高考卷 06普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷
2006 年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）
数学（理工农医类）
数学试卷(理工农医类)
注意事项：
1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题纸上，并将准考证号条
形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2. 每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡
皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答在试题卷上无效。
3. 考试结束后，监考人员将本试题卷和答题卡一并收回。
一、选择题:本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分。在每个小题给出的四个
选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 函数 2log 2 xy 的定义域是
A． ),3( B． ),3[ C． ),4( D． ),4[
2. 若数列 }{ na 满足:
3
1
1 a , 且对任意正整数 nm, 都有 nmnm aaa , 则
)(lim 21 nn
aaa
A．
2
1 B．
3
2 C．
2
3 D． 2
3. 过平行六面体 1111 DCBAABCD 任意两条棱的中点作直线, 其中与平面 11DDBB 平
行的直线共有
A．4 条 B．6 条 C．8 条 D．12 条
4. “ 1a ”是“函数 ||)( axxf 在区间 ),1[ 上为增函数”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5. 已知 ,0||2|| ba 且关于 x 的方程 0||2 baxax 有实根, 则 a 与 b 的夹角
的取值范围是
A． ]6,0[ B． ],3[ C． ]3
2,3[ D． ],6[
6. 某外商计划在 4 个候选城市投资 3 个不同的项目, 且在同一个城市投资的项目不超过
2 个, 则该外商不同的投资方案有
A． 16 种 B．36 种 C．42 种 D．60 种
7. 过双曲线 1: 2
2
2
b
yxM 的左顶点 A 作斜率为 1 的直线 l , 若 l 与双曲线 M 的两条
渐近线分别相交于点 CB, , 且 |||| BCAB , 则双曲线 M 的离心率是
A． 10 B． 5 C．
3
10 D．
2
5
8. 设函数
1)(
x
axxf , 集合 }0)(|{},0)(|{ xfxPxfxM , 若 PM ,
则实数 a 的取值范围是
A． )1,( B． )1,0( C． ),1( D． ),1[
9. 棱长为 2 的正四面体的四个顶点都在同一个球面上, 若过该球球心的一个截面如图 1,
则图中三角形(正四面体的截面)的面积是
图 1
A．
2
2 B．
2
3 C． 2 D． 3
10. 若圆 0104422 yxyx 上至少有三个不同的点到直线 0: byaxl 的
距离为 22 ,则直线l 的倾斜角的取值范围是
A． ]412[ ， B． ]12
5
12[ ， C． ]36[ ， D． ]20[ ，
注意事项：
请用 0.5 毫米黑色的签字笔直接答在答题卡上。答在试题卷上无效。
二、填空题：本大题共 5 小题，每小题 4 分(第 15 小题每空 2 分)，共 20 分.
把答案填在答题卡中对应题号后的横线上。
11. 若 5)1ax（ 的展开式中 3x 的系数是 80 , 则实数 a 的值是__________.
12. 已知
022
01
1
yx
yx
x
则 22 yx 的最小值是_____________.
13. 曲线
xy 1 和 2xy 在它们的交点处的两条切线与 x 轴所围成的三角形的面积是
___________.
14. 若 )0)(4sin()4sin()( abxbxaxf 是偶函数, 则有序实数对 ),( ba 可以
是__________.(注: 写出你认为正确的一组数字即可)
15. 如图 2, ABOM // , 点 P 在由射线OM , 线段 OB 及 AB 的延长线围成的区域内
( 不 含 边 界 ) 运 动 , 且 OByOAxOP , 则 x 的 取 值 范 围 是 __________; 当
2
1x 时, y 的取值范围是__________.
图 2
O
A
B
P
M
三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分，解答应写出文字说明，证明过程或演
算步骤。
16. （本小题满分 12 分）
如图 3, D 是直角 ABC 斜边 BC 上一点, ABCCADADAB ,,记 .
(Ⅰ)证明: 02cossin ; (Ⅱ)若 DCAC 3 ,求 的值.
图 3
C
D
B
A
17. （本小题满分 12 分）
某安全生产监督部门对 5 家小型煤矿进行安全检查(简称安检), 若安检不合格, 则必须整
改. 若整改后经复查仍不合格, 则强制关闭. 设每家煤矿安检是否合格是相互独立的, 且
每家煤矿整改前合格的概率是 5.0 , 整改后安检合格的概率是 8.0 ,
计算(结果精确到 01.0 );
(Ⅰ) 恰好有两家煤矿必须整改的概率;
(Ⅱ) 平均有多少家煤矿必须整改;
(Ⅲ) 至少关闭一家煤矿的概率 .
18. （本小题满分 14 分）
如图 4, 已知两个正四棱锥 ABCDQABCDP 与 的高分别为 1 和 2, 4AB
(Ⅰ) 证明: ABCDPQ 平面 ; (Ⅱ) 求异面直线 PQAQ与 所成的角;
(Ⅲ) 求点 P 到平面QAD 的距离.
D
图 4
C
B
A
Q
P
19．（本小题满分 14 分）
已知函数 xxxf sin)( , 数列 }{ na 满足: 10 1 a , ,3,2,1n
证明 (Ⅰ) 10 1 nn aa ; (Ⅱ) 3
1 6
1
nn aa .
20．（本小题满分 14 分）
对 1 个单位质量的含污物体进行清洗, 清洗前其清洁度(含污物体的清洁度定义为:
）物体质量（含污物）
污物质量1 为 8.0 , 要求清洗完后的清洁度为 99.0 . 有两种方案可供选
择, 方案甲: 一次清洗; 方案乙: 分两次清洗. 该物体初次清洗后受残留水等因素影响,
其 质 量 变 为 )31( aa . 设 用 x 单 位 质 量 的 水 初 次 清 洗 后 的 清 洁 度 是
1
8.0
x
x )1( ax , 用 y 单位质量的水第二次清洗后的清洁度是
ay
acy
,
其中 c )99.08.0( c 是该物体初次清洗后的清洁度.
(Ⅰ)分别求出方案甲以及 95.0c 时方案乙的用水量, 并比较哪一种方案用水量较少;
(Ⅱ)若采用方案乙, 当 a 为某固定值时, 如何安排初次与第二次清洗的用水量, 使总用水
量最小? 并讨论 a 取不同数值时对最少总用水量多少的影响.
21．（本小题满分 14 分）
已知椭圆 134:
22
1 yxC , 抛物线 )0(2)(: 2
2 ppxmyC , 且 21,CC 的公共弦
AB 过椭圆 1C 的右焦点 .
(Ⅰ) 当 轴时xAB , 求 pm, 的值, 并判断抛物线 2C 的焦点是否在直线 AB 上;
(Ⅱ) 是否存在 pm, 的值, 使抛物线 2C 的焦点恰在直线 AB 上? 若存在, 求出符合条
件的 pm, 的值; 若不存在, 请说明理由 .
答案： DADAB DACCB
1. 2 2. 5 3. 3
4 4. (1, 1) 15. ( ,0) ， 1 3( , )2 2
1．函数 2log 2 xy 的定义域是 2log 2x ≥0 ，解得 x≥4，选 D.
2 ． 数 列 }{ na 满 足 :
3
1
1 a , 且 对 任 意 正 整 数 nm, 都 有
nmnm aaa 2 1 1 1 1
1
9a a a a ， 1 1
1
3n n na a a a ，∴数列 }{ na 是首项为
3
1 ，公比
为
3
1 的等比数列。
)(lim 21 nn
aaa 1 1
1 2
a
q
，选 A.
3．如图，过平行六面体 1111 DCBAABCD 任意两条棱的中点作直线,
其中与平面 11DDBB 平行的直线共有 12 条，选 D.
4．若“ 1a ”，则函数 ||)( axxf =| 1|x 在区间 ),1[ 上为增函
数；而若 ||)( axxf 在区间 ),1[ 上为增函数，则 0≤a≤1，所以“ 1a ”是“函数
||)( axxf 在区间 ),1[ 上为增函数”的充分不必要条件，选 A.
5． ,0||2|| ba 且关于 x 的方程 0||2 baxax 有实根，则 2| | 4a a b ≥0 ，设
向量 ,a b
的夹角为θ，cosθ=
| | | |
a b
a b
≤
2
2
1 | | 14
1 2| |2
a
a
，∴θ∈ ],3[ ，选 B.
1 1
1
1
A
B
C
D
D C
B
A
6．某外商计划在 4 个候选城市投资 3 个不同的项目, 且在同一个城市投资的项目不超过 2
个，则有两种情况，一是在两个城市分别投资 1 个项目、2 个项目，此时有 1 2
3 4 36C A 种
方案，二是在三个城市各投资 1 个项目，有 3
4 24A 种方案，共计有 60 种方案，选 D.
7．过双曲线 1: 2
2
2
b
yxM 的左顶点 A (1，0)作斜率为 1 的直线l ：y=x－1, 若 l 与双曲
线 M 的两条渐近线
2
2
2 0yx b
分别相交于点 1 1 2 2( , ), ( , )B x y C x y , 联立方程组代入消元
得 2 2( 1) 2 1 0b x x ，∴
1 2 2
1 2 2
2
1
1
1
x x b
x x b
，x1+x2=2x1x2，又 |||| BCAB ,则 B 为 AC
中点，2x1=1+x2，代入解得
1
2
1
4
1
2
x
x
，∴ b2=9，双曲线 M 的离心率 e= 10c
a
，选 A.
8．设函数
1)(
x
axxf , 集合 { | ( ) 0}M x f x ，若 a>1 时，M={x| 1
0，∴ a>1
时，P=R，a<1 时，P= ； 已知 PM ,所以选 C.
9．棱长为 2 的正四面体 ABCD 的四个顶点都在同一个球面上, 若过该球
球心的一个截面如图为△ABF，则图中 AB=2，E 为 AB 中点，则 EF⊥
DC，在△DCE 中，DE=EC= 3 ，DC=2，∴EF= 2 ，∴三角形 ABF 的
面积是 2 ，选 C.
10．圆 0104422 yxyx 整理为 2 2 2( 2) ( 2) (3 2)x y ，
∴圆心坐标为(2，2)，半径为 3 2 ，要求圆上至少有三个不同的点到直
线 0: byaxl 的距离为 22 ，则圆心到直线的距离应小于等于 2 ，
∴
2 2
| 2 2 | 2a b
a b
≤ ， ∴ 2( ) 4( ) 1a a
b b
≤0 ， ∴ 2 3 ( ) 2 3a
b
≤ ≤ ，
( )ak b
，∴ 2 3 2 3 ≤k≤ ，直线l 的倾斜角的取值范围是 ]12
5
12[ ， ，选 B.
二．填空题：
11． 2 12．5 13． 3
4 14． (1, 1) 15． ( ,0) ， 1 3( , )2 2
11． 5)1ax（ 的展开式中 3x 的系数 3 3 2 3 3
5 ( ) ( 1) 10C ax a x = 80 x3，
则实数 a 的值是－2.
12．已知
022
01
1
yx
yx
x
，如图画出可行域，得交点 A(1，2)，B(3，
4)，则 22 yx 的最小值是 5.
13．曲线
xy 1 和 2xy 在它们的交点坐标是(1，1)，两条切线方程
分别是 y=－x+2 和 y=2x－1，它们与 x 轴所围成的三角形的面积是
4
3 .
14 ． ab ≠ 0 ，
2 2 2 2( ) sin( ) sin( ) ( sin cos ) ( sin cos )4 4 2 2 2 2f x a x b x a x x b x x 是
偶函数，只要 a+b=0 即可，可以取 a=1，b=－1.
15．如图, ABOM // , 点 P 在由射线 OM , 线段 OB 及 AB 的延
长线围成的区域内 (不含边界)运动, 且 OByOAxOP ，由向量
加法的平行四边形法则，OP 为平行四边形的对角线，该四边形应是
以 OB 和 OA 的反向延长线为两邻边，∴ x 的取值范围是(－∞，0)；
当
2
1x 时，要使 P 点落在指定区域内，即 P 点应落在 DE 上，
CD=
2
1 OB，CE=
2
3 OB，∴ y 的取值范围是(
2
1 ，
2
3 ).
三、解答题：本大题共 6 个小题，共 80 分，解答应写出
文字说明，证明过程或演算步骤。
16.（本小题满分 12 分）如图 3,D 是直角△ABC 斜边 BC 上一点,AB=AD,
记∠CAD= ,∠ABC= .
(1)．证明 sin cos2 0 ;
B D C
α
β
A
图 3
（2）．若 AC= 3 DC,求 的值.
解：(1)．如图 3， ( 2 ) 2 , sin sin(2 ) cos22 2 2
，
即sin cos2 0 ．
（2）．在 ABC 中，由正弦定理得
3, . sin 3sinsin sin( ) sin sin
DC AC DC DC
由(1)得sin cos2 ， 2sin 3 cos2 3(1 2sin ),
即 2 3 32 3sin sin 3 0. sin sin2 3
解得 或 ．
30 , sin , .2 2 3
17.（本小题满分 12 分）某安全生产监督部门对 5 家小型煤矿进行安全检查(简称安检).若安
检不合格,则必须进行整改.若整改后经复查仍不合格,则强行关闭.设每家煤矿安检是否
合格是相互独立的,且每家煤矿整改前安检合格的概率是 0.5, 整改后安检合格的概率是
0.8,计算(结果精确到 0.01):
(Ⅰ)恰好有两家煤矿必须整改的概率;
(Ⅱ)平均有多少家煤矿必须整改;
(Ⅲ)至少关闭一家煤矿的概率.
解：（Ⅰ）．每家煤矿必须整改的概率是 1－0.5，且每家煤矿是否整改是相互独立的.
所以恰好有两家煤矿必须整改的概率是
31.016
55.0)5.01( 322
51 CP .
（Ⅱ）．由题设，必须整改的煤矿数 服从二项分布 B(5,0.5).从而 的数学期望是
E ＝5 0.5 2.5 ，即平均有 2.50 家煤矿必须整改.
(Ⅲ)．某煤矿被关闭，即该煤矿第一次安检不合格，整改后经复查仍不合格，所以该煤
矿被关闭的概率是 1.0)8.01()5.01(2 P ，从而该煤矿不被关闭的概率是 0.9.
由题意，每家煤矿是否被关闭是相互独立的，所以至少关闭一家煤矿的概率是
41.09.01 5
3 P
18. （本小题满分 14 分）如图 4,已知两个正四棱锥 P-ABCD 与 Q-ABCD 的高分别为 1
和 2,AB=4. (Ⅰ)证明 PQ⊥平面 ABCD; (Ⅱ)求异面直线 AQ 与 PB 所成的角;
(Ⅲ)求点 P 到平面 QAD 的距离.
解法一： （Ⅰ）．连结 AC、BD，设 OBDAC .由 P－ABCD 与 Q－ABCD
都是正四棱锥，所以 PO⊥平面 ABCD，QO⊥平面 ABCD.
从而 P、O、Q 三点在一条直线上，所以 PQ⊥平面 ABCD.
（II）由题设知，ABCD 是正方形，所以 AC BD ．由（I），PQ 平面 ABCD ，
故可以分别以直线 CA、DB、QP 为 x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系（如上图），
由题设条件，相关各点的坐标分别是 (0,0,1)P ， (0,0, 2)Q ， (0,2 2,0)B
所以 )2,0,22( AQ , (0,2 2, 1)PB ,于是 3cos , .9
AQ PBAQ PB
AQ PB
从而异面直线 AQ 与 PB 所成的角是 3arccos 9
.
(Ⅲ)．由（Ⅱ），点 D 的坐标是（0，－ 22 ，0）， )0,22,22( AD ，
(0,0, 3)PQ ，设 ),,( zyxn 是平面 QAD 的一个法向量，
由
0
0
ADn
AQn 得
0
02
yx
zx .
取 x=1，得 )2,1,1( n . 所以点 P 到平面 QAD 的距离 3 2 .2
PQ n
d
n
.
解法二： （Ⅰ）．取 AD 的中点 M，连结 PM，QM.因为 P－ABCD 与 Q－ABCD
都是正四棱锥，所以 AD⊥PM，AD⊥QM. 从而 AD⊥平面 PQM.
又 PQ 平面 PQM，所以 PQ⊥AD.同理 PQ⊥AB，所以 PQ⊥平面 ABCD.
（Ⅱ）．连结 AC、BD 设 OBDAC ，由 PQ⊥平面 ABCD 及正四棱锥的性质可知 O 在
Q
P
A
D C
B
图
Q
B
C
P
A
D
z
yx
O
PQ 上，从而 P、A、Q、C 四点共面.
取 OC 的中点 N，连结 PN．
因为 1 1,2 2
PO NO NO
OQ OA OC
，所以 PO NO
OQ OA
，
从而 AQ∥PＮ.∠BPＮ（或其补角）是异面直线 AQ
与 PB 所成的角.连接 BN，
因为 2 2 2(2 2) 1 3PB OB OP ．
2 2 2( 2) 1 3PN ON OP
2 2 2 2(2 2) ( 2) 10BN OB ON
所以
2 2 2 9 3 10 3cos 2 92 3 3
PB PN BNBPN PB PN
．
从而异面直线 AQ 与 PB 所成的角是 3arccos 9
．
(Ⅲ)．由（Ⅰ）知，AD⊥平面 PＱM，所以平面 PＱM⊥平面 QAD. 过Ｐ作ＰＨ⊥ＱＭ
于Ｈ，则ＰＨ⊥平面 QAD，所以ＰＨ的长为点 P 到平面 QAD 的距离．
连结 OM，则 1 22OM AB OQ .所以 45MQP ，
又ＰＱ＝ＰＯ＋ＱＯ＝３，于是 3 2sin 45 2PH PQ .
即点 P 到平面 QAD 的距离是 3 2
2
.
19. （本小题满分 14 分）已知函数 ( ) sinf x x x ,
数列{ na }满足: 1 10 1, ( ), 1,2,3, .n na a f a n
证明: （I）． 10 1n na a ;
（II）． 3
1
1
6n na a .
证明: （I）．先用数学归纳法证明 0 1na ，ｎ＝1,2,3,…
(i).当 n=1 时,由已知显然结论成立.
(ii).假设当 n=k 时结论成立,即 0 1ka .因为 00 成立.于是 31( ) 0, sin 06n n n ng a a a a 即 ．
故 3
1
1
6n na a ．
20. （本小题满分 14 分）对 1 个单位质量的含污物体进行清洗,清洗前其清洁度(含污物体
的清洁度定义为:1 ( )
污物质量
物体质量 含污物 )为 0.8,要求洗完后的清洁度是 0.99.有两种方
案可供选择,方案甲:一次清洗;方案乙:两次清洗.该物体初次清洗后受残留水等因素影响,
其 质 量 变 为 a (1 ≤ a ≤ 3). 设 用 x 单 位 质 量 的 水 初 次 清 洗 后 的 清 洁 度 是
0.8
1
x
x
( 1x a ), 用 y 质 量 的 水 第 二 次 清 洗 后 的 清 洁 度 是 y ac
y a
, 其 中
(0.8 0.99)c c 是该物体初次清洗后的清洁度.
(Ⅰ)分别求出方案甲以及 0.95c 时方案乙的用水量,并比较哪一种方案用水量较少;
(Ⅱ)若采用方案乙,当 a 为某定值时,如何安排初次与第二次清洗的用水量,使总用水量最少?
并讨论 a 取不同数值时对最少总用水量多少的影响.
解：(Ⅰ)设方案甲与方案乙的用水量分别为 x 与 z,由题设有 0.8
1
x
x
=0.99,解得 x=19.
由 0.95c 得方案乙初次用水量为 3, 第二次用水量 y 满足方程:
0.95 0.99,y a
y a
解得 y=4 a ,故 z=4 a+3.即两种方案的用水量分别为 19 与 4 a +3.
因为当1 3 , 4(4 ) 0,a x z a x z 时 即 ,故方案乙的用水量较少.
（II）设初次与第二次清洗的用水量分别为 x 与 y ，类似（I）得
5 4
5(1 )
cx c
， (99 100 )y a c （*）
于是 5 4
5(1 )
cx y c
+ (99 100 )a c 1 100 (1 ) 15(1 ) a c ac
当 a为定值时, 12 100 (1 ) 1 4 5 15(1 )x y a c a a ac
,
当且仅当 1 100 (1 )5(1 ) a cc
时等号成立.此时
1 11 ( ) 1 (0.8,0.99),
10 5 10 5
c c
a a
不合题意,舍去 或
将 11
10 5
c
a
代入（*）式得 2 5 1 1, 2 5 .x a a y a a
故 11
10 5
c
a
时总用水量最少, 此时第一次与第二次用水量分别为
2 5 1 2 5a a a 与 , 最少总用水量是 ( ) 4 5 1T a a a .
当 ' 2 51 3 , ( ) 1 0a T a
a
时 ,故 T( a )是增函数(也可以用二次函数的单调
性判断).这说明,随着 a 的值的最少总用水量, 最少总用水量最少总用水量.
21. （本小题满分 14 分）已知椭圆 C1:
2 2
14 3
x y ,抛物线 C2: 2( ) 2 ( 0)y m px p ,
且 C1、C2 的公共弦 AB 过椭圆 C1 的右焦点.
(Ⅰ)当 AB⊥ x 轴时,求 m 、 p 的值，并判断抛物线 C2 的焦点是否在直线 AB 上；
(Ⅱ)是否存在 m 、 p 的值，使抛物线 C2 的焦点恰在直线 AB 上？若存在，
求出符合条件的 m 、 p 的值；若不存在，请说明理由.
解：（Ⅰ）当 AB⊥x 轴时，点 A、B 关于 x 轴对称，所以 m＝0，直线 AB 的方程为：
x =1，从而点 A 的坐标为（1，
2
3 ）或（1，－
2
3 ）. 因为点 A 在抛物线上.
所以 p24
9 ，即
8
9p .此时 C2 的焦点坐标为（
16
9 ，0），该焦点不在直线 AB 上.
（II）解法一： 假设存在 m 、 p 的值使 2C 的焦点恰在直线 AB 上，由（I）知直线 AB
的斜率存在，故可设直线 AB 的方程为 ( 1)y k x ．
由 2 2
( 1)
14 3
y k x
x y
消去 y 得 2 2 2 2(3 4 ) 8 4 12 0k x k x k ………………①
A
y
O x
设 A、B 的坐标分别为（x1,y1）, （x2,y2）,
则 x1,x2 是方程①的两根，x1＋x2＝ 2
2
43
8
k
k
.
由
2( ) 2
( 1)
y m px
y k x
消去 y 得 2( ) 2kx k m px . ………………②
因为 C2 的焦点 ( , )2
pF m 在直线 )1( xky 上，
所以 ( 1)2
pm k ，即
2
kpm k .代入②有 2( ) 22
kpkx px .
即
2 2
2 2 2( 2) 04
k pk x p k x . …………………③
由于 x1,x2 也是方程③的两根，所以 x1＋x2＝
2
2
( 2)p k
k
.
从而
2
2
8
3 4
k
k
＝
2
2
( 2)p k
k
. 解得
2
2 2
8
(4 3)( 2)
kp k k
……………………④
又 AB 过 C1、、＼、、C2 的焦点，所以
1 2 1 2 1 2
1 1( ) ( ) (2 ) (2 )2 2 2 2
p pAB x x x x p x x ，
则
2 2
1 2 2 2
3 12 4 124 ( ) 4 .2 4 3 4 3
k kp x x k k
…………………………………⑤
由④、⑤式得
2 2
2 2 2
8 4 12
(4 3)( 2) 4 3
k k
k k k
，即 4 25 6 0k k ．
解得 2 6.k 于是 46, .3k p
因为 C2 的焦点 ),3
2( mF 在直线 6( 1)y x 上，所以 26( 1)3m .
6
3m 或 6
3m ．
由上知，满足条件的 m 、 p 存在，且 6
3m 或 6
3m ， 4
3p ．
解法二： 设 A、B 的坐标分别为 1 1( , )x y ， 2 2( )x y ．
因为 AB 既过 C1 的右焦点 )0,1(F ，又过 C2 的焦点 ( , )2
pF m ，
所以 )2
12()2
12()2()2( 212121 xxpxxpxpxAB .
即 1 2
2 (4 )3x x p . ……①
由（Ⅰ）知 1 2 , 2x x p ，于是直线 AB 的斜率 2 1
2 1
0 2
212
y y m mk px x p
， ……②
且直线 AB 的方程是 2 ( 1)2
my xp
,
所以 1 2 1 2
2 4 (1 )( 2)2 3( 2)
m m py y x xp p
. ……③
又因为
1243
1243
2
2
2
2
2
1
2
1
yx
yx ，所以 0)(4)(3
12
12
2121
xx
yyyyxx . ……④
将①、②、③代入④得
2
2 3( 4)( 2)
16(1 )
p pm p
． ……………⑤
因为
2
1 1
2
2 2
( ) 2
( ) 2
y m px
y m px
，所以 2 1
1 2
2 1
2 2 x xy y m p y y
． …………⑥
将②、③代入⑥得
2
2 3 ( 2) .16 10
p pm p
……………⑦
由⑤、⑦得
23( 4)( 2)
16(1 )
p p
p
23 ( 2) .16 10
p p
p
即 23 20 32 0p p
解得 4 8( )3p p 或 舍去 ．将 4
3p 代入⑤得 2 2 ,3m
6
3m 或 6
3m ．
由上知，满足条件的 m 、 p 存在，且 6
3m 或 6
3m ， 4
3p
