高考理科数学一轮复习题型归纳与变式演练基本不等式及应用

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高考理科数学一轮复习题型归纳与变式演练基本不等式及应用

‎2020年高考理科数学一轮复习题型归纳与变式演练《基本不等式及应用》‎ ‎【题型一】:基本不等式的理解 ‎【题型二】:利用基本不等式求最值 ‎【题型三】:基本不等式应用 ‎【题型四】:基本不等式在实际问题中的应用 ‎【题型一】:基本不等式的理解 ‎【例1】. ,,给出下列推导,其中正确的有 (填序号).‎ ‎ (1)的最小值为;‎ ‎(2)的最小值为;‎ ‎(3)的最小值为.‎ ‎【解析】(1);(2)‎ ‎(1)∵,,∴(当且仅当时取等号).‎ ‎(2)∵,,∴(当且仅当时取等号).‎ ‎(3)∵,∴,‎ ‎(当且仅当即时取等号)‎ ‎∵,与矛盾,∴上式不能取等号,即 ‎【总结升华】在用基本不等式求函数的最值时,必须同时具备三个条件:一正二定三取等,缺一不可.‎ ‎【变式训练】:‎ ‎【变式1】给出下面四个推导过程:‎ ‎① ∵,∴; ‎ ‎② ∵,∴;‎ ‎③ ∵,,∴ ;‎ ‎④ ∵,,∴.‎ 其中正确的推导为( )‎ A.①② B.②③ C.③④ D.①④‎ ‎【解析】①∵,∴,符合基本不等式的条件,故①推导正确.‎ ‎②虽然,但当或时,是负数,∴②的推导是错误的.‎ ‎③由不符合基本不等式的条件,∴是错误的.‎ ‎④由得均为负数,但在推导过程中,将整体提出负号后,均变为正数,符合基本不等式的条件,故④正确.选D.‎ ‎【变式2】下列命题正确的是( )‎ A.函数的最小值为2.    B.函数的最小值为2‎ C.函数最大值为 D.函数 的最小值为2‎ ‎【答案】C ‎【解析】A选项中,∵,∴当时由基本不等式;‎ 当时.∴选项A错误.‎ B选项中,∵的最小值为2‎ ‎(当且仅当时,成立)‎ 但是,∴这是不可能的. ∴选项B错误.‎ C选项中,∵,∴,故选项C正确。‎ ‎【题型二】:利用基本不等式求最值 ‎【例2】.设,则的最小值是 A.1 B.2 C.3 D.4‎ ‎【解析】‎ 当且仅当即时取等号.‎ ‎【答案】D ‎【变式训练】:‎ ‎【变式1】若,求的最大值.‎ ‎【解析】因为,所以, 由基本不等式得:‎ ‎,‎ ‎(当且仅当即时, 取等号)‎ 故当时,取得最大值.‎ ‎【变式2】已知,求的最大值.‎ ‎【解析】∵,∴,‎ ‎ ∴(当且仅当,即时,等号成立)‎ ‎∴(当且仅当,即时,等号成立)‎ 故当时,的最大值为4.‎ ‎【例3】.已知a>0,b>0,a+b=2,则y=的最小值是 A. B.4 C. D.5‎ ‎【解析】∵,,‎ ‎∴‎ ‎【答案】选C ‎【变式训练】:‎ ‎【变式1】若,,且,求的最小值 .‎ ‎【解析】∵,,‎ ‎∴‎ ‎(当且仅当即,时,等号成立)‎ ‎∴(当且仅当,时,等号成立)‎ 故当,时,的最小值为64.‎ ‎【变式2】已知x>0,y>0,且,求x+y的最小值。‎ ‎【解析】∵,∴‎ ‎∵x>0,y>0,∴‎ ‎(当且仅当,即y=3x时,取等号)‎ 又,∴x=4,y=12‎ ‎∴当x=4,y=12时,x+y取最小值16。‎ ‎【题型三】:基本不等式应用 ‎【例4】. 设,,求证:‎ ‎【证明】‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 成立 ‎【变式训练】:‎ ‎【变式1】已知,求证:‎ ‎【解析】‎ ‎(当且仅当即,等号成立).‎ ‎【例5】已知,且.‎ ‎(1)若则的值为 .‎ ‎(2)求证:‎ ‎【解析】(1)由题意可得带入计算可得 ‎(2)由题意和基本不等式可得,,‎ ‎【变式训练】:‎ ‎【变式】已知函数的定义域为R.‎ ‎(1)求实数m的取值范围.‎ ‎(2)若m的最大值为n,当正数a、b满足时,求7a+4b的最小值.‎ ‎【解析】(1)因为函数的定义域为R,‎ 恒成立 设函数则m不大于的最小值 即的最小值为4,‎ ‎(2)由(1)知n=4‎ 当且仅当时,即时取等号.‎ 的最小值为 ‎【题型四】:基本不等式在实际问题中的应用 ‎【例6】. 某农场有废弃的猪圈,留有一面旧墙长12m,现准备在该地区重新建立一座猪圈,平面图为矩形,面积为,预计(1)修复旧墙的费用是建造新墙费用的 ,(2)拆去旧墙用以改造建成新墙的费用是建新墙的,(3)为安装圈门,要在围墙的适当处留出的空缺。试问:这里建造猪圈的围墙应怎样利用旧墙,才能使所需的总费用最小? ‎ ‎【解析】显然,使旧墙全部得到利用,并把圈门留在新墙处为好。‎ 设修复成新墙的旧墙为 ,则拆改成新墙的旧墙为,‎ 于是还需要建造新墙的长为 设建造新墙需用元,建造围墙的总造价为元,‎ 则 ‎(当且仅当即时,等号成立)‎ 故拆除改造旧墙约为米时,总造价最小.‎ ‎【变式训练】:‎ ‎【变式1】某游泳馆出售冬季学生游泳卡,每张卡240元.并规定不记名,每卡每次只限1人,每天只限1次.某班有48名学生,教师准备组织学生集体冬泳,除需要购买若干张游泳卡外,每次去游泳还要包一辆汽车,无论乘坐多少学生,每次的包车费为40元.要使每个学生游8次,每人最少交多少钱?‎ ‎【解析】设购买x张游泳卡,活动开支为y元, ‎ 则(当且仅当x=8时取“=”)‎ 此时每人最少交80元.‎
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