中考数学梯形专题复习

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文档介绍

中考数学梯形专题复习

‎2012年中考数学深度复习讲义(教案+中考真题+模拟试题+单元测试)梯形 ‎◆考点聚焦 ‎1.了解梯形、直角梯形、等腰梯形的概念.‎ ‎2.掌握等腰梯形的性质和判定,并能进行计算和证明.‎ ‎3.通过作辅助线灵活地解决与梯形有关的问题.‎ ‎4.掌握三角形中位线定理和梯形面积公式,了解梯形中位线定理.‎ ‎◆备考兵法 ‎1.本节内容在考试中主要涉及梯形、等腰梯形、直角梯形的定义、性质和判定,三角形与梯形中位线定理.考查的形式有填空题、选择题、解答题,有时也会出现开放题和探索题.主要以计算和证明为主,图形的变换和运动、面积类问题也容易和梯形挂上钩.‎ ‎2.解答时需要添加一些较明显的辅助线,将梯形问题转化为三角形、矩形或平行四边形来解决,体会转化的思想.‎ ‎◆识记巩固 ‎1.梯形:一组对边______,另一组对边_______的四边形叫梯形.‎ 等腰梯形:两腰_______的梯形叫等腰梯形.‎ 直角梯形:有一个角_________的梯形叫直角梯形.‎ ‎2.等腰梯形的特征:‎ ‎(1)等腰梯形同一底上的两个角_______.‎ ‎(2)等腰梯形的对角线_______.‎ ‎(3)等腰梯形是_______对称图形,其对称轴是_________.‎ ‎3.等腰梯形的判定:‎ ‎(1)_____________的梯形是等腰梯形.(定义)‎ ‎(2)_________________的梯形是等腰梯形.‎ ‎(3)_______________的梯形是等腰梯形.‎ ‎4.三角形和梯形的中位线定理:‎ ‎(1)三角形的中位线________于第三边且等于第三边的_______.‎ ‎(2)梯形的中位线_______于两底且等于两底和的_______.‎ ‎5.梯形的面积:‎ 如图所示,S梯形ABCD=(AB+CD)·DE=________(用L表示中位线,h表示高).‎ 在该梯形中,面积相等的三角形有:‎ ‎_____________;_____________;_____________.‎ 识记巩固参考答案:‎ ‎1.平行不平行相等直角2.(1)相等(2)相等(3)轴过两底中点的直线3.(1)两腰相等(2)同一底上的两角相等(3)对角线相等4.(1)平行一半(2)平行一半5.ch(1)S=S(2)S=S(3)S=S ‎◆典例解析 例1(2011安徽芜湖,21,8分)如图,在梯形ABCD中,DC‖AB,AD=BC,BD平分过点D作,过点C作,垂足分别为E、F,连接EF,求证:为等边三角形.‎ ‎【答案】‎ 证明:因为DC‖AB,,所以.‎ 又因为平分,所以………………2分 因为DC‖AB,所以,所以所以4分 因为,所以F为BD中点,又因为,所以……6分 由,得,所以为等边三角形.………………8分 例2(2011山东泰安,27,10分)已知,在梯形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=900,BC=2AD,E是BC的中点,连接AE、AC.‎ ‎(1)点F是DC上一点,连接EF,交AC于点O(如图①),求证:△AOE∽△COF ‎(2)若点F是DC的中点,连接BD,交AE于点G(如图②),求证:四边形EFDG是菱形。‎ ‎【答案】证明:∵点E是BC的中点,BC=2AD ‎∴EC=BE=BC=AD 又∵AD∥EC ‎∴四边形AECD为平行四边形 ‎∴AE∥DC ‎∴∠AEO=∠CFO,∠EAO=∠FCO ‎∴△AOE∽△COF ‎(2)证明:连接DE ‎∵AD∥BE,AD=BE ‎∴四边形ABED是平行四边形 又∠ABE=900‎ ‎∴□ABED是矩形 ‎∴GE=GA=GB=GD=BD=AE ‎∵E、F分别是BC、CD的中点 ‎∴EF、GE是△CBD的两条中位线 ‎∴EF=BD=GD,GE=CD=DF 又GE=GD∴EF=GD=GE=DF 则四边形EFDG是菱形 例3(2008,四川广安)如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,E为CD中点,连结AE并延长AE交BC的延长线于点F.‎ ‎(1)求证:CF=AD;‎ ‎(2)若AD=2,AB=8,当BC为多少时,点B在线段AF的垂直平分线上?为什么?‎ 解析(1)证明:∵AD∥BC,∴∠F=∠DAE.‎ 又∵∠FEC=∠AED,CE=DE,‎ ‎∴△FEC≌△AED,‎ CF=AD.‎ ‎(2)当BC=6时,点B在线段AF的垂直平分线上.‎ ‎∵BC=6,AD=2,AB=8,‎ ‎∴AB=BC+AD.‎ 又∵CF=AD,BC+CF=BF,‎ ‎∴AB=BF.‎ ‎∴点B在AF的垂直平分线上.‎ 点评在(2)中要证点B在线段AF的垂直平分线上,其实是依据到AF的两端点A,F距离相等的点在AF的垂直平分线上来证的,即只需从证明AB=BF出发倒推即可.‎ 拓展变式1在梯形ABCD中,AD∥BC,AD+BC=CD,E是AB的中点,则∠CED=_____度.‎ 答案90‎ 拓展变式2如图,直角梯形ABCD的中位线EF的长为a,垂直于底的腰AB的长为b,则图中阴影部分的面积等于_______.‎ 答案:ab ‎2011年中考真题 一、选择题 ‎1.(2011江苏扬州,7,3分)已知下列命题:①对角线互相平分的四边形是平行四边形;②等腰梯形的对角线相等;③对角线互相垂直的四边形是菱形;④内错角相等。其中假命题有()‎ A.1个B.2个C.3个D.4个 ‎【答案】B ‎2.(2011山东滨州,12,3分)如图,在一张△ABC纸片中,∠C=90°,∠B=60°,DE是中位线,现把纸片沿中位线DE剪开,计划拼出以下四个图形:①邻边不等的矩形;②等腰梯形;③有一个角为锐角的菱形;④正方形.那么以上图形一定能被拼成的个数为()‎ A.1B‎.2C.3D.4‎ ‎(第12题图)‎ ‎【答案】C ‎3.(2011山东烟台,6,4分)如图,梯形ABCD中,AB∥CD,点E、F、G分别是BD、AC、DC的中点.已知两底差是6,两腰和是12,则△EFG的周长是()‎ A.8B‎.9C.10D.12‎ A B C D E F G ‎(第6题图)‎ ‎【答案】B ‎4.(2011浙江台州,7,4分)如图,在梯形ABCCD中,AD∥BC,∠ABC=90º,对角线BD、AC相交于点O。下列条件中,不能判断对角线互相垂直的是()‎ A.∠1=∠4B.∠1=∠‎3C.∠2=∠3D.OB2+OC2=BC2‎ ‎【答案】B ‎5.(2011台湾台北,15)图(五)为梯形纸片ABCD,E点在上,且,=3,=9,=8。若以 为折线,将C折至上,使得与交于F点,则长度为何?‎ A.4.5B。‎5C。5.5D.6‎ ‎【答案】B ‎6.(2011山东潍坊,11,3分)已知直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠BCD=90°,BC=CD=2AD,E、F分别是BC、CD边的中点,连接BF、DE交于点P,连接CP并延长交AB于点Q,连接AF,则下列结论不正确的是()‎ A.CP平分∠BCD B.四边形ABED为平行四边形 C.CQ将直角梯形ABCD分为面积相等的两部分 D.△ABF为等腰三角形 ‎【答案】C ‎7.(2011山东临沂,12,3分)如图,梯形ABCD中,AD∥BC,AB=CD,AD=2,BC=6,∠B=60°,则梯形ABCD的周长是()‎ A.12B.‎14C.16D.18‎ ‎【答案】C ‎8.(2011四川绵阳11,3)如图,在等腰梯形站ABCD中,AB//CD,对角线AC、BD相交于O,∠ABD=30°,AC⊥BC,AB=‎8cm,则△COD的面积为 A.B.‎ C.D.‎ ‎【答案】A ‎9.(2011湖北武汉市,7,3分)如图,在梯形ABCD中,AB∥DC,AD=DC=CB,若∠ABD=25°,则∠BAD的大小是 A.40°.  B.45°.C.50°.   D.60°.‎ 第7题图 A B C D ‎【答案】C ‎10.(2011湖北宜昌,12,3分)如图,在梯形ABCD中,AB∥CD,AD=BC,点E,F,G,H分别是AB,BC,CD,DA的中点,则下列结论一定正确的是().‎ A.∠HGF=∠GHEB.∠GHE=∠HEF C.∠HEF=∠EFGD.∠HGF=∠HEF ‎(第12题图)‎ ‎【答案】D ‎11.‎ ‎12.‎ 二、填空题 ‎1.(2011福建福州,13,4分)如图4,直角梯形中,∥,,则度.‎ 图4‎ ‎【答案】‎ ‎2.(2011浙江湖州,14,4)如图,已知梯形ABCD,AD∥BC,对角线AC,BD相交于点O,△AOD与△BOC的面积之比为1:9,若AD=1,则BC的长是.‎ ‎【答案】3‎ ‎3.(2011湖南邵阳,16,3分)如图(六)所示,在等腰梯形ABCD中,AB∥CD,AD=BC,AC⊥BC,∠B=60°,BC=‎‎2cm ‎,则上底DC的长是_______cm。‎ ‎【答案】2.提示:∠CAB=90°-60°=30°,‎ 又∵等腰梯形ABCD中,∠BAD=∠B=60°,‎ ‎∴∠CAD=∠BAD-∠BAC=30°。‎ 又∵CD∥AB,∴∠DCA=∠CAB=30°=∠DAC。‎ ‎∴CD=AD=BC=‎2cm。‎ ‎4.(2011江苏连云港,16,3分)一等腰梯形两组对边中点连线段的平方和为8,则这个等腰梯形的对角线长为_______.‎ ‎【答案】‎ ‎5.(2011江苏宿迁,15,3分)如图,在梯形ABCD中,AB∥DC,∠ADC的平分线与∠BDC的平分线的交点E恰在AB上.若AD=‎7cm,BC=‎8cm,则AB的长度是▲cm.‎ ‎【答案】15‎ ‎6.(2011重庆江津,13,4分)在梯形ABCD中,AD∥BC,中位线长为5,高为6,则它的面积是___________.‎ ‎【答案】30·‎ ‎7..(2011江苏南京,10,2分)等腰梯形的腰长为5㎝,它的周长是22㎝,则它的中位线长为___________㎝.‎ ‎【答案】6‎ ‎8.(2011山东临沂,19,3分)如图,上面各图都是用全等的等边三角形拼成的一组图形,则在第10个这样的图形中,共有个等腰梯形.‎ ‎⑴⑵⑶‎ ‎【答案】100‎ ‎9.(2011湖北襄阳,17,3分)如图4,在梯形ABCD中,AD∥BC,AD=6,BC=16,E是BC的中点.点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发,沿AD向点D运动;点Q同时以每秒2个单位长度的速度从点C出发,沿CB向点B运动.点P停止运动时,点Q也随之停止运动.当运动时间t=秒时,以点P,Q,E,D为顶点的四边形是平行四边形.‎ 图4‎ ‎【答案】2或 ‎10.(2011江苏盐城,15,3分)将两个形状相同的三角板放置在一张矩形纸片上,按图示画线得到四边形ABCD,则四边形ABCD 的形状是▲.‎ ‎【答案】等腰梯形 ‎11.‎ ‎12.‎ 三、解答题 ‎1.(2011安徽芜湖,21,8分)如图,在梯形ABCD中,DC‖AB,AD=BC,BD平分过点D作,过点C作,垂足分别为E、F,连接EF,求证:为等边三角形.‎ ‎【答案】‎ 证明:因为DC‖AB,,所以.‎ 又因为平分,所以………………2分 因为DC‖AB,所以,所以所以4分 因为,所以F为BD中点,又因为,所以……6分 由,得,所以为等边三角形.………………8分 ‎2.(2011山东菏泽,17(2),7分)如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,∠B=90°,∠C=45°,AD=1,BC=4,E为AB中点,EF∥DC交BC于点F,求EF的长.‎ E ‎【答案】解:过点A作AG∥DC,∵AD∥BC,‎ ‎∴四边形AGCD是平行四边形,‎ ‎∴GC=AD,‎ ‎∴BG=BC-AD=4-1=3,‎ 在Rt△ABG中,‎ AG=,‎ ‎∵EF∥DC∥AG,‎ ‎∴,‎ ‎∴EF=.‎ ‎3.(2011山东泰安,27,10分)已知,在梯形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=900,BC=2AD,E是BC的中点,连接AE、AC.‎ ‎(1)点F是DC上一点,连接EF,交AC于点O(如图①),求证:‎ ‎△AOE∽△COF ‎(2)若点F是DC的中点,连接BD,交AE于点G(如图②),求证:四边形EFDG是菱形。‎ ‎【答案】证明:∵点E是BC的中点,BC=2AD ‎∴EC=BE=BC=AD 又∵AD∥EC ‎∴四边形AECD为平行四边形 ‎∴AE∥DC ‎∴∠AEO=∠CFO,∠EAO=∠FCO ‎∴△AOE∽△COF ‎(2)证明:连接DE ‎∵AD∥BE,AD=BE ‎∴四边形ABED是平行四边形 又∠ABE=900‎ ‎∴□ABED是矩形 ‎∴GE=GA=GB=GD=BD=AE ‎∵E、F分别是BC、CD的中点 ‎∴EF、GE是△CBD的两条中位线 ‎∴EF=BD=GD,GE=CD=DF 又GE=GD∴EF=GD=GE=DF 则四边形EFDG是菱形 ‎4.(2011四川南充市,17,6分)如图,四边形ABCD是等腰梯形,AD∥BC,点E,F在BC上,且BE=CF,连接DE,AF.‎ 求证:DE=AF.‎ ‎【答案】证明:∵BE=FC ‎∴BE+EF=FC+EF,即BF=CE ‎∵四边形ABCD是等腰梯形 ‎∴AB=DC∠B=∠C 在⊿DCE和⊿ABF中,‎ DC=AB ‎∠B=∠C CE=BF ‎∴⊿DCE≌⊿ABF(SAS)‎ ‎∴DE=AF ‎5.(2011四川南充市,21,8分)如图,等腰梯形ABCD中,AD∥BC,AD=AB=CD=2,∠C=600,M是BC的中点。‎ ‎(1)求证:⊿MDC是等边三角形;‎ ‎(2)将⊿MDC绕点M旋转,当MD(即MD′)与AB交于一点E,MC即MC′)同时与AD交于一点F时,点E,F和点A构成⊿AEF.试探究⊿AEF的周长是否存在最小值。如果不存在,请说明理由;如果存在,请计算出⊿AEF周长的最小值.‎ ‎【答案】(1)证明:过点D作DP⊥BC,于点P,过点A作AQ⊥BC于点Q,‎ ‎∵∠C=∠B=600‎ ‎∴CP=BQ=AB,CP+BQ=AB 又∵ADPQ是矩形,AD=PQ,故BC=2AD,‎ 由已知,点M是BC的中点,‎ BM=CM=AD=AB=CD,‎ 即⊿MDC中,CM=CD,∠C=600,故⊿MDC是等边三角形.‎ ‎(2)解:⊿AEF的周长存在最小值,理由如下:‎ 连接AM,由(1)平行四边形ABMD是菱形,⊿MAB,⊿MAD和⊿MC′D′是等边三角形,‎ ‎∠BMA=∠BME+∠AME=600,∠EMF=∠AMF+∠AME=600‎ ‎∴∠BME=∠AMF)‎ 在⊿BME与⊿AMF中,BM=AM,∠EBM=∠FAM=600‎ ‎∴⊿BME≌⊿AMF(ASA)‎ ‎∴BE=AF,ME=MF,AE+AF=AE+BE=AB ‎∵∠EMF=∠DMC=600,故⊿EMF是等边三角形,EF=MF.‎ ‎∵MF的最小值为点M到AD的距离,即EF的最小值是.‎ ‎⊿AEF的周长=AE+AF+EF=AB+EF,‎ ‎⊿AEF的周长的最小值为2+.‎ ‎6.(2011浙江杭州,22,10)在直角梯形ABCD中,AB∥CD,∠ABC=90°,AB=2BC=2CD,对角线AC与BD相交于点O,线段OA,OB的中点分别为点E,F.‎ ‎(1)求证:△FOE≌△DOC;‎ ‎(2)求sin∠OEF的值;‎ ‎(3)若直线EF与线段AD,BC分别相交于点G,H,求 的值.‎ ‎【答案】(1)证明:∵E,F分别为线段OA,OB的中点,∴EF∥AB,AB=2EF,∵AB=2CD,∴EF=CD,∵AB∥CD,∴EF∥CD,∴∠OEF=∠OCD,∠OFE=∠ODC,∴△FOE≌△DOC;,‎ ‎(2)在△ABC中,∵∠ABC=90°,∴,.∵EF∥AB,∴∠OEF=∠CAB,∴‎ ‎(3)∵△FOE≌△DOC,∴OE=OC,∵AE=OE,AE=OE=OC,∴.∵EF∥AB,∴△CEH∽△CAB,∴,∴,∵EF=CD,∴‎ ‎,同理,∴,∴‎ ‎7.(2011浙江温州,18,8分)如图,在等腰梯形ABCD中,AB∥CD,点M是AB的中点.‎ 求证:△ADM≌△BCM.‎ ‎【答案】证明:在等腰梯形ABCD中,AB∥CD,‎ ‎∴AD=BC,∠A=∠B,‎ ‎∵点M是AB的中点,‎ ‎∴MA=MB,‎ ‎∴△ADM≌△BCM ‎8.(2011四川重庆,24,10分)如图,梯形ABCD中,AD∥BC,∠DCB=45°,CD=2,BD⊥CD.过点C作CE⊥AB于E,交对角线BD于F.点G为BC中点,连结EG、AF.‎ ‎(1)求EG的长;‎ ‎(2)求证:CF=AB+AF.‎ ‎【答案】(1)解∵BD⊥CD,∠DCB=45°,∴∠DBC=∠DCB=45°,‎ ‎∴CD=DB=2,∴CB==2,‎ ‎∵CE⊥AB于E,点G为BC中点,∴EG=CB=.‎ ‎(2)证明:证法一:延长BA、CD交于点H,∵BD⊥CD,∴∠CDF=∠BDH=90°,‎ ‎∴∠DBH+∠H=90°,∵CE⊥AB于E,∴∠DCF+∠H=90°,‎ ‎∴∠DBH=∠DCF,又CD=BD,∠CDF=∠BDH,∴△CDF≌△BDH(ASA),‎ DF=DH,CF=BH=BA+AH,∵AD∥BC,∴∠DBC=∠ADF=45°,‎ ‎∠HDA=∠DCB=45°,∴∠ADF=∠HAD,又DF=DH,DA=DA,‎ ‎∴△ADF≌△ADH(SAS),∴AF=AH,‎ 又CF=BH=BA+AH,∴CF=AB+AF.‎ 证法二:在线段DH上截取CH=CA,连结DH.‎ ‎∵BD⊥CD,BE⊥CE,∴∠EBF+∠EFB=90°,∠DCF+∠DFC=90°.‎ 又∠EFB=∠DFC,∴∠EBF=∠DCF.‎ 又BD=CD,BA=CH,∴△ABD≌△HCD.‎ ‎∴AD=HD,∠ADB=∠HDC.‎ 又AD∥BC,∴∠ADB=∠DBC=45°.‎ ‎∴∠HDC=45°.∴∠HDB=∠BDC-∠HDC=45°.‎ ‎∴∠ADB=∠HDB.‎ 又AD=HD,DF=DF,∴△ADF≌△HDF,∴AF=HF.‎ ‎∴CF=CH+HF=AB+AF.‎ ‎9.(2011湖南邵阳,19,8分)在四边形ABCD中,E,F,G,H分别是AB,BC,CD,DA的中点,顺次连结EF,FG,GH,HE。‎ ‎(1)请判断四边形EFGH的形状,并给予证明;‎ ‎(2)试添加一个条件,使四边形EFGH是菱形。(写出你所添加的条件,不要求证明)‎ ‎【答案】解:(1)四边形EFGH是平行四边形。证明如下:‎ 连结AC,BD,由E,F,G,H分别是所在边的中点,‎ 知EF∥AC,且EF=AC,GH∥AC,且GH=AC,‎ ‎∴GH∥EF,且GH=EF,四边形EFGH是平行四边形。‎ ‎10.(2011湖南益阳,15,6分)如图6,在梯形ABCD中,AB∥CD,AD=DC,‎ 求证:AC是∠DAB的平分线.‎ 图6‎ D A B C ‎【答案】解:∵,∴.‎ ‎∵,∴.‎ ‎∴,即是的角平分线.‎ ‎11.(2011湖南益阳,21,12分)图10是小红设计的钻石形商标,△ABC是边长为2的等边三角形,四边形ACDE是等腰梯形,AC∥ED,∠EAC=60°,AE=1.‎ ‎(1)证明:△ABE≌△CBD;‎ ‎(2)图中存在多对相似三角形,请你找出一对进行证明,并求出其相似比(不添加辅助线,不找全等的相似三角形);‎ ‎(3)小红发现AM=MN=NC,请证明此结论;‎ ‎(4)求线段BD的长.‎ E C D A M N 图10‎ B ‎【答案】⑴证明:,‎ ‎ ,. ‎ ‎,‎ ‎,‎ ‎,.  ‎ 在. ‎ ‎⑵答案不唯一.如.‎ 证明:,,‎ ‎.‎ ‎ 其相似比为:.‎ ‎⑶由(2)得,. ‎ 同理.‎ ‎.‎ ⑷作,‎ ‎,.‎ ‎,,,‎ ‎. ‎ ‎,, ‎ ‎.‎ ‎12.(2011江苏苏州,23,6分)如图,已知四边形ABCD是梯形,AD∥BC,∠A=90°,BC=BD,CE⊥BD,垂足为E.‎ ‎(1)求证:△ABD≌△ECB;‎ ‎(2)若∠DBC=50°,求∠DCE的度数.‎ ‎【答案】证明:(1)∵AD∥BC,∴∠ADB=∠EBC.‎ 又∵CE⊥BD,∠A=90°,∴∠A=∠CEB.‎ 在△ABD和△ECB中,‎ ‎∴△ABD≌△ECB.‎ ‎(2)解法一:∵∠DBC=50°,BC=BD,∴∠EDC=65°.‎ 又∵CE⊥BD,∴∠CED=90°.‎ ‎∴∠DCE=90°-∠EDC=25°.‎ 解法二:∵∠DBC=50°,BC=BD,∴∠BCD=65°.‎ 又∵∠BEC=90°,∴∠BCE=40°.‎ ‎∴∠DCE=∠BCD-∠BCE=25°.‎ ‎13.(2011湖北黄石,19,7分)如图(6),在中,AD∥BC,AB=DC,E是BC的中点,连接AE,DE,求证:AE=DE ‎【答案】证明:∵梯形ABCD是等腰梯形 ‎∴∠B=∠C ‎∵E是BC的中点 ∴BE=EC 在△ABE的△DCE中 AB=DC ‎∠B=∠C BE=EC ‎∴△ABE≌△DCE ‎∴AE=DE ‎14.(2011广东茂名,22,8分)如图,在等腰△ABC中,点D、E分别是两腰AC、BC上的点,连接AE、BD相交于点O,∠1=∠2.‎ ‎(1)求证:OD=OE;                      (3分)‎ ‎(2)求证:四边形ABED是等腰梯形;                (3分)‎ ‎(3)若AB=3DE,△DCE的面积为2,求四边形ABED的面积.      (2分)‎ ‎【答案】(1)证明:如图,∵△ABC是等腰三角形,∴AC=BC,∴∠BAD=∠ABE,‎ 又∵AB=BA、∠2=∠1,∴△ABD≌△BAE(ASA),‎ ‎∴BD=AE,又∵∠1=∠2,∴OA=OB,‎ ‎∴BD-OB=AE-OA,即:OD=OE.·‎ ‎(2)证明:由(1)知:OD=OE,∴∠OED=∠ODE,‎ ‎∴∠OED=-∠DOE),‎ 同理:∠1=-∠AOB),‎ 又∵∠DOE=∠AOB,∴∠1=∠OED,∴DE∥AB,‎ ‎∵AD、BE是等腰三角形两腰所在的线段,∴AD与BE不平行,‎ ‎∴四边形ABED是梯形, 又由(1)知∴△ABD≌△BAE,∴AD=BE ‎∴梯形ABED是等腰梯形.‎ ‎(3)解:由(2)可知:DE∥AB,∴△DCE∽△ACB,‎ ‎∴,即:,‎ ‎∴△ACB的面积=18,‎ ‎∴四边形ABED的面积=△ACB的面积-△DCE的面积=18-2=16.‎ ‎15.(2011山东东营,19,8分)(本题满分8分)如图,在四边形ABCD中,DB平分∠ADC,∠ABC=120°,∠C=60°,∠BDC=;延长CD到点E,连接AE,使得∠E=∠C。‎ ‎(1)求证:四边形ABDE是平行四边形;‎ ‎(2)若DC=12,求AD的长。‎ ‎【答案】(1)证明:∵∠ABC=120°,∠C=60°,∴∠ABC+∠BCD=180°‎ ‎∴AB∥DC。即AB∥ED。‎ 又∵∠C=60°,∠E=∠C,∠BDC=30°‎ ‎∴∠E=∠BDC=30°∴AE∥BD所以四边形ABDE是平行四边形 ‎(2)解:由第(1)问,AB∥DC。∴四边形ABCD是梯形。‎ ‎∵DB平分∠ADC,∠BDC=30°∴∠ADC=∠BCD=60°‎ ‎∴四边形ABCD是等腰梯形∴BC=AD ‎∵在△BCD中,∠C=60°,∠BDC=30°∴∠DBC=90°。又已知DC=12‎ ‎∴AD=BC=DC=6‎ ‎16.(2011重庆市潼南,24,10分)如图,在直角梯形ABCD中,AB∥CD,AD⊥DC,AB=BC,且AE⊥BC.‎ ‎⑴求证:AD=AE;‎ ‎⑵若AD=8,DC=4,求AB的长.‎ ‎【答案】解:(1)连接AC-------------------------------1分 ‎∵AB∥CD ‎∴∠ACD=∠BAC ‎∵AB=BC ‎∴∠ACB=∠BAC ‎∴∠ACD=∠ACB--------------------------------2分 ‎∵AD⊥DCAE⊥BC ‎∴∠D=∠AEC=900‎ ‎∵AC=AC--------------------------------3分 ‎∴△ADC≌△AEC-------------------------------4分 ‎∴AD=AE--------------------------------5分 ‎(2)由(1)知:AD=AE,DC=EC 设AB=x,则BE=x-4,AE=8-----------------------6分 在Rt△ABE中∠AEB=900‎ 由勾股定理得:----------------------8分 解得:x=10‎ ‎∴AB=10----------------------10分 ‎17.(2011山东枣庄,24,10分)如图,直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠A=90°,,交AB于E,DF平分∠EDC交BC于F,连结EF.‎ ‎(1)证明:;‎ ‎(2)当时,求EF的长.‎ F D B A E C 解:(1)过D作DG⊥BC于G.‎ 由已知可得,四边形ABGD为正方形.…………1分 ‎∵DE⊥DC,‎ ‎∴∠ADE+∠EDG=90°=∠GDC+∠EDG,‎ ‎∴∠ADE=∠GDC.………………………3分 又∵∠A=∠DGC,且AD=GD,‎ ‎∴△ADE≌△GDC.‎ ‎∴DE=DC,且AE=GC.……………………4分 在△EDF和△CDF中,‎ ‎∠EDF=∠CDF,DE=DC,DF为公共边,‎ ‎∴△EDF≌△CDF.‎ ‎∴EF=CF.………………………………………………………………………………6分 F D B A E C G ‎(2)∵tan∠ADE==,‎ ‎∴.………………………………………7分 设,则,BE=6-2=4.‎ 由勾股定理,得 .‎ 解之,得 ,即.…………………………………………………10分 梯形 一、选择题 ‎1、(2011重庆市纂江县赶水镇)如图,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=90°,BD⊥DC,BD=DC,CE平分∠BCD,交AB于点E,交BD于点H,EN∥DC交BD于点N.下列结论:①BH=DH;②CH=;③.其中正确的是()‎ A.①②③B.只有②③C.只有②D.只有③‎ A B C D H N E 答案:B ‎2、(2011年北京四中四模)如图,在等腰梯形ABCD中,AB∥DC,AC和BD相交于点O,则图中的全等三角形共有() (A)1对(B)2对 ‎(C)3对(D)4对 答案:C ‎3、(2011年如皋市九年级期末考)已知等腰梯形的底角为45°‎ ‎,高为2,上底为2,则其面积为()‎ A.2B.‎6C.8D.12‎ 答案:.C ‎4、(2011浙江杭州模拟14)下列命题中的真命题是().‎ A.对角线互相垂直的四边形是菱形B.中心对称图形都是轴对称图形 C.两条对角线相等的梯形是等腰梯形D.等腰梯形是中心对称图形 答案:C ‎5(2011年浙江省杭州市模拟)如图,,过上到点的距离分别为的点作的垂线与相交,得到并标出一组黑色梯形,它们的面积分别为.观察图中的规律,求出第10个黑色梯形的面积()‎ A.32B‎.54C.76D.86‎ 答案C ‎6.(浙江省杭州市党山镇中2011年中考数学模拟试卷)如图,在正三角形中,,,分别是,,上的点,,,,则的面积与的面积之比等于()‎ A.1∶3 B.2∶‎3 ‎ C.∶2 D.∶3‎ 答案:A ‎(第7题)‎ ‎7.(2011杭州上城区一模)‎ 梯形ABCD中AB∥CD,∠ADC+∠BCD=90°,以AD、AB、BC为斜边向形外作等腰直角三角形,其面积分别是S1、S2、S3,且S1+S3=4S2,则CD=()‎ A.2.5‎AB B.3AB C.3.5ABD.4AB 答案:B ‎8(2011广东南塘二模).已知梯形中位线长为‎5cm,面积为‎20cm2,则高是 A、‎2cm     B、‎4cm    C、‎6cm     D、‎‎8cm 答案:B ‎9.(2011湖北武汉调考模拟)如图,在直角梯形ABCD中,∠B=∠C=9O°,E、F是BC上两点,若AD=ED,∠ADE=30°,∠FDC=15°,则下列结论:①∠AED=∠DFC;②BE=2CF;③AB-CF=EF;④SOAF:SDEF=AF:EF其中正确的结论是()‎ A.①③B.②④C.①③④D.①②④‎ 答案:C ‎10、(北京四中2011中考模拟14)在课外活动课上,教师让同学们作一个对角线完全垂直的等腰梯形形状的风筝,其面积为‎800平方米 ‎,则对角线所用的竹条至少需()‎ A、‎40‎cmB、‎40cmC、80cmD、‎80‎cm 答案:B 二、填空题 ‎1、(2011年北京四中五模)如图,在直角梯形ABCD中,AB⊥BC,AD∥BC,EF为中位线,若AB=2b,EF=a,则阴影部分的面积.‎ 答案:ab ‎2、(2011年江阴市周庄中学九年级期末考)如图,已知梯 形ABCD中,AD∥BC,∠B=30°,∠C=60°,AD=4,‎ AB=,则下底BC的长为__________.‎ 答案:10‎ ‎3、(2011年黄冈中考调研六)已知等腰梯形的中位线的长为,腰的长为,则这个等腰梯形的周长为;‎ 答案18‎ ‎4.(2011灌南县新集中学一模)如图,在梯形ABCD中,AB∥CD,AD=BC,对角线AC⊥BD,垂足为O.若CD=3,AB=5,则AC的长为.‎ 答案:‎ ‎5(浙江杭州金山学校2011模拟)(引九年级期末自我评估卷第16题)‎ 如图,n+1个上底、两腰长皆为1,下底长为2‎ 的等腰梯形的下底均在同一直线上,设四边形P‎1M1N1N2面积为S1,四边形P‎2M2‎N2N3的面积为S2,……,四边形PnMnNnNn+1的面积记为Sn,则Sn=▲‎ 答案:‎ A B C D ‎6、(2011深圳市三模)如图有一直角梯形零件ABCD,AD∥BC,斜腰DC的长为‎10cm,∠D=120°,则该零件另一腰AB的长是m.‎ 第6题图 答案:5错误!未找到引用源。‎ 三、解答题 ‎1、(2011北京四中模拟6)等腰梯形一底的中点对边的两个端点的距离会相等吗?若相等,请给出证明。若不相等,请说明理由.‎ 答案会相等,画出图形,‎ 写出已知、求证;‎ 无论中点在上底或下底,‎ 均可利用等腰梯形同一 底上的两底角相等和腰 相等加上中点定义,运 用“SAS”完成证明。‎ ‎2、(2011淮北市第二次月考五校联考)如图,等腰梯形ABCD中,AB=4,CD=9,∠C=60°,动点P从点C出发,沿CD方向向D点运动,动点Q同时以相同速度从点D出发沿DA方向向终点A运动,其中一个动点到达端点时,另一个动点也随之停止运动.‎ ‎(1)求AD的长;‎ ‎(2)设CP=x,问当x为何值时△PDQ的面积达到最大,并求出最大值;‎ ‎(3)探究在BC边上是否存在点M,使得四边形PDQM是菱形?若存在,请找出点M并求出BM的长,若不存在,请说明理由。‎ A B C P D Q 答案(1)过点B作AE∥BC交CD于E,∠AED=∠C=∠D=60°∴△ADE为等边三角形∴AD=DE=9-4=5………………4分 ‎(2)过点Q作QF⊥CD于M点,如图,设DQ=CP=x,∠D=60°则PD=9-x,‎ QF=x,S△PDQ=PD×h=-(x-)2+………………7分 又∵0≤x≤5∴当x=时,S△PDQ最大值为………………9分 ‎(3)如图,假设存在满足条件的点M,则PD=DQ,9-x=x,x=P为CD的中点,连结QP,∠D=60°则△PDQ为等边三角形,过点Q作QM∥DC交BC于M,点M即为所求。连结MP,则CP=PD=DQ=CM,∠D=60°则△CPM为等边三角形……12分 ‎∴∠D=∠3=60°∴MP∥QD∴四边形PDQM为平行四边形又PD=PQ∴四边形PDQM为菱形,BM=BC-MC=5-=………………14分 ‎3、(2011浙江杭州模拟14)‎ 如图,直角梯形ABCD中,AB∥DC,∠DAB=90°,AD=2DC=4,AB=6.动点M以每秒1个单位长的速度,从点A沿线段AB向点B运动;同时点P以相同的速度,从点C沿折线C-D-A向点A运动.当点M到达点B时,两点同时停止运动.过点M作直线l∥AD,与折线A-C-B的交点为Q.点M运动的时间为t(秒).‎ ‎(1)当时,求线段的长;‎ ‎(2)点M在线段AB上运动时,是否可以使得以C、P、Q为顶点的三角形为直角三角形,若可以,请直接写出t的值(不需解题步骤);若不可以,请说明理由.‎ ‎(3)若△PCQ的面积为y,请求y关于出t的函数关系式及自变量的取值范围;‎ 答案:‎ 解:(1)由Rt△AQM∽Rt△CAD.……………………………………………2分 ‎∴.即,∴.…………………………………1分 ‎(2)或或4.……………………………………………3分 ‎(3)当0<t<2时,点P在线段CD上,设直线l交CD于点E 由(1)可得.即QM=2t.∴QE=4-2t.………………………2分 ‎∴S△PQC=PC·QE=………………………………………………1分 即 当>2时,过点C作CF⊥AB交AB于点F,交PQ于点H.‎ ‎.‎ 由题意得,.‎ ‎∴. ∴.‎ ‎∴. ∴.‎ ‎∴四边形AMQP为矩形.‎ ‎∴PQ∥.CH⊥PQ,HF=AP=6-t ‎∴CH=AD=HF=t-2‎ ‎…………………………………………………………1分 ‎∴S△PQC=PQ·CH=………………………………………1分 即y=‎ 综上所述或y=(2<<6)…………………1分 ‎4.(2011年江苏盐都中考模拟)(本题8分)已知:如图,梯形ABCD中,AB//DC,E是BC的中点,AE、DC的延长线相交于点F,连接AC、BF.‎ ‎(1)求证:AB=CF;‎ ‎(2)若将梯形沿对角线AC折叠恰好D点与E点重合,梯形ABCD应满足什么条件,能使四边形ABFC为菱形?并加以证明.‎ ‎(1)证△CEF≌△BEA即可.(4分)‎ ‎(2)当梯形ABCD中∠D=90°时,能使四边形ABFC为菱形,证明略.(4分)‎ ‎5、(2011年北京四中中考模拟18)如图11,在ΔABC中,AC=15,BC=18,sinC=,D是AC上一个动点(不运动至点A,C),过D作DE∥BC,交AB于E,过D作DF⊥BC,垂足为F,连结BD,设CD=x.‎ 图11‎ ‎(1)用含x的代数式分别表示DF和BF;‎ ‎(2)如果梯形EBFD的面积为S,求S关于x的函数关系式;‎ ‎(3)如果△BDF的面积为S1,△BDE的面积为S2,那么x为何值时,S1=2S2 ‎ 解:(1)在Rt△CDF中,sinC=,CD=x,‎ ‎    ∴DF=CD•sinC=x,CF=‎ ‎∴BF=18-。‎ ‎(2)∵ED∥BC,∴,‎ ‎∴ED=‎ ‎∴S=×DF×(ED+BF)‎ ‎=‎ ‎     (3)由S1=2S2,得S1=S ‎      ∴(18-)•=‎ ‎     解这个方程,得:x1=10,x2=0(不合题意,舍去)‎ ‎     所以,当x=10时,S1=2S2‎ ‎6.(2011年杭州三月月考)如图,沿江堤坝的横断面是梯形ABCD,坝顶AD=‎4m,坝高AE=‎6m,斜坡AB的坡比,∠C=60°,求斜坡AB、CD的长。‎ 答案:‎ 解:∵斜坡AB的坡比,‎ ‎∵AE:BE=,又AE=‎6m∴BE=‎‎12m ‎∴AB=(m)‎ 作DF⊥BC于F,则得矩形AEFD,有DF=AE=‎6m,‎ ‎∵∠C=60°∴CD=DF·sin60°=m 答:斜坡AB、CD的长分别是m,m。‎ ‎7(2011广东南塘二模)梯形ABCD中,AD∥BC,∠B=90°,AD=4,BC=8,CD=。‎ ‎(1)请你在AB边上找出一点P,使它到C、D距离的和最小。‎ ‎(不写作法,不用证明,保留作图痕迹)‎ D A B C ‎(2)求出(1)中PC+PD的最小值。‎ ‎(第7题)‎ 答案:(1)略 ‎(2)点D关于AB的对称点设为D′,连D′C交AB于P,过D作DF⊥BC于F,求出AB=DF=9,由△D′AP∽△CBP,可求得:PA=3,BP=6,∴PC+PD最小值=10+5=15。‎ ‎8.(本题满分8分)(安徽芜湖2011模拟)如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,AB=CD=AD,BD⊥CD.‎ ‎(1)求sin∠DBC的值;‎ ‎(2)若BC长度为‎4cm,求梯形ABCD的面积.‎ 答案:解:(1)∵AD=AB∴∠ADB=∠ABD ‎∵AD∥CB∴∠DBC=∠ADB=∠ABD……………(1分)‎ ‎∵在梯形ABCD中,AB=CD,∴∠ABD+∠DBC=∠C=2∠DBC ‎∵BD⊥CD∴3∠DBC=90º∴∠DBC=30º……(3分)‎ ‎∴sin∠DBC=……………………(4分)‎ ‎(2)过D作DF⊥BC于F…………………………(5分)‎ 在Rt△CDB中,BD=BC×cos∠DBC=2(cm)…………………‎ ‎(6分)‎ 在Rt△BDF中,DF=BD×sin∠DBC=(cm)…………………(7分)‎ ‎∴S梯=(2+4)·=3(cm2)………………………………………(8分)‎ ‎9.(浙江杭州金山学校2011模拟)(14分)(根据历城市2011年中考第一次模拟考试数学试卷改编)‎ 已知:直角梯形OABC中,BC∥OA,∠AOC=90°,以AB为直径的圆M交OC于D.E,连结AD、BD、BE。‎ ‎(1)在不添加其他字母和线的前提下,直接写出图1中的两对相似三角形。‎ ‎_____________________,______________________。‎ ‎(2)直角梯形OABC中,以O为坐标原点,A在x轴正半轴上建立直角坐标系(如图2),若抛物线经过点A.B.D,且B为抛物线的顶点。‎ ①写出顶点B的坐标(用a的代数式表示)___________。‎ ②求抛物线的解析式。‎ ③在x轴下方的抛物线上是否存在这样的点P:过点P做PN⊥x轴于N,使得△PAN与△OAD相似?若存在,求出点P的坐标;若不存在,说明理由。‎ 图2‎ 答案:(1)△OAD∽△CDB.△ADB∽△ECB……………………………………………4分 ‎(2)①(1,-‎4a)…………………………………………………………1分 ②∵△OAD∽△CDB ‎∴…………………………………………………………1分 ‎∵ax2-2ax-‎3a=0,可得A(3,0)…………………………………2分 又OC=-‎4a,OD=-‎3a,CD=-a,CB=1,‎ ‎∴∴  ∵  ∴‎ 故抛物线的解析式为:………………………………2分 ③存在,设P(x,-x2+2x+3)‎ ‎∵△PAN与△OAD相似,且△OAD为等腰三角形 ‎∴PN=AN 当x<0(x<-1)时,-x+3=-(-x2+2x+3),x1=-2,x2=3(舍去),‎ ‎∴P(-2,-5)………………………………………………………………………2分 当x>0(x>3)时,x-3=-(-x2+2x+3),x1=0,x2=3(都不合题意舍去)…………1分 符合条件的点P为(-2,-5)………………………‎ ‎10、(北京四中2011中考模拟13)等腰梯形一底的中点对边的两个端点的距离会相等吗?若相等,请给出证明。若不相等,请说明理由。‎ 答案:会相等,画出图形,‎ 写出已知、求证;‎ 无论中点在上底或下底,均可利用等腰梯形 同一底上的两底角相等和腰相等加上中点定 义,运用“SAS”完成证明。‎ ‎11.(2011年杭州市上城区一模)(本小题满分10分)‎ 已知四边形ABCD,E是CD上的一点,连接AE、BE.‎ ‎(1)给出四个条件:①AE平分∠BAD,②BE平分∠ABC,③AE⊥EB,④AB=AD+BC.‎ 请你以其中三个作为命题的条件,写出一个能推出AD∥BC的正确命题,并加以证明;‎ ‎(第11题(1))‎ ‎(2)请你判断命题“AE平分∠BAD,BE平分∠ABC,E是CD的中点,则AD∥BC”是否正确,并说明理由.‎ 答案:(1)如:①②④AD∥BC 证明:在AB上取点M,使AM=AD,连结EM,‎ ‎∵AE平分∠BAD∴∠MAE=∠DAE 又∵AM=ADAE=AE,∴△AEM≌△AED ‎∴∠D=∠AME 又∵AB=AD+BC∴MB=BC,∴△BEM≌△BCE ‎∠C=∠BME 故∠D+∠C=∠AME+∠BME=180°∴AD∥BC ‎(2)不正确 作等边三角形ABM AE平分∠BAM,BE平分∠ABM 且AE、BE交于E,连结EM,则EM⊥AB,过E作ED∥AB交 AM于D,交BM与C,则E是CD的中点而AD和BC相交于点M ‎∴命题“AE平分∠BAD,BE平分∠ABC,E是CD的中点,则AD∥BC”是不正确的.‎ 第12题 ‎12.(2011年杭州市模拟)(本题6分)如图,在梯形中,∥,,,,,求梯形的面积.‎ 答案:在梯形ABCD中,AB∥CD,‎ ‎∴∠1=∠2.‎ ‎∵∠ACB=∠D=90°.‎ ‎∴∠3=∠B.‎ ‎∴‎ 在Rt△ACD中,CD=4,‎ ‎∴‎ ‎∴.在Rt△ACB中,,‎ ‎∴,∴‎ ‎∴‎ ‎ ‎ ‎13.(2011年海宁市盐官片一模)如图,在梯形ABCD中,AB∥CD,AB=7,CD=1,AD=BC=5.点M,N分别在边AD,BC上运动,并保持MN∥AB,ME⊥AB,NF⊥AB,垂足分别为E,F.‎ C D A B E F N M ‎(1)求梯形ABCD的面积;‎ ‎(2)求四边形MEFN面积的最大值.‎ ‎(3)试判断四边形MEFN能否为正方形,若能,求出正方形MEFN的面积;若不能,请说明理由.‎ 答案:⑴过C作CG⊥AB于G ‎∵AB=7,CD=1∴BG=‎ 由BC=5∴CG==4‎ S=‎ ‎⑵∵MN∥AB,且ME⊥AB,NF⊥AB ‎∴四边形EFNM为矩形 设BF为x,四边形MEFN的面积只为y ‎∵NF∥CG,∴BFN∽BGC 即∴NF=‎ EF7-2x ‎∴y=(7-2x)‎ 当x=时,四边形MEFN的最大值为 ‎⑶当=7-2x时,即x=,MEFN为正方形 此时正方形边长为 正方形面积为 ‎14、(赵州二中九年七班模拟)如图,在梯形中,∥,,若点为线段上任意一点(与、不重合)。问:当点在什么位置时,,请说明理由。‎ 答案:解:当点M是AD的中点时,MB=MC.‎ 理由如下:‎ 如图,连接MB、MC,‎ ‎∵在梯形ABCD中,AB=DC,‎ ‎∴梯形ABCD是等腰梯形,从而∠A=∠D.‎ ‎∵点M是AD的中点,∴MA=MD.‎ 又∵AB=DC,∴△MAB≌△MDC.‎ ‎∴MB=MC.‎ ‎15、(赵州二中九年七班模拟)(7分)如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,BD⊥DC,∠C=60°,AD=4,BC=6,求AB的长。‎ 答案:‎ 解:过点A作AE⊥BD,垂足为E.‎ ‎∵BD⊥DC,∠C=60°,BC=6,‎ ‎∴∠1=30°,.‎ ‎∵AD//BC,∴∠2=∠1=30°.‎ ‎∵AE⊥BD,AD=4,∴,.‎ ‎∴.‎ ‎∴.‎ 单元测试 一、基础过关训练 ‎1.如图,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,点E是边CD的中点,若AB=AD+BC,BE=,则梯形ABCD的面积为()‎ A.B.C.D.25‎ ‎2.如图,校园内有一块梯形草枰ABCD,草坪边缘本有道路通过甲,乙,丙三个路口,可是有少数同学为了走捷径,在草坪内走了一条直路EF,假设走1步路的跨度为‎0.5米,结果他们仅仅为了少走_______步路,就踩伤了绿化我们校园的小草.(“路”宽忽略不计)‎ ‎3.在△ABC中,DE是△ABC的中位线,△ADE的面积为‎3cm2,则四边形DBCE的面积为_______cm2.‎ ‎4.如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,BC=DC,CF平分∠BCD,DF∥AB,BF的延长线交DC于点E.求证:(1)△BFC≌△DFC;(2)AD=DE.‎ 二、能力提升训练 ‎5.如图,在等腰梯形ABCD中,AD∥BC,AB=DC=5,AD=6,BC=12,动点P从D点出发,沿DC以每秒1个单位的速度向终点C运动,动点Q从C点出发,沿CB以每秒2个单位的速度向B点运动,两点同时出发,当P点到达C点时,Q点随之停止运动.‎ ‎(1)梯形ABCD的面积等于________;‎ ‎(2)当PQ∥AB时,P点离开D点的时间等于_______秒;‎ ‎(3)当P,Q,C三点构成直角三角形时,P点离开D点多少时间?‎ 参考答案 基础过关训练 ‎1.A2.43.9‎ ‎4.证明:(1)∵CF平分∠BCD,‎ ‎∴BCF=∠DCF.‎ 在△BFC和△DFC中,‎ ‎∴△BFC≌△DFC.‎ ‎(2)连结BD.‎ ‎∵△BFC≌△DFC,∴BF=DF,‎ ‎∴∠1=∠2.‎ ‎∵DF∥AB,∴∠2=∠3,∴∠1=∠3.‎ 又∵BC=DC,∴∠DBC=∠BDC,‎ ‎∴∠BDC=∠ADB.‎ 又BD是公共边,∴△BAD≌△BED,∴AD=DE.‎ 能力提升训练 ‎5.解:(1)36(2)‎ ‎(3)当P,Q,C三点构成直角三角形时,有两种情况:‎ ‎①如图1,当PQ⊥BC时,设P点离开D点x秒.‎ 作DE⊥BC于点E,则PQ∥DE,‎ ‎∴,∴,∴x=.‎ 当PQ⊥BC时,P点离开D点点秒.‎ ‎②如图2,当QP⊥CD时,设P点离开D点,作DE⊥BC于点E.‎ ‎∵∠QPC=∠DEC=90°,∠C=∠C,‎ ‎∴△QPC∽△DEC,‎ ‎∴,∴,∴x=.‎ ‎∴当①②知,当P,Q,C三点构成直角三角形时点P离开点D秒或秒.‎
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