【数学】2018届一轮复习北师大版实际问题的函数建模教案
第九节 实际问题的函数建模
[考纲传真] 1.了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征,知道直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义.2.了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用.
1.常见的几种函数模型
(1)一次函数模型:y=kx+b(k≠0).
(2)反比例函数模型:y=+b(k,b为常数且k≠0).
(3)二次函数模型:y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0).
(4)指数函数模型:y=bax+c(a,b,c为常数,a>0且a≠1,b≠0).
(5)对数函数模型:y=blogax+c(a,b,c为常数,a>0且a≠1,b≠0).
(6)幂函数模型:y=a·xn+b(a≠0).
2.三种函数模型之间增长速度的比较
y=ax(a>1)
y=logax(a>1)
y=xn(n>0)
在(0,+∞)
上的增减性
递增
递增
递增
增长速度
越来越快
越来越慢
相对平稳
图像的变化
随x的增大逐渐表现为与y轴平行
随x的增大逐渐表现为与x轴平行
随n值变化而各有不同
值的比较
存在一个x0,当x>x0时,有logax<xn<ax
3.解函数应用问题的步骤(四步八字)
(1)审题:弄清题意,分清条件和结论,理顺数量关系,初步选择数学模型;
(2)建模:将自然语言转化为数学语言,将文字语言转化为符号语言,利用数学知识,建立相应的数学模型;
(3)解模:求解数学模型,得出数学结论;
(4)还原:将数学问题还原为实际问题.
以上过程用框图表示如下:
1.(思考辨析)判断下列结论的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)函数y=2x的函数值比y=x2的函数值大.( )
(2)幂函数增长比直线增长更快.( )
(3)不存在x0,使ax0<x<logax0.( )
(4)f (x)=x2,g(x)=2x,h(x)=log2x,当x∈(4,+∞)时,恒有h(x)<f (x)<g(x).( )
[答案] (1)× (2)× (3)× (4)√
2.已知某种动物繁殖量y(只)与时间x(年)的关系为y=alog3(x+1),设这种动物第2年有100只,到第8年它们发展到( )
【导学号:66482089】
A.100只 B.200只
C.300只 D.400只
B [由题意知100=alog3(2+1),∴a=100,∴y=100log3(x+1),当x=8时,y=100log3 9=200.]
3.(教材改编)在某种新型材料的研制中,试验人员获得了下列一组试验数据.现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律,其中最接近的一个是( )
x
1.95
3.00
3.94
5.10
6.12
y
0.97
1.59
1.98
2.35
2.61
A.y=2x B.y=log2x
C.y=(x2-1) D.y=2.61cosx
B [由表格知当x=3时,y=1.59,而A中y=23=8,不合要求,B中y=log23∈(1,2),C中y=(32-1)=4,不合要求,D中y=2.61cos3<0,不合要求,故选B.]
4.一根蜡烛长20 cm,点燃后每小时燃烧5 cm,燃烧时剩下的高度h(cm)与燃烧时间t(h)的函数关系用图像表示为( )
B [由题意h=20-5t,0≤t≤4.结合图像知应选B.]
5.某市生产总值连续两年持续增加.第一年的增长率为p,第二年的增长率为q,则该市这两年生产总值的年平均增长率为________.
【导学号:66482090】
-1 [设年平均增长率为x,则(1+x)2=(1+p)(1+q),
∴x=-1.]
用函数图像刻画变化过程
(1)某工厂6年来生产某种产品的情况是:前3年年产量的增长速度越来越快,后3年年产量保持不变,则该厂6年来这种产品的总产量C与时间t(年)的函数关系图像正确的是( )
A B C D
(2)已知正方形ABCD的边长为4,动点P从B点开始沿折线BCDA向A点运动.设点P运动的路程为x,△ABP的面积为S,则函数S=f (x)的图像是( )
A B C D
(1)A (2)D [(1)前3年年产量的增长速度越来越快,说明呈高速增长,只有A、C图像符合要求,而后3年年产量保持不变,产品的总产量应呈直线上升,故选A.
(2)依题意知当0≤x≤4时,f (x)=2x;当4
0),小王骑自行车以匀速从甲地到乙地用了20分钟,在乙地休息10分钟后,他又以匀速从乙地返回到甲地用了30分钟,则小王从出发到返回原地所经过的路程y和其所用的时间x的函数图像为( )
【导学号:66482091】
D [y为“小王从出发到返回原地所经过的路程”而不是位移,故排除A,C.又因为小王在乙地休息10分钟,故排除B,故选D.]
应用所给函数模型解决实际问题
某企业生产A,B两种产品,根据市场调查与预测,A产品的利润与投资成正比,其关系如图291①;B产品的利润与投资的算术平方根成正比,其关系如图291②.(注:利润和投资单位:万元)
① ②
图291
(1)分别将A,B两种产品的利润表示为投资的函数关系式;
(2)已知该企业已筹集到18万元资金,并将全部投入A,B两种产品的生产.
①若平均投入生产两种产品,可获得多少利润?
②问:如果你是厂长,怎样分配这18万元投资,才能使该企业获得最大利润?其最大利润约为多少万元?
[解] (1)f (x)=0.25x(x≥0),g(x)=2(x≥0). 3分
(2)①由(1)得f (9)=2.25,g(9)=2=6,
所以总利润y=8.25万元. 5分
②设B产品投入x万元,A产品投入(18-x)万元,该企业可获总利润为y万元.
则y=(18-x)+2,0≤x≤18. 7分
令=t,t∈[0,3],
则y=(-t2+8t+18)=-(t-4)2+.
所以当t=4时,ymax==8.5,9分
此时x=16,18-x=2.
所以当A,B两种产品分别投入2万元、16万元时,可使该企业获得最大利润,约为8.5万元. 12分
[规律方法] 求解所给函数模型解决实际问题的关注点:
(1)认清所给函数模型,弄清哪些量为待定系数.
(2)根据已知利用待定系数法,确定模型中的待定系数.
(3)利用该模型求解实际问题.
易错警示:解决实际问题时要注意自变量的取值范围.
[变式训练2] (2017·西城区二模)某市家庭煤气的使用量x(m3)和煤气费f (x)(元)满足关系f (x)=已知某家庭2016年前三个月的煤气费如下表:
月份
用气量
煤气费
一月份
4 m3
4元
二月份
25 m3
14元
三月份
35 m3
19元
若四月份该家庭使用了20 m3的煤气,则其煤气费为( )
【导学号:66482092】
A.11.5元 B.11元
C.10.5元 D.10元
A [根据题意可知f (4)=C=4,f (25)=C+B(25-A)=14,f (35)=C+B(35-A)=19,解得A=5,B=,C=4,所以f (x)=所以f (20)=4+(20-5)=11.5,故选A.]
构建函数模型解决实际问题
(1)(2016·四川高考)某公司为激励创新,计划逐年加大研发资金投入,若该公司2015年全年投入研发资金130万元,在此基础上,每年投入的研发资金比上一年增长12%,则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是(参考数据:lg 1.12≈0.05,lg 1.3≈0.11,lg 2≈0.30)( )
A.2018年 B.2019年
C.2020年 D.2021年
(2)某市出租车收费标准如下:起步价为8元,起步里程为3 km(不超过3 km按起步价收费);超过3 km但不超过8 km
时,超过部分按每千米2.15元收费;超过8 km时,超过部分按每千米2.85元收费,另外每次乘坐需付燃油附加费1元.现某人乘坐一次出租车付费22.6元,则此次出租车行驶了________km.
(1)B (2)9 [(1)设2015年后的第n年该公司投入的研发资金开始超过200万元.由130(1+12%)n>200,得1.12n>,两边取常用对数,得n>≈=,∴n≥4,∴从2019年开始,该公司投入的研发资金开始超过200万元.
(2)设出租车行驶了x km,付费y元,由题意得
y=
当x=8时,y=19.75<22.6,
因此由8+2.15×5+2.85×(x-8)+1=22.6,得x=9.]
[规律方法] 构建函数模型解决实际问题的常见类型与求解方法:
(1)构建二次函数模型,常用配方法、数形结合、分类讨论思想求解.
(2)构建分段函数模型,应用分段函数分段求解的方法.
(3)构建f (x)=x+(a>0)模型,常用基本不等式、导数等知识求解.
易错警示:求解过程中不要忽视实际问题是对自变量的限制.
[变式训练3] (2016·宁波模拟)某工厂生产某种产品固定成本为2 000万元,并且每生产一单位产品,成本增加10万元.又知总收入K是单位产品数Q的函数,K(Q)=40Q-Q2,则总利润L(Q)的最大值是________万元.
2 500 [L(Q)=40Q-Q2-10Q-2 000=-Q2+30Q-2 000=-(Q-300)2+2 500.
当Q=300时,L(Q)的最大值为2 500万元.]
[思想与方法]
1.认真分析题意,合理选择数学模型是解决应用问题的基础.
2.实际问题中往往解决一些最值问题,可以利用二次函数的配方法、函数的单调性、基本不等式等求得最值.
3.解函数应用题的程序是:①审题;②建模;③解模;④还原.
[易错与防范]
1.函数模型应用不当,是常见的解题错误.所以,要正确理解题意,选择适当的函数模型.
2.要特别关注实际问题的自变量的取值范围,合理确定函数的定义域.
3.注意问题反馈.在解决函数模型后,必须验证这个数学结果对实际问题的合理性.