【数学】2018届一轮复习北师大版实际问题的函数建模教案

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【数学】2018届一轮复习北师大版实际问题的函数建模教案

第九节 实际问题的函数建模 ‎ [考纲传真] 1.了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征,知道直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义.2.了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用.‎ ‎1.常见的几种函数模型 ‎(1)一次函数模型:y=kx+b(k≠0).‎ ‎(2)反比例函数模型:y=+b(k,b为常数且k≠0).‎ ‎(3)二次函数模型:y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0).‎ ‎(4)指数函数模型:y=bax+c(a,b,c为常数,a>0且a≠1,b≠0).‎ ‎(5)对数函数模型:y=blogax+c(a,b,c为常数,a>0且a≠1,b≠0).‎ ‎(6)幂函数模型:y=a·xn+b(a≠0).‎ ‎2.三种函数模型之间增长速度的比较 y=ax(a>1)‎ y=logax(a>1)‎ y=xn(n>0)‎ 在(0,+∞)‎ 上的增减性 递增 递增 递增 增长速度 越来越快 越来越慢 相对平稳 图像的变化 随x的增大逐渐表现为与y轴平行 随x的增大逐渐表现为与x轴平行 随n值变化而各有不同 值的比较 存在一个x0,当x>x0时,有logax<xn<ax ‎3.解函数应用问题的步骤(四步八字)‎ ‎(1)审题:弄清题意,分清条件和结论,理顺数量关系,初步选择数学模型;‎ ‎(2)建模:将自然语言转化为数学语言,将文字语言转化为符号语言,利用数学知识,建立相应的数学模型;‎ ‎(3)解模:求解数学模型,得出数学结论;‎ ‎(4)还原:将数学问题还原为实际问题.‎ 以上过程用框图表示如下:‎ ‎1.(思考辨析)判断下列结论的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)‎ ‎(1)函数y=2x的函数值比y=x2的函数值大.(  )‎ ‎(2)幂函数增长比直线增长更快.(  )‎ ‎(3)不存在x0,使ax0<x<logax0.(  )‎ ‎(4)f (x)=x2,g(x)=2x,h(x)=log2x,当x∈(4,+∞)时,恒有h(x)<f (x)<g(x).(  )‎ ‎[答案] (1)× (2)× (3)× (4)√‎ ‎2.已知某种动物繁殖量y(只)与时间x(年)的关系为y=alog3(x+1),设这种动物第2年有100只,到第8年它们发展到(  )‎ ‎【导学号:66482089】‎ A.100只        B.200只 C.300只 D.400只 B [由题意知100=alog3(2+1),∴a=100,∴y=100log3(x+1),当x=8时,y=100log3 9=200.]‎ ‎3.(教材改编)在某种新型材料的研制中,试验人员获得了下列一组试验数据.现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律,其中最接近的一个是(  )‎ x ‎1.95‎ ‎3.00‎ ‎3.94‎ ‎5.10‎ ‎6.12‎ y ‎0.97‎ ‎1.59‎ ‎1.98‎ ‎2.35‎ ‎2.61‎ A.y=2x B.y=log2x C.y=(x2-1) D.y=2.61cosx B [由表格知当x=3时,y=1.59,而A中y=23=8,不合要求,B中y=log23∈(1,2),C中y=(32-1)=4,不合要求,D中y=2.61cos3<0,不合要求,故选B.]‎ ‎4.一根蜡烛长‎20 cm,点燃后每小时燃烧‎5 cm,燃烧时剩下的高度h(cm)与燃烧时间t(h)的函数关系用图像表示为(  )‎ B [由题意h=20-5t,0≤t≤4.结合图像知应选B.]‎ ‎5.某市生产总值连续两年持续增加.第一年的增长率为p,第二年的增长率为q,则该市这两年生产总值的年平均增长率为________.‎ ‎【导学号:66482090】‎ -1 [设年平均增长率为x,则(1+x)2=(1+p)(1+q),‎ ‎ ∴x=-1.]‎ 用函数图像刻画变化过程 ‎ (1)某工厂6年来生产某种产品的情况是:前3年年产量的增长速度越来越快,后3年年产量保持不变,则该厂6年来这种产品的总产量C与时间t(年)的函数关系图像正确的是(  )‎ A      B       C      D ‎(2)已知正方形ABCD的边长为4,动点P从B点开始沿折线BCDA向A点运动.设点P运动的路程为x,△ABP的面积为S,则函数S=f (x)的图像是(  )‎ A      B       C     D ‎(1)A (2)D [(1)前3年年产量的增长速度越来越快,说明呈高速增长,只有A、C图像符合要求,而后3年年产量保持不变,产品的总产量应呈直线上升,故选A.‎ ‎(2)依题意知当0≤x≤4时,f (x)=2x;当40),小王骑自行车以匀速从甲地到乙地用了20分钟,在乙地休息10分钟后,他又以匀速从乙地返回到甲地用了30分钟,则小王从出发到返回原地所经过的路程y和其所用的时间x的函数图像为(  )‎ ‎【导学号:66482091】‎ D [y为“小王从出发到返回原地所经过的路程”而不是位移,故排除A,C.又因为小王在乙地休息10分钟,故排除B,故选D.]‎ 应用所给函数模型解决实际问题 ‎ 某企业生产A,B两种产品,根据市场调查与预测,A产品的利润与投资成正比,其关系如图291①;B产品的利润与投资的算术平方根成正比,其关系如图291②.(注:利润和投资单位:万元)‎ ‎①        ②‎ 图291‎ ‎(1)分别将A,B两种产品的利润表示为投资的函数关系式;‎ ‎(2)已知该企业已筹集到18万元资金,并将全部投入A,B两种产品的生产.‎ ‎①若平均投入生产两种产品,可获得多少利润?‎ ‎②问:如果你是厂长,怎样分配这18万元投资,才能使该企业获得最大利润?其最大利润约为多少万元?‎ ‎[解] (1)f (x)=0.25x(x≥0),g(x)=2(x≥0). 3分 ‎(2)①由(1)得f (9)=2.25,g(9)=2=6,‎ 所以总利润y=8.25万元. 5分 ‎②设B产品投入x万元,A产品投入(18-x)万元,该企业可获总利润为y万元.‎ 则y=(18-x)+2,0≤x≤18. 7分 令=t,t∈[0,3],‎ 则y=(-t2+8t+18)=-(t-4)2+.‎ 所以当t=4时,ymax==8.5,9分 此时x=16,18-x=2.‎ 所以当A,B两种产品分别投入2万元、16万元时,可使该企业获得最大利润,约为8.5万元. 12分 ‎[规律方法] 求解所给函数模型解决实际问题的关注点:‎ ‎(1)认清所给函数模型,弄清哪些量为待定系数.‎ ‎(2)根据已知利用待定系数法,确定模型中的待定系数.‎ ‎(3)利用该模型求解实际问题.‎ 易错警示:解决实际问题时要注意自变量的取值范围.‎ ‎[变式训练2] (2017·西城区二模)某市家庭煤气的使用量x(m3)和煤气费f (x)(元)满足关系f (x)=已知某家庭2016年前三个月的煤气费如下表:‎ 月份 用气量 煤气费 一月份 ‎4 m3‎ ‎4元 二月份 ‎25 m3‎ ‎14元 三月份 ‎35 m3‎ ‎19元 若四月份该家庭使用了‎20 m3‎的煤气,则其煤气费为(  )‎ ‎【导学号:66482092】‎ A.11.5元      B.11元 C.10.5元 D.10元 A [根据题意可知f (4)=C=4,f (25)=C+B(25-A)=14,f (35)=C+B(35-A)=19,解得A=5,B=,C=4,所以f (x)=所以f (20)=4+(20-5)=11.5,故选A.] ‎ 构建函数模型解决实际问题 ‎ (1)(2016·四川高考)某公司为激励创新,计划逐年加大研发资金投入,若该公司2015年全年投入研发资金130万元,在此基础上,每年投入的研发资金比上一年增长12%,则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是(参考数据:lg 1.12≈0.05,lg 1.3≈0.11,lg 2≈0.30)(  )‎ A.2018年 B.2019年 C.2020年 D.2021年 ‎(2)某市出租车收费标准如下:起步价为8元,起步里程为‎3 km(不超过‎3 km按起步价收费);超过‎3 km但不超过‎8 km 时,超过部分按每千米2.15元收费;超过‎8 km时,超过部分按每千米2.85元收费,另外每次乘坐需付燃油附加费1元.现某人乘坐一次出租车付费22.6元,则此次出租车行驶了________km.‎ ‎(1)B (2)9 [(1)设2015年后的第n年该公司投入的研发资金开始超过200万元.由130(1+12%)n>200,得1.12n>,两边取常用对数,得n>≈=,∴n≥4,∴从2019年开始,该公司投入的研发资金开始超过200万元.‎ ‎(2)设出租车行驶了x km,付费y元,由题意得 y= 当x=8时,y=19.75<22.6,‎ 因此由8+2.15×5+2.85×(x-8)+1=22.6,得x=9.]‎ ‎[规律方法] 构建函数模型解决实际问题的常见类型与求解方法:‎ ‎(1)构建二次函数模型,常用配方法、数形结合、分类讨论思想求解.‎ ‎(2)构建分段函数模型,应用分段函数分段求解的方法.‎ ‎(3)构建f (x)=x+(a>0)模型,常用基本不等式、导数等知识求解.‎ 易错警示:求解过程中不要忽视实际问题是对自变量的限制.‎ ‎[变式训练3] (2016·宁波模拟)某工厂生产某种产品固定成本为2 000万元,并且每生产一单位产品,成本增加10万元.又知总收入K是单位产品数Q的函数,K(Q)=40Q-Q2,则总利润L(Q)的最大值是________万元.‎ ‎2 500 [L(Q)=40Q-Q2-10Q-2 000=-Q2+30Q-2 000=-(Q-300)2+2 500.‎ 当Q=300时,L(Q)的最大值为2 500万元.]‎ ‎ [思想与方法]‎ ‎1.认真分析题意,合理选择数学模型是解决应用问题的基础.‎ ‎2.实际问题中往往解决一些最值问题,可以利用二次函数的配方法、函数的单调性、基本不等式等求得最值.‎ ‎3.解函数应用题的程序是:①审题;②建模;③解模;④还原.‎ ‎[易错与防范]‎ ‎1.函数模型应用不当,是常见的解题错误.所以,要正确理解题意,选择适当的函数模型.‎ ‎2.要特别关注实际问题的自变量的取值范围,合理确定函数的定义域.‎ ‎3.注意问题反馈.在解决函数模型后,必须验证这个数学结果对实际问题的合理性.‎ ‎ ‎
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