵∠BEC=90°,∴∠BCE=40°. ∴∠DCE=∠BCD-∠BCE=25°. 13.(2011湖北黄石,19,7分)如图(6),在中,AD∥BC,AB=DC,E是BC的中点,连接AE,DE,求证:AE=DE 【答案】证明:∵梯形ABCD是等腰梯形 ∴∠B=∠C ∵E是BC的中点 ∴BE=EC 在△ABE的△DCE中 AB=DC ∠B=∠C BE=EC ∴△ABE≌△DCE ∴AE=DE 14.(2011广东茂名,22,8分)如图,在等腰△ABC中,点D、E分别是两腰AC、BC上的点,连接AE、BD相交于点O,∠1=∠2. (1)求证:OD=OE; (3分) (2)求证:四边形ABED是等腰梯形; (3分) (3)若AB=3DE,△DCE的面积为2,求四边形ABED的面积. (2分) 【答案】(1)证明:如图,∵△ABC是等腰三角形,∴AC=BC,∴∠BAD=∠ABE, 又∵AB=BA、∠2=∠1,∴△ABD≌△BAE(ASA), ∴BD=AE,又∵∠1=∠2,∴OA=OB, ∴BD-OB=AE-OA,即:OD=OE.· (2)证明:由(1)知:OD=OE,∴∠OED=∠ODE, ∴∠OED=-∠DOE), 同理:∠1=-∠AOB), 又∵∠DOE=∠AOB,∴∠1=∠OED,∴DE∥AB, ∵AD、BE是等腰三角形两腰所在的线段,∴AD与BE不平行, ∴四边形ABED是梯形, 又由(1)知∴△ABD≌△BAE,∴AD=BE ∴梯形ABED是等腰梯形. (3)解:由(2)可知:DE∥AB,∴△DCE∽△ACB, ∴,即:, ∴△ACB的面积=18, ∴四边形ABED的面积=△ACB的面积-△DCE的面积=18-2=16. 15.(2011山东东营,19,8分)(本题满分8分)如图,在四边形ABCD中,DB平分∠ADC,∠ABC=120°,∠C=60°,∠BDC=;延长CD到点E,连接AE,使得∠E=∠C。 (1)求证:四边形ABDE是平行四边形; (2)若DC=12,求AD的长。 【答案】(1)证明:∵∠ABC=120°,∠C=60°,∴∠ABC+∠BCD=180° ∴AB∥DC。即AB∥ED。 又∵∠C=60°,∠E=∠C,∠BDC=30° ∴∠E=∠BDC=30°∴AE∥BD所以四边形ABDE是平行四边形 (2)解:由第(1)问,AB∥DC。∴四边形ABCD是梯形。 ∵DB平分∠ADC,∠BDC=30°∴∠ADC=∠BCD=60° ∴四边形ABCD是等腰梯形∴BC=AD ∵在△BCD中,∠C=60°,∠BDC=30°∴∠DBC=90°。又已知DC=12 ∴AD=BC=DC=6 16.(2011重庆市潼南,24,10分)如图,在直角梯形ABCD中,AB∥CD,AD⊥DC,AB=BC,且AE⊥BC. ⑴求证:AD=AE; ⑵若AD=8,DC=4,求AB的长. 【答案】解:(1)连接AC-------------------------------1分 ∵AB∥CD ∴∠ACD=∠BAC ∵AB=BC ∴∠ACB=∠BAC ∴∠ACD=∠ACB--------------------------------2分 ∵AD⊥DCAE⊥BC ∴∠D=∠AEC=900 ∵AC=AC--------------------------------3分 ∴△ADC≌△AEC-------------------------------4分 ∴AD=AE--------------------------------5分 (2)由(1)知:AD=AE,DC=EC 设AB=x,则BE=x-4,AE=8-----------------------6分 在Rt△ABE中∠AEB=900 由勾股定理得:----------------------8分 解得:x=10 ∴AB=10----------------------10分 17.(2011山东枣庄,24,10分)如图,直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠A=90°,,交AB于E,DF平分∠EDC交BC于F,连结EF. (1)证明:; (2)当时,求EF的长. F D B A E C 解:(1)过D作DG⊥BC于G. 由已知可得,四边形ABGD为正方形.…………1分 ∵DE⊥DC, ∴∠ADE+∠EDG=90°=∠GDC+∠EDG, ∴∠ADE=∠GDC.………………………3分 又∵∠A=∠DGC,且AD=GD, ∴△ADE≌△GDC. ∴DE=DC,且AE=GC.……………………4分 在△EDF和△CDF中, ∠EDF=∠CDF,DE=DC,DF为公共边, ∴△EDF≌△CDF. ∴EF=CF.………………………………………………………………………………6分 F D B A E C G (2)∵tan∠ADE==, ∴.………………………………………7分 设,则,BE=6-2=4. 由勾股定理,得 . 解之,得 ,即.…………………………………………………10分 梯形 一、选择题 1、(2011重庆市纂江县赶水镇)如图,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=90°,BD⊥DC,BD=DC,CE平分∠BCD,交AB于点E,交BD于点H,EN∥DC交BD于点N.下列结论:①BH=DH;②CH=;③.其中正确的是() A.①②③B.只有②③C.只有②D.只有③ A B C D H N E 答案:B 2、(2011年北京四中四模)如图,在等腰梯形ABCD中,AB∥DC,AC和BD相交于点O,则图中的全等三角形共有() (A)1对(B)2对 (C)3对(D)4对 答案:C 3、(2011年如皋市九年级期末考)已知等腰梯形的底角为45° ,高为2,上底为2,则其面积为() A.2B.6C.8D.12 答案:.C 4、(2011浙江杭州模拟14)下列命题中的真命题是(). A.对角线互相垂直的四边形是菱形B.中心对称图形都是轴对称图形 C.两条对角线相等的梯形是等腰梯形D.等腰梯形是中心对称图形 答案:C 5(2011年浙江省杭州市模拟)如图,,过上到点的距离分别为的点作的垂线与相交,得到并标出一组黑色梯形,它们的面积分别为.观察图中的规律,求出第10个黑色梯形的面积() A.32B.54C.76D.86 答案C 6.(浙江省杭州市党山镇中2011年中考数学模拟试卷)如图,在正三角形中,,,分别是,,上的点,,,,则的面积与的面积之比等于() A.1∶3 B.2∶3 C.∶2 D.∶3 答案:A (第7题) 7.(2011杭州上城区一模) 梯形ABCD中AB∥CD,∠ADC+∠BCD=90°,以AD、AB、BC为斜边向形外作等腰直角三角形,其面积分别是S1、S2、S3,且S1+S3=4S2,则CD=() A.2.5AB B.3AB C.3.5ABD.4AB 答案:B 8(2011广东南塘二模).已知梯形中位线长为5cm,面积为20cm2,则高是 A、2cm B、4cm C、6cm D、8cm 答案:B 9.(2011湖北武汉调考模拟)如图,在直角梯形ABCD中,∠B=∠C=9O°,E、F是BC上两点,若AD=ED,∠ADE=30°,∠FDC=15°,则下列结论:①∠AED=∠DFC;②BE=2CF;③AB-CF=EF;④SOAF:SDEF=AF:EF其中正确的结论是() A.①③B.②④C.①③④D.①②④ 答案:C 10、(北京四中2011中考模拟14)在课外活动课上,教师让同学们作一个对角线完全垂直的等腰梯形形状的风筝,其面积为800平方米 ,则对角线所用的竹条至少需() A、40cmB、40cmC、80cmD、80cm 答案:B 二、填空题 1、(2011年北京四中五模)如图,在直角梯形ABCD中,AB⊥BC,AD∥BC,EF为中位线,若AB=2b,EF=a,则阴影部分的面积. 答案:ab 2、(2011年江阴市周庄中学九年级期末考)如图,已知梯 形ABCD中,AD∥BC,∠B=30°,∠C=60°,AD=4, AB=,则下底BC的长为__________. 答案:10 3、(2011年黄冈中考调研六)已知等腰梯形的中位线的长为,腰的长为,则这个等腰梯形的周长为; 答案18 4.(2011灌南县新集中学一模)如图,在梯形ABCD中,AB∥CD,AD=BC,对角线AC⊥BD,垂足为O.若CD=3,AB=5,则AC的长为. 答案: 5(浙江杭州金山学校2011模拟)(引九年级期末自我评估卷第16题) 如图,n+1个上底、两腰长皆为1,下底长为2 的等腰梯形的下底均在同一直线上,设四边形P1M1N1N2面积为S1,四边形P2M2N2N3的面积为S2,……,四边形PnMnNnNn+1的面积记为Sn,则Sn=▲ 答案: A B C D 6、(2011深圳市三模)如图有一直角梯形零件ABCD,AD∥BC,斜腰DC的长为10cm,∠D=120°,则该零件另一腰AB的长是m. 第6题图 答案:5错误!未找到引用源。 三、解答题 1、(2011北京四中模拟6)等腰梯形一底的中点对边的两个端点的距离会相等吗?若相等,请给出证明。若不相等,请说明理由. 答案会相等,画出图形, 写出已知、求证; 无论中点在上底或下底, 均可利用等腰梯形同一 底上的两底角相等和腰 相等加上中点定义,运 用“SAS”完成证明。 2、(2011淮北市第二次月考五校联考)如图,等腰梯形ABCD中,AB=4,CD=9,∠C=60°,动点P从点C出发,沿CD方向向D点运动,动点Q同时以相同速度从点D出发沿DA方向向终点A运动,其中一个动点到达端点时,另一个动点也随之停止运动. (1)求AD的长; (2)设CP=x,问当x为何值时△PDQ的面积达到最大,并求出最大值; (3)探究在BC边上是否存在点M,使得四边形PDQM是菱形?若存在,请找出点M并求出BM的长,若不存在,请说明理由。 A B C P D Q 答案(1)过点B作AE∥BC交CD于E,∠AED=∠C=∠D=60°∴△ADE为等边三角形∴AD=DE=9-4=5………………4分 (2)过点Q作QF⊥CD于M点,如图,设DQ=CP=x,∠D=60°则PD=9-x, QF=x,S△PDQ=PD×h=-(x-)2+………………7分 又∵0≤x≤5∴当x=时,S△PDQ最大值为………………9分 (3)如图,假设存在满足条件的点M,则PD=DQ,9-x=x,x=P为CD的中点,连结QP,∠D=60°则△PDQ为等边三角形,过点Q作QM∥DC交BC于M,点M即为所求。连结MP,则CP=PD=DQ=CM,∠D=60°则△CPM为等边三角形……12分 ∴∠D=∠3=60°∴MP∥QD∴四边形PDQM为平行四边形又PD=PQ∴四边形PDQM为菱形,BM=BC-MC=5-=………………14分 3、(2011浙江杭州模拟14) 如图,直角梯形ABCD中,AB∥DC,∠DAB=90°,AD=2DC=4,AB=6.动点M以每秒1个单位长的速度,从点A沿线段AB向点B运动;同时点P以相同的速度,从点C沿折线C-D-A向点A运动.当点M到达点B时,两点同时停止运动.过点M作直线l∥AD,与折线A-C-B的交点为Q.点M运动的时间为t(秒). (1)当时,求线段的长; (2)点M在线段AB上运动时,是否可以使得以C、P、Q为顶点的三角形为直角三角形,若可以,请直接写出t的值(不需解题步骤);若不可以,请说明理由. (3)若△PCQ的面积为y,请求y关于出t的函数关系式及自变量的取值范围; 答案: 解:(1)由Rt△AQM∽Rt△CAD.……………………………………………2分 ∴.即,∴.…………………………………1分 (2)或或4.……………………………………………3分 (3)当0<t<2时,点P在线段CD上,设直线l交CD于点E 由(1)可得.即QM=2t.∴QE=4-2t.………………………2分 ∴S△PQC=PC·QE=………………………………………………1分 即 当>2时,过点C作CF⊥AB交AB于点F,交PQ于点H. . 由题意得,. ∴. ∴. ∴. ∴. ∴四边形AMQP为矩形. ∴PQ∥.CH⊥PQ,HF=AP=6-t ∴CH=AD=HF=t-2 …………………………………………………………1分 ∴S△PQC=PQ·CH=………………………………………1分 即y= 综上所述或y=(2<<6)…………………1分 4.(2011年江苏盐都中考模拟)(本题8分)已知:如图,梯形ABCD中,AB//DC,E是BC的中点,AE、DC的延长线相交于点F,连接AC、BF. (1)求证:AB=CF; (2)若将梯形沿对角线AC折叠恰好D点与E点重合,梯形ABCD应满足什么条件,能使四边形ABFC为菱形?并加以证明. (1)证△CEF≌△BEA即可.(4分) (2)当梯形ABCD中∠D=90°时,能使四边形ABFC为菱形,证明略.(4分) 5、(2011年北京四中中考模拟18)如图11,在ΔABC中,AC=15,BC=18,sinC=,D是AC上一个动点(不运动至点A,C),过D作DE∥BC,交AB于E,过D作DF⊥BC,垂足为F,连结BD,设CD=x. 图11 (1)用含x的代数式分别表示DF和BF; (2)如果梯形EBFD的面积为S,求S关于x的函数关系式; (3)如果△BDF的面积为S1,△BDE的面积为S2,那么x为何值时,S1=2S2 解:(1)在Rt△CDF中,sinC=,CD=x, ∴DF=CD•sinC=x,CF= ∴BF=18-。 (2)∵ED∥BC,∴, ∴ED= ∴S=×DF×(ED+BF) = (3)由S1=2S2,得S1=S ∴(18-)•= 解这个方程,得:x1=10,x2=0(不合题意,舍去) 所以,当x=10时,S1=2S2 6.(2011年杭州三月月考)如图,沿江堤坝的横断面是梯形ABCD,坝顶AD=4m,坝高AE=6m,斜坡AB的坡比,∠C=60°,求斜坡AB、CD的长。 答案: 解:∵斜坡AB的坡比, ∵AE:BE=,又AE=6m∴BE=12m ∴AB=(m) 作DF⊥BC于F,则得矩形AEFD,有DF=AE=6m, ∵∠C=60°∴CD=DF·sin60°=m 答:斜坡AB、CD的长分别是m,m。 7(2011广东南塘二模)梯形ABCD中,AD∥BC,∠B=90°,AD=4,BC=8,CD=。 (1)请你在AB边上找出一点P,使它到C、D距离的和最小。 (不写作法,不用证明,保留作图痕迹) D A B C (2)求出(1)中PC+PD的最小值。 (第7题) 答案:(1)略 (2)点D关于AB的对称点设为D′,连D′C交AB于P,过D作DF⊥BC于F,求出AB=DF=9,由△D′AP∽△CBP,可求得:PA=3,BP=6,∴PC+PD最小值=10+5=15。 8.(本题满分8分)(安徽芜湖2011模拟)如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,AB=CD=AD,BD⊥CD. (1)求sin∠DBC的值; (2)若BC长度为4cm,求梯形ABCD的面积. 答案:解:(1)∵AD=AB∴∠ADB=∠ABD ∵AD∥CB∴∠DBC=∠ADB=∠ABD……………(1分) ∵在梯形ABCD中,AB=CD,∴∠ABD+∠DBC=∠C=2∠DBC ∵BD⊥CD∴3∠DBC=90º∴∠DBC=30º……(3分) ∴sin∠DBC=……………………(4分) (2)过D作DF⊥BC于F…………………………(5分) 在Rt△CDB中,BD=BC×cos∠DBC=2(cm)………………… (6分) 在Rt△BDF中,DF=BD×sin∠DBC=(cm)…………………(7分) ∴S梯=(2+4)·=3(cm2)………………………………………(8分) 9.(浙江杭州金山学校2011模拟)(14分)(根据历城市2011年中考第一次模拟考试数学试卷改编) 已知:直角梯形OABC中,BC∥OA,∠AOC=90°,以AB为直径的圆M交OC于D.E,连结AD、BD、BE。 (1)在不添加其他字母和线的前提下,直接写出图1中的两对相似三角形。 _____________________,______________________。 (2)直角梯形OABC中,以O为坐标原点,A在x轴正半轴上建立直角坐标系(如图2),若抛物线经过点A.B.D,且B为抛物线的顶点。 ①写出顶点B的坐标(用a的代数式表示)___________。 ②求抛物线的解析式。 ③在x轴下方的抛物线上是否存在这样的点P:过点P做PN⊥x轴于N,使得△PAN与△OAD相似?若存在,求出点P的坐标;若不存在,说明理由。 图2 答案:(1)△OAD∽△CDB.△ADB∽△ECB……………………………………………4分 (2)①(1,-4a)…………………………………………………………1分 ②∵△OAD∽△CDB ∴…………………………………………………………1分 ∵ax2-2ax-3a=0,可得A(3,0)…………………………………2分 又OC=-4a,OD=-3a,CD=-a,CB=1, ∴∴ ∵ ∴ 故抛物线的解析式为:………………………………2分 ③存在,设P(x,-x2+2x+3) ∵△PAN与△OAD相似,且△OAD为等腰三角形 ∴PN=AN 当x<0(x<-1)时,-x+3=-(-x2+2x+3),x1=-2,x2=3(舍去), ∴P(-2,-5)………………………………………………………………………2分 当x>0(x>3)时,x-3=-(-x2+2x+3),x1=0,x2=3(都不合题意舍去)…………1分 符合条件的点P为(-2,-5)……………………… 10、(北京四中2011中考模拟13)等腰梯形一底的中点对边的两个端点的距离会相等吗?若相等,请给出证明。若不相等,请说明理由。 答案:会相等,画出图形, 写出已知、求证; 无论中点在上底或下底,均可利用等腰梯形 同一底上的两底角相等和腰相等加上中点定 义,运用“SAS”完成证明。 11.(2011年杭州市上城区一模)(本小题满分10分) 已知四边形ABCD,E是CD上的一点,连接AE、BE. (1)给出四个条件:①AE平分∠BAD,②BE平分∠ABC,③AE⊥EB,④AB=AD+BC. 请你以其中三个作为命题的条件,写出一个能推出AD∥BC的正确命题,并加以证明; (第11题(1)) (2)请你判断命题“AE平分∠BAD,BE平分∠ABC,E是CD的中点,则AD∥BC”是否正确,并说明理由. 答案:(1)如:①②④AD∥BC 证明:在AB上取点M,使AM=AD,连结EM, ∵AE平分∠BAD∴∠MAE=∠DAE 又∵AM=ADAE=AE,∴△AEM≌△AED ∴∠D=∠AME 又∵AB=AD+BC∴MB=BC,∴△BEM≌△BCE ∠C=∠BME 故∠D+∠C=∠AME+∠BME=180°∴AD∥BC (2)不正确 作等边三角形ABM AE平分∠BAM,BE平分∠ABM 且AE、BE交于E,连结EM,则EM⊥AB,过E作ED∥AB交 AM于D,交BM与C,则E是CD的中点而AD和BC相交于点M ∴命题“AE平分∠BAD,BE平分∠ABC,E是CD的中点,则AD∥BC”是不正确的. 第12题 12.(2011年杭州市模拟)(本题6分)如图,在梯形中,∥,,,,,求梯形的面积. 答案:在梯形ABCD中,AB∥CD, ∴∠1=∠2. ∵∠ACB=∠D=90°. ∴∠3=∠B. ∴ 在Rt△ACD中,CD=4, ∴ ∴.在Rt△ACB中,, ∴,∴ ∴ 13.(2011年海宁市盐官片一模)如图,在梯形ABCD中,AB∥CD,AB=7,CD=1,AD=BC=5.点M,N分别在边AD,BC上运动,并保持MN∥AB,ME⊥AB,NF⊥AB,垂足分别为E,F. C D A B E F N M (1)求梯形ABCD的面积; (2)求四边形MEFN面积的最大值. (3)试判断四边形MEFN能否为正方形,若能,求出正方形MEFN的面积;若不能,请说明理由. 答案:⑴过C作CG⊥AB于G ∵AB=7,CD=1∴BG= 由BC=5∴CG==4 S= ⑵∵MN∥AB,且ME⊥AB,NF⊥AB ∴四边形EFNM为矩形 设BF为x,四边形MEFN的面积只为y ∵NF∥CG,∴BFN∽BGC 即∴NF= EF7-2x ∴y=(7-2x) 当x=时,四边形MEFN的最大值为 ⑶当=7-2x时,即x=,MEFN为正方形 此时正方形边长为 正方形面积为 14、(赵州二中九年七班模拟)如图,在梯形中,∥,,若点为线段上任意一点(与、不重合)。问:当点在什么位置时,,请说明理由。 答案:解:当点M是AD的中点时,MB=MC. 理由如下: 如图,连接MB、MC, ∵在梯形ABCD中,AB=DC, ∴梯形ABCD是等腰梯形,从而∠A=∠D. ∵点M是AD的中点,∴MA=MD. 又∵AB=DC,∴△MAB≌△MDC. ∴MB=MC. 15、(赵州二中九年七班模拟)(7分)如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,BD⊥DC,∠C=60°,AD=4,BC=6,求AB的长。 答案: 解:过点A作AE⊥BD,垂足为E. ∵BD⊥DC,∠C=60°,BC=6, ∴∠1=30°,. ∵AD//BC,∴∠2=∠1=30°. ∵AE⊥BD,AD=4,∴,. ∴. ∴. 单元测试 一、基础过关训练 1.如图,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,点E是边CD的中点,若AB=AD+BC,BE=,则梯形ABCD的面积为() A.B.C.D.25 2.如图,校园内有一块梯形草枰ABCD,草坪边缘本有道路通过甲,乙,丙三个路口,可是有少数同学为了走捷径,在草坪内走了一条直路EF,假设走1步路的跨度为0.5米,结果他们仅仅为了少走_______步路,就踩伤了绿化我们校园的小草.(“路”宽忽略不计) 3.在△ABC中,DE是△ABC的中位线,△ADE的面积为3cm2,则四边形DBCE的面积为_______cm2. 4.如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,BC=DC,CF平分∠BCD,DF∥AB,BF的延长线交DC于点E.求证:(1)△BFC≌△DFC;(2)AD=DE. 二、能力提升训练 5.如图,在等腰梯形ABCD中,AD∥BC,AB=DC=5,AD=6,BC=12,动点P从D点出发,沿DC以每秒1个单位的速度向终点C运动,动点Q从C点出发,沿CB以每秒2个单位的速度向B点运动,两点同时出发,当P点到达C点时,Q点随之停止运动. (1)梯形ABCD的面积等于________; (2)当PQ∥AB时,P点离开D点的时间等于_______秒; (3)当P,Q,C三点构成直角三角形时,P点离开D点多少时间? 参考答案 基础过关训练 1.A2.43.9 4.证明:(1)∵CF平分∠BCD, ∴BCF=∠DCF. 在△BFC和△DFC中, ∴△BFC≌△DFC. (2)连结BD. ∵△BFC≌△DFC,∴BF=DF, ∴∠1=∠2. ∵DF∥AB,∴∠2=∠3,∴∠1=∠3. 又∵BC=DC,∴∠DBC=∠BDC, ∴∠BDC=∠ADB. 又BD是公共边,∴△BAD≌△BED,∴AD=DE. 能力提升训练 5.解:(1)36(2) (3)当P,Q,C三点构成直角三角形时,有两种情况: ①如图1,当PQ⊥BC时,设P点离开D点x秒. 作DE⊥BC于点E,则PQ∥DE, ∴,∴,∴x=. 当PQ⊥BC时,P点离开D点点秒. ②如图2,当QP⊥CD时,设P点离开D点,作DE⊥BC于点E. ∵∠QPC=∠DEC=90°,∠C=∠C, ∴△QPC∽△DEC, ∴,∴,∴x=. ∴当①②知,当P,Q,C三点构成直角三角形时点P离开点D秒或秒.查看更多