- 2021-05-11 发布 |
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文档介绍
高考理科数学一轮复习题型归纳与变式演练基本不等式及应用
2020年高考理科数学一轮复习题型归纳与变式演练《基本不等式及应用》 【题型一】:基本不等式的理解 【题型二】:利用基本不等式求最值 【题型三】:基本不等式应用 【题型四】:基本不等式在实际问题中的应用 【题型一】:基本不等式的理解 【例1】. ,,给出下列推导,其中正确的有 (填序号). (1)的最小值为; (2)的最小值为; (3)的最小值为. 【解析】(1);(2) (1)∵,,∴(当且仅当时取等号). (2)∵,,∴(当且仅当时取等号). (3)∵,∴, (当且仅当即时取等号) ∵,与矛盾,∴上式不能取等号,即 【总结升华】在用基本不等式求函数的最值时,必须同时具备三个条件:一正二定三取等,缺一不可. 【变式训练】: 【变式1】给出下面四个推导过程: ① ∵,∴; ② ∵,∴; ③ ∵,,∴ ; ④ ∵,,∴. 其中正确的推导为( ) A.①② B.②③ C.③④ D.①④ 【解析】①∵,∴,符合基本不等式的条件,故①推导正确. ②虽然,但当或时,是负数,∴②的推导是错误的. ③由不符合基本不等式的条件,∴是错误的. ④由得均为负数,但在推导过程中,将整体提出负号后,均变为正数,符合基本不等式的条件,故④正确.选D. 【变式2】下列命题正确的是( ) A.函数的最小值为2. B.函数的最小值为2 C.函数最大值为 D.函数 的最小值为2 【答案】C 【解析】A选项中,∵,∴当时由基本不等式; 当时.∴选项A错误. B选项中,∵的最小值为2 (当且仅当时,成立) 但是,∴这是不可能的. ∴选项B错误. C选项中,∵,∴,故选项C正确。 【题型二】:利用基本不等式求最值 【例2】.设,则的最小值是 A.1 B.2 C.3 D.4 【解析】 当且仅当即时取等号. 【答案】D 【变式训练】: 【变式1】若,求的最大值. 【解析】因为,所以, 由基本不等式得: , (当且仅当即时, 取等号) 故当时,取得最大值. 【变式2】已知,求的最大值. 【解析】∵,∴, ∴(当且仅当,即时,等号成立) ∴(当且仅当,即时,等号成立) 故当时,的最大值为4. 【例3】.已知a>0,b>0,a+b=2,则y=的最小值是 A. B.4 C. D.5 【解析】∵,, ∴ 【答案】选C 【变式训练】: 【变式1】若,,且,求的最小值 . 【解析】∵,, ∴ (当且仅当即,时,等号成立) ∴(当且仅当,时,等号成立) 故当,时,的最小值为64. 【变式2】已知x>0,y>0,且,求x+y的最小值。 【解析】∵,∴ ∵x>0,y>0,∴ (当且仅当,即y=3x时,取等号) 又,∴x=4,y=12 ∴当x=4,y=12时,x+y取最小值16。 【题型三】:基本不等式应用 【例4】. 设,,求证: 【证明】 成立 【变式训练】: 【变式1】已知,求证: 【解析】 (当且仅当即,等号成立). 【例5】已知,且. (1)若则的值为 . (2)求证: 【解析】(1)由题意可得带入计算可得 (2)由题意和基本不等式可得,, 【变式训练】: 【变式】已知函数的定义域为R. (1)求实数m的取值范围. (2)若m的最大值为n,当正数a、b满足时,求7a+4b的最小值. 【解析】(1)因为函数的定义域为R, 恒成立 设函数则m不大于的最小值 即的最小值为4, (2)由(1)知n=4 当且仅当时,即时取等号. 的最小值为 【题型四】:基本不等式在实际问题中的应用 【例6】. 某农场有废弃的猪圈,留有一面旧墙长12m,现准备在该地区重新建立一座猪圈,平面图为矩形,面积为,预计(1)修复旧墙的费用是建造新墙费用的 ,(2)拆去旧墙用以改造建成新墙的费用是建新墙的,(3)为安装圈门,要在围墙的适当处留出的空缺。试问:这里建造猪圈的围墙应怎样利用旧墙,才能使所需的总费用最小? 【解析】显然,使旧墙全部得到利用,并把圈门留在新墙处为好。 设修复成新墙的旧墙为 ,则拆改成新墙的旧墙为, 于是还需要建造新墙的长为 设建造新墙需用元,建造围墙的总造价为元, 则 (当且仅当即时,等号成立) 故拆除改造旧墙约为米时,总造价最小. 【变式训练】: 【变式1】某游泳馆出售冬季学生游泳卡,每张卡240元.并规定不记名,每卡每次只限1人,每天只限1次.某班有48名学生,教师准备组织学生集体冬泳,除需要购买若干张游泳卡外,每次去游泳还要包一辆汽车,无论乘坐多少学生,每次的包车费为40元.要使每个学生游8次,每人最少交多少钱? 【解析】设购买x张游泳卡,活动开支为y元, 则(当且仅当x=8时取“=”) 此时每人最少交80元.查看更多